Digitally signed by Maria Alzira
Pimenta Dinis
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Dinis, o=Universidade Fernando
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Date: 2008.01.23 11:39:51 Z
ANÁLISE MATEMÁTICA III
Universidade Fernando Pessoa
Faculdade de Ciência e Tecnologia
Capítulo I - Equações Diferenciais Ordinárias
EXERCÍCIOS
1.
Diga qual a ordem das seguintes equações diferenciais e verifique que a função
dada é uma solução:
2.
a)
xy ′′ = 2 y ′
(R: 1ª ordem)
b)
y ′′ + 9 y ′ = 0
c)
y ′ − 0,5y = 1,
d)
y ′′′ = 6,
e)
y ′ + y tan x = 0,
f)
y ′′ − 2 y ′ + 2 y = 0,
(R: 2ª ordem)
y = ce 0,5x − 2
(R: 1ª ordem)
y = x 3 + ax 2 + bx + c
y = c cos x
(R: 3ª ordem)
(R: 1ª ordem)
y = e x ( A cos x + B sin x)
(R: 2ª ordem)
Verifique que a função dada é uma solução da correspondente equação diferencial e
determine c por forma a que a solução particular resultante satisfaça a condição
inicial:
y = ce − x + 1,
y = 2,5 quando x = 0
a)
y ′ + y = 1,
b)
y ′ = 2 xy ,
y = ce x ,
y = 4 quando x=1
(R: c= 4 e )
c)
xy ′ = 2 y,
y = cx 2 ,
y = 12 quando x=2
(R: c=3)
d)
yy ′ = x,
y 2 − x 2 = c,
e)
y ′ = y cot x ,
2
y(0) = 1
y = c sin x ,
(R: c=1,5)
(R: c=1)
π
y(− ) = 2
2
1
(R: c=-2)
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f)
yy ′ + x = 0,
x 2 + y 2 = c,
y( 2 ) = 2
(R: c=4)
variáveis separáveis
3.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
x
,
y
a)
y′ =
y(1) = 3
b)
y ′ = −2 xy,
c)
dy
= −4 xy 2 ,
dx
(R: y 2 − x 2 = 8 )
(R: y = e − x )
y( 0) = 1
2
y( 0) = 1
4.
dy cos2 y
Resolva
=
dx sin 2 x
5.
Resolva as equações diferenciais:
a)
y ′ = 3( y + 1)
b)
y ′ = 2 xe − y
c)
y ' = y − 4,
(R: y =
1
2x + 1
2
)
(R: tan y = − cot x + c )
(R: y = ce 3x − 1)
(R: y = ln(x 2 + c ) )
2
y( 0) = −2
1 + ce 4 x
(R: y = 2
)
1 − ce 4 x
redução à forma separável
6.
Resolva:
a)
( 2 x − 4 y + 5) y ′ + x − 2 y + 3 = 0
b)
xy ′ = 2 x + 2 y
c)
1
xyy ′ = ( y 2 + x 2 )
2
(R: 4 x + 8 y + ln 4 x − 8 y + 11 = c )
(R: y = x 2 C − 2 x )
(R: y 2 = x 2 − cx )
equações diferenciais exactas
2
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7.
Resolva
o
seguinte
problema
(sin x cosh y )dx − (cos x sinh y )dy = 0,
8.
9.
y (0) = 0
de
valor
inicial:
(R: cos x cosh y = 1)
Mostre que as seguintes equaçıes diferenciais são exactas e resolva-as:
(R: xy = c )
a)
ydx + xdy = 0
b)
y 3dx + 3xy 2 dy = 0
(R: xy 3 = c )
Verifique que a função F dada é um factor integrante e resolva o problema de valor
inicial:
10.
a)
2 ydx + xdy = 0,
y (0,5) = 8, F = x
b)
(1 + xy)dx + x 2 dy = 0,
(R: x 2 y = 2 )
y (1) = 0, F = e xy
(R: xe xy = 1)
Encontre um factor integrante e resolva a equação 2 cos πy dx = π sin πy dy
(R: cos πy e 2 x = c )
equações diferenciais lineares
11.
Resolva y ′ + 2 y = e x (3 sin 2 x + 2 cos2 x )
12.
Resolva
o
problema
de
(R: y = ce −2 x + e x sin 2 x )
valor
inicial
y ′ + y tan x = sin 2 x,
y (0) = 1
(R: y = 3 cos x − 2 cos2 x )
equação de Bernoulli
13.
Reduza à forma linear a equação diferencial não linear: y ′ + y = y 2
y=
(R:
1
)
1 + ce x
método de Picard
3
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14.
Aplique o método de Picard aos seguintes problemas de valor inicial.(Determine
também a solução exacta para a alínea a. Compare.):
a)
y ′ = 2 y,
y(0) = 1
x
(R: yn = 1 + 2 ∫ yn−1 (t ) dt , y0 = 1, y1 = 1 + 2 x , y2 = 1 + 2 x + (2 x ) 2 / 2!, etc, y = e 2 x )
0
b)
y ′ = xy + 2 x − x 3 ,
y(0) = 0
(R: y 0 = 0, y1 = x 2 −
c)
y ′ = x + y,
(R: y0 = −1,
15.
1 4
1 6
x , y2 = x 2 −
x , etc)
4
4⋅6
y(0) = −1
yn = −1 − x + x n+1 / (n + 1)!,
Aplique o método de Picard a y ′ = 2 xy,
y3(1)
e
(R: y1 (1) = 2,
compare-os
y2 (1) = 2,5,
com
y = −1 − x )
y(0) = 1. Calcule os valores y1(1), y2(1) e
o
valor
exacto
y(1)= e =2,718
y3 (1) = 2,667 )
4
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ANÁLISE MATEMÁTICA III
Universidade Fernando Pessoa
Faculdade de Ciência e Tecnologia
Capítulo II - Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem
EXERCÍCIOS
1.
Encontre uma base e uma solução geral para a equação y ′′ + y = 0 , verificando que
y1 = cos x e y2 = sin x .
2.
3.
(R: W (1, x 2 , x 4 ) = 16x 3 )
Reduza à primeira ordem e resolva
a)
xy ′′ = 2 y ′
b)
y ′′ + 9 y ′ = 0
(R: y = c1 x 3 + c2 )
(R: c1e −9 x + c2 )
Verifique que as funções dadas formam uma base de soluções da equação dada e
resolva o problema de valor inicial dado:
4.
a)
y′′ − 9 y = 0, y (0) = 2, y′(0) = 0;e3 x ,e −3 x
b)
y′′ − 2 y′ + y = 0, y (0) = 4, y′(0) = 3;e x ,xe x
c)
y′′ − 4 y′ + 3 y = 0, y (0) = −1, y′(0) = −5;e x ,e3 x
(R: y = 2 cosh 3x )
(R: y = e x (4 − x) )
(R: y = e x − 2e 3 x )
Indague se as funções seguintes são linearmente dependentes ou independentes no
intervalo dado:
(0 < x < 1) (R: L.I.)
a)
x + 1, x − 1,
b)
sin 2 x, sin x cos x,
c)
x ⋅ x,
x2
qualquer intervalo
(0 < x < 1)
(R: L.D.)
(R: L.D.)
equações homogéneas c/ coeficientes constantes
5.
Resolva os problemas de valor inicial:
a)
y ′′ + y ′ − 2 y = 0,
y(0) = 4,
y ′(0) = −5
5
(R: y = e x + 3e −2 x )
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b)
6.
7.
y ′′ − 4 y ′ + 4 y = 0,
y(0) = 3,
y ′(0) = 1
(R: y = (3 − 5x )e 2 x )
Encontre uma solução geral das seguintes equações diferenciais:
a)
y ′′ + 3y ′ + 2 y = 0
b)
y ′′ + 10 y ′ + 25 y = 0
c)
y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0
(R: y = c1e − x + c2 e −2 x )
(R: y = (c1 + c2 x )e −5 x )
(R: y = (c1 + c2 x )e 3 x )
Encontre a equação diferencial para a qual as funções dadas formam uma base de
soluções:
8.
a)
e 2 x , e −3 x
b)
e −2 x , e − x 2
(R: y ′′ + y ′ − 6 y = 0 )
(R: y ′′ + 2,5 y ′ + y = 0 )
Verifique directamente que no caso de uma raiz dupla, xe λx com λ = − a 2 é uma
solução de y ′′ + ay ′ + by = 0
9.
Mostre que a e b em y ′′ + ay ′ + by = 0 podem ser expressos em termos de λ1 e λ2
pelas fórmulas a = − λ1 − λ2 , b = λ1λ2
10.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y(0) = 1,
y ′ (0) = 20
(R: y = 3e 4 x − 2e −4 x )
a)
y ′′ − 16 y = 0,
b)
y ′′ + 6 y ′ + 9 y = 0, y (0) = −4, y ′(0) = 14
(R: y = (2 x − 4)e −3 x )
raízes complexas
11.
Verifique que as seguintes funções são soluções da equação diferencial dada e
obtenha a partir delas uma solução geral com valores reais da forma
y = e − ax /2 ( A cosωx + B sin ωx) :
a)
y = c1e 3ix + c2 e −3ix ,
b)
y = c1e − (α +i ) x + c 2 e − (α −i ) x , y ′′ + 2αy ′ + (α 2 + 1) y = 0
y ′′ + 9 y = 0
(R: y = A cos 3x + B sin 3x )
(R: y = e −αx ( A cos x + B sin x ) )
c)
y = c1e − (α −iω ) x + c2 e − (α +iω ) x , y ′′ + 2αy ′ + (α 2 + ω 2 ) y = 0
(R: y = e −αx ( A cosωx + B sin ωx ) )
12.
Diga se a equação dada corresponde ao caso I, II ou III e encontre uma solução
6
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geral com funçıes reais:
13.
(R: caso I, y = c1e5x + c2 e −5x )
a)
y ′′ − 25y = 0
b)
y ′′ + 6 y ′ + 9 y = 0
c)
y ′′ + 2 y ′ = 0
d)
10 y ′′ + 6 y ′ + 10,9 y = 0
e)
y ′′ + 2 y ′ + (ω 2 + 1) y = 0
(R: caso II, y = (c1 + c2 x )e −3x )
(R: caso I, y = c1 + c2 e −2 x )
(R: caso III, y = e −0,3 x ( A cos x + B sin x) )
(R: caso III, y = e − x ( A cosωx + B sin ωx ) )
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a)
y ′′ + 9 y = 0, y(π ) = −2, y ′ (π ) = 3
b)
y ′′ − 4 y ′ + 4 y = 0,
c)
y ′′ + 20 y ′ + 100 y = 0,
y (0) = 3,
(R: y = 2 cos 3x − sin 3x )
y ′(0) = 10
(R: y = (3 + 4 x )e2 x )
y (0,1) = 3,2 / e ≈ 1177
, ,
y ′(0,1) = −30 / e ≈ −11,04
(R: y = (3 + 2 x )e −10 x )
d)
2 y ′′ + y ′ − y = 0,
y (4) = e 2 − e −4 ≈ 7,371,
y ′ ( 4) =
1 2
e + e −4 ≈ 3,713
2
(R: y = e 0,5 x − e − x )
14.
Resolva os seguintes problemas de valor fronteira:
a)
1
y ′′ − 16 y = 0, y(0) = 5, y( ) = 5e
4
b)
y ′′ − 2 y ′ = 0,
c)
y ′′ − 2 y ′ + 2 y = 0,
y (0) = −1,
(R: y = 5e 4 x )
1
y( ) = e − 2
2
y (0) = −3,
1
y( π ) = 0
2
(R: y = e 2 x − 2 )
(R: y = −3e x cos x )
Euler-Cauchy
15.
As equações de Euler-Cauchy ocorrem em certas aplicações. Vejamos um exemplo
da electroestática: Encontre o potencial electroestático ν = ν (r ) entre duas esferas
concêntricas de raios r1=4 cm e r2=8 cm mantidas a potenciais ν1 =110 volts e
ν 2 =0, respectivamente.
Informação física: ν (r) é uma solução de rν ′′ + 2ν ′ = 0 , onde ν ′ = dν / dr
(R: ν (r ) = −110 + 880 / r volts)
16.
Verifique directamente, por substituição, que y2 = x m ln x é uma solução de
x 2 y ′′ + axy ′ + by = 0 se m2 + (a − 1)m + b = 0 tiver uma raíz dupla, mas x m1 ln x e
7
Prof. Alzira Dinis
x m2 ln x não são soluções de x 2 y ′′ + axy ′ + by = 0 se as raízes m1 e m2 de
m2 + (a − 1)m + b = 0 forem diferentes.
17.
18.
19.
Encontre uma solução geral para as seguintes equações diferenciais:
(R: y = c1 + c2 x −3 )
a)
xy ′′ + 4 y ′ = 0
b)
( x 2 D 2 + 9 xD + 16) y = 0
c)
( x 2 D 2 + 3xD + 1) y = 0
d)
x 2 y ′′ + 6,2 xy ′ + 6,76 y = 0
e)
( x 2 D 2 + xD + 1) y = 0
f)
(4 x 2 D 2 + 8xD − 15) y = 0
(R: y = (c1 + c2 ln x ) x −4 )
(R: y = (c1 + c2 ln x ) / x )
(R: y = (c1 + c2 ln x) x −2 ,6 )
(R: y = A cos(ln x ) + B sin(ln x ) )
(R: y = c1 x1,5 + c2 x −2 ,5 )
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a)
(4 x 2 D 2 + 4 xD − 1) y = 0, y(4) = 2, y ′(4) = −0,25
b)
( x 2 D 2 − xD + 2) y = 0, y (1) = −1, y ′(1) = −1
c)
( x 2 D 2 + xD − 0,01) y = 0,
y(1) = 1,
Resolva ( z − 2) 2 y ′′ + 5( z − 2) y ′ + 3y = 0
(R: y = 4 / x )
(R: y = − x cos(ln x) )
y ′(1) = 0,1
(R: y = x 0,1 )
(R: y = c1 ( z − 2) −3 + c2 ( z − 2) −1 )
independência linear, wronskiano
20.
Mostre que y = (c1 + c2 x) e x é uma solução geral de y ′′ − 2 y ′ + y = 0 em qualquer
intervalo.
21.
22.
Encontre o wronskiano das seguintes bases:
a)
e λ 1x , e λ 2 x , λ 1 ≠ λ 2
(R: W (e λ 1x , e λ 2 x ) = ( λ 2 − λ 1 )e λ 1x + λ 2 x )
b)
e −αx / 2 cosωx, e −αx / 2 sin ωx
c)
x µ cos(ν ln x), x µ sin(ν ln x) (R: W ( x µ cos(ν ln x), x µ sin(ν ln x)) = νx 2 µ −1 )
(R: W (e −αx / 2 cosωx,
− αx / 2
sin ωx) = e −αxω )
Encontre uma equação diferencial linear homogénea de segunda ordem para a qual
as funções dadas são soluções. Encontre o wronskiano.
(R: y ′′ − 2 y ′ + y = 0, W (e x , xe x ) = e2 x )
a)
e x , xe x
b)
e x cos x , e x sin x
c)
cosπx , sin πx
(R: y ′′ − 2 y ′ + 2 y = 0, W (e x cos x , e x sin x ) = e 2 x
(R: y ′′ + π 2 y = 0, W (cosπx , sin πx ) = π )
8
Prof. Alzira Dinis
d)
1, x 3
e)
x 2, x
1
(R: x 2 y ′′ − 2 xy ′ = 0, W (1,
3
2
(R: x 2 y ′′ − xy ′ +
x 3 ) = 3x 2 )
1
3
y = 0, W ( x 2 ,
4
3
x 2) = x)
redução de ordem
23.
Mostre que a função dada y1 é uma solução da equação dada. Usando o método de
redução de ordem, encontre y2 tal que y1 , y2 formem uma base. Atenção! Escreva
primeira a equação na forma padrão.
a)
( x + 1) 2 y ′′ − 2( x + 1) y ′ + 2 y = 0, y1 = x + 1
b)
(1 − x) 2 y ′′ + 4(1 − x) y ′ + 2 y = 0,
c)
xy ′′ + 2 y ′ + xy = 0,
(R: y2 = x 2 + x )
y1 = (1 − x) −1 ,
y1 = x −1 sin x , x ≠ 0
x ≠ 1 (R: y2 = (1 − x ) −2 )
(R: y2 = − x −1 cos x )
equações não homogéneas
24.
Verifique em cada caso que y p ( x ) é uma solução da equação diferencial dada e
encontre uma solução geral:
y p = e2x
(R: y = c1e x + c2 e − x + e 2 x )
a)
y ′′ − y = 3e 2 x ,
b)
y ′′ + y = −3 sin 2 x ,
c)
( D 2 + 3D − 4) y = 5e x ,
d)
( x 2 D 2 − 2 xD + 2) y = 5x 3 cos x ,
y p = sin 2 x
(R: y = A cos x + B sin x + sin2 x )
(R: y = c1e x + c2 e −4 x + xe x )
y p = xe x
y p = −5x cos x
(R: y = c1 x + c2 x 2 − 5x cos x )
e)
(4 x 2 D 2 + 1) y = (1 − x 2 ) cos 0,5x ,
(R: y = (c1 + c 2 ln x) x
25.
1
2
y p = cos 0,5x
+ cos 0,5 x )
Verifique que y p é uma solução da equação dada e resolva o problema de valor
inicial dado:
a)
y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 2e 3 x ,
y (0) = 0,
y ′(0) = 1,
y p = x 2 e 3 x (R: y = ( x + x 2 )e 3 x )
b)
y ′′ + 4 y = −12 sin 2 x ,
y (0) = 1,
y ′(0) = 3,
y p = 3x cos2 x
(R: y = (1 + 3x ) cos2 x )
coeficientes indeterminados
26.
Resolva y ′′ + 2 y ′ + 5 y = 16e x + sin 2 x
9
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(R: y = e − x ( A cos 2 x + B sin 2 x) + 2e x −
27.
28.
4
1
cos 2 x + sin 2 x )
17
17
Encontre uma solução geral para as seguintes equações diferenciais:
a)
y ′′ + y = 3x 2
b)
y ′′ + 6 y ′ + 9 y = 18 cos 3x
c)
y ′′ − y ′ − 2 y = e x + x
d)
y ′′ + 2 y ′ + 5 y = 5x 2 + 4 x + 2
e)
( D 2 − 4 D + 3) y = 2 sin x − 4 cos x
f)
( D 2 − 2 D + 1) y = 2e x
g)
( D 2 + 9) y = cos 3x
h)
( D 2 − 4) y = 2 sinh 2 x + x
(R: y = A cos x + B sin x + 3x 2 − 6 )
(R: y = (c1 + c2 x )e −3 x + sin 3x )
1
1
1
(R: y = c1e − x + c2 e 2 x − e x − x + )
2
2
4
(R: y = e − x ( A cos 2 x + B sin 2 x ) + x 2 )
(R: y = c1e x + c2 e3 x + sin x )
(R: y = (c1 + c2 x )e x + e x x 2 )
1
(R: y = A cos 3x + B sin 3x + x sin 3x )
6
1
1
1
(R: y = (c1 + x)e 2 x + (c2 + x)e − 2 x − x )
4
4
4
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a)
y ′′ − y ′ − 2 y = 3e 2 x ,
y(0) = 0,
b)
y ′′ + y ′ − 2 y = 14 + 2 x − 2 x 2 ,
y ′(0) = −2
y (0) = 0,
(R: y = e − x − e 2 x + xe 2 x )
y ′(0) = 0
(R: y = 4e x + 2e −2 x + x 2 − 6 )
1
y ( π ) = −3,
2
c)
y ′′ − y ′ − 2 y = 10 sin x ,
d)
y ′′ + y ′ − 2 y = −6 sin 2 x − 18 cos 2 x ,
1
y ′( π ) = −1 (R: y = cos x − 3 sin x )
2
y (0) = 2,
y ′ (0) = 2
(R: y = 3 cos 2 x − e −2 x )
29.
O método dos coeficientes indeterminados pode também ser aplicado a algumas
equações diferenciais lineares de primeira ordem, sendo por vezes mais simples que
o método usual. Resolva:
a)
y ′ + 2 y = cos2 x
b)
y′ − y = x5
1
1
(R: y = c1e − 2 x + cos 2 x + sin 2 x )
4
4
(R: y = c1e x − x 5 − 5x 4 − 20x 3 − 60x 2 − 120x − 120 )
variação de parâmetros
30.
Encontre uma solução geral para as seguintes equações:
10
Prof. Alzira Dinis
31.
3
4 72 x
x )e )
35
a)
y ′′ − 2 y ′ + y = x 2 e x
b)
y ′′ − 2 y ′ + y = 12e x / x 3
(R: y = (c1 + c2 x + 6 x )e x )
c)
y ′′ + 4 y ′ + 4 y = e −2 x / x 2
(R: y = (c1 + c 2 x − ln x − 1)e −2 x )
d)
y ′′ − 2 y ′ + y = 35x 2 e x + x 2
e)
y ′′ − 2 y ′ + y = e x sin x
f)
( D 2 − 4 D + 4) y = 6x −4 e 2 x
g)
( D 2 − 2 D + 1) y = e x / x 3
h)
( x 2 D 2 − 4 xD + 6) y = 42 / x 4
i)
( x 2 D 2 − 2 xD + 2) y = 5x 3 cos x
j)
( xD 2 − D) y = x 2 e x
k)
x 2 y ′′ − 2 xy ′ + 2 y = 24 / x 2
l)
x 2 y ′′ − 4 xy ′ + 6 y = 1 / x 4
(R: (c1 + c 2 x +
3
7
(R: y = (c1 + c2 x + 4 x 2 )e x + x 2 + 4 x + 6 )
(R: y = (c1 + c2 x − sin x )e x )
(R: (c1 + c 2 x + x −2 )e 2 x )
(R: y = ((c1 + c 2 x + (2 x) −1 )e x )
(R: y = c1 x 2 + c2 x 3 + x −4 )
(R: y = c1 x + c2 x 2 − 5x cos x )
(R: y = c1 + c2 x 2 + ( x − 1)e x )
(R: y = c1 x + c 2 x 2 + 2 x −2 )
(R: y = c1 x 2 + c2 x 3 +
1 −4
x )
42
Sempre que o método dos coeficientes indeterminados é aplicável, deve ser usado
porque é mais simples do que este. Resolva a seguinte equação diferencial pelos
dois métodos: y ′′ + 4 y ′ + 3y = 65 cos 2 x
(R: y = c1e − x + c2 e −3 x + 8 sin 2 x − cos 2 x )
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Capítulo III - Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior
EXERCÍCIOS
1.
Mostre que as funções dadas formam uma base de soluções das equações
diferenciais dadas num intervalo aberto, verificando a independência linear pelo
teorema da dependência e independência linear de soluções.
a)
1, x 2 , x 4 ; x 2 y ′′′ − 3xy ′′ + 3 y ′ = 0
(R: W (1, x 2 , x 4 ) = 16x 3 , L.I.)
b)
e − x , xe − x , x 3e − x , x 2 e − x ; ( D 4 + 4 D 3 + 6D 2 + 4 D + 1) y = 0
(R: W (e − x , xe − x , x 3e − x , x 2 e − x ) = −12e −4 x , L.I.)
c)
cos x , sin x , e − x ; ( D 3 + D 2 + D + 1) y = 0
(R: W (cos x,sin x,e − x ) = 2e − x , L.I.)
d)
e x cos x , e x sin x , e − x cos x, e − x sin x; ( D 4 + 4) y = 0
(R: W (e x cos x , e x sin x , e − x cos x , e − x sin x) = −32 cos 2 x , L.I.)
e)
cosh x , sinh x, cos x , sin x;
y IV − y = 0
(R: W (cosh x , sinh x , cos x , sin x) = 2 , L.I.)
2.
Verifique que as funções dadas são soluções da equação diferencial dada.
Demonstre a sua independência linear pelo teorema referido na questão anterior.
Resolva o problema da valor inicial dado.
a)
y IV = 0,
y (0) = 0,
y ′(0) = 6,
y ′′(0) = 0,
y ′′′(0) = −48 ; 1,
x,
x2 ,
x3
(R: W (1, x , x 2 , x 3 ) = 12 , L.I., y = 6 x − 8 x 3 )
b)
xy ′′′ + 3 y ′′ = 0,
y (1) = 4,
y ′(1) = −8,
y ′′(1) = 10; 1, x, x −1
(R: W (1, x , x −1 ) = 2 x −3 , L.I., y = 2 − 3 x + 5 x −1 )
12
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3.
Diga se as seguintes funções são linearmente dependentes ou independentes no eixo
positivo dos x:
(R: W (1, x , x 2 ) = 2 , L.I.)
a)
1, x , x 2
b)
( x − 1) 2 , ( x + 1) 2 , x
c)
d)
e)
(R: W (( x − 1) 2 , ( x + 1) 2 , x ) = 0 , L.D.)
sin x , sin 2 x, sin 3x
(R: W (sin x ,sin 2 x ,sin 3x ) =
= −16 sin x cos 2 x sin 3x + 9 sin x sin 2 x cos 3x + 5 cos x sin 2 x sin 3x , L.I.)
1
1
x,
, 1 (R: W ( x ,
, 1) = 2 3 , L.I.)
x
x
x
2
2
cos x , sin x , cos 2 x (R: W (cos 2 x , sin 2 x , cos 2 x ) = 0 )
equações homogéneas de n-ésima ordem c/ coeficientes constantes
4.
Encontre uma equação y ( n ) + a n −1 y ( n −1) +...+ a1 y ′ + a 0 y = 0 para a qual as funções
dadas formam uma base:
5.
6.
7.
(R: y ′′′ − 6 y ′′ + 11y ′ − 6 y = 0 )
a)
e x , e 2 x , e 3x
b)
e x , xe x , x 2 e x
c)
e − x , xe − x , e x , xe x
(R: y IV − 2 y ′′ + y = 0 )
d)
1, x , cos 2 x , sin 2 x
(R: y IV + 4 y ′′ = 0 )
(R: y ′′′ − 3 y ′′ + 3 y ′ − y = 0 )
Encontre uma solução geral das seguintes equações diferenciais:
(R: y = c1 + c2 e − x + c3e x )
a)
y ′′′ − y ′ = 0
b)
y ′′′ − y ′′ − y ′ + y = 0
c)
y IV + 2 y ′′ + y = 0
d)
y IV − 81y = 0
(R: y = (c1 + c2 x )e x + c3e − x )
(R: y = ( A + Cx ) cos x + ( B + Dx ) sin x )
(R: y = c1e 3 x + c2 e −3 x + A cos 3x + B sin 3x )
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a)
y ′′′ = 0,
y (2) = 12,
y ′(2) = 16,
b)
y ′′′ − y ′′ − y ′ + y = 0,
c)
y ′′′ − 2 y ′′ − y ′ + 2 y = 0,
y ′′ (2) = 8
y (0) = 2,
y ′ (0) = 1,
y (0) = 3,
(R: y = 4 x 2 − 4 )
y ′′(0) = 0 (R: y = (2 − x )e x )
y ′ (0) = 0,
y ′′(0) = 3 (R: y = 3cosh x )
A redução de ordem aplica-se desde equações de segunda ordem até equações de
ordem superior. É particularmente simples no caso de coeficientes constantes, uma
vez que temos simplesmente que dividir a equação característica por λ − λ 1 , onde
y1 = e λ 1x é uma solução conhecida. Reduza e resolva as seguintes equações, usando
a função y1 dada:
13
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8.
9.
a)
y ′′′ − 2 y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 0,
b)
y ′′′ − 2 y ′′ − 7,25 y ′ − 3 y = 0,
(R: y = c1e x + c2 e −2 x + c3e 3 x )
y1 = e x
y1 = e 4 x
(R: y = c1e 4 x + c2 e
−x 2
+ c3e
−3x 2
)
Resolva as equações de Euler-Cauchy:
a)
x 3 y ′′′ + 2 x 2 y ′′ − 4 xy ′ + 4 y = 0
(R: y = c1 x + c2 x 2 + c3 x −2 )
b)
x 3 y ′′′ + 5x 2 y ′′ + 2 xy ′ − 2 y = 0
(R: y = c1 x + c2 x −1 + c3 x −2 )
A equação de Euler-Cauchy de terceira ordem é x 3 y ′′′ + ax 2 y ′′ + bxy ′ + cy = 0 .
Generalizando o método já estudado, mostre que y = x m é uma solução da equação
se
e
somente
se
é
m
uma
raíz
da
equação
auxiliar
m 3 + (a − 3)m 2 + (b − a + 2 )m + c = 0 .
coeficientes indeterminados
10.
11.
Encontre uma solução geral para as seguintes equações diferenciais:
(R: y = c1e x + c2 e − x + c3e −2 x + e 2 x )
a)
y ′′′ + 2 y ′′ − y ′ − 2 y = 12e 2 x
b)
y ′′′ − y ′ = 10 cos 2 x
c)
y ′′′ − 3 y ′′ + 3 y ′ − y = 12e x
d)
y ′′′ + 3 y ′′ + 3 y ′ + y = 16e x + x + 3
(R: y = c1 + c2 e − x + c3e x − sin 2 x )
(R: y = (c1 + c2 x + c3 x 2 )e x + 2 x 3e x )
(R: y = (c1 + c2 x + c3 x 2 )e − x + 2e x + x )
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a)
y IV − 5 y ′′ + 4 y = 10 cos x ,
y (0) = 2,
y ′ (0) = 0,
y ′′ (0) = 0,
y ′′′ (0) = 0
(R: y = cosh x + cos x )
b)
y ′′′ + y ′′ − 2 y = 2 x 2 + 2 x ,
y (0) = −1,
y ′ (0) = 0,
y ′′ (0) = −4
(R: y = e − x sin x − x 2 − x − 1)
c)
y IV + 10 y ′′ + 9 y = 2 sinh x ,
y (0) = 0,
y ′(0) = 4,1,
y ′′(0) = 0,
y ′′′ (0) = −27,9
(R: y = sin x + sin 3x + 0,1sinh x )
variação de parâmetros
12.
Encontre uma solução geral para as seguintes equações diferenciais:
1
a)
y ′′′ − 3 y ′′ + 3 y ′ − y = x 2 e x
b)
y ′′′ − 6 y ′′ + 11y ′ − 6 y = e 2 x sin x
(R: y = (c1 + c2 x + c3 x 2 +
8 72 x
x )e )
105
1
(R: y = c1e x + c2 e 2 x + c3e 3 x + e 2 x cos x )
2
14
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c)
y ′′′ + y ′ = sec x
(R: y = c1 + c2 cos x + c3 sin x + ln sec x + tan x − x cos x + sin x ln cos x )
(R: y = c1 x −1 + c2 + c3 x + x −1e x )
d)
xy ′′′ + 3y ′′ = e x
e)
x 3 y ′′′ + x 2 y ′′ − 2 xy ′ + 2 y = x −2
(R: y = c1 x −1 + c2 x + c3 x 2 −
15
1 −2
x )
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Capítulo IV - Transformadas de Laplace
EXERCÍCIOS
1.
Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções (a, b, T, ω e θ são
constantes):
a)
3t + 4
(R: F (s) =
b)
t 2 + at + b
c)
cos(ωt + θ )
3 4
+ )
s2 s
(R: F ( s) =
2 a b
+ + )
s3 s2 s
(R: F ( s) = ( s cosθ − ω sinθ ) / ( s 2 + ω 2 ) )
−1
⎡ ⎛ 2 ⎛ 2 nπ ⎞ 2 ⎞ ⎤
sin(2nπt / T )
(R: F ( s) = 2nπ ⎢T ⎜ s + ⎜
⎟ ⎟⎥ )
⎝ T ⎠ ⎠⎥
⎢⎣ ⎝
⎦
1
+ s / (2 s 2 + 8ω 2 ) )
cos2 ωt
(R: F ( s) =
2s
1
cos2 t
(R: F ( s) =
+ s / (2 s 2 + 8) )
2s
eb
e at +b
(R: F ( s) =
)
s−a
d)
e)
f)
g)
(R: F ( s ) =
sinh 2 2t
h)
[
]
1
s /( s 2 − 16) − 1 / s )
2
i)
f(t)
k
c
2.
t
(R: F ( s) = k (1 − e − cs ) / s )
Encontre f(t) se F ( s) = L( f ) é como se segue (a, b, etc, são constantes):
a)
5
s+3
(R: L−1 ( F ) = 5e −3t )
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b)
1
s + 25
c)
1
s4
d)
1
s( s + 1)
(R: L−1 ( F ) = 1 − e − t )
e)
9
s + 3s
(R: L−1 ( F ) = 3 − 3e −3t )
f)
2
1
+
s s+2
2
1
(R: L−1 ( F ) = sin 5t )
5
(R: L−1 ( F ) = t 3 / 6 )
2
(R: L−1 ( F ) = 2 + e −2 t )
transformadas de derivadas e integrais
(R: L(sin 2 t ) =
2
)
s( s + 4 )
3.
Seja f (t ) = sin 2 t . Encontre L( f )
4.
Utilizando L( f ′) = sL( f ) − f (0) ou L( f ′′) = s 2 L( f ) − sf (0) − f ′ (0) , encontre a
2
transformada L( f ) da função dada f (t ) :
5.
[
]
(R: L(cos 2 t ) = ( s 2 + 2) / s ( s 2 + 4) )
a)
cos2 t
b)
te at
c)
cosh 2 2t
d)
cos2 3t
(R: L(te at ) = ( s − a ) −2 )
[
]
(R: L(cosh 2 2t ) = ( s 2 − 8) / s ( s 2 − 16) )
[
]
(R: L(cos 2 3t ) = ( s 2 + 18) / s ( s 2 + 36) )
Utilizando os dois primeiros Teoremas referentes a Transformadas de Derivadas e
Integrais, deduza as seguintes transformadas que ocorrem em aplicaçıes
(relacionadas com ressonância, etc):
6.
a)
s2 − ω 2
L(t cosωt ) = 2
(s + ω 2 ) 2
b)
L(t cosh at ) =
s2 + a 2
(s2 − a 2 ) 2
Usando a fórmula L(t cosωt ) =
a)
s2 − ω 2
, mostre que:
(s 2 + ω 2 ) 2
⎞
⎛
1
1
⎟=
L−1 ⎜⎜ 2
(sin ωt − ωt cos ωt )
2 2 ⎟
3
⎝ ( s + ω ) ⎠ 2ω
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b)
7.
⎛
⎞
1
s2
L−1 ⎜ 2
(sin ωt + ωt cosωt )
2 2⎟ =
⎝ ( s + ω ) ⎠ 2ω
Aplicando o teorema que vimos em Transformada de Laplace do integral de uma
função, encontre f (t ) se L( f ) for igual a:
8.
a)
3
s +s
b)
4
s + 4s
c)
8
s − 4s 2
(R: f (t ) = sinh 2t − 2t )
d)
1
s − 2s3
(R: f (t ) = (e 2 t − 1 − 2t − 2t 2 ) / 8 )
e)
1 ⎛ s +1 ⎞
⎜
⎟
s2 ⎝ s2 +1⎠
(R: f (t ) = 3 − 3e − t )
2
(R: f (t ) = 1 − cos 2t )
3
4
4
(R: f (t ) = 1 + t − cos t − sin t )
Usando transformadas de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a)
y ′′ + 4 y = 0,
b)
y ′′ + ω 2 y = 0,
y(0) = 2, y ′ (0) = −8
y ′(0) = B
y (0) = A,
(R: y (t ) = A cosωt +
c)
y ′′ + 5 y ′ + 6 y = 0,
d)
y ′′ + 25 y = t ,
e)
y ′′ + ky ′ − 2 k 2 y = 0,
B
ω
(R: y(t ) = 2 cos 2t − 4 sin 2t )
(ω real ≠ 0)
sin ωt )
y (0) = 0,
y (0) = 1,
(R: y (t ) = e −2 t − e −3t )
y ′(0) = 1
y ′(0) = 0,04
y (0) = 2,
(R: y (t ) = cos 5t +
y ′(0) = 2 k
1
t)
25
(R: y (t ) = 2e kt )
Desvio s, Desvio t, função escalão unitário
9.
Encontre
a
anti-transformada
Laplace
f (t )
de
se 0 < t < 2
⎧2t
⎪
se 2 < t < π )
(R: f (t ) = ⎨0
⎪− cos t se
t >π
⎩
2 2e −2 s 4e −2 s se − πs
F ( s) = 2 − 2 −
+ 2
.
s
s
s
s +1
10.
de
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
a)
4,5te 3,5t
b)
e t sin t
(R: L(4,5te 3,5t ) = 4,5 / ( s − 3,5) 2 )
(R: L(e t sin t ) =
1
)
s − 2s + 2
2
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e − t sin(ωt + θ )
c)
[
]
(R: L(e − t sin(ωt + θ ) = (ω cosθ + ( s + 1) sin θ ) / ( s + 1) 2 + ω 2 )
1
(R: L(2t 3e − t / 2 ) = 12 / ( s + ) 4 )
2
d)
2t 3e − t / 2
e)
e −αt ( A cos βt + B sin βt )
[
]
(R: L(e −αt ( A cos βt + B sin βt )) = [ A( s + α ) + Bβ ] / ( s + α ) 2 + β 2 )
11.
12.
Encontre f (t ) se L( f ) é igual a:
a)
π
(s + π ) 2
b)
s−2
s − 4s + 5
(R: f (t ) = e 2t cos t )
c)
s
( s + 3) 2 + 1
(R: f (t ) = e −3t (cos t − 3 sin t ) )
d)
6
s − 4s − 5
(R: f (t ) = 2e 2 t sinh 3t )
(R: f (t ) = πte − πt )
2
2
Representando as funções hiperbólicas em termos de funções exponenciais e
aplicando o primeiro teorema do desvio, mostre que:
13.
a)
s3
L(cosh at cos at ) = 4
s + 4a 4
b)
a ( s 2 − 2a 2 )
L(sinh at cos at ) = 4
s + 4a 4
Represente as seguintes funções em termos de funções escalão unitário e encontre
as suas transformadas de Laplace:
a)
f(t)
k
0
a
b
t
(R: k (e − as − e − bs ) / s )
b)
f(t)
1
0
1 2 3 4 5
t
(R:
u(t ) − u(t − 1) + u(t − 2) − +..., s −1 (1 − e − s + e −2 s − +...) = s −1 (1 + e − s ) −1 )
19
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14.
15.
Esboçe as seguintes funções e encontre as suas transformadas de Laplace:
(R: L{(t − 1)u (t − 1)} =
a)
(t − 1)u(t − 1)
b)
(t − 1) 2 u(t − 1)
c)
1
e t u( t − )
2
d)
u(t − π ) cos t
{
e−s
)
s2
}
(R: L (t − 1) 2 u (t − 1) =
2e − s
)
s3
1
1 ⎫
−s
⎧
(R: L ⎨e t u (t − )⎬ = e 2 e 2 /( s − 1) )
2 ⎭
⎩
(R: L{u (t − π ) cos t} = − se −πs /( s 2 + 1) )
Em cada caso esboçe a função dada, que se assume ser zero fora do intervalo dado,
e encontre a sua transformada de Laplace:
t
b)
et
c)
t
d)
16.
(R: L = s −2 − s −2 e − s − s −1e − s )
(R: L = (1 − e1− s ) / ( s − 1) )
(0 < t < 1)
(0 < t < a)
2 cos πt
(R: L = s −2 − e − as ( s −2 + as −1 ) )
− 2 s ( e − s + e −2 s )
(R: L =
)
s2 + π 2
(1 < t < 2)
Encontre e esboçe as anti-transformadas de Laplace das seguintes funções:
a)
e −3 s / s 2
b)
3(e −4 s − e − s ) / s
c)
se − πs / (s 2 + 4)
d)
17.
(0 < t < 1)
a)
−s
e /s
4
(R: L−1 (e −3s / s 2 ) = (t − 3)u(t − 3) )
(R: L−1 (3(e −4 s − e − s ) / s ) = 3u (t − 4) − 3u (t − 1) )
(R: L−1 ( se − πs / ( s 2 + 4)) = cos(2t − π )u(t − π ) )
(t − 1) 3
(R: L (e / s ) =
u(t − 1) )
6
−1
−s
4
Utilizando transformadas de Laplace, resolva:
a)
y ′′ + 2 y ′ + 2 y = 0,
b)
4 y ′′ − 4 y ′ + 37 y = 0,
c)
y ′′ + 6 y ′ + 8 y = −e −3t + 3e −5t ,
y (0) = 0,
y ′ (0) = 1
y (0) = 3,
(R: y (t ) = e − t sin t )
y ′(0) = 1,5
y (0) = 4,
(R: y (t ) = 3e 0,5t cos 3t )
y ′(0) = −14
(R: y (t ) = e −2 t + e −3t + e −4t + e −5t )
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