UFS CCET DMA
Disciplina: Cálculo II
Professor: Almir Rogério Silva Santos
Período: 2011/2
Lista de Exercícios 6
1. Plote o ponto cujas coordenadas polares são dadas. Encontre dois pares de coordenadas
polares que representa este mesmo ponto, um com r < 0 e o outro com r > 0. Encontre as
coordenadas cartesianas do ponto.
b) (−2, π4 )
c) (3, 0)
a) (1, π2 )
√
5π
d) (2, − π7 ) e) (2 2, 3π
4 ) f) (−2, − 6 )
2. Dadas as coordenadas cartesianas de um ponto, encontre as coordenadas polares (r, θ) com
r > 0 e 0 ≤ θ < 2π , e com r < 0 e 0 ≤ θ < 2π .
√
√
a) (1, 1) b) (2 3, −2) c) (−2, 3) d) (−1, − 3)
3. Esboce a região do plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as
condições: −1 ≤ r ≤ 1 e π/4 ≤ θ ≤ 3π/4.
4. Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela equação polar.
a) r cos θ = 1 b) r2 = θ c) r2 = sin θ d) r =
1
1 + 2 sin θ
r = cossec θ
5. Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.
a) y = 5 b) 2xy = 1 c) x2 − y 2 d) x2 = 4y
6. Esboce a curva com a equação dada.
a) r = 2 cos 4θ b) r2 = 4 cos θ c) r2 = sin θ d) r = −3 cos θ e) r = 2 cos 3θ
f) r = sin 5θ
2
7. Esboce a curva (x2 + y 2 )3 = 4x2 y 2 .
8. Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
a) r = 3 cos θ b) r = 1 + cos θ c) r = cos θ + sin θ d) r = eθ e) r2 = sin 2θ
9. Mostre que as retas tangentes às curvas r = sin θ e r = cos θ são ortogonais no ponto de
interseção das curvas.
10. Encontre a área da região que é limitada pelas curvas dadas que está no setor especicado.
a) r =
√
θ, 0 ≤ θ ≤ π/4 b) r = eθ/2 ,
π ≤ θ ≤ 2π c) r =
1
√
sin θ, 0 ≤ θ ≤ π
11. Esboce a curva e calcule a área limitada por ela.
a) r = 4 − sin θ b) r = 3(1 + cos θ) c) r2 = 4 cos 2θ d) r = sin 3θ
12. Encontre a área da região dentro de um laço da curva.
a) r = sin 2θ b) r = 3 cos 5θ c) r = 4 sin θ d) r = 2 + 3 cos θ e) r = 1 + 2 sin θ
13. Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
a) r = 1 − cos θ, r = 3/2 b) r = 3 cos θ, r = 2 − cos θ c) r = 1 + cos θ, r = 3 cos θ
14. Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.
a) r = sin θ, r = cos θ b) r = 3 + 2 sin θ, r = 2 c) r = sin 2θ, r = cos 2θ
15. Calcule o comprimento da curva polar.
a) r = 5 cos θ, 0 ≤ θ ≤ 3π/4 b) r = 2θ , 0 ≤ θ ≤ 2π c) r = θ2 , 0 ≤ θ ≤ 2π d) r = 1 + cos θ
2