Questão 22
Questão 24
Dadas as funções f(x) = x2 + 2x + 1 e
g(x) = x − 1,
a) encontre a função composta (f o g) (x).
b) resolva a equação: (f o g) (y) = 0, onde
y = cos x.
Uma urna contém as letras: A, C, D, D, E, E,
F, I, I e L.
a) Se todas as letras forem retiradas da urna,
uma após a outra, sem reposição, calcule a
probabilidade de, na seqüência das retiradas,
ser formada a palavra FELICIDADE.
b) Se somente duas letras forem retiradas da
urna, uma após a outra, sem reposição, calcule a probabilidade de serem retiradas duas letras iguais.
Resposta
a) Como f(x) = x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2 ,
o g)(x) = f(g(x)) = f(x − 1) = ((x − 1)
b) (f o g)(y) = 0 ⇔ y 2 = 0 ⇔ y = 0
(f
+ 1) 2 = x 2 .
π
Assim, cos x = 0 ⇔ x =
+ kπ , k ∈ Z .
2
π
V = {x ∈ R | x =
+ kπ , k ∈ Z}
2
Questão 23
Seja V0 o volume inicial de um líquido volátil,
o qual diminui à taxa de 20% por hora.
a) Encontre a equação do volume V do líquido
em função do tempo.
b) Determine o valor aproximado do tempo
em que o volume se reduz à metade (dado:
log10 2 = 0,301).
Resposta
a) Como o líquido diminui à taxa de 20% por hora,
sendo t o número de horas transcorridas desde o
instante inicial, V(t) = V0 (1 − 0,20) t = V0 ⋅ (0,8) t .
b) Seja t o tempo em que o volume se reduz à
metade. Então
V
V
1
V(t) = 0 ⇔ V0 ⋅ (0,8) t = 0 ⇔ (0,8) t =
⇔
2
2
2
1
⇔ log (0,8) t = log
⇔
2
⇔ t ⋅ log (2 3 ⋅ 10 −1 ) = log 2 −1 ⇔
⇔t =
−log 2
−0,301
≅
≅ 3,1 horas.
3 ⋅ log 2 − 1
3 ⋅ 0,301 − 1
Resposta
a) O número de anagramas que se pode obter
com as letras A, C, D, D, E, E, F, I, I e L é igual a
10!
= 453 600.
2!2!2!
Logo a probabilidade de se obter a palavra
1
.
FELICIDADE é igual a
453 600
b) Como há 2 letras D, 2 letras E e 2 letras I, a
probabilidade de a primeira letra ser uma destas é
6
igual a
e a probabilidade de a segunda ser
10
1
. Logo a probabilidade pedida é
igual a ela é
9
6 1
1
.
⋅ =
10 9 15
Questão 25
Seja a expressão: f (x) = sen(2x) − cotg(x), considerando o conjunto dos reais.
5π
.
a) Encontre o valor de f (x) para x =
6
b) Resolva a equação: f (x) = 0.
Resposta
a) Como f(x) = sen(2x) − cotg x = sen(2x) −
5π
⎛ 5π ⎞
temos f ⎜
⎟=
⎝ 6 ⎠
6
1
π
1
⎛ 5π ⎞
= sen ⎜
+
=
= − sen
⎟−
⎝ 3 ⎠
3 tg π
⎛ 5π ⎞
tg ⎜
⎟
⎝ 6 ⎠
6
para x =
1
,
tg x
matemática 2
3
1
3
.
+
=
2
2
3
3
b) f(x) = 0 ⇔ sen(2x) − cotg x = 0 ⇔
cos x
=0⇔
⇔ 2 ⋅ sen x ⋅ cos x −
sen x
2 sen 2 x ⋅ cos x − cos x
⇔
=0⇔
sen x
cos x ⋅ (2 ⋅ sen 2 x − 1) = 0
⇔
⇔
sen x ≠ 0
=−
⇔ cos x = 0 ou sen x = ±
2
π
⇔x =
+ k ⋅ π ou
2
2
π k ⋅π
, k ∈ Z.
+
2
4
Assim,
π
π k ⋅π
⎧
⎫
V = ⎨x ∈R | x = + k ⋅ π ou x = +
, k ∈Z ⎬
2
4
2
⎩
⎭
x=