CADERNO DE MATEMÁTICA
NOVO ENEM (IV)
•Conhecimentos algébricos: gráficos e funções;
funções algébricas do 1.º e do 2.º graus,
polinomiais,
racionais,
exponenciais
e
logarítmicas; equações e inequações ; relações no
ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES
1. Plano Cartesiano
Esquema gráfico que divide o espaço em
quatro espaços, denominados quadrantes, através
de dois eixos: um vertical, o eixo das ordenadas
ou eixo dos y e um horizontal, o eixo das
abscissas ou eixo dos x.
É o conjunto especial formado por dois
elementos que não podem alterar suas posições
dentro dele, isso explica o nome par ordenado,
diferente daquilo que ocorre nos outros conjuntos.
Nos conjuntos:
{a,b} = {b,a}
No par ordenado:
(a,b)  (b,a), se a  b
Cada PAR ORDENADO determina, no plano
cartesiano, um único PONTO; onde o primeiro
elemento do par determina o valor de x e o
segundo valor determina o valor de y.
3. Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, não vazios,
designa-se A X B (lê-se A cartesiano B), o
conjunto formado por todos os pares ordenados
onde o primeiro elemento (x) pertença ao conjunto
A e o segundo elemento (y) pertença ao conjunto
B.
A  B   x; y  / x  A e y  B
n  A  B   n  A . n  B  ,
onde n  A  é o número de elementos de um
conjunto A.
Observe que o plano cartesiano pode ser
subdividido em quatro regiões, que são
denominadas Quadrantes. Temos então o
seguinte quadro resumo:
QUADRANTE
ABSCISSA
ORDENADA
1º quadrante
+
+
2º quadrante
-
+
3º quadrante
-
-
4º quadrante
+
-
Obs:
1) a equação do eixo Ox é y = 0 e do eixo Oy é x =
0.
2) o gráfico de y = x é uma reta denominada
bissetriz
do
primeiro
quadrante.
3) o gráfico de y = -x é uma reta denominada
bissetriz do segundo quadrante
2. Par Ordenado
RELAÇÃO BINÁRIA
4. Definição
Considerando dois conjuntos A e B , não
vazios, chamamos de relação binária de A em
B  R : A  B  qualquer subconjunto do produto
cartesiano A  B . Podemos representar uma
relação R por um diagrama de flechas. O conjunto
de elementos de x (de onde saem as flechas) é
chamado de DOMÍNIO e o conjuntos dos
elementos de y (onde chegam as flechas) é
chamado de CONTRADOMÍNIO. Os elementos do
contradomínio que são ligados a algum elemento
do domínio é chamado de CONJUNTO-IMAGEM.

OBSERVAÇÃO
Observe que sempre o conjunto imagem é
um subconjunto do contradomínio Im  CD .
FUNÇÃO
5. Definição
Toda função é uma relação onde cada
elemento do Domínio possui uma única imagem
no Contradomínio. Assim uma função seria uma
Relação Perfeita do lado do Domínio, de onde
deve partir uma única flecha de cada elemento.
Assim seriam funções os exemplos a seguir:
As definições de Domínio, Contradomínio e
de Imagem são as mesmas que utilizamos em
Relações.
As funções são ditas de A em B  f : A  B 
quando associam valores de x que pertencem ao
conjunto A com valores de y que pertencem ao
conjunto B .
6. Lei de formação e valor numérico de uma
função
Cada função possui uma “lei de formação”, ou
seja, uma relação entre os valores de x e de y que
torna possível encontrar os pares ordenados que
fazem parte da função.
O valor numérico de uma função seria o valor
que a função assume quando substituímos x por
um determinado valor.
7. Gráfico de uma função
O gráfico de uma função é o conjunto de
pares ordenados x; y que satisfazem à lei de
formação da função. Por enquanto, iremos nos
ater a apenas interpretar os gráficos das funções,
ainda não nos preocupando em como construílos.


Assim, por exemplo, sendo dado o gráfico
cartesiano de uma função f, podemos dizer que:
a ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá
o
domínio
da
função
.
b ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá
o
conjunto
imagem
da
função
.
c ) toda reta vertical que passa por um ponto do
domínio da função , intercepta o gráfico da função
em no máximo um ponto .
Por exemplo:
b) Função Decrescente
Uma função é dita decrescente em um
intervalo a; b quando aumentamos o valor de x
dentro desse intervalo e a função diminui seu
valor.
ATIVIDADES (REVISÃO)
Texto para as questões 1 e 2.
8. Raízes ou zeros de uma função
f x  são os
valores de “ x ” que tornam f x   0 . Ou seja, se
um valor “ a ” é raiz de uma função f  x  ,
podemos dizer que f a   0 .
(ENEM) No quadro abaixo estão as contas de luz
e água de uma mesma residência. Além do valor a
pagar, cada conta mostra como calculá-lo, em
3
função do consumo de água (em m ) e de
eletricidade (em kwh). Observe que, na conta de
luz, o valor a pagar é igual ao consumo
multiplicado por um certo fator. Já na conta de
água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas
de tarifação.
As raízes de uma função
Graficamente podemos dizer que as raízes
são os pontos do gráfico que estão sobre o eixo
das abscissas.
01. Suponha que, no próximo mês, dobre o
consumo de energia elétrica dessa residência. O
novo valor da conta será de:
9. Função Crescente e Decrescente
a) Função Crescente
a; b
Uma função é dita crescente em um intervalo
quando aumentamos o valor de x dentro
desse intervalo e a função aumenta seu valor.
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 55,20.
R$ 106,46.
R$ 802,00.
R$ 100,00.
R$ 22,90.
02. Suponha agora que dobre o consumo d’água.
O novo valor da conta será de:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 22,90.
R$ 106,46.
R$ 43,82.
R$ 17,40.
R$ 22,52.
03. (ENEM) A tabela compara o consumo mensal,
em kWh, dos consumidores residenciais e dos de
baixa renda, antes e depois da redução da tarifa
de energia no estado de Pernambuco.
janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e
assim por diante, a expressão algébrica que
relaciona essas quantidades nesses meses é
a)
b)
c)
d)
e)
y = 4 300x
y = 884905x
y = 872 005 + 4 300x
y = 876 305 + 4 300x
y = 880 605 + 4 300x
05. (ENEM) Uma indústria fabrica um único tipo de
produto e sempre vende tudo o que produz. O
custo total para fabricar uma quantidade q de
produtos é dado por uma função, simbolizada por
CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém
com a venda da quantidade q também é uma
função, simbolizada por FT. O lucro total (LT)
obtido pela venda da quantidade q de produtos
édado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q).
Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) =
2q + 12 como faturamento e custo, qual a
quantidade mínima de produtos que a indústria
terá de fabricar para não ter prejuízo?
Diário de Pernambuco. 28 abr. 2010 (adaptado).
Considere dois consumidores: um que é de baixa
renda e gastou 100 kWh e outro do tipo
residencial que gastou 185 kWh. A diferença entre
o gasto desses consumidores com 1 kWh, depois
da redução da tarifa de energia, mais aproximada,
é de
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 0,27.
R$ 0,29.
R$ 0,32.
R$ 0,34.
R$ 0,61.
04. (ENEM) O saldo de contratações no mercado
formal no setor varejista da região metropolitana
de São Paulo registrou alta. Comparando as
contratações deste setor no mês de fevereiro com
as de janeiro deste ano, houve incremento de
4300 vagas no setor, totalizando 880605
trabalhadores com carteira assinada.
Disponível
em:
http://www.folha.uol.com.br.
Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).
Suponha que o incremento de trabalhadores no
setor varejista seja sempre o mesmo nos seis
primeiros meses do ano.Considerando-se que y e
x representam, respectivamente, as quantidades
de trabalhadores no setor varejista e os meses,
a)
b)
c)
d)
e)
0
1
3
4
5
06. (ENEM) O prefeito de uma cidade deseja
construir uma rodovia para dar acesso a outro
município. Para isso, foi aberta uma licitação na
qual concorreram duas empresas. A primeira
cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n),
acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00,
enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por
km construído (n), acrescidos de um valor fixo de
R$ 150.000,00. As duas empresas apresentam o
mesmo padrão de qualidade dos serviços
prestados, mas apenas uma delas poderá ser
contratada. Do ponto de vista econômico, qual
equação possibilitaria encontrar a extensão da
rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura
escolher
qualquer
uma
das
propostas
apresentadas?
a)
b)
c)
d)
e)
100n + 350 = 120n + 150
100n + 150 = 120n + 350
100(n + 350) = 120(n + 150)
100(n + 350.000) = 120(n + 150.000)
350(n + 100.000) = 150(n + 120.000)
07. Uma fecularia (empresa que produz farinha de
milho, mandioca etc.) compõe os seus preços por
duas funções: a primeira, dos custos e
manipulação da matéria-prima, dada por f(x) = 3x 1, onde x é a quantidade de produto; a segunda,
g(x) = 2x + 2, que diz respeito ao processamento,
embalagem e entrega às revendas. Ou seja, o
custo total é composto pelos custos e
manipulação da matéria-prima. Nessas condições,
qual o preço de venda de uma unidade?
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 5,00
R$ 6,00
R$ 7,00
R$ 8,00
R$ 9,00
08. (ENEM) Uma empresa de telefonia fixa
oferece dois planos aos seus clientes: no plano K,
o cliente paga R$ 29,90 por 200 minutos mensais
e R$ 0,20 por cada minuto excedente; no plano Z,
paga R$ 49,90 por 300 minutos mensais e R$
0,10 por cada minuto excedente. O gráfico que
representa o valor pago, em reais, nos dois planos
em função dos minutos utilizados é
a)
d)
e)
09. (ENEM) O termo agronegócio não se refere
apenas à agricultura e à pecuária, pois as
atividades ligadas a essa produção incluem
fornecedores de equipamentos, serviços para a
zona rural, industrialização e comercialização dos
produtos.
O gráfico seguinte mostra a participação
percentual do agronegócio no PIB brasileiro:
b)
Centro de Estudos Avançados em Economia
Aplicada (CEPEA). Almanaque abril 2010. São
Paulo: Abril, ano 36 (adaptado).
c)
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o
orador ressaltou uma queda da participação do
agronegócio no PIB brasileiro e a posterior
recuperação dessa participação, em termos
percentuais.
Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu
entre os anos de
a)
b)
c)
d)
e)
1998 e 2001.
2001 e 2003.
2003 e 2006.
2003 e 2007.
2003 e 2008.
10. (ENEM) Para conseguir chegar a um número
recorde de produção de ovos de Páscoa, as
empresas brasileiras começam a se planejar para
esse período com um ano de antecedência. O
gráfico a seguir mostra o número de ovos de
Páscoa produzidos no Brasil no período de 2005 a
2009.
d) 220
e) 300
12. (UCSal-BA) Um restaurante cobra de seus
clientes um preço fixo por pessoa: R$ 15,00 no
almoço e R$ 12,00 no jantar. Certo dia, dos 120
clientes que compareceram a esse restaurante, x
foram atendidos no jantar. Se foram gastos R$
6,00 no preparo de cada refeição, a expressão
que define o lucro L, em reais, obtido nesse dia,
em função de x é:
a)
b)
c)
d)
e)
L(x) = 120x - 720
L(x) = 1440x - 720
L(x) =- 6x + 1440
L(x) =- 4x + 720
L(x) =- 3x + 1080
Revista Veja, São Paulo: Abril, ed. 2107, nº14,
ano 42.
13. (ENEM) Existem muitas diferenças entre as
culturas crista e islâmica. Uma das principais diz
respeito ao Calendário. Enquanto o Calendário
Cristão (Gregoriano) considera um ano como o
período correspondente ao movimento de
translação da Terra em torno do Sol aproximadamente 365 dias, o Calendário
Muçulmano se baseia nos movimentos de
translação da Lua em torno da Terra aproximadamente 12 por ano, o que corresponde
a anos intercalados de 254 e 255 dias.
Considerando que o Calendário Muçulmano teve
inicio em 622 da era crista e que cada 33 anos
muçulmanos correspondem a 32 anos cristãos, é
possível estabelecer uma correspondência
aproximada de anos entre os dois calendários,
dada por: (C = Anos Cristãos e M = Anos
Muçulmanos)
De acordo com o gráfico, o biênio que apresentou
maior produção acumulada foi
a) C  M  622  
a)
b)
c)
d)
e)
b) C  M  622   C 
2004-2005.
2005-2006.
2006-2007.
2007-2008.
2008-2009.
M 
.
 33 


622 
.
32 
M 
.
 33 
c) C  M  622  
11. Um laboratório testou a ação de uma droga
em amostra de 720 frangos. Constatou-se que a
lei de sobrevivência do lote de frangos era dada
pela relação v(t )  at 2  b , onde v(t) é o número
de elementos vivos no tempo t(meses). Sabendose que o último frango morreu quando t = 12
meses após o início da experiência, a quantidade
de frangos que ainda estava viva no 10º mês é
a) 80
b) 100
c) 120


d) C  M  622   C 
622 
.
33 
M 
.
 32 
e) C  M  622  
14. Em um jornal de circulação nacional foi
publicada uma pesquisa, realizada no Brasil, com
os percentuais, em função do ano, de famílias
compostas por pai, mãe e filhos, chamadas
famílias nucleares, e de famílias resultantes de
processos de separação ou divórcio, chamadas
novas famílias. Sabendo-se que os gráficos
abaixo representam, a partir de 1987, a variação
percentual desses dois tipos de família, com suas
respectivas projeções para anos futuros, é correto
afirmar:
Pode-se concluir, então, que:
a) A arrecadação da Receita Federal, de janeiro
asetembro de 2007, foi crescente.
b) Em setembro de 2007, a Receita Federal
arrecadou 10% a mais do que foi arrecadado
em setembro de 2006.
c) A arrecadação de setembro de 2007 foi
11,14% maior que a de janeiro de 2007.
d) Em 2007, a arrecadação foi crescente nos
períodos de fevereiro a abril, e de maio a
agosto.
e) No período de julho a setembro de 2007, a
arrecadação
da
Receita
Federal
foi
decrescente.
16. A tabela abaixo mostra a evolução da área
plantada e a produção de cana-de-açúcar no
estado de Goiás, nas safras de 2001/2002 a
2008/2009.
a) No ano 2030, o número de novas famílias será
igual ao de famílias nucleares.
b) No ano 2030, o número de novas famílias será
menor do que o de famílias nucleares.
c) No ano 2030, o número de novas famílias será
maior do que o de famílias nucleares.
d) No ano 2015, o número de novas famílias será
igual ao de famílias nucleares.
e) No ano 2012, o número de famílias nucleares
será menor do que a de novas famílias.
15. “Receita bate novo recorde e acumula alta de
quase 10%.” Esta foi a manchete dos jornalistas
Fabio Graner e Gustavo Freire para O Estado de
S. Paulo de 19 de outubro de 2007. O corpo da
matéria, ilustrada pelo gráfico abaixo, informava
que “a arrecadação da Receita Federal em
setembro totalizou R$ 48,48 bilhões, um recorde
para o mês. De janeiro a setembro ficou em R$
429,97 bilhões que, corrigidos pela inflação,
somam R$ 435,01 bilhões, com crescimento de
9,94% ante o mesmo período de 2006. O
secretário adjunto da Receita Federal destacou
que, de janeiro a setembro, a expansão das
receitas,na comparação com igual período de
2006, foi de 11,14%”.
Evolução da cana de açúcar no Estado de
Goiás
Safra
Área
(ha)
plantada
01/02
129.921
10.253.497
02/03
203.865
11.674.140
03/04
168.007
12.907.592
04/05
176.328
14.001.079
05/06
200.048
15.642.125
06/07
237.547
19.049.550
07/08
281.800
20.800.000
08/09
339.200
33.100.000*
Produção (ton.)
*
Fonte:IBGE.<www.igbe.gov.br>.
estimativa
Analisando os dados apresentados, pode-se
concluir que o gráfico que representa a
produtividade média por hectare de cana-deaçúcar no período considerado é:
a
)
depois o gráfico II, onde pretende justificar um
grande aumento na oferta de linhas. O fato é que,
no período considerado, foram instaladas,
efetivamente, 200 novas linhas telefônicas.
b
)
c
)
Analisando os gráficos, pode-se concluir que:
d
)
e
)
17. (ENEM) Para convencer a população local da
ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na
expansão da oferta de linhas, um político publicou
no jornal local o gráfico I, abaixo representado. A
Companhia Vilatel respondeu publicando dias
a) o gráfico II representa um crescimento real
maior do que o do gráfico I.
b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo
o II incorreto.
c) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo
o gráfico I incorreto.
d) a aparente diferença de crescimento nos dois
gráficos decorre da escolha das diferentes
escalas.
e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam
escalas diferentes.
18. (Uepa) No processo de geração de um sinal
de vídeo por meio dos sensores CCD/CMOS,
quanto maior a quantidade de luz recebida por um
determinado pixel, mais intensa a corrente elétrica
gerada
(efeito
fotoelétrico
na
superfície
fotossensível do pixel) e, portanto, maior a carga
concentrada
nos
acumuladores
individuais
associados a cada pixel. Em outras palavras,
quanto maior a luminosidade maior será a
corrente gerada. Essa relação no sensor é sempre
diretamente proporcional. O gráfico abaixo que
melhor representa a relação da luminosidade com
a voltagem é:
Fonte:
Texto
adaptado
www.fazendovideo.com.br/vtsin3.asp
de
mícrons (1 mícron = 1 milésimo de milímetro) em
função da idade da obsidiana.
a)
b)
Com base no gráfico, pode-se concluir que a
espessura da camada hidratada de uma
obsidiana.
c)
d)
a) é diretamente proporcional à sua idade.
b) dobra a cada 10 000 anos.
c) aumenta mais rapidamente quando a pedra é
mais jovem.
d) aumenta mais rapidamente quando a pedra é
mais velha.
e) a partir de 100 000 anos não aumenta mais.
20. Os raios ultravioleta B, abreviados por UVB,
atingem camadas mais profundas da pele e
causam, além da vermelhidão, a inibição da
síntese de proteínas, das mitoses e várias outras
alterações celulares. Esses raios são parcialmente
bloqueados pela camada de ozônio; no entanto,
com a diminuição dessa camada, a penetração
dos raios UVB tem aumentado, o que gera uma
elevação potencial da incidência de câncer de
pele.
e)
19. A obsidiana é uma pedra de origem vulcânica
que, em contato com a umidade do ar, fixa água
em sua superfície formando uma camada
hidratada. A espessura da camada hidratada
aumenta de acordo com o tempo de permanência
no ar, propriedade que pode ser utilizada para
medir sua idade. O gráfico ao lado mostra como
varia a espessura da camada hidratada, em
O tempo que se pode ficar exposto ao Sol sem
sofrer queimaduras causadas por radiação
ultravioleta pode ser calculado com base no fator
de proteção solar (FPS), que é utilizado para a
classificação dos filtros solares.
O coeficiente de eficiência E (x) de um creme
protetor é dado por E ( x)  1 
1
, sendo x o fator
x
de proteção solar (FPS) do creme. Camila quer
um creme protetor cujo coeficiente de eficiência
seja 12% maior do que o de um creme com FPS
igual a 8. Ela deve, portanto, adquirir um creme
protetor com FPS igual a
a)
b)
c)
d)
e)
c)
30
35
40
45
50
d)
21. (ENEM) Acompanhando o crescimento do
filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a
variação da sua altura se dava de forma mais
rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17
anos, essa variação passava a ser cada vez
menor, até se tornar imperceptível. Para ilustrar
essa situação, esse casal fez gráfico relacionando
as alturas do filho nas idades consideradas.
Que gráfico melhor representa a altura do filho
desse casal em função da idade?
e)
a)
22. (ENEM) Embora o Índice de massa Corporal
(IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda
inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de
normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice
Ponderal (RIP), de acordo com o modelo
alométrico, possui uma melhor fundamentação
matemática, já que a massa é uma variável de
dimensões cúbicas e a altura, uma variável de
dimensões lineares.
As fórmulas que determinam esses índices são:
b)
ARAUJO, C.G.S.: RICARDO, D. R. Índice de
Massa Corporal: Um QuestionamentoCientífico
Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia,
volume 79, nº 1, 2002 (adaptado).
Se uma menina com 64 kg de massa, apresenta
IMC igual a 25 kg/m², então ela possui RIP igual a
a)
b)
c)
d)
1/3
0,4 cm/kg .
1/3
2,5 cm/kg .
1/3
8 cm/kg .
1/3
20 cm/kg .
f x  3
1/3
e) 40 cm/kg .
23. O valor de uma encadernação, em geral,
depende do número de páginas do material a ser
encadernado. Para indicar aos seus usuários o
valor de uma encadernação simples em função do
número de páginas (no máximo1 000 páginas),
uma determinada papelaria fixou num painel a
seguinte representação gráfica:
f (x)  2
2. Gráfico
O gráfico de uma função constante é uma reta
horizontal.
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
1. Definição
Paula vai encadernar 4 apostilas nessa papelaria:
a primeira com 180 páginas, a segunda com 212,
a terceira com 390 e a quarta com 750. Com base
nos valores em reais, fixados no painel, Paula vai
gastar, para encadernar as 4 apostilas:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 15,50
R$ 15,00
R$ 14,00
R$ 12,00
R$ 11,50
A função do 1º grau tem a forma y  ax  b ou
f  x   ax  b , com a  0 .
EXEMPLO:
y  2x  20
1
f ( x)   x  2
3
 OBSERVAÇÃO
a  coeficiente angular

b  coeficiente linear
GABARITO
01-B
07-B
13-A
19-C
02-C
08-D
14-C
20-E
03-B
09-C
15-E
21-A
04-C
10-E
16-C
22-E
05-D
11-D
17-D
23-B
06-A
12-E
18-C
2. Tipos de Função do 1º grau
a) Afim: é outro nome para a função de 1º grau.
A função afim também tem a forma
f  x   ax  b com a  0 .
b) Linear: tem a forma f  x   ax , com a  0 , ou
seja, b  0 . Toda função linear passa pela
origem, o ponto  0;0  .
c) Identidade: é uma função linear especial que
associa o x ao próprio x. É a função f  x   x .

FUNÇÃO CONSTANTE
A função identidade
quadrantes ímpares.
1. Definição
A função constante tem a forma f  x   k , onde
k R .
EXEMPLO:
3. Gráfico
é
a
bissetriz
dos
3.1. Construção do gráfico de uma função do 1º
grau
Para construirmos o gráfico de uma função do
1º grau basta sabermos dois pontos (pares
ordenados) que fazem parte da função. Para isso,
atribuímos valores aleatórios à x e encontramos o
valor de y associado.
 OBSERVAÇÕES

a  0  função crescente
f  x   ax  b 
.
a  0  função decrescente
Função decrescente
Função crescente
pertencerá à segunda. Já se as retas forem
paralelas distintas (apenas mesmo coeficiente
angular) não existirá ponto de encontro entre
elas duas.
 Para calcular o ponto de encontro do gráfico
de
qualquer
função
com
os
eixos
coordenados, basta tornar x  0 (para
encontrar o ponto do eixo y ) ou y  0 (para
encontrar o ponto do eixo x ).
3. Inequações de 1º grau
Resolver uma inequação de 1º grau é
extremamente similar à resolver uma equação de 1º
grau, porém devemos tomar o cuidado de que, ao
multiplicarmos uma inequação por –1 devemos
inverter o sinal da desigualdade.
Exercício de Aula
03) Resolva as inequações:
a) 3x  8  2 x  3
3.2. Determinação da função através do seu
gráfico
b)
 2x  8  x  4
4.
Sistema de Inequações de 1º grau
Um sistema de inequações é formado por duas
ou mais inequações.
Exercício de Aula
EXEMPLO:
01) Encontre a função que determina o gráfico
abaixo:
04) Resolva
o
sistema
de
inequações
4 x  1  2 x  3
.

3x  3  4 x  4
5.
Inequações Simultâneas
Dizemos que uma inequação é simultânea
quando existe mais de um sinal de desigualdade
nela.
02) Encontre a função que passa pelos pontos
 1;2 e 2;8  .
Exercício de Aula
05) Resolva  1  2 x  3 
x.
3.3. Ponto de intersecção de gráficos
 OBSERVAÇÃO
 Inequações do tipo c  ax  b  d podem ser
resolvidas de uma maneira mais rápida.
Para calcular o ponto de encontro entre os
gráficos de duas funções f  x  e g  x  quaisquer,
Exercício de Aula
06) Resolva  3  2 x  1  8 .
basta resolver a equação f  x   g  x  .
 OBSERVAÇÕES
 Se as retas forem paralelas coincidentes
(mesmos coeficientes angular e linear), todo
ponto que pertence à primeira também
6.
Inequação Produto
Devemos esboçar o sinal de cada um dos
fatores multiplicantes e, ao final, fazer o produto dos
sinais obtidos através de um quadro de sinais.
Exercício de Aula
07) Resolva a inequação
7.
x  2 2x  4  0 .
Inequação Quociente
O procedimento é análogo ao da inequação
produto, lembrando que devemos excluir os valores
de x que anulam o denominador.
Exercício de Aula
08) Resolva a inequação
8.
 x  12 x  4  0 .
 2x  3
Inequações com termos do tipo (ax + b)n
Devemos
observar
que,
aparecendo
inequações produto ou quociente com números
naturais elevados devemos fazer um raciocínio
análogo ao anterior, porém devemos lembrar que:


Todo número elevado à expoente par se torna
positivo.
Todo número elevado à expoente ímpar não
muda seu sinal.
Exercício de Aula
09) Resolva a inequação
x  24  x  35  0
2 x  1100
ATIVIDADES
01. A figura abaixo representa o boleto de
cobrança da mensalidade de uma escola,
referente ao mês de junho de 2008.
a)
b)
c)
d)
e)
M(x) = 500 + 0,4x.
M(x) = 500 + 10x.
M(x) = 510 + 0,4x.
M(x) = 510 + 40x.
M(x) = 500 + 10,4x.
02. Newton quer imprimir folhetos com a
propaganda de sua empresa. Na gráfica A, o
custo para a montagem deste folheto é de R$
120,00 e o valor da impressão por unidade é R$
0,20. A gráfica B cobra R$ 80,00 para a
montagem e R$ 0,25 para impressão de cada
unidade.
Após análise cuidadosa, Newton
concluiu que:
a) é vantagem fazer a encomenda na gráfica B
para qualquer quantidade de folhetos.
b) a gráfica A oferece um custo menor que a B
para um número de folhetos menor que 800.
c) se encomendar 1.000 folhetos da gráfica B, irá
gastar R$ 320,00.
d) se desejar 1.000 folhetos gastará menos se
encomendar da empresa A.
e) para a quantidade de 800 folhetos, o custo de
qualquer das empresas é igual a R$ 290,00.
03. (ENEM) Uma empresa produz jogos
pedagógicos para jogadores, com custos fixos de
R$ 1.000,00 e custos variáveis de R$ 100,00 por
unidade de jogo produzida. Desse modo, o custo
total para x jogos produzidos é dado por C(x) =1 +
0,1x (em R$ 1.000,00). A gerência de empresa
determina que o preço de venda do produto seja
de R$ 700,00. Com isso a receita bruta para x
jogos é dada por R(x) = 0,7x (em R$ 1.000,00). O
lucro líquido, obtido pela venda de x unidades de
jogos, é calculado pela diferença entre receita
bruta e os custos totais. O gráfico abaixo que
modela corretamente o lucro líquido dessa
empresa, quando são produzidos x jogos, é
a)
Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser
paga, em que x é o número de dias em atraso,
então
selos de modo que fossem postados exatamente
500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade
restante de selos que permitisse o envio do
máximo possível de folhetos do primeiro tipo.
b)
Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?
a)
b)
c)
d)
e)
c)
476
675
923
965
1538
05. O gráfico modela a distância percorrida, em
km, por uma pessoa em certo período de tempo. A
escala de tempo a ser adotada para o eixo das
abscissas depende da maneira como essa pessoa
se desloca. Qual é a opção que apresenta a
melhor associação entre meio ou forma de
locomoção e unidade de tempo, quando são
percorridos 10 km?
d)
a)
b)
c)
d)
e)
e)
04- (ENEM) Uma escola recebeu do governo uma
verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de
folhetos pelo correio. O diretor da escola
pesquisou que tipos de selos deveriam ser
utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de
folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto
para folhetos do segundo tipo seriam necessários
três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de
R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem
carroça – semana
carro – dia
caminhada – hora
bicicleta – minuto
avião – segundo
06. (ENEM) Diante de um sanduíche e de uma
porção de batatas fritas, um garoto, muito
interessado na quantidade de calorias que pode
ingerir em cada refeição, analisa os dados de que
dispõe. Ele sabe que a porção de batatas tem 200
g, o que equivale a 560 calorias, e que o
sanduíche tem 250 g e 500 calorias. Como ele
deseja comer um pouco do sanduíche e um pouco
das batatas, ele se vê diante de uma questão:
"quantos gramas de sanduíche e quantos gramas
de batata eu posso comer para ingerir apenas as
462 calorias permitidas para esta refeição?"
Considerando
que x e y representam,
respectivamente, em gramas, as quantidades do
sanduíche e das batatas que o garoto pode
ingerir, assinale a alternativa correspondente à
expressão algébrica que relaciona corretamente
essas quantidades.
a) 2x + 2,8y = 462
b)
c)
d)
e)
2,8x + 2y =462
1,8x + 2,3y = 1.060
(1/2)x + 0,4y = 462
0,4x –(1/2)y = 462
07. Uma pousada oferece pacotes promocionais
para atrair casais a se hospedarem por até oito
dias. A hospedagem seria em apartamento de
luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$
150,00, preço da diária fora da promoção. Nos
três dias seguintes, seria aplicada uma redução no
valor da diária, cuja taxa média de variação, a
cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias
restantes, seria mantido o preço do sexto dia.
Nessas condições, um modelo para a promoção
idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no
qual o valor da diária é função do tempo medido
em número de dias.
De acordo com os dados e com o modelo,
comparando o preço que um casal pagaria pela
hospedagem por sete dias fora da promoção, um
casal que adquirir o pacote promocional por oito
dias fará uma economia de
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 90,00.
R$ 110,00.
R$ 130,00.
R$ 150,00.
R$ 170,00.
08.
Uma
empresa
fabrica
componentes
eletrônicos; quando são produzidas 1000
unidades por mês, o custo de produção é R$
35000,00. Quando são fabricadas 2000 unidades
por mês, o custo é R$65000,00. Admitindo que o
custo mensal seja uma função polinomial de 1º
grau em termo do número de unidades
produzidas, podemos afirmar que o custo (em
reais) de produção de 0 (zero) unidade é:
a)
b)
c)
d)
e)
1000
2000
5000
3000
4000
09. Com duas torneiras A e B, abertas
simultaneamente, consegue-se encher um tanque
de água em 6 minutos. Encher esse tanque com a
torneira A aberta e a torneira B fechada demora 5
minutos a mais do que com a torneira A fechada e
a torneira B aberta. O tempo necessário para
encher o tanque abrindo apenas a torneira A é:
a)
b)
c)
d)
e)
15 minutos
15 minutos e 30 segundos
16 minutos
16 minutos e 30 segundos
18 minutos
10. Um camponês adquire um moinho ao preço de
R$ 860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma
depreciação linear no preço desse equipamento.
Considere que, em 6 anos, o preço do moinho
será de R$ 500,00. Com base nessas
informações, é correto afirmar:
a) Em três anos, o moinho valerá 50% do preço
de compra.
b) Em nove anos, o preço do moinho será um
múltiplo de nove.
c) É necessário um investimento maior que R$
450,00 para comprar esse equipamento após
sete anos.
d) Serão necessários 10 anos para que o valor
desse equipamento seja inferior a R$ 200,00.
e) O moinho terá valor de venda ainda que tenha
decorrido 13 anos.
11. Uma das regras existentes para o cálculo da
dosagem de medicação em crianças de até 12
anos, conhecida a dosagem média para adultos, é
 x 
  D , em
 x  12 
a regra de Young, dada por d  
que d indica a dosagem para a criança, D indica a
dose média para adulto e x, a idade da criança,
em anos. Um pediatra aplicou a regra de Young
para obter a dosagem de um medicamento a uma
criança atendida em seu consultório e obteve-se a
dosagem exata de 6 mg. Sabendo-se que, para
adultos, a dosagem média desse medicamento é
de 30 mg, a idade (em anos) dessa criança é:
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
4
6
7
12. Numa farmácia de manipulação, fez-se uma
mistura de x mg de um produto P e 40 mg de um
outro produto. Com essa mistura, obteve-se uma
quantidade, em mg, maior que o triplo da
quantidade usada do produto P. Com base nessas
informações, pode-se concluir que, em mg,
a)
b)
c)
d)
e)
0 < x < 20
x = 20
20 < x < 40
40 < x < 120
x > 120
13. O anúncio colocado em uma placa informa
que, durante as férias, as bicicletas serão
alugadas mediante o pagamento de uma taxa fixa
de R$ 3,50, acrescida de R$ 1,25 por hora de
aluguel. A fim de determinar por quanto tempo(t)
uma pessoa pode alugar uma bicicleta, dispondo
de R$ 20,00, pode-se recorrer à equação:
a)
b)
c)
d)
e)
1,25 + 3,50 t = 20,00
1,25 t – 16,50 = 0
4,75 t – 20,00 = 0
1,25 t = 18,75
3,50 t = 16,50
14. Paulo é fabricante de brinquedos e
produzdeterminado tipo de carrinho. A figura
abaixo mostra os gráficos das funções custo total
e receita, considerando a produção e venda de x
carrinhos fabricados na empresa de Paulo.
Existem custos tais como: aluguel, folha de
pagamentodos empregados e outros, cuja soma
denominamos custo fixo, que não depende da
quantidade produzida, enquanto a parcela do
custo que depende da quantidade produzida,
chamamos de custo variável. A função custo total
é a soma do custo fixo com o custo variável. Na
empresa de Paulo, o custo fixo de produção de
carrinhos é:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 2.600,00
R$ 2.800,00
R$ 2.400,00
R$ 1.800,00
R$ 1.000,00
15. O preço total cobrado por um eletricista A
inclui uma parte fixa, referente à visita, e outra que
depende da quantidade de metros de fio utilizada
no serviço. O gráfico abaixo apresenta o valor do
serviço efetuado pelo eletricista A em função do
número de metros de fio utilizados. O preço
cobrado por um outro eletricista B depende
unicamente do número de metros de fio utilizado,
não sendo cobrada a visita.
O preço do serviço é de R$ 3,50 por metro de fio
utilizado.
Com base no exposto, está correta a afirmação da
alternativa:
a) Se forem utilizados 40 metros de fio, o preço
cobrado pelos eletricistas A e B será o mesmo.
b) O eletricista A cobra R$ 2,50 por metro de fio
utilizado.
c) A parte fixa cobrada pelo eletricista A é de R$
30,00.
d) Por 50 m de fio, o eletricista A cobrará R$
190,00.
e) Sendo necessários 60 metros de fio, convém
contratar o eletricista B.
16. Paulo comprou um automóvel flex que pode
ser abastecido com álcool ou com gasolina. O
manual da montadora informa que o consumo
médio do veículo é de 8 km por litro de álcool ou
12 km por litro de gasolina e recomenda que, em
hipótese alguma, o usuário utilize uma mistura dos
dois combustíveis, sob pena de suspender a
garantia.
Considerando que Paulo respeite a recomendação
do fabricante e que os preços por litro de álcool e
de gasolina sejam, respectivamente, x e y reais,
autilização de gasolina será economicamente
mais vantajosa quando:
a)
x
1
y
b)
x
 0,5
y
c)
y
 1,5
x
d)
y
 1,6
x
x
 0,6
e)
y
17. Um carro bicombustível percorre 8 km com um
litro de álcool e 11 km com um litro do combustível
constituído de 75% de gasolina e de 25% de
álcool, composição adotada, atualmente, no
Brasil. Recentemente, o Governo brasileiro
acenou para uma possível redução, nessa
mistura, da porcentagem de álcool, que passaria a
ser de 20%. Suponha que o número de
quilômetros que esse carro percorre com um litro
dessa mistura varia linearmente de acordo com a
proporção de álcool utilizada. Então, é CORRETO
afirmar que, se for utilizado um litro da nova
mistura proposta pelo Governo, esse carro
percorrerá um total de
a)
b)
c)
d)
e)
05-C
11-B
17-A
06-A
12-A
18-D

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
9.
Definição
A função
y  ax  bx  c
a  0.
2
do
ou
2º
grau
tem
a
f x   ax  bx  c ,
2
forma
com
Exemplos
y  2x2  x  3
f x    x 2  5 x  1
11,20 km.
11,35 km.
11,50 km.
11,60 km.
11,65 km.
a0
18- (ENEM) O Salto Triplo é uma modalidade do
atletismo em que o atleta dá um salto em um só
pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo
que o salto com impulsão em um só pé será feito
de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo
pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com
o outro pé, do qual o salto é realizado.
a0
0
0
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de
estudar seus movimentos, percebeu que, do
segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía
em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o
alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta
de 17,4 m nessa prova e considerando os seus
estudos, a distância alcançada no primeiro salto
teria de estar entre
a)
b)
c)
d)
d)
4,0 m e 5,0 m.
5,0 m e 6,0 m.
6,0 m e 7,0 m.
7 ,0 m e 8,0 m.
8,0 m e 9,0 m.
GABARITO
01-C
07-A
13-B
02-D
08-C
14-C
03-B
09-A
15-A
04-C
10-E
16-C
0
10. Características

A função de 2º grau não é injetora, nem
sobrejetora.

O domínio é o conjunto dos números reais (R).

O gráfico da função de 2º grau é uma parábola.
11. Zeros da função
Para calcular as raízes ou zeros de uma função
de 2º grau
f x   ax 2  bx  c
usamos a fórmula:
x
b 
2a

  b 2  4ac
, onde
O gráfico da função de 2º grau toca o eixo y no
ponto 0; c . Obviamente se c  0 , o gráfico
 
0;0 , ou seja, passará
tocará o eixo y no ponto
pela origem.
 OBSERVAÇÕES



Soma das raízes:
b
S  x1  x2 
2a
Produto das raízes
P  x1 .x2 
c
a
Para calcular a função quadrática sabendo as
suas raízes: f x  a x  x1 x  x2 , onde a

é o coeficiente de
de
f x  .

x
2

,e
x1
e

x2
são as raízes
14. Vértice da parábola
12. Análise do Discriminante (Delta)
  0 : Duas raízes reais distintas

  0 : Duas raízes reais iguais
  0 : Não possui raízes reais

13. Gráfico
O gráfico de uma função quadrática é uma
parábola. A concavidade da parábola é determinada
pelo coeficiente de
Vértice: do latim vertice s.m., cume; ápice;
cimo; culminância onde se reúnem as duas linhas de
um ângulo.
x2 .
Observe que a concavidade da parábola
a , na expressão
depende do valor de
f x   ax 2  bx  c .
6.1. Coordenadas do Vértice
As coordenadas do vértice serão:
xv  

  0:
a função tem duas raízes reais distintas
eo



A ordenada (y) do vértice é encontrada substituindo
o
gráfico tocará o eixo x em dois pontos distintos
(corta o eixo).
  0 : a função tem duas raízes reais iguais e o
gráfico tocará no eixo x em um único ponto
(tangencia o eixo).
  0 : a função não tem raízes reais e o gráfico
não tocará o eixo x em nenhum ponto.
 OBSERVAÇÕES
b
2a
xv
na forma geral
f x   ax 2  bx  c
encontramos:
yv  

4a
Assim o vértice será o ponto:
 b  
V ;

 2a 4a 
6.2. Valor Máximo e Valor Mínimo
e
Nesse primeiro caso, em que a concavidade
da parábola é voltada para cima a  0 , observe
que o vértice é o ponto mais inferior da parábola e, o
menor valor que a parábola assume (seu valor
mínimo) será dado por:

Vmín

Já no segundo caso, observamos que a função
assume qualquer valor menor que o yV , que é seu
valor máximo.
Assim teremos:

 yV 
4a
Se
a0

Se
a0


Im   y  R / y 


Im   y  R / y 

 

4a 
 

4a 
6.4. Eixo de Simetria
Traçando-se uma reta vertical que passe
pelo vértice dividimos o gráfico em duas partes
simétricas. Observe a imagem:
Já no segundo caso, em que a concavidade
da parábola é voltada para baixo a  0 , observe
que o vértice é o ponto mais superior da parábola e,
o maior valor que a parábola assume (valor máximo)
será dado por:

Vmáx  yV 


4a
6.3. Imagem da função quadrática
A imagem de uma função é um conjunto que
contém todos os valores possíveis que esta função
pode assumir. Graficamente ele representa a
“sombra” do seu gráfico projetado no eixo y. Assim
observe as figuras:
Perceba que independentemente se a  0
ou a  0 , o eixo de simetria sempre será a reta
vertical
x  xv
ou
x
b
.
2a
6.5. Crescimento e decrescimento da função
quadrática
Nesse primeiro caso, observamos que a
função assume qualquer valor maior que o yV , que
é seu valor mínimo.
A função de 2º Grau, ao contrário da de 1º
Grau não é monotônica. Ela apresenta um intervalo
onde é crescente e um intervalo onde é decrescente.
Distinguimos dois tipos:
16. Inequação de 2º grau
O primeiro a fazer é tirar as raízes, igualando a
zero. Depois fazemos o esboço do gráfico e
observamos o(s) intervalo(s) onde se satisfaz a
desigualdade.
Exercício de Aula
Nesse primeiro caso
a  0 ,
11) Resolva as inequações:
a função é
x maiores que xV
decrescente para valores de x menores que xV
crescente para valores de
e é
.
a)
b)
c)
d)
x 2  5x  6  0
 x2  2x  3  0
x2  2x  8  0
3x 2  4 x  5  0
17. Sistema de inequações
Já nesse segundo caso
a  0 ,
Resolvem-se as duas ou mais inequações que
existirem no sistema, tiram-se os intervalos
resultantes de cada inequação separadamente e a
solução far-se-á com a intersecção de todos os
intervalos que foram obtidos.
a função é
x menores que xV e
decrescente para valores de x maiores que xV .
crescente para valores de
Resumindo:
é

b


Crescente : x  2a
Se a  0  

Decrescent e : x   b


2a

b


Crescente : x 



2a
Se a  0  
Decrescent e : x   b


2a

18. Inequação produto e Inequação quociente
Resolvemos de maneira idêntica às de termos
em 1º grau, porém devemos ter o cuidado de
observar cuidadosamente os esboços e fazer o
quadro de sinal correto. Também devemos lembrar
de excluir da solução final os valores de “x” que
tornem nulo o denominador.
Exercício de Aula
12) Resolva as seguintes inequações:
a)
2 x  3x 2  x  2  0
b)
 x  3x 2  2 x  1  0
Exercício de Aula
10) Calcule as coordenadas do vértice, determine o
valor máximo/mínimo, a imagem, o eixo de
simetria e os intervalos de crescimento /
decrescimento de
f x   x 2  5 x  6 .
15. Sinais da função (esboço do gráfico)
Devemos tentar extrair as raízes e observar
qual dos casos a função se encaixa.
Após isso a parte do gráfico acima do eixo x é
positiva e abaixo do eixo é negativa.
 x
2

 2x  3
ATIVIDADES
01-Cissa tem 20 cédulas em sua carteira: algumas
de 5 reais e as demais de 10 reais. Se o quadrado
do número de cédulas de 5 reais, acrescido de 5
unidades, é menor que o dobro do número de
cédulas de 10 reais, então a quantia que ela pode
ter na carteira deve ser no mínimo igual a;
a) R$ 160,00
b) R$ 165,00
y
d) R$ 175,00
e) R$ 180,00
3
2
y
f
. .
2
- 12
1
.
3
x
y
figura II
função g(x)
02-Sabe-se que o polinômio P(x) = -2x - x + 4x +
2
pode
ser
decomposto
na
forma
2
P(x) = (2x + 1) (-x + 2). Representando as
2
funções reais f(x) = 2x + 1 e g(x) = - x + 2, num
mesmo sistema de coordenadas cartesianas,
obtém-se o gráfico abaixo:
f
figura I
função f(x)
c) R$ 170,00
2
x
2
x
a) x  1 ou 2 < x  3
b) 1  x < 2 ou x  3
c) x < 2 ou x  3
Tendo por base apenas o gráfico, é possível
3
2
resolver a inequação -2x - x + 4x + 2 < 0.
Todos os valores de x que satisfazem a essa
inequação estão indicados na seguinte alternativa:
a)
x   2 ou x  1/2
b)
x   2 ou x  2
c)
x   2 ou - 1/2  x  2
d)
- 2  x  - 1/2 ou x  2
d) 1  x  3 e x  2
e) x  1 e x  2
04-Por uma mensagem dos Estados Unidos para
o Brasil, via fax, a Empresa de Correio e
Telégrafos (ECT) cobra R$ 1,37 pela primeira
página e R$ 0,67 por página que se segue,
completa ou não. Qual número mínimo de páginas
de uma dessas mensagens para que sue preço
ultrapasse o valor de R$ 10,00
a) 8
03-As figuras abaixo mostram as funções f(x)
e g(x), representadas pelos seus gráficos
b) 10
c) 12
f (x)
cartesianos. A solução da inequação g ( x )  0
é:
d) 14
e) 16
05-Uma fábrica de determinado componente
eletrônico tem a receita financeira dada pela
função R(x)  2x²  20x  30 e o custo de produção
dada pela função C(x)  3x2  12x  30 , em que a
variável x representa o número de componentes
fabricados e vendidos. Se o lucro é dado pela
receita financeira menos o custo de produção, o
número de componentes que deve ser fabricado e
vendido para que o lucro seja máximo é:
a) 32
b) 96
c) 230
d) 16
e) 30
06-A
figura
ilustra
recomendações
dos
especialistas em visão para o posicionamento
correto de um indivíduo diante da tela do
computador:
e) 100
08-Chama-se Lucro (L), associado à produção e
venda de um certo produto, a diferença entre a
Receita (R) referente à sua venda e o Custo (C)
de sua produção. Para determinado produto, uma
empresa associa o Custo e a Receita à
quantidade produzida q pelas equações:
R = 8q –
q2
5
e C = 12 +
8q
5
, onde 0  q  40
É incorreto afirmar que:
a) o Lucro máximo ocorre quando q = 16 e é
igual a R$39,20;
b) para 20 < q < 30 o Lucro é negativo, isto
é, há prejuízo;
c) o Lucro é nulo para q = 2 e q = 30;
d) o Lucro é crescente para 3 < q < 12;
Seguindo-se tais recomendações e admitindose cos 10º = k, todos os comprimentos
possíveis da linha de visada (v), em cm, estão
no intervalo
a)
60
65
v 2
k
2k  1
b)
60
65
v
k
2  k2
c)
65
60
v
2k
k
d)
60
65
v 2
k
k
e)
30
65
v
k
2k
07-Para comemorar sua formatura, uma turma de
alunos da Universidade de Fortaleza pretende
realizar uma viagem e, para tal, fretar um avião
com 100 lugares. A empresa locadora estipulou
que cada aluno participante deverá pagar R$
400,00 acrescidos de um adicional de R$ 25,00
por cada lugar vago. Para que, com esse
fretamento, a receita da empresa seja a maior
possível, quantos alunos deverão participar da
viagem?
a) 55
e) o Lucro é decrescente para q > 18.
09-Observe esta figura:
y
x
Nessa figura, estão representados os gráficos das
funções:
2
f ( x )  x e g(x) = 3x – 5
2
Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com
uma das extremidades sobre o gráfico da função f
e a outra extremidade sobre o gráfico da função g.
Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor
comprimento. Assim sendo, o comprimento do
segmento S é:
a)
1
2
b)
3
4
b) 58
c) 70
d) 88
2
c) 1
a) retangular, com 80m de área.
2
b) quadrada, com 100m de área.
5
4
d)
c) retangular, com dimensões 30m x 10m.
10-Um jogador de futebol se encontra a uma
distância de 20 m da trave do gol adversário,
quando chuta uma bola que vai bater exatamente
sobre essa trave, de atura 2 m. Se a equação da
trajetória da bola em relação ao sistema de
coordenadas indicado na figura é y = ax² + (1 –
2a)x, a altura máxima atingida pela bola é:
y
2
P(20,2)
d) quadrada, com 20m de lado.
2
e) retangular, com 256m de área.
13-Num certo instante, uma pedra é lançada de
uma altura de 10 m em relação ao solo e atinge o
chão após 60 segundos. A altura da pedra em
relação ao solo, em função do tempo, pode ser
representada por uma função do segundo grau,
cujo gráfico está representado abaixo.
altura, em metros
20
x
a) 6,00 m
b) 6,01 m
10 A
h
c) 6,05 m
d) 6,10 m
e) 6,50 m
11-Um aluno que se preparava para o vestibular
2
2.000 resolveu adotar a função f(t) = -t + 14t –
33, 3  t  11, para determinar o número de
horas por dia que ele deveria estudar no t-ésimo
mês do ano. Em vista disso, é correto afirmar que
a) ele iniciou sua preparação estudando
duas horas por dia
b) o número máximo de horas estudadas por
dia ocorreu no mês de julho
0
25
B
60
tempo, em
segundos
A altura máxima h, atingida pela pedra, é de
aproximadamente
a) 20,4 m
b) 21 m
c) 21,5 m
d) 22 m
e) 22,4 m
c) o número máximo de horas estudadas por
dia nunca ultrapassou 7h
d) o número de horas/dia estudadas em
outubro foi maior que em setembro
e) o número máximo de horas estudadas por
dia ocorreu no mês de setembro
12-Deseja-se construir uma casa térrea de forma
retangular, de modo que ocupe totalmente a área
do terreno.
O retângulo onde a casa será
construída tem 80m de perímetro. Sabendo que
a área da casa deve ser a maior possível,
podemos afirmar que a casa será:
14-Um veículo foi submetido a um teste para a
verificação do consumo de combustível. O teste
consistia em fazer o veículo percorrer, várias
vezes, em velocidades constantes, uma distância
de 100 km em estrada plana, cada vês a uma
velocidade diferente. Observou-se então que, para
velocidades entre 20 km/h e 120 km/h, o consumo
de gasolina, em litros, era função da velocidade,
conforme mostra o gráfico seguinte.
Consumo (litros)
b) atrás do gol
c) dentro do gol
10
d) antes da linha do gol
8
20
60
100
120
Velocidade (km/h)
Se esse gráfico é parte de uma parábola,
quantos litros de combustível esse veículo
deve ter consumido no teste feito à velocidade
de 120 km/h?
16-A figura a seguir representa a trajetória
parabólica de um projétil, disparado para cima, a
partir do solo, com uma certa inclinação. O valor
aproximado da altura máxima, em metros, atingida
pelo projétil é:
A
ltu
ra
(m
)
2
0
1
0
a) 20
b) 22
a) 550
c) 24
b) 535
d) 12,5
c) 510
e) 28
d) 505
15-Numa partida de futebol, no instante em que os
raios solares incidiam perpendicularmente sobre o
gramado, o jogador “Chorão” chutou a bola em
direção ao gol, de 2,30 m de altura interna. A
sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a
linha do gol. A bola descreveu uma parábola e
quando começou a cair da altura máxima de 9
metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da
linha do gol. Após o chute de “Chorão”, nenhum
jogador conseguiu tocar na bola em movimento.
A representação gráfica do lance em um plano
cartesiano está sugerida na figura a seguir:
s
o
lo
1
0
0
0
A
lc
a
n
c
e(m
)
e) 500
17-Num laboratório é realizada uma experiência
com um material volátil, cuja velocidade de
volatilização é medida pela sua massa, em
gramas, que decresce em função do tempo t, em
2t
t+1
horas, de acordo com a fórmula m = -3 – 3
+
108. Assim sendo, o tempo máximo de que os
cientistas dispõem para utilizar este material antes
que ele se volatilize totalmente é:
a) inferior a 15 minutos
b) superior a 15 minutos e inferior a 30
minutos
c) superior a 30 minutos e inferior a 60
minutos
d) superior a 60 minutos e inferior a 90
minutos
e) superior a 90 minutos e inferior a 120
minutos
A
equação
da
parábola
era
do
tipo:
X2
Y
C
36
O ponto onde a bola tocou pela primeira vez
foi:
a) na baliza
18-Um projétil é lançado do alto de um morro e cai
numa praia, conforme mostra a figura abaixo.
h
b) 3
morro
0
praia
c)
1
3
d)
1
12
e)
1
36
d
Sabendo-se que sua trajetória é descrita por h
2
= -d + 200d + 404, onde h é a sua altitude
(em m) e d é o seu alcance horizontal (em m),
a altura do lançamento e a altitude máxima
alcançada são, respectivamente:
a) superior a 400m e superior a 10 km
21-O imposto de renda é calculado pela fórmula: i
= r x a – p. Se um contribuinte teve uma renda
líquida r de R$ 19.100,00 no ano de 2002 e nesse
ano a alíquota a, para essa faixa de renda, foi
estipulada em 25% sendo a parcela a deduzir p de
R$ 3.560,00. Qual é o valor do imposto a ser pago
por este contribuinte á receita federal?
b) superior a 400m e igual a 10 km
a) R$ 1.600,00
c) superior a 400m e inferior a 10 km
b) R$ 2.100,00
d) inferior a 400m e superior a 10 km
c) R$ 1.200,00
e) maior que 120
d) R$ 1.215,00
19-O lucro de uma microempresa, em função do
número de funcionários que nela trabalham, é
dado, em milhares de reais, pela fórmula
L(n)  36n  3n 2 . Com base nessas informações,
pode-se afirmar que o lucro dessa microempresa
é máximo quando nela trabalham:
a) 6 funcionários
b) 8 funcionários
e) R$ 980,00
22-Os cintos de segurança dos automóveis são
postos a teste através de impactos de colisão
(energia cinética). Esse impacto de colisão é
2
calculado pela fórmula I = kmv , onde m é a
massa, v é a velocidade e k uma constante. Se
um carro de 1000 kg tem sua velocidade
triplicada, o que acontece com o impacto de
colisão?
c) 10 funcionários
a) é multiplicado por 3
d) 12 funcionários
b) é multiplicado por 9
20-Um engenheiro, estudando a resistência de
uma viga de certo material, obteve os seguintes
dados:
c) é dividido por 3
d) anula-se
e) duplica
23-O lucro mensal de uma fábrica é dado por
2
O engenheiro suspeita que a deformação D
pode ser dada em função do peso x por uma
2
expressão do tipo D(x) = ax + bx + c. Usando
os dados da tabela, ele escreve um sistema
de equações lineares e determina os valores
dos coeficientes a, b, c. O valor de a é:
a) 9
L(x) = –x + 60x – 10 onde x é a quantidade
mensal de unidades fabricadas e vendidas de um
certo bem, produzido por esta empresa e L é
expresso em Reais (Obs.: Real  unidade
monetária).
O maior lucro mensal possível que a empresa
poderá ter é dado por:
a) R$ 890,00
b) R$ 910,00
c) R$ 980,00
d) R$ 1.080,00
e) R$ 1.180,00
24-Um setor de uma metalúrgica produz uma
quantidade N de peças dada pela função
N(x)  x 2  10x , x horas após iniciar suas atividades
diárias. Iniciando suas atividades às 6 horas, o
número de peças produzidas no intervalo de
tempo entre as 7 e as 9 horas, será igual a:
27-A função A(x)  x(L  2x) representa a área de
um jardim retangular a ser construído, rente a um
muro, onde L é o comprimento do aramado de que
disponho para cercar os três lados restantes.
Sabendo-se que x = 5 dá uma área de 110, o
outro valor de x que dá esta mesma área é:
a) 10
b) 11
c) 12
a) 39
d) 13
b) 50
e) 14
c) 25
d) 16
e) 28
25-Considere que o material usado na confecção
de um certo tipo de tapete tem um custo de R$
40,00. O fabricante pretende colocar cada tapete à
venda por x reais e, assim, conseguir vender
(100 x) tapetes por mês. Nessas condições, para
que, mensalmente, seja obtido um lucro máximo,
cada tapete deverá ser vendido por
a) R$ 55,00
b) R$ 60,00
c) R$ 70,00
d) R$ 75,00
e) R$ 80,00
26-Um agricultor precisa cercar um espaço
reservado a uma horta com formato retangular. A
cerca para três lados da horta custa R$ 40,00 o
metro e a cerca para o quarto lado custa R$ 60,00
o metro. O agricultor dispõe de R$ 720,00 para
gastar na cerca. Que dimensões ele deve dar a
esse espaço para maximizar a sua área?
28-Duas empresas dispõem de ônibus com 60
lugares. Para uma excursão, a Águia Dourada
cobra uma taxa fixa de R$ 400,00 mais R$ 25,00
por passageiro, enquanto a Cisne Branco cobra
uma taxa fixa de R$ 250,00 mais R$ 29,00 por
passageiro. O número mínimo de excursionistas
para que o contrato com a Águia Dourada fique
mais barato que o contrato com a Cisne Branco é:
a) 37
b) 41
c) 38
d) 39
e) 40
29-Considere a situação: um canhão de irrigação
está localizado no ponto (0, 0) de um sistema de
eixos cartesianos. O canhão lança água formando
uma chuva que, em sua superfície mais alta,
segue uma trajetória parabólica dada pela função
f(x)   x 2  10x , em que a unidade considerada é
o metro. O canhão também realiza um movimento
de rotação em torno do eixo y. A área irrigada é de
a) 4,5m x 3m
b) 5,4m x 3m
c) 4,5m x 3,6m
d) 5,4m x 3,6m
e) 6,1m x 3,2m
2
a) 100 m
b) 50 m
2
2
c)
10 2m 2
d)
100 2m 2
e) 100 m
2
30-Por ocasião da inauguração de um edifício, um
promotor de eventos decidiu fazer uso simultâneo
das projeções de um jato de água e de um canhão
de luz efetuadas a partir de um pequeno prédio
vizinho, localizado a 18 metros do edifício novo. O
jato será lançado a partir do teto do pequeno
prédio (a 9 metros de altura) e, após executar sua
trajetória parabólica, atingirá a base do prédio
novo. O canhão de luz, por sua vez, será
disparado a partir do chão, da base do pequeno
prédio. Seu feixe de luz atravessará exatamente o
vértice da “parábola de água” e atingirá o topo do
novo edifício, que se encontra a 36 metros de
altura (conforme a figura abaixo). O jato de água e
o feixe de luz se encontrarão, a partir do solo, à
altura de
água sejam colineares, que a primeira bomba
esteja localizada na origem de um sistema
cartesiano e que o ponto mais alto da curva
formada pelo jato dessa bomba tenha
coordenadas (1, 2).
Com base nos textos e em seus conhecimentos, é
correto afirmar que a função que determina a
parábola representada no jato d’água e o ponto no
qual
esse
jato
chega
ao
solo
são,
respectivamente,
a) f(x) = 2x  4x; P(2, 0)
2
b) f(x) = 2x  4x; P(2, 0)
2
2
c) f(x) = +2x + 4x; P(2, 0)
d) f(x) = 2x  4x; P(2, 0)
2
e) f(x) = 2x + 4x; P(2, 0)
2
f)
I.R.
32-Sejam as funções
f e g definidas em R por
f ( x)  x 2   x e g ( x)    x 2   x  , em que
 e  são números reais. Considere que estas
funções são tais que
a) 11 metros.
b) 12 metros.
c) 13 metros.
d) 14 metros.
Então, a soma de todos os valores de
e) 15 metros.
os quais
a) 0
31-Na gravura abaixo, é possível observar as
trajetórias parabólicas descritas pela água jogada
por meio de duas bombas. Considere que as
bombas e os pontos de alcance atingidos pela
b) 2
c) 4
 f o g   x  0 é igual a:
x para
d) 6
f)
1014 x  0,001
e) 8
14) Determine qual o par
 x y 1
4 .8 
4 .

9 x.27 2 y  3

GABARITO
01-E
09-D
17-E
25-C
02-D
10-C
18-A
26-C
03-A
11-B
19-A
27-B
04-D
12-D
20-D
28-C
05-D
13-A
21-D
29-E
06-A
14-D
22-B
30-B
07-B
15-C
23-A
31-E
08-B
16-D
24-E
32-D
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Equações Exponenciais
1.
É toda equação que tenha a variável no expoente.
Para resolvermos uma equação exponencial devemos
transformar a equação dada em igualdade de mesma base, ou
seja, devemos obter potências de mesma base no primeiro e no
segundo membros da equação; para isso, aplicaremos as
definições e propriedades revistas da potenciação.
a  a  x1  x2
x1
x2
13) Resolva as seguintes equações exponenciais:
a)
b)
c)
d)
e)
2 x  64
1
9 2x 
27
5
x x
2
 
3
 5122
x 1

Inequações exponenciais
É toda inequação que tenha a variável no expoente. Para
resolvermos uma inequação exponencial devemos transformar
a inequação dada em igualdade de mesma base, de maneira
análoga à solução das equações exponenciais; para isso,
aplicaremos as definições e propriedades da potenciação.
Existem dois casos básicos de inequação exponencial:
1º caso) A base
teremos que:
a
em questão é tal que
a  1 . Assim
x
x

a 1  a 2  x1  x2
 x1
x2

a  a  x1  x2
Isso se deve ao fato de que, se a  1 a função é
crescente, logo, aumentando o valor de x , também se
a x ; e diminuindo o valor de x , também
x
se diminui o valor de a .
aumenta o valor de
“Se a  1 , conservamos o sinal da desigualdade na
inequação exponencial.”
a
em questão é tal que
0  a  1.
x
x

a 1  a 2  x1  x2
 x1
x2

a  a  x1  x2
0  a  1 a função é
x
decrescente, logo, aumentando o valor de x , o valor de a
x
diminuirá; e diminuindo o valor de x , o valor de a
Isso se deve ao fato de que, se
 1 
2x   
 32 
4 
2.
2º caso) A base
Assim teremos que:
Exercícios de Aula
x; y  que é solução do sistema
27
8
x 1
aumentará.
“Se 0  a  1 , invertemos o sinal da desigualdade na
inequação exponencial.”
Exercícios de Aula
Compare os dois tipos de funções
15) Resolva as seguintes inequações exponenciais:
a)
2 2 x1  8 x1
b)
0,15 x1  0,12 x 8
3.
Função Exponencial
Chamamos de função exponencial (ou exponencial
clássica) toda função do tipo
x
real, com
a0
e
f x   a x , definida para todo
a  1.
Gráfico da função exponencial
D  f   R

*
Im( f )  R 
Função Crescente / Função Decrescente
OBS:Já sabemos que para uma função exponencial da forma
f x   a x a função é crescente, se a  1 e decrescente,
se 0  a  1 . Analisaremos agora quando uma função
exponencial de outras formas é crescente ou decrescente.

FUNÇÃO LOGARÍTMICA
1.
Definição
log a b  x  a x  b
Função crescente (a > 1)
Onde
a : base

b : logaritmando
 x : logaritmo

Exercício de Aula
16) Calcule os seguintes logaritmos:
a) log 2 8
b)
log 3 81
c)
log
d)
log 1 32
2.
Condições de existência
5
5
2
Função decrescente (0 < a < 1)
Para que o
log a b
exista é necessário que:
a  0 e a  1

b  0
•
1
log a n b  . log a b
n
•
log a b 
1
log b a
Exercício de Aula
Exercícios de Aula
17) Determine o domínio das seguintes funções:
c)
f x   log 2 x  3
f x   log x5 10
f x   log  x3 2 x  1
3.
Conseqüências da definição
a)
b)
19) Desenvolva o logaritmo simplificando as operações em
a b 
log 3  .
 c 
20) Considerando
a)
log 2  0,31 e log 3  0,48 . Calcule:
log 6
log 72
•
log a 1  0
•
log a a  1
•
log a a  n
21) Considerando log 2  0,30 e log 3  0,48 , resolva
as seguintes equações exponenciais:
•
a loga b  b
a)
•
log a b  log a c  b  c
n
Exercício de Aula
b)
b)
6 x 1  2
3x  5
5.
Mudança de base
Podemos efetuar uma mudança na base do logaritmo da
seguinte forma:
18) Calcule o valor das seguintes expressões:
b)
2log5 10.log2 5
21log2 3
4.
Propriedades operatórias
a)
log a b 
log c b
log c a
Exercício de Aula
•
log a b.c   log a b  log a c
•
b
log a    log a b  log a c
c
•
log a b  n. log a b
n
22) Calcule o valor das expressões:
a)
b)
log 3 5. log 25 81
log 27 17
log 81 289
6.
Isso se deve ao fato de que, se 0  a  1 a função é
decrescente, logo, aumentando o valor de x , o valor de
Equações logarítmicas
São equações que envolvem logaritmos. Existem dois
tipos básicos; aqueles que são resolvidas aplicando-se a
definição e aquelas que são resolvidas igualando-se as bases e,
consequentemente, os logaritmandos.
Em ambos os casos, devemos verificar se as
soluções encontradas satisfazem as condições de existência do
logaritmo em questão.
São aquelas que apresentam a incógnita no logaritmando
ou na base do logaritmo.
o valor de
“Se 0  a  1 , invertemos o sinal da desigualdade na
inequação logarítmica.”
Exercício de Aula



log1 5 x 2  3x  10  log1 5 2  2 x 



b)
log1 3 x  4 x  log1 3 5
9.
Função logarítmica
2
Existem dois tipos para o gráfico de
8.
x,
aumentará.

23) Resolva as seguintes equações logarítmicas:
log 3 2 x  3  log 3 4 x  5
a)
b)
diminuirá; e diminuindo o valor de
24) Resolva as seguintes inequações logarítmicas:
a) log 2 2 x  1  log 2 6
Exercícios de Aula

log a x
log a x
Inequações logarítmicas
a 1 
y  log a x :
Função crescente
Existem dois casos básicos de inequação logarítmica:
1º caso) A base
a
em questão é tal que
a  1.
Assim teremos que:
log a x1  log a x2  x1  x2

log a x1  log a x2  x1  x2
Isso se deve ao fato de que, se a  1 a função é
crescente, logo, aumentando o valor de x , também se
aumenta o valor de
log a x ; e diminuindo
também se diminui o valor de log a x .
o valor de
x,
“Se a  1 , conservamos o sinal da desigualdade na
inequação logarítmica.”
2º caso) A base
Assim teremos que:
a
em questão é tal que
0  a  1.
log a x1  log a x2  x1  x2

log a x1  log a x2  x1  x2
D f   R *
Im f   R
0  a 1 
Função decrescente
b) 26.
c) 24.
d) 22.
e) 20.
04-Um programa computacional, cada vez que é
executado, reduz à metade o número de linhas
verticais e de linhas horizontais que formam uma
imagem digital. Uma imagem com 2048 linhas
verticais e 1024 linhas horizontais sofreu uma
redução para 256 linhas verticais e 128 linhas
horizontais. Para que essa redução ocorresse, o
programa foi executado k vezes. O valor de k é:
ATIVIDADES
01-Uma instituição financeira oferece um tipo de
aplicação tal que, após t meses, o montante
relativo ao capital aplicado é dado por M(t) = C
0,04 t
2
, onde C > 0. O menor tempo possível para
quadruplicar uma certa quantia aplicada nesse
tipo de aplicação é
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
a) 5 meses.
e) 7
b) 2 anos e 6 meses.
05-A função c( t )  200 3 , com k  1/12, dá o
crescimento do número C, de bactérias, no
instante t em horas.O tempo necessário, em
horas, para que haja, nessa cultura, 1.800
bactérias, está no intervalo:
kt
c) 4 anos e 2 meses.
d) 6 anos e 4 meses.
e) 8 anos e 5 meses.
02-Uma substância que se desintegra ao longo do
tempo tem sua quantidade existente, após “t”
t
anos, dada por M( t )  M 0 (1,4) 1000 , onde M0
representa a quantidade inicial. A porcentagem da
quantidade existente após 1000 anos em relação
à quantidade inicial M0 é, aproximadamente,
a) [0, 4].
b) [4, 12].
c) [12, 36].
d) [36, 72].
e) [72, 108].
a) 14%
b) 28%
c) 40%
d) 56%
e) 71%
03-A posição de um objeto A num eixo numerado
06-No final da década de 1830, o fisiologista
francês Jean Poiseuille descobriu que o volume V
de sangue que corre em uma artéria por unidade
de tempo, sob pressão constante, é igual à quarta
potência do raio r da artéria multiplicado por uma
constante, V  k(r)4 . Para um aumento percentual
de 10% no raio da artéria, o aumento percentual
no volume de sangue é de
1 7 0,5t
 2
onde t é o tempo
8 8
a) 46,41%
em segundos. No mesmo eixo, move-se o objeto
–t
B, de acordo com a lei 2 .
b) 10,50%
é descrita pela lei
c) 20,21%
Os objetos A e B se encontrarão num certo
instante tAB. O valor de tAB, em segundos, é
um divisor de:
a) 28.
d) 140%
e) 44%
b) superior a 0,5 g/L se t  5.
c) igual a 0,25 g/L se t  8.
1,0m
a) inferior a 0,5 g/L se t  3.
h(x)
0,5m 0,5m
07-Após beber um tanto de cachaça um motorista
passa a ter 4 gramas de álcool por litro de sangue.
Se isso ocorrer na hora zero, após t horas o
motorista terá 4 . (0,5)t gramas de álcool por litro
de sangue. Nessas condições, a quantidade de
álcool em seu sangue será
1,0m 1,0m
d) inferior a 0,25 g/L se t  2.
e) superior a 0,25 g/L se t  8.
x
1,0m
Se a parte curva pudesse ser associada a
uma função, esta função seria:
x
08-Na figura, os gráficos I, II e III referem-se,
x
x
x
respectivamente, às funçôes y = a , y = b e y = c .
Então, está correto afirmar que:
I
y
II
0
a)
1
h(x)     3 .
2
b)
1
h(x)   
2
c)
1
h(x)   
2
1
h(x)   
2
x–1
d)
1
h(x)   
2
x–1
e)
x 1

5
.
2
III
x
a) 0 < a < b < c.
x 2
2 .
1 .
b) 0 < b < c < a.
c) a < 0 < b < c.
d) 0 < a < c < b.
e) a < 0 < c < b.
09-Suponha que, após t dias de observação, a
população de uma cultura de bactérias é dada
11-Uma empresa acompanha a produção diária
de um funcionário recém-admitido, utilizando uma
função f(D). , cujo valor corresponde ao número
mínimo de peças que a empresa espera que ele
produza em cada dia (D) , a partir da data de sua
admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo,
x
que representa a função y = e .
0,05 t
pela expressão P ( t)  Po . 2
, na qual Po
é a população inicial da cultura (instante t = 0).
Quantos dias serão necessários para que a
população dessa cultura seja o quádruplo da
inicial?
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60
10-Uma rampa para manobras de “skate” é
representada pelo esquema:
y
2,72
x
y=e
0,37
0,13
-2
-1
x
-0,2d
Utilizando f(D) = 100 -100.e
e o gráfico
acima, a empresa pode prever que o
funcionário alcançará a produção de 87 peças
num mesmo dia, quando d for igual a :
a) 5
14-O número de indivíduos de um certo grupo é

1 
dado por f ( x )  10  x  , sendo x o tempo
10 

medido em dias. Desse modo, entre o 2º e o
3º dia, o número de indivíduos do grupo
b) 10
c) 15
d) 20
a) aumentará em exatamente 10 unidades.
12-Pelos programas de controle de tuberculose,
sabe-se que o risco de infecção R depende do
tempo t, em anos, do seguinte modo: R = Ro e-kt ,
em que Ro é o risco de infecção no início da
contagem do tempo t
declínio.
e
k é o coeficiente de
Use a tabela abaixo para os cálculos necessários:
e
8,2
9,0
10,0
c) diminuirá em exatamente 9 unidades.
d) aumentará em exatamente 9 unidades.
e) diminuirá em exatamente 90 unidades.
O risco de infecção atual em Salvador foi estimado
em 2%. Suponha que, com a implantação de um
programa nesta cidade, fosse obtida uma redução
no risco de 10% ao ano, isto é, k = 10%.
x
b) aumentará em exatamente 90 unidades.
11,0
12,2
15-O valor de certo tipo de automóvel decresce
com o passar do tempo de acordo com a função
Vt  
 2t
A . 2 3 , sendo t o tempo medido em
anos, V o valor do carro no instante t e A o preço
inicial do veículo. O tempo necessário para que
esse automóvel passe a custar
x
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
inicial, em anos, é:
O tempo, em anos, para que o risco de
infecção se torne igual a 0,2% , é de:
a) 3,0
a) 21
b) 3,5
b) 22
c) 4,0
c) 23
d) 4,5
d) 24
13-Segundo dados de uma pesquisa, a população
de certa região do país vem decrescendo em
relação ao tempo “t”, contado em anos,
aproximadamente, segundo a relação P(t) =
-0,25t
P(0).2
. Sendo P(o) uma constante que
representa a população inicial dessa região e P(t)
a população “t” anos após, determine quantos
anos se passarão para que essa população fique
reduzida à quarta parte da que era inicialmente.
1
de seu valor
8
16-A trajetória de um salto de um golfinho nas
proximidades de uma praia, do instante em que
ele saiu da água (t = 0) até o instante em que
mergulhou (t = T), foi descrita por um observador
através do seguinte modelo matemático h(t) = 4t –
0,2.t
t.2 , com t em segundos, h(t) em metros e 0  t
 T . O tempo, em segundos, em que o golfinho
esteve fora da água durante este salto foi
a) 1.
b) 2.
c) 4.
a) 6
d) 8.
b) 8
e) 10.
c) 10
d) 12
e) 15
17-O esboço ao lado representa a fachada de
uma capela projetada por um arquiteto, na qual,
as duas curvas principais são gráficos de funções
exponenciais. Considerando, ainda, os dados
rabiscados no esboço, pode-se concluir que a
altura “h“ da capela deve valer, aproximadamente:
20-Um médico, ao tratar uma infecção grave de
um paciente, necessita administrar doses de um
antibiótico. A eliminação da droga pelo organismo
ocorre segundo uma função exponencial. Sabe-se
que, após 12 horas, a concentração do
medicamento no organismo do paciente é de 20%
da dose administrada, entretanto é necessário
manter uma concentração mínima de 40% da
dose administrada inicialmente. Considerando a
tabela de logaritmos fornecida abaixo, o máximo
intervalo de horas, após o qual deve ser
administrada uma nova dose do antibiótico, de
modo a manter a concentração da droga em um
nível sempre superior ou igual a 40% da dose
administrada, é de aproximadamente
a) 8m. b) 11m.
c) 19m. d) 21m.
a) 5 horas e 38 minutos.
e) 27m.
18-O número N de bactérias de uma cultura é
dado, em função do tempo t, em horas, por N(t) =
5 4t
10 2 . Supondo log2 = 0,3 , o tempo necessário
para que o número inicial de bactérias fique
multiplicado por 100 é:
b) 6 horas.
c) 6 horas e 12 minutos.
d) 6 horas e 51 minutos.
e) 7 horas e 25 minutos.
a) 2 horas e 2 minutos
21-Um médico, após estudar o crescimento médio
das crianças de uma determinada cidade, com
idades que variavam de 1 a 12 anos, obteve a
fórmula h = log (100,7 . i ), onde h é a altura (em
metros) e i é a idade (em anos). pela fórmula, uma
criança de 10 anos desta cidade terá de altura:
b) 2 horas e 12 minutos
c) 1 hora e 40 minutos
d) 1 hora e 15 minutos
e) 2 horas e 20 minutos
a) 170 cm
19-Um
computador
desvaloriza-se
exponencialmente em função do tempo, de modo
que seu valor y, daqui a x anos, será y  A  k ,
em que A e k são constantes positivas. Se hoje o
computador vale R$5 000,00 e valerá a metade
desse valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a 6
anos será:
x
a) R$ 625,00
b) R$ 550,00
c) R$ 575,00
d) R$ 600,00
e) R$ 650,00
b) 123 cm
c) 125 cm
d) 128 cm
e) 130 cm
22-Na década de 30 do século passado, Charles
F. Richter desenvolveu uma escala de magnitude
de terremotos - conhecida hoje em dia por escala
Richter -, para quantificar a energia, em Joules,
liberada pelo movimento tectônico. Se a energia
liberada nesse movimento é representada por E e
a magnitude medida em grau Richter é
representada por M, a equação que relaciona as
duas grandezas é dada pela seguinte equação
logarítmica:
log 10 E = 1,44 + 1,5 M
Comparando o terremoto de maior magnitude
ocorrido no Chile em 1960, que atingiu 9.0 na
escala Richter, com o terremoto ocorrido em San
Francisco, nos EUA, em 1906, que atingiu 8.0,
podemos afirmar que a energia liberada no
terremoto do Chile é aproximadamente
a) 10 vezes maior que a energia liberada no
terremoto dos EUA.
b) 15 vezes maior que a energia liberada no
terremoto dos EUA.
Ao analisar uma determinada solução, um
pesquisador verificou que, nela, a concentração
+
-8
de íons de hidrogênio era [H ] = 5,4 . 10 mol/l.
Para calcular o pH dessa solução, ele usou os
valores aproximados de 0,30 para log 2, e de 0,48,
para log 3.
Então, o valor que o pesquisador obteve para o
pH dessa solução foi
a) 7,26 b) 7,32
c) 7,58 d) 7,74
c) 21 vezes maior que a energia liberada no
terremoto dos EUA.
25-De acordo com pesquisa feita na última década
do século XX, a expectativa de vida em certa
região é dada, em anos, pela função
d) 31 vezes maior que a energia liberada no
terremoto dos EUA.
nascimento
23-A intensidade dos terremotos é medida por
sismógrafos que utilizam a Escala Richter. A
magnitude M de um terremoto é dada pela
equação M  log P P

referência
 , onde P é a potência


Et   12150logt  491 , sendo t o ano de
da
pessoa.
Considerando-se
log2000 3,32 , uma pessoa dessa região, que
tenha nascido no ano 2000, tem expectativa de
viver:
a) 68 anos
do terremoto e Preferência é uma potência de
referência (constante para todos os casos
estudados).
b) 76 anos
Recentemente, no Oceano Índico, ocorreram
maremotos que geraram ondas gigantes, afetando
vários países da região. O mais forte atingiu,
aproximadamente, a magnitude de 9,0 graus na
Escala Richter; um outro, posterior, atingiu 6,0 na
mesma escala.
d) 92 anos
Em função do exposto acima, pode-se afirmar
que:
a) A potência atingida pelo primeiro
terremoto é 100 vezes menor que a
potência do segundo terremoto.
b) A potência atingida pelo segundo
terremoto é 10 vezes maior que a
potência do primeiro terremoto.
c) 84 anos
26-Uma população de insetos diminui em
conseqüência da aplicação de um inseticida
segundo a função P(t) 300 (10) t , em que P(t) é o
número de insetos no tempo t, medido em
semanas, sendo t  0 o tempo em que o inseticida
foi aplicado.
O tempo para que a população atinja 20% do
tamanho inicial é de, aproximadamente,
(Dado: log105  0,7)
a) 15 dias
b) 1 mês
c) A potência atingida pelo primeiro
terremoto é 1000 vezes maior que a
potência do segundo terremoto.
c) 5 dias
d) A potência atingida pelo segundo
terremoto é 1000 vezes maior que a
potência do primeiro terremoto.
e) 20 dias
24-O pH de uma solução aquosa é definido pela
+
+
expressão: pH = -log[H ], em que [H ] indica a
concentração, em mol/L, de íons de hidrogênio na
solução e log, o logaritmo na base 10.
d) 1 dia
27-Suponha que, numa colônia de fungos, a
massa biológica de sua população, no instante t
(horas), denotada por m(t), seja dada pela
m( t ) 
expressão
que
b) 5 horas
2t
1011
gramas.
[Considere
c) 6 horas
log10 (2)  0,3 ]
De acordo com o ritmo de crescimento
populacional estabelecido por essa expressão, a
massa da população de fungos, em 50 horas, é da
ordem de
d) 5 horas e 24 min
e) 5 horas e 30 min
GABARITO
01-C
07-A
13-B
19-A
25-C
a) 100g.
02-E
08-D
14-D
20-D
26-C
b) 10g.
03-C
09-C
15-D
21-A
27-C
c) 10000g.
04-A
10-C
16-E
22-D
28-B
d) 1000g.
05-C
11-B
17-C
23-C
29-E
06-A
12-C
18-C
24-A
30-A
28-A altura média do tronco de certa espécie de
árvore, que se destina à produção de madeira,
evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte
modelo matemático: h(t) = 1,5 + log3(t+1), com h(t)
em metros e t em anos. Se uma dessas árvores
foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de
altura, o tempo (em anos) transcorrido do
momento da plantação até o do corte foi de:
a) 9.
b) 8.
c) 5.
d) 4.
e) 2.
29-O valor de um automóvel (em unidades
monetárias) sofre um depreciação de 4% ao ano.
Sabendo-se que o valor atual de um carro é de
40.000 unidades monetátiras, depois de quantos
anos o valor desse carro será de 16.000 unidades
monetárias? Use o valor 0,3 para log 2 e o valor
0,48 para log 3.
a) 3
b) 6
c) 10 d) 15
e) 23
30-Um acidente de carro foi presenciado por 1/65
da população de Votuporanga (SP). O número de
pessoas que soube do acontecimento t horas
após é dado por:
f (t) 
B
1 Ce kt
onde B é a população da cidade. Sabendo-se que
1/9 da população soube do acidente 3 horas após
então o tempo que passou até que 1/5 da
população soubesse da notícia foi de:
a) 4 horas
TRIGONOMETRIA
1.
Medidas de Arcos e Ângulos
Ângulos complementares têm co-funções iguais
Sistema Grau
Grau (°) 
sen B 
b
 cos C
a
cos B 
c
 sen C
a
1
da circunferência
360
1
Minuto (‘) 
60
Segundo (“) 
do grau
1
60
do minuto ou
1
do grau
3600
tg B 
b
 cotg C
c
Sistema Radiano
B
cotg B 
A
r
0

2.
comp( AB)
r
Funções Trigonométricas no Triângulo Retângulo
A
a
sec B   cossec C
c
EXERCÍCIOS
01. (FUVEST-SP) Um móvel parte de A e
segue numa direção que forma com a reta
a
AB um
cossec
B ângulo
 secdeC 30°. Sabendo-se que o
b
móvel caminha
com uma velocidade
constante de 50 km/h. após 3 horas de
percurso, a distância a que o móvel se
encontra de AB é de:
C
a
b
B
c
a) 75 km
b) 75 3 km
c) 50
cat. oposto
seno 
hipot.
co-seno 
cat. adjac.
hipot.
tangente

c
 tg C
b
cat. oposto
cat. adjac.
d) 75
3 km
2 km
e) 50 km
02. (PUC-RS) De um ponto A, no solo,
visando a base B e o topo C de um
bastão colocado verticalmente no alto de
uma colina, sob ângulos de 30° e 45°,
respectivamente. Se o bastão mede 4 m
de comprimento, a altura da colina, em
metros, é igual a:
C
a)
B
b)
45°
A 30°
c)
a) 3
b) 2
c) 2 3
d)
e)
d) 2( 3 +1)
e) 2( 3 +3)
03. (UNIFOR-CE) Um coqueiro tem 6 m de
altura e seu topo é visto dos pontos A e
B, sob ângulo de 45° e 30°, como
representa a figura a seguir.
A
02
D
03
D
04
E
I. Lei dos Senos
3
0
°
B
Se esses pontos estão alinhados com base
do
coqueiro,
quantos
metros,
aproximadamente, A dista de B? (para seus
cálculos, suponha que 2 = 1,4 e 3 = 1,7)
a)
b)
c)
d)
e)
A
Relações num Triângulo Qualquer
6
4
5
°
01
2 3
m
3
2
m
3
3
m
6
3
m
2
3
m
3
As medidas dos lados são proporcionais aos
senos dos ângulos opostos e a constante de
proporcionalidade é a medida do diâmetro da
circunferência circunscrita.
a
b
c


 2R
sen A sen B sen C
9,5
9,6
12
16,4
18,9
A
04. (VUNESP) A figura representa o perfil de
uma escada cujos degraus têm todos a
mesma extensão e a mesma altura. Se
AB = 2m e BĈA mede 30°, então a
medida da extensão de cada degrau é:
A
R
c
O
B
a
b
C
II. Lei dos Cossenos
B
C
O quadrado de um lado, é a soma dos
quadrados dos lados restantes, menos o
duplo produto desses dois lados pelo co-seno
do ângulo que eles formam.
04-(FATEC-SP) Dada a figura:
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c cos A
b2 = a2 + c2 – 2 . a . c cos B
c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos C
EXERCÍCIOS
01- (UNIFOR-CE) Na figura abaixo os
ângulos têm as medidas indicadas em graus
e os segmentos têm as medidas indicadas
em centímetros.
2
105°
d) BC = -3 sen 
e) BC = 3 cos 
45°
a) 2.( 3  1)
b)
3 2
2
d)
3 2
2
e)
5
1
tg 
3
c) BC =
valor de x é:
5
2
a) BC = 3 sen 
b) BC = -3 cos 
1
30°
c)
onde o ângulo AĈD =  e o comprimento
de AC = 3:
05. (VUNESP-SP) O quadrilátero abaixo
representa a planta de um terreno plano.
Seus ângulos internos B e C medem,
respectivamente, 90° e 135° e os lados
B
C,
C
D têm
A
B,
o
mesmo
comprimento, igual a 30 m. Nestas
condições, a área do terreno vale, em m2:
D
30
135°
02-(CENTEC-BA) Considere-se um triângulo
ABC, de lados a, b e c, opostos aos vértices
A, B e C, respectivamente. Se a = 3 cm, b = 1
cm e C = 120°, então o perímetro desse
triângulo mede:
a)
b)
c)
d)
e)
C
30
B
A
a) 450 . ( 3 + 1)
(4- 13 ) cm
4 cm
(4 + 7 ) cm
(4 + 13 ) cm
17 cm
b) 450 . ( 2 + 1)
c) 450 . ( 3 - 1)
e) 450
06. (MACK-SP) A área do triângulo OPQ
assinalada na figura é:
03-(UNIP-SP) Se o perímetro de um triângulo
inscrito num círculo medir 20x cm e a soma
dos senos de seus ângulos internos for igual
a x, então a área do círculo, em cm2, será
igual a:
__
4
Q
1
O
x
a) 50
d) 125
b) 75
c) 100
a) 15
4
b) 15
8
e) 150
c) 2
d) 3
e) 4
b) ( 2 +1)
c) 8 ( 3 +1)
d) 2 ( 2 +1)
07. (CESGRANRIO) Um dos ângulos internos
de um paralelogramo de lados 3 e 4 mede
120°.
A
maior
diagonal
desse
paralelogramo mede:
e) ( 3 +1)
GABARITO
01
A
a) 5
b) 6
c) 40
d) 37
e) 6,5
02
D
03
C
04
B
05
B
06
B
42
07
D
4
5
°
08
C
08. (FGV-SP) Qual é a área do triângulo da
figura abaixo:
0
5
°
8 1
3
0
°
a) 4
Função
Domínio
Imagem
sen x
IR
[-1;1]
I
II
III
IV
Par ou Ímpar
Período
Sinais
Ímpar
2π
+
+
_ _
2π
_
+
_+
sen(-x) = -sen x
IR
cos x
[-1;1]
Par
cos x = cos (-x)
tg x
π
x   nπ
2
IR
_
+
+_
π
Ímpar
tg(-x) = -tg x
Gráficos
y = tg x
y = sen x
1

0
3/2
/2
2
x
0
-1
/2
y = cos x
1

0
-1
/2
3/2
2 x
/2

3/2
x
3.
Relações Fundamentais e Auxiliares
E
2
2
F.I.)
sen x + cos x = 1
F.II.)
sen x
tgx 
cos x
F.III.)
cotg x 
D
C
B
F
G
A
L
H
I
J
K
1
cos x

tgx sen x
1
F.IV.) cossec x 
sen x
Para abrir esse cofre são necessárias cinco
operações, girando o dispositivo de modo que
a seta seja colocada dos seguintes ângulos:
A.I.)
sec2 x = 1 + tg2 x
I.
2
3
no sentido anti-horário;
A.II.)
cossec2 x = 1 + cotg2 x
II.
3
2
no sentido horário;
III. 5 no sentido anti-horário;
2
4.
Adição e Subtração de Arcos
IV. 3 no sentido horário;
4
cos (a  b) = cos a . cos b  sen a . sen b
V.
sen (a  b) = sen a . cos b  cos a . sen b
5.
Arco
tg (aDuplo
 b) 
cos (2 . a)
tg a  tg b
1  tg a . tg b
= cos2 a – sen2 a =
= 2 cos2 a – 1 = 1–2 sen2 a

3
no sentido anti-horário.
Pode-se, então, afirmar que o cofre será
aberto quando a seta estiver indicando:
a) o ponto médio entre G e H.
b) algum ponto entre J e K.
c) o ponto médio entre C e D.
d) a posição I.
sen (2 . a) = 2 sen a . cos a
tg (2 . a) 
2.tg a
1 - tg2 a
ATIVIDADES
e) a posição A.
02-Na figura abaixo, temos duas circunferências
concêntricas. O raio da circunferência maior mede
24m e o da menor 12m. Com relação ao
comprimento, em metros, dos arcos A, B e C, é
correto afirmar que
01-O dispositivo de segurança (segredo) de um
cofre tem o formato da figura ao lado, onde as
posições A, B, …, L estão igualmente espaçadas
e a posição inicial da seta, quando está fechada, é
a indicada.
a) A = 2B – C
a) A = 2B – 3C
I.
c) A = 2B – 3C/2
d) A = 2B – C/4
O ângulo que o ponteiro das horas
descreve, em graus, é a metade do
numero que marca os minutos;
II. Das 18 horas às 18 horas e 12 minutos, o
o
ponteiro das horas anda 6 ;
e) A = 2B – 2C
03-No momento em que sai de casa, André, que
tem 1,80 m de altura AB , enxerga o topo de uma
velha mangueira do sítio onde reside sob um
ângulo de 30º com a horizontal. Após caminhar
8 m em direção a essa árvore, ele vê o topo da
mesma sob um ângulo de 60º.
III. Às 18 horas e 12 minutos, os ponteiros
formam um ângulo convexo que mede
o
114 .
IV O ponteiro dos minutos mede 10cm . Em
12 minutos a sua extremidade descreve
um arco de comprimento 12, 56cm.
05-O gráfico em setores do círculo de centro O
representa a distribuição das idades entre os
eleitores de uma cidade. O diâmetro AB mede 10
cm e o comprimento do menor arco AC é
5
cm.
3
C
y
B
x
o
A
z
Se necessário, use
3  1,73 .
Com base nessas informações, pode-se
estimar que a altura, MP , dessa mangueira,
em metros, é aproximadamente igual a:
O setor x representa todos os 8 000 eleitores com
menos de 18 anos, e o setor y representa os
eleitores com idade entre 18 e 30 anos, cujo
número é
a) 12 000
b) 14 800
c) 16 000
a) 6,45
d) 18 000
b) 7,38
e) 20 800
c) 7,94
d) 8,72
04-Responda aos testes a seguir de acordo com
os códigos:
a) se todas estão incorretas
b) somente I e III estão corretas
c) somente II e IV estão corretas
d) somente I e III estão corretas
e) se todas estão corretas
06-Na figura abaixo está sombreada a região
compreendida entre o segmento OP, a
circunferência de raio 1, centrada na origem, e o
quadrado circunscrito a essa circunferência. Os
lados do quadrado são paralelos aos eixos OX e
OU. Considere que o segmento OP forma um
ângulo  com o eixo OX. Quando 0   
A() está representada na figura a seguir.

a área
4
a) o ângulo do setor correspondente a
avalanches e deslizamentos é 10° 8’.
b) o ângulo do setor correspondente a
terremotos e tsunamis é 120°.
c) a soma dos ângulos dos setores
correspondentes às tempestades e
furacões e secas é de 133° 2’.
A área A() da região sombreada em função
do ângulo  é dada por
tg 

2 2
a)
A() 
b)
A()  1 
c)
A() 
tg

2
d)
A() 
2   
1  
  2
e)
A()  (4  )

2
07-Nos últimos 50 anos, o registro de fenômenos
destrutivos cresceu quase 20 vezes, graças à
tecnologia e ao aumento populacional. Os abalos
sísmicos e suas conseqüências – como os
tsunamis – matam, em média, tantas pessoas
quanto as inundações e ressacas oceânicas. No
entanto, em termos relativos, os terremotos são
muitíssimo mais mortais, já que atingem cerca de
26 vezes menos gente no mundo do que as
enchentes.
O gráfico mostra a freqüência relativa
(porcentagem) de cada catástrofe e, para uma
delas, o ângulo do setor.
d) a diferença entre os ângulos dos setores
correspondentes
às
inundações
e
ressacas e avalanches e deslizamentos é
107° 52’.
e) a porcentagem de
furacões é de 18%.
f)
tempestades
e
I.R.
08-Uma pizza circular será fatiada, a partir do seu
centro, em setores circulares. Se o arco de cada
setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número
máximo N de fatias idênticas, sobrando, no final,
uma fatia menor, que é indicada na figura por fatia
N + 1.
Considerando  = 3,14, o arco da fatia N + 1,
em radiano, é
a) 0,74.
b) 0,72.
c) 0,68.
d) 0,56.
e) 0,34.
09-Em uma cidade freqüentada por viajantes em
férias, estima-se que o número de pessoas
empregadas dependa da época do ano, e pode
ser aproximada pela função:
N  10  2sen(2x)
Com base nos textos e em seus conhecimentos, é
correto afirmar que
em que, N é o número de pessoas empregadas
(em milhares) e x = 0 representa o início do ano 2
005, x = 1 o início do ano 2 006 e assim por
diante. O número de empregados atinge o menor
valor:
a) No início do 1º trimestre de cada ano.
b) No início do 2° trimestre de cada ano.
c) No início do 3º trimestre de cada ano.
e) 12h30min e 13h30min.
11-Na figura a seguir tem-se parte do gráfico da
x
função f, de IR em IR, definida por f ( x )  cos , no
2
qual estão destacados os pontos A e B. Os pontos
A e B pertencem à reta de equação:
d) No início e no meio de cada ano.
y
e) No início do 4º trimestre de cada ano.
10-O igarapé Tucunduba separa geograficamente o
Campus Universitário do Guamá – UFPA em Belém,
em duas partes. Unindo essas partes, existe uma
ponte de pouca altura, em ferro para pedestres.
Para chegar ao mercado, o barco São Benedito
deve passar por debaixo da ponte. Duas
dificuldades em geral acontecem: a maré está
muita baixa e o barco não pode navegar; ou a maré
está muito alta e a ponte impede o barco de entrar.
O São Benedito tem um calado (parte do barco
abaixo da linha d’água) de 1,3 metro e a sua altura
acima da linha d’água é de 1,9 metro. O fundo do
igarapé está a 0,1 metro acima do nível do mar e a
ponte, a 4,5 metros acima do nível do mar. Às dez
horas da manhã de hoje, a maré estará em
preamar (nível mais alto da maré) de 3,2 metros
acima do nível do mar e às dezesseis horas estará
em baixa-mar (nível mais baixo da maré) de 0,8
metro acima do nível do mar. Modelando a
oscilação da maré como uma função do tipo f(t) = A
+ B sen(Ct+D), onde t é o tempo e A, B, C e D são
constantes, o primeiro horário, após as dez horas, e
o último horário, antes das dezesseis horas, em
que o barco São Benedito poderá passar por
debaixo da ponte são, respectivamente,
.
A
x
.
B
a) x - 3y -  = 0
b) x + 3y -  = 0
c) x - 3y +  = 0
d) 2x + 3y -  = 0
e) 2x - 3y -  = 0
12-Na figura abaixo tem-se parte do gráfico da
função f, de IR em IR, dada por f(x) = k.cós tx.
y
2






0



x
-2
Nessas condições, calculando-se k – t obtém-se:
a)
3
2
b) –1
c) 0
d)
3
2
e)
5
2
a) 10h30min e 15h30min.
b) 11h e 15h.
c) 11h30min e 14h30min.
d) 12h e 14h.
13-Considere uma circunferência de centro na
origem (0, 0) e raio igual a 1. Um ponto P percorre
esta circunferência, duas vezes em um segundo,
y
no sentido anti-horário, a partir do ponto (1, 0).
Supondo sua velocidade constante, a função que
representa a variação da sua ordenada y em
função do tempo t, em segundos, é:
Área=
1
a) f(x) = sen (4t)

x
b) f(x) = cos (4t)
c) f(x) = sen (2t)
A partir dessa informação, pode-se concluir
que a área limitada pelos gráficos de f(x) = cos
x e f(x) = 0, no intervalo é:
d) f(x) = cos (2t)
e) f(x) = sen (2t)
a) 0
14-Medindo-se t em horas e 0  t < 24, a sirene de
uma usina está programada para soar em cada
b) 2
instante t, em que sen
 t 
 é um número inteiro.
 6
c) 1
De quantas em quantas horas a sirene da fábrica
soa?
d)
a) De seis em seis horas.

e) 1/2
17-Sabe-se que h é o menor número positivo para
o qual o gráfico de y  sen( x  h) é:
b) De quatro em quatro horas.
c) De três em três horas.
y
d) De oito em oito horas.
15-O gráfico abaixo corresponde à função:
- 
2 -
- 
y
-2
Então, cos
-1
-1
 
2
-
2

2 

2

x
2h
é igual a
3
x
-2
a) y = 2 sen x
a)
 3
2
b)
 2
2
c)

d)
1
2
b) y = sen (2x)
c) y = sen x + 2
d) y = sen x
2
1
2
e) y = sen (4x)
16-O aluno que estudar Cálculo poderá provar
com facilidade que a área da superfície plana
limitada pelos gráficos de f(x) = sen x e f(x) = 0, no

intervalo 0  x  , como ilustra o gráfico
2
abaixo, é igual a 1.
e)
3
2
18-A figura a seguir mostra parte de uma onda
senoidal que foi isolada para uma pesquisa:
e)
3
.
2
20-Um supermercado, que fica aberto 24 horas
por dia, faz a contagem do número de clientes na
loja a cada 3 horas. Com base nos dados
observados, estima-se que o número de clientes
possa ser calculado pela função trigonométrica
 x
f ( x )  900  800sen
 em que f(x) é o número de
 12 
Qual das alternativas melhor representa a
equação
da
onda
para
o
período
apresentado?
a)
 x 
y  1  2 sen  
2 6
b)
x
y  1  2 sen 
2
c)
 x 
y  1  2 sen  
2 3
d)
x
y  1  2 sen 
3
e)
x
y  1  2 sen 
6
clientes e x, a hora da observação (x é um inteiro
tal que 0  x  24). Utilizando essa função, a
estimativa da diferença entre o número máximo e
o número mínimo de clientes dentro do
supermercado, em um dia completo, é igual a:
a) 600.
b) 800.
c) 900.
d) 1 500.
e) 1 600.
21-A figura abaixo é composta por dois eixos
perpendiculares entre si, X e Y, que se
intersectam no centro O de um círculo de raio 1, e
outro eixo Z, paralelo a Y e tangente ao círculo no
ponto P. A semi-reta OQ, com Q pertencente a Z,
forma um ângulo a com o eixo Y.
19-Sabe-se que h é o menor número positivo para
o qual o gráfico de y = sen(x – h) é
/2
-3/2
--/2
-2
Então cos 2h é igual a
3
a)
 3
.
2
b)
 2
.
2
c)
1 .
2
d)
1.
2

2
3/2
x
Podemos afirmar que o valor da medida do
segmento PQ é
a) sec 
b) tg 
c) cotg 
d) cos 
22-Uma máquina produz diariamente x dezenas
de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de
produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados,
E
aproximadamente, em milhares de reais,
respectivamente, pelas funções C(x) = 2 –
1 cm
 x 
 x 
cos  e V( x )  3 2 sen  , 0  x  6. O lucro,
 6 
 12 
D
em reais, obtido na produção de 3 dezenas de
peças é:
1 cm
a) 500.
C
b) 750.
1 cm
c) 1 000.
d) 2 000.
A
B
2 cm
e) 3 000.
Se os lados têm as medidas indicadas, então
a medida do lado BE , em centímetros, é
23-Na figura abaixo tem-se o gráfico de uma
função f, de IR em IR, definida por
f(x)  k.sen mx , em que k e m são constantes
reais, e cujo período é
8
.
3
a)
7
b)
6
c)
5
d) 2
e)
3
25-Em uma rua plana, uma torre AT é vista por
dois observadores X e Y sob ângulos de 30º e 60º
com a horizontal, como mostra a figura abaixo:
T
 29 
 é
 3 
O valor de f 
60º
a)
 3
b)
 2
A
2
e)
3
a) 30m
b) 32m
c) 34m
d) 36m
24-Na figura abaixo têm-se
retângulos ABC, BCD e BDE.
X
Y
Se a distância entre os observadores é de 40m,
qual é aproximadamente a altura da torre? (Se
necessário, utilize 2  1,4 e 3  1,7 ).
c) 1
d)
30º
os
triângulos
e) 38m
26-Na figura abaixo tem-se um observador O, que
vê o topo de um prédio sob um ângulo de 45°. A
partir desse ponto, afastando-se do prédio 8
metros, ele atinge o ponto A, de onde passa a ver
o topo do mesmo prédio sob um ângulo  tal que
7
cot g   .
6
forma: de um ponto X, situado na beira do rio,
avistou o topo de uma árvore na beira da margem
oposta, sob um ângulo de 45° com a horizontal.
Recuando 30 m, até o ponto Y, visou novamente o
topo da mesma árvore, registrando 30° com a
horizontal. Desconsiderando a altura do topógrafo
e sabendo que a árvore e os pontos X e Y estão
alinhados perpendicularmente ao rio, é correto
afirmar que a largura aproximada do rio, em
metros, é:
a)
4
5
°

O
A
6 3


b) 15 2  1
A altura do prédio, em metros, é
c) 15 2
a) 30 3
d) 30 6  3
b) 48
e)
 
30 2  1
29-Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica.
c) 20 3
ângulo
(graus)
10
11
12
13
14
d) 24
e) 20 3
seno cosseno tangente
0,171
0,191
0,208
0,225
0,212
0,985
0,982
0,978
0,971
0,970
0,176
0,194
0,213
0,231
0,249
27-Na figura abaixo, as retas r e s representam
duas estradas que se cruzam em C, segundo um
ângulo de 30°. Um automóvel estacionado em A
dista 80 m de um outro estacionado em B.
Sabendo que o ângulo BÂC é 90°, a distância
mínima que o automóvel em A deve percorrer até
atingir o ponto B seguindo por s e r é:
r
B
C
A
s
a) 80 m
b) 160 m
 
802  3  m.
c) 80 1  3 m.
d)
e) 240 3 m.
28-Um topógrafo que necessitava medir a largura
de um rio, sem atravessá-lo, procedeu da seguinte
Os centros das rodas estão a uma distância PQ
igual a 120 cm e os raios PA e QB medem,
respectivamente, 25 cm e 52 cm. De acordo com
a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor:
a) 10º
b) 12º
c) 13º
d) 14º
30-Em um parque de diversões há um brinquedo
que tem como modelo um avião. Esse brinquedo
está ligado, por um braço AC, a um eixo central
giratório CD, como ilustra a figura abaixo:
instante, algo se desprende da nave e cai em
queda livre, conforme mostra a figura.
C

B
A que altitude se encontra esse disco voador?
A
D
Enquanto o eixo gira com uma velocidade angular
de módulo constante, o piloto dispõe de um
comando que pode expandir ou contrair o cilindro
hidráulico BD, fazendo o ângulo  variar, para que
o avião suba ou desça. Dados: AC  6m ;
BC  CD  2m ; 2m  BD  2 3m ;   3;
^

d
3  1,7.
A medida do raio r da trajetória descrita pelo ponto
A, em função do ângulo , equivale a:
a) 6 sen 
Considere as afirmativas:
I-
A distância d é conhecida;
II- A medida de ̂ a tg ̂ são conhecidas.
b) 4 sen 
c) 3 sen 
Então, tem-se que:
d) 2 sen 
31-Considere o cubo da figura e as linhas nele
traçadas.
H
E
a) a I sozinha é suficiente para responder à
pergunta, mas a II, sozinha, não.
b) a II sozinha é suficiente para responder à
pergunta, mas a I sozinha, não.
C
c) I e II, juntas, são suficientes para
responder à pergunta, mas nenhuma
delas, sozinha,não é.
D
G
d) ambas são, sozinhas, suficientes para
responder à pergunta.
B
F
e) a pergunta não pode ser respondida por
falta de dados.
A
É incorreto afirmar que:
a) o triângulo GAH é retângulo.
b) as medidas das áreas dos triângulos GAH
e CAH são iguais.
c) os ângulos GÂH e CÂH são coplanares.
d) o seno do ângulo BÂC é
2
.
2
e) a tangente do ângulo GÂH é
2
.
2
32-Um disco voador é avistado, numa região
plana, a uma certa altitude, parado no ar. Em certo
33-Uma esteira rolante de um supermercado com
dois andares faz um ângulo de 30º com o plano
determinado pelo piso inferior. Assinale o que for
correto, considerando o comprimento da esteira
12 metros.
a) Uma pessoa que sai do piso inferior e vai
ao piso superior se eleva 6 (seis) metros.
b) Faltam dados para se calcular a altura
total que uma pessoa se eleva ao ir do
piso inferior ao piso superior utilizando a
esteira.
c) Se uma pessoa caminha 2 metros na
esteira durante o percurso entre o piso
inferior e o piso superior, então a pessoa
se eleva, no total, 5 (cinco) metros.
d) Uma pessoa que sai do piso inferior e vai
ao piso superior se eleva 6 3 metros.
e) Se uma pessoa caminha 2 metros na
esteira durante o percurso entre o piso
inferior e o piso superior, então a pessoa
se eleva, no total, 5 3 metros.
34-Uma estação E, de produção de energia
elétrica, e uma fábrica F estão situadas nas
margens opostas de um rio de largura
1
km.
3
Para fornecer energia a F, dois fios elétricos a
ligam a E, um por terra e outro por água, conforme
a figura. Supondo-se que o preço do metro do fio
de ligação por terra é R$ 12,00 e que o metro do
fio de ligação pela água é R$ 30,00, o custo total,
em reais, dos fios utilizados é:
a)
1
1
e 
2
2
b)

c)
1
1
e
2
2
d)

1
1
e 
2
2
1
1
e
2
2
36-O topo de uma torre e dois observadores, X e
Y, estão em um mesmo plano. X e Y estão
alinhados com a base da torre. O observador X vê
o topo da torre segundo um ângulo de 45º,
enquanto Y, que está mais próximo da torre, vê o
topo da torre segundo um ângulo de 60º. Se a
distância entre X e Y é 30,4m, qual o inteiro mais
próximo da altura da torre, em metros?
(Dados: use as aproximações tg(45º) = 1 e
tg(60º)  1,73).
a) 28 000
b) 24 000
c) 15 800
d) 18 600
e) 25 000
35-Observe atentamente a simetria da figura
abaixo.
a) 72m
b) 74m
c) 76m
d) 78m
e) 80m

6
Sabendo-se que sen 
de
 19 
sen  
 6 
respectivamente,
e
1
, então os valores
2
 11 
são,
sen   
 6 
37-Um observador, situado no ponto P de um
prédio, vê três pontos, Q, R e S, numa mesma
vertical, em um prédio vizinho, conforme
esquematizado na figura abaixo. P e Q estão num
mesmo plano horizontal, R está 6 metros acima de
Q, e S está 24 metros acima de Q. Verifica-se que
o ângulo  do triângulo QPR é igual ao ângulo 
do triângulo RPS. O valor, em metros, que mais
se aproxima da distância entre P e Q é:
c) a metade do valor correto.
d) o dobro do valor correto.
e) um valor maior que o correto, diferente do
dobro do correto.
S
GABARITO


R
01-B
09-E
17-C
25-C
33-A
02-E
10-D
18-A
26-B
34-A
03-D
11-A
19-C
27-D
35-D
a) 8,5
04-E
12-D
20-E
28-C
36-A
b)
05-C
13-A
21-C
29-C
37-A
c) 9,4
06-A
14-C
22-C
30-A
38-A
d) 10,2
07-E
15-A
23-B
31-C
08-C
16-C
24-A
32-C
P
Q
8,8
38-Ao ser indagado sobre o valor de sen 45º, um
estudante pensou assim:
45º 
30º 60º
2
sen 45º 
sen 30º  sen 60º
2
Continuando nesse raciocínio,
encontrou como resposta:
o
estudante
a) um valor menor que o correto, diferente da
metade do correto.
b) o valor correto.