2005
IME
MATEMÁTICA
“A matemática é o alfabeto com que Deus escreveu o mundo”
Galileu Galilei
Questão 01
Dada a função
f ( x) =
(156
x
+ 156− x
2
) , demonstre que:
f(x + y) + f(x - y) = 2 f(x) . f(y)
Resolução:
Escrevendo f(x+y) e f(x-y) temos:
f ( x + y) =
f ( x − y) =
(156
(156
x+ y
+ 156− x− y
2
x− y
+ 156− x+ y
)
(I)
)
(II)
2
Sendo que de (I) e (II) encontramos:
f(x + y)+ f(x − y)=
156
x+ y
+ 156
−x− y
+ 156
2
x− y
+ 156
−x+ y
= 2.
(156
x
+ 156
−x
2
) . (156
y
+ 156
−y
2
) = 2⋅ f ( x )⋅ f ( y )
c.q.d.
Questão 02
O sistema de segurança de uma casa utiliza um teclado numérico, conforme ilustrado na figura. Um ladrão observa de longe e
percebe que:
• a senha utilizada possui 4 dígitos;
• o primeiro e o último dígitos encontram-se numa mesma linha;
• o segundo e o terceiro dígitos encontram-se na linha imediatamente superior.
Calcule o número de senhas que deverão ser experimentadas pelo ladrão para que com certeza ele consiga entrar na casa.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Teclado numérico
Resolução:
Analisemos cada caso usando o princípio fundamental da contagem:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Caso 1: O primeiro e último dígitos iguais e iguais a zero.
1
3
0
3
1 = 9 casos
7, 8 ou 9 7, 8 ou 9
0
Caso 2: O primeiro e último dígitos escolhidos na 3ª linha:
3
3
3
3 = 81 casos
7, 8 ou 9 4, 5 ou 5 4, 5 ou 6 7, 8 ou 9
Caso 3: O primeiro e último dígitos escolhidos na 2ª linha:
81 casos, analogamente ao caso 2.
Total de casos = 9 + 81 + 81 = 171.
Questão 03
Sejam a, b, c e d números reais positivos e diferentes de 1. Sabendo que logad, logbd e logcd são termos consecutivos de uma
progressão aritmética, demonstre que:
c 2 = ( ac )
log a d
Resolução:
Com os termos da PA (loga d, logb d e logc d) podemos escrever:
2 logb d = loga d + logc d, e fazendo uma mudança de base:
2 ⋅ log a d
log a d
log a d
=
+
l og a b
1
l og a c
2
1
log a c + 1
log a c + log a a
= 1 +
=
=
, que resulta
log a b
log a c
log a c
log a c
:
2
log a ca
=
, e daí:
log a b
log a c
2 logac = logab . (logaca), ou ainda:
logac2 = loga (ca)loga b , que leva a c2 = (ca )loga b . .
No entanto, foi pedido que c2 = (ca )loga d , para isso devemos ter b=d:
Assim, a relação c2 =
(ca)loga d
não é verdadeira para a, b, c e d reais positivos e diferentes de 1.
2
Questão 04
Determine o valor das raízes comuns das equações x4 – 2x3 – 11x2 + 18x + 18 = 0 e x4 – 12x3 – 44x2 – 32x – 52 = 0.
Resolução:
Testando raízes inteiras na primeira equação:
P(x) = x4 – 2x3 – 11x2 + 18x + 18 = 0
(3)4 – 2(3)3 – 11(3)2 + 18(3) + 18 = 0 ∴ 3 é raiz.
Fatorando pelo dispositivo de Briot-Riffini:
3
1
-2
-11
18
18
1
1
-8
-6
0
P(x) = (x-3).(x3 + x2 – 8x – 6)
(-3)3 + (-3)2 –8(-3) – 6 = 0 ∴ - 3 é raiz de x3 + x2 – 8x – 6 . E, fatorando novamente:
-3
1
1
1
-2
-8
-6
-2
0
P(x) = (x-3).(x+3).(x2 – 2x – 2)
Calculando as raízes de x2 – 2x – 2 = 0, vem:
x=1 ± 3
Por fim, substituindo as raízes encontradas acima em x4 – 12x3 – 44x2 – 32x – 52 = 0
•
•
•
•
(3)4 – 12.(3)3 – 44.(3)2 – 32.(3) – 52 ≠ 0
(-3)4 –12.(–3)3 – 44.(–3)2 – 32.(–3) – 52 ≠ 0
(1 + 3 )4 –12.(1+ 3 )3 – 44.(1+ 3 )2 – 32.(1+
(1 – 3 )4 –12.(1– 3 )3 – 44.(1– 3 )2 – 32.(1–
) – 52 ≠ 0
3 ) – 52 ≠ 0
3
Nenhuma das raízes da 1ª equação é também raiz da 2ª , logo não existe raiz comum.
Questão 05
Resolva a equação 2 sen 11x + cos 3x +
3 sen 3x = 0.
Resolução:
2 . sen 11x + cos 3 x + 3 sen 3 x = 0
sen 11 x +
sen 11 x + sen
1
3
sen 3 x = 0
cos 3 x +
2
2
π
π
cos 3 x + sen 3 x cos = 0
6
6
π⎞
⎛
sen 11x + sen ⎜ 3 x + ⎟ = 0, e fatorando:
6⎠
⎝
3
π⎞
⎛
2 . sen ⎜ 7 x + ⎟ . cos
12 ⎠
⎝
7x +
π⎞
⎛
⎜ 4 x − ⎟ = 0. De onde vem:
12 ⎠
⎝
π kπ
7π k π
π
π π
⎧
⎫
ou x =
+
,∀ k ∈ Z ⎬
=k π ou 4 x − = + k π ∴ S= ⎨ x ∈ R / x = − +
84 7
48 4
12
12 2
⎩
⎭
Questão 06
Considere um triângulo ABC de área S. Marca-se o ponto P sobre o lado AC tal que PA / PC = q, e o ponto Q sobre o lado BC
de maneira que QB / QC = r. As cevianas AQ e BP encontram-se em T, conforme ilustrado na figura. Determine a área do
triângulo ATP em função de S, q e r.
A
P
T
B
C
Q
Resolução:
A
x.q
K
T
B
W
P
K/q
x
W/r
y
Q
r.y
C
Seja K a área pedida e W a área do ΔBTQ :
⎛ 1 ⎞
S AQC = ⎜
⎟S
⎝1+ r ⎠
e
⎛ 1 ⎞
S BPC = ⎜
⎟S
⎝1+ q ⎠
Logo:
K W
S
⎧
⎪K + q + r = 1+ r
⎪
⎨
⎪K +W + W = S
⎪⎩ q
r 1+ q
∴K =
e
q 2 .S
⎧⎛ 1 + q ⎞
1
S
⎪⎜
⎟ .K + .W =
+
1
q
r
r
⎪⎝
⎠
⎨
⎪ 1 K + ⎛ 1 + r ⎞ .W = S
⎜
⎟
⎪
1+ q
⎝ r ⎠
⎩q
(1 + q ) .( q + r + q.r )
4
Questão 07
Considere uma elipse de focos F e F’, e M um ponto qualquer dessa curva. Traça-se por M duas secantes MF e MF ' que
interceptam a elipse em P e P’, respectivamente. Demonstre que a soma ( MF / FP) + ( MF '/ F ' P ') é constante.
Sugestão: calcule inicialmente a soma (1/ MF ) + (1/ FP).
Resolução:
Observe a figura da elipse,
a
a
M
b
F’
F
P
P’
c
b
c
Após a rotação introduz-se uma mudança dos eixos coordenados, ou seja:
x2 y 2
b2
Elipse: 2 + 2 = 1 ⇒ 2 x 2 + y 2 = b 2
a
b
a
b
x e y = y temos
a
x 2 + y 2 = b 2 (circunferência de raio b)
Fazendo x =
Fazendo a rotação da elipse até que sua projeção seja uma circunferência de raio b:
b
Y
M(x,y)
F’ b
F
–b
R
– bc
a
bc
a
X
P’
P
–b
Após a rotação introduz-se uma mudança dos eixos coordenados, ou seja:
x2 y 2
b2
Elipse: 2 + 2 = 1 ⇒ 2 x 2 + y 2 = b 2
a
b
a
b
Fazendo X = x e Y = y , temos:
a
X 2 + Y 2 = b 2 , circunferência de raio b .
5
Lembrando que a razão entre medidas lineares permanece constante e fazendo potência de ponto na circunferência temos:
4
b.c ⎞ ⎛
b.c ⎞ b
⎛
MF . FP = ⎜ b −
⎟ .⎜ b +
⎟=
a ⎠⎝
a ⎠ a2
⎝
b.c ⎞ ⎛
b.c ⎞ b 4
⎛
MF ' . F ' P ' = ⎜ b +
⎟ .⎜ b −
⎟=
a ⎠⎝
a ⎠ a2
⎝
MF MF '
MF 2
MF' 2
a2
+
=
+
= 4 ( MF 2 + MF '2 ) =
FP F ' P ' MF . FP MF' . F'P b
2
2
2 ⎛
⎞ a2 ⎛ 2
a ⎛
bc ⎞
bc ⎞
b 2c 2 ⎞
⎛
2
2
2
.
x
+
+
y
+
x
−
⎜
⎟
⎜
⎟ + y ⎟⎟ = 4 ⎜ 2 x + 2 y + 2 2 ⎟ =
4 ⎜⎜
a ⎠
b ⎝⎝
a ⎠
a ⎠
⎝
⎠ b ⎝
2a 2 ⎛ 2
b 2c 2 ⎞ 2a 2 ⎛
b 2c 2 ⎞
x + y 2 + 2 ⎟ = 4 ⎜ b2 + 2 ⎟ =
4 ⎜
b ⎝
a ⎠
b ⎝
a ⎠
2 ( a2 + c2 )
b2
(Que é constante).
c.q.d.
Questão 08
Sejam a, b e c as raízes do polinômio p(x) = x3 + rx – t, onde r e t são números reais não nulos.
a) Determine o valor da expressão a3 + b3 + c3 em função de r e t.
b) Demonstre que Sn+1 + r.Sn-1 – t.Sn–2 = 0 para todo número natural n ≥ 2, onde Sk = ak + bk + ck para qualquer número
natural k.
Resolução:
a.
Dado o polinômio P(x) = x3 + 0x2 + rx – t, vamos escrever as Relações de Girard:
0
⎧
⎪a + b + c = − 1 = 0
⎪
r
⎪
⎨ab + ac + bc = = r
1
⎪
⎪
( −t ) = t
⎪abc = −
⎩
1
E delas temos, (a + b + c)3 =03, que pode ser escrito da forma:
a3 + b3 + c3 + 3(a2b + ab2 + a2c + ac2 + b2c + bc2) + 6abc = 0
Ou, fatorando:
a3 + b3 + c3 +3[ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c)] + 6abc = 0
E, substituindo conforme primeira relação:
a3 + b3 + c3 + [ab(–c) + ac(–b) + bc(–a)] + 6abc = 0
a3 + b3 + c3 = 3abc = 3t
b.
Ainda das relações de Girard em p(x) temos:
ab + bc +ac = r
(I)
abc = t
(II)
Sendo Sk = ak + bk + ck, podemos fazer k = n, e com isso, substituindo devidamente temos:
6
⎛ ak bk ck ⎞ ⎛ ak bk ck ⎞
Sn+1 + rSn – 1 – tSn – 2 = Sk+1 + rSk – 1 – tSk-2 = ak.a + bk.b + ck.c + r ⎜ + + ⎟ − t ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟
b
c ⎠ ⎝a
b
c ⎠
⎝ a
E, agora, substituindo (I) e (II), temos:
ab k bc k
ac k
⎛
⎞ ⎛ bc k ac k ab k ⎞
c +
a + cb k + bc k + ca k +
b + ac k ⎟ – ⎜
a +
b + c ⎟ = (ak + bk + ck)(a + b + c) = 0
aak + bbk + cck + ⎜ ba k + ab k +
c
a
b
b
c ⎠
⎝
⎠ ⎝ a
c.q.d.
Questão 09
Calcule o determinante da matriz n x n em função de b, onde b é um número real tal que b2 ≠ 1.
b2 + 1
b
0
0
0
b
b +1
b
0
b
b +1
b
0
#
0
#
b
#
b2 + 1
#
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
⎫
⎪
...
0
0
⎪
⎪
...
0
0
⎪
⎪
...
0
0
⎬ n linhas
⎪
#
#
#
⎪
2
⎪
... b + 1 b
⎪
2
...
b b +1 ⎪
⎭
...
0
0
n colunas
Resolução:
Seja D o determinante pedido,
b2 + 1
b
0
b
b2 + 1
b
D= 0
b
b2 + 1
#
#
#
0
0
0
...
...
...
0
0
0
#
2
... b + 1
⎛ −b ⎞
Substituindo a linha 2 pela sua soma com o produto da linha 1 por ⎜ 2
⎟:
⎝ b +1⎠
b2 + 1
b
0
...
0
b4 + b2 + 1
b
...
0
b2 + 1
2
b
b + 1 ...
0
#
#
#
0
0
... b 2 + 1
0
D=
0
#
0
⎡ −b ( b 2 + 1) ⎤
⎥:
E, agora, substituindo a linha 3 pela sua soma com o produto da linha 2 por ⎢ 4
2
⎢⎣ b + b + 1 ⎥⎦
b2 + 1
b
0
b + b +1
b2 + 1
0
0
#
0
#
0
4
D=
0
...
0
b
...
0
2
b6 + b 4 + b 2 + 1
...
0
b4 + b2 + 1
#
#
0
... b 2 + 1
7
E, procedendo da mesma forma até a n-ésima linha, temos:
b2 + 1
b
0
b + b +1
b2 + 1
0
0
#
#
4
D=
0
...
0
b
...
0
2
b6 + b4 + b2 + 1
...
b4 + b2 + 1
#
0
0
...
(b
+ b 2 + 1) ( b 6 + b 4 + b 2 + 1) ( b 2 n + b 2 n − 2 + ... + b 2 + 1)
.
.....
=
(b2 + 1) (b4 + b2 + 1)
( b2n − 2 + ... + b2 + 1)
4
#
2n −2
b +b
+ ... + b 2 + 1
2n −2
b
+ ... + b 2 + 1
2n
0
= ( b 2 + 1) .
0
1 + b + ... + b
2
2n − 2
+b
2n
=
(
1. ( b 2 )
n +1
b −1
2
)=b
−1
2n + 2
−1
b2 − 1
Sendo assim:
D=
b2n + 2 − 1
b2 − 1
Questão 10
Considere os pontos P e Q sobre faces adjacentes de um cubo. Uma
formiga percorre, sobre a superfície do cubo, a menor distância
entre P e Q, cruzando a aresta BC em M e a aresta CD em N,
conforme ilustrado na figura abaixo. É dado que os pontos P, Q, M
e N são coplanares.
a) Demonstre que MN é perpendicular a AC. .
b) Calcule a área da seção do cubo determinada pelo plano
que contém P, Q e M em função de BC = a e BM = b.
P
B
C
M
N
A
Q
D
Resolução:
a.
I. Como a formiga percorre o caminho mínimo, quando a figura está planificada temos ∠PMB = θ e ∠QND = 90 - θ. Se P, M, N e Q são
coplanares, então PM e QN encontram-se em R. Ainda no ΔRMC temos MC=x e no ΔRNC temos CN = y. Sendo assim, RC = x . tg θ e
y = RC.tg θ, ou seja, y = x.tg2 θ. De onde só vale x = y se θ = 450.
II. Por outro lado, no ΔMNC temos,
Tg θ = CN/CM = RC. Tg θ/RC. Tg (90 - θ). Então, tg (90 - θ) = 1 ⇒ θ = 450.
Logo, de I e II concluímos que x = y.
8
P
q
B
x
M q
C
y
R
N
A
90–0 Q
D
b.
Considerando MN perpendicular a AC, teríamos os seguintes cortes da figura:
F
G
a–b
P
b
M
B
C
G
b
N
Q
b
A
Q
B
E
A
G
F
T
H
b
D
M
b 2
Q
C
N
( a ⋅b )
T
H
O
P
b 2
M
( a ⋅b )
S=
O
b 2
Deles tiramos,
2
3
(b 2 )
− 3.
4
3 2
( a + 2ab − 2b2 )
2
9
( a ⋅b )
S
D
⎡( a + b ) 2 ⎤
⎦
S=⎣
4
P
2
2
3
2
N
2
Comentários
O IME manteve sua tradição. A prova possui conteúdos distribuídos de forma homogênea, com questões em dois níveis: médio e difícil. Uma
prova em que o candidato tem que demonstrar suas habilidades com os cálculos e a capacidade de inter-relacionar conteúdos diferentes. A
prova é longa, como de costume, em que o candidato deve selecionar as questões que ele faz em pouco tempo, deixando as maiores e de
mesmo peso, para o final. Todo o conteúdo cobrado nelas foi trabalhado em sala com nossos alunos, de forma que só coube a eles a
organização dos dados e dissertação e/ou escolha do caminho correto.
Incidência de assuntos:
Progressões
9%
Potências/Logarítm os
9%
Trigonom etria
9%
Conjuntos/Funções
9%
Análise Com binatória
9%
Geom etria
28%
Polinôm ios
18%
Determ inantes
9%
Professores :
Marcelo Moraes
Manim
Bernadelli
Colaborares:
Manfredo
Rodrigo Lacerda
Digitação e Diagramação
Diego Bernadelli
Márcia Samper
Projeto Gráfico
Frederico Bueno
Assistente Editorial
Diego Bernadelli
Supervisão Editorial
Rodrigo Bernadelli
Copyright©Olimpo2004
A Resolução Comentada das provas do IME poderá ser obtida diretamente no
OLIMPO Pré-Vestibular, ou pelo telefone (62) 251 – 9009
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