SUPERLISTA
Prof. Carlos Vidigal
Profa. Érika Vidigal
1) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Em que condição pode-se afirmar que
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2?
a) Sempre, pois é uma expansão binomial.
b) Se e somente se uma delas for a matriz identidade.
c) Sempre, pois o produto de matrizes é associativo.
d) Quando o produto AB for comutativo com BA.
e) Se e somente se A = B.
2) Uma matriz real A é ortogonal se A.At = I, onde I indica a matriz identidade e At indica a transposta
1

x
de A. Se A =  2
é ortogonal, então x2 + y2 é igual a:
y z 


a)
1
4
3
b) 4
c)
d)
1
2
3
2
3
e) 2
0 2 4 
3) A matriz M = 
 está sendo usada para representar as coordenadas dos vértices A(0,
 0 0 3
0),B(2, 0) e C(4, 3) de um triângulo ABC. Multiplicando-se M por uma constante k > 0, a matriz
resultante da operação indicará os vértices do triângulo A’B’C’, de acordo com o mesmo padrão
anterior de representação. Em tais condições, a área do triângulo A’B’C’ será igual a
a) 3k
b) 6k
c) k2
d) 3k2
e) 6k2
 1 1
 . A soma dos elementos da matriz A100 é
4) Seja a matriz A = 
0
1


a) 3.
b) 102.
c) 118.
d) 150.
f) 300.
 0 1
5) Com relação à matriz A  
 , a opção correta é:
 1  1
24
a) A  I 2 , sendo I 2 a matriz identidade de ordem 2.
22
b) A  I 2 , sendo I 2 a matriz identidade de ordem 2.
21
c) A  A
21
2
d) A  A
22
2
e) A  A
2
6) O valor de a para que a igualdade matricial 
1
a) 1
b) 2
c) 0
d) -2
e) -1
1
7) Considere as matrizes A e B, tais que A = 
3
primeira coluna da matriz B é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
1
8) Considere as matrizes A = 
y
1  1  1 1 0
.
=
seja verdadeira é:
1  1 a  0 1 
2
4 1 8
 e A.B = 
 . A soma dos elementos da
5
11 3 21
x
4 5
1 2
, B =
eC= 

 ,com x, y, z números reais.

z
36 45
1 1 
Se AB = C, a soma dos elementos da matriz A é:
a) 9.
b) 40.
c) 41.
d) 50.
e) 81.
 x
 1 0   0 1  1  
 . 
 .  y  é a matriz nula, x + y é igual a:
9) Se o produto de matrizes 
 1 1   1 0 2   
1
a) 0
b) 1
c) -1
d) 2
e) -2
1 2
 x  1
 e M = 
 , onde x e y são números reais e M é a matriz
10) Sejam as matrizes A = 
 2 6
 1 y 
inversa de A. Então o produto x y é:
3
a) 2
2
b) 3
1
c) 2
3
d) 4
1
e) 4
9

0
11) As matrizes A e B são quadradas de ordem 4 e tais que AB = 
0

0

0
9
0
0
0
0
9
0
0

0
.
0

9 
Determine a matriz BA.
 0 1 2
12) Seja I a matriz identidade de ordem 3 e M a matriz quadrada  1 0 2 .


 1 0 0
Se o determinante da matriz (M + xI) é uma função polinomial na variável x, a soma de suas raízes é
igual a
a) -1.
b) 0.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
13)Sejam A=(aij )4x3 e B=(bij )3x4 duas matrizes definidas por aij=i+j e bij=2i+j, respectivamente. Se
A.B=C, então qual é o elemento c32 da matriz C? (94)
14) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças
de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso
médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde


1  1 1 
A = 3 0  x 

2
0 2

3

Com base na fórmula p(x) = detA, determine:
a) o peso médio de uma criança de 5 anos; (18)
b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30kg. (11)
15) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. Se os
2 1 0


números inteiros x e y são tais que a matriz  3 x 4  tem traço igual a 4 e determinante igual a -19,
1 1 y


então o produto xy é igual a
a) - 4
b) - 3
c) - 1
d) 1
e) 3
16) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3.
1 2 3
Se A = 0  1 1 e B é tal que B-1 = 2A, o determinante de B será


1 0 2
a) 24
b) 6
c) 3
d)
1
6
1
e) 24
 3  2
 , uma matriz B, (2x2), e sabendo-se que det(AB) = 26,
17) Dada a matriz A = 
 1 a 
a) expresse det(B) em termos de a.
5 3


b) Sendo B =  6 4  , calcule o valor de a.
a) det B =
26
3a  2
2
3
considerando que a
.
b) a = 5.
18) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n × n, n  2:
I.
II.
O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula.
Se A = (aij) é tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1, 2, …, n, então detA = a11 a22… ann.
III.
Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por
mantendo-se inalteradas as demais colunas, então detB = detA.
2 +1e a segunda por
2 -1,
Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)
a) apenas II.
b) apenas III.
c) apenas I e II.
d) apenas II e III.
e) todas.
1 x 
 e B =
19) Dadas as matrizes A = 
5 1 
2 1

 , a soma das raízes da equação det(A B) = -28 é:
4 x
5
a) 11
3
b) 11
c)
d)

4
5

11
3
11
e) 5
20) Sendo I a matriz identidade de ordem 2 e Muma matriz 2  2, tal que M3 = 8I, então o
determinante de M é igual a:
a) 64
b) 8
c) 4
d) 2
e) 1
21) Usando o teorema de Laplace, calcule:
15
1
3
2
1
1
0
2

0
13
0
1
3
2
3
6
(0)
22) Usando triangulação, calcule:
0
3
0
0
2
0 0 15
0 8 12
0 9 13
0 10 14
1 7 11
0
5
6
0
4
(2700)
23) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue,
embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2
frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos
entregues, no aroma limão, foi
a) 110
b) 120
c) 130
d) 140
e) 150
x  (c  1)y  0
24)O sistema 
, onde c  0, admite uma solução (x, y) com x = 1. Então, o valor de c é:
cx  y  1
a) -3
b) -2
c) -1
d) 1
e) 2
25)Dados os sistemas lineares,
x  y  0
S1: 
S2:
x  y  2
C1x  C 2 y  1

C1x  C 2 y  2
e admitindo-se que S1 e S2 são equivalentes,
a) defina o que são sistemas lineares equivalentes;
b) encontre os valores de C1 e C2.
C1 =
26) Num escritório há 3 impressoras: A, B e C. Em um período de 1 hora:
A e B juntas imprimem 150 folhas;
A e C juntas imprimem 160 folhas;
B e C juntas imprimem 170 folhas.
Em 1 hora, a impressora A imprime sozinha:
a) 60 folhas
b) 65 folhas
c) 75 folhas
3
2e
C2 =
1
2
-
d) 70 folhas
e) 80 folhas
27) Maria tem em sua bolsa R$ 15,60 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Dado que o
número de moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, o total de
moedas na bolsa é:
a) 68.
b) 75.
c) 78.
d) 81.
e) 84.
28) Certa transportadora possui depósitos nas cidades de Guarapuava, Maringá e Cascavel. Três
motoristas dessa empresa, que transportam encomendas apenas entre esses três depósitos,
estavam conversando e fizeram as seguintes afirmações:
1º motorista: Ontem eu saí de Cascavel, entreguei parte da carga em Maringá e o restante em
Guarapuava. Ao todo, percorri 568 km.
2º motorista: Eu saí de Maringá, entreguei uma encomenda em Cascavel e depois fui para
Guarapuava. Ao todo, percorri 522 km.
3º motorista: Semana passada eu saí de Maringá, descarreguei parte da carga em Guarapuava e o
restante em Cascavel, percorrendo, ao todo, 550 km.
Sabendo que os três motoristas cumpriram rigorosamente o percurso imposto pela transportadora,
quantos quilômetros percorreria um motorista que saísse de Guarapuava, passasse por Maringá,
depois por Cascavel e retornasse a Guarapuava?
a) 820 km
b) 832 km
c) 798 km
d) 812 km
e) 824 km
29) A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foi paga, à vista, com cédulas de 10,
50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da passagem foi 1 950 dólares e a quantidade de
cédulas recebidas de 10 dólares foi o dobro das de 100. O valor, em dólares, recebido em notas de
100 pela agência na venda dessa passagem, foi
a) 1 800.
b) 1 500.
c) 1 400.
d) 1 000.
e) 800.
30) Um caminhão transporta maçãs, pêras e laranjas, num total de 10.000 frutas. As frutas estão
condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs,
pêras e laranjas, tem, respectivamente 50 maçãs, 60 pêras e 100 laranjas e custam,
respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa 3300 reais,
calcule quantas maçãs, pêras e laranjas estão sendo transportadas.
2000 maçãs, 3000 pêras e 5000 laranjas.
5x  y  z  0

31) O sistema linear  x  y  z  1
3x  y  z  2

é:
a) Homogêneo e indeterminado.
b) Impossível e indeterminado.
c) Possível e determinado.
d) Possível e indeterminado.
32) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z:
x  2y  z  8

2x  y  3z  2
ax  y  2z  8

a) Encontre o valor de a que torna o sistema impossível ou indeterminado.
b) Utilize o valor de a encontrado no item anterior para verificar se o sistema dado é impossível ou
indeterminado.
a) a = 1.
b) Sistema impossível.
33) Considere o sistema abaixo.
x  y
 1

 1
x  y
x  k 3 y  k

O conjunto formado por todos os valores reais de k, que tornam esse sistema possível, é:
a)  1, 0, 1
b)  0, 1 
c)   1, 0 
d)   1, 1 
e)  0 
34)Marilei vende, em reais, sacolas descartáveis dos tipos I, II e III, a preços de x,y e z,
respectivamente. Os resultados de suas vendas, ao longo de três dias consecutivos, estão
representados na tabela abaixo.
Dias
Sacolas Sacolas Sacolas Total
Tipo I
Tipo II
Tipo III (R$)
Primeiro 0
1
2
13,00
Segundo 5
2
1
21,00
Terceiro 5
1
1
18,00
Com base nessa tabela, o valor de x + y + zé igual a:
a)
R$ 30,00
b)
c)
d)
e)
R$ 25,00
R$ 20,00
R$ 15,00
R$ 10,00
bx  y  1

35) O sistema linear  by  z  1 não admite solução se e somente se o número real b for igual a
 x  bz  1

a) -1.
b) 0.
c) 1.
d) 2.
e) -2.
36) Três barracas de frutas, B1, B2 e B3, são propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas são
controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento b ij representa a soma dos valores
arrecadados pelas barracas Bi e Bj, em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira.
 x 1,8 3,0 
B =  a y 2,0
d c
z 
Calcule , para esse dia, o valor, em reais:
a)
arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2
(1200)
b)
arrecadado em conjunto pelas três barracas.
(3400)
49) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. O traço da
matriz A = (aij)3x3, tal que aij= ij, é:
a) 33.
b) 25.
c) 52.
d) 43.
e) 26.
37) A toda matriz não nula [x y], corresponde um ponto P(x; y) no plano cartesiano, diferente da
origem. Ao se
 0 1
multiplicar essa matriz pela matriz 
 , o ponto P:
  1 0
a) Sofre uma rotação anti-horária de 90º em torno da origem.
b) É projetado ortogonalmente no eixo das abscissas.
c) Sofre uma reflexão em torno do eixo das abscissas.
d) Sofre uma reflexão em torno do eixo das ordenadas.
e) Sofre uma rotação horária de 90º em torno da origem.,
38) Calcule os determinantes:
0 0 0 5
0
3
0
0
a)  2
0
0
0
1
8 2
5
9 3 6
1 4 0
7 1
4
(90)
b)
3
0
11
0
0
1
2
1
1
1
5
6
3
5
3
1 1
0 4
0 2
1 1
0 2
(0)
39) Calcule a inversa das matrizes:
 2 5
A

1 3
 3  5
A1  

 1 2 
1 2
B

1 1 
 1 2 
B 1  

 1  1
3 0 2
C  9 1 7
1 0 1
 1 0  2
C 1   2 1  3
  1 0 3 
 1  2 1
 3 1  3
D
 1  2 1

1 2
2
1
5
3

0
Para responder às questões 40 e 41, leia o texto a seguir.
Criptologia é a área do conhecimento que reúne os estudos da criptografia e da criptoanálise. Ela é
considerada ciência há mais ou menos 25 anos. Antes, era tida como “arte”. Tanto a criptografia
como a criptoanálise são ramos da criptologia. “Cripto” vem do grego kryptos e significa “escondido,
oculto”. Graphos, também do grego, significa “escrever”. Logos significa “estudo, ciência”. Analysis
significa “decomposição”. Então, temos que criptologia é o estudo da escrita cifrada.
A criptografia é tão antiga quanto a escrita. Ela já fazia parte da escrita hieroglífica dos egípcios e os
romanos utilizavam-na como códigos (ou cifras) secretos para comunicar planos de guerra. O
conceito de cifra é dado ao par de algoritmos utilizados para a codificação e decodificação de uma
mensagem. O primeiro código de que se tem notícia foi utilizado por Caio Júlio César (100 – 44
a.C.), imperador romano.
Uma técnica para criptografar mensagens utiliza a multiplicação de matrizes. Transforma-se a
mensagem numa matriz M com duas linhas, substituindo cada letra pelo número correspondente à
sua ordem no alfabeto, conforme modelo apresentado a seguir. Cria-se uma matriz C, invertível, que
é a chave codificadora. O produto MC é a matriz codificada que o recebedor irá receber. Para
decodificar a matriz recebida é necessário ter a chave decodificadora que é a matriz inversa de C,
isto é,
. Para ler a mensagem o recebedor fará o produto
.
LETRA
NÚMER
O
LETRA
NÚMER
O
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Atualmente a criptografia é bastante utilizada na internet. O grande envio de informações através da
rede mundial de computadores exige segurança no que diz respeito ao sigilo dessas informações.
Grande parte do avanço da criptografia se deve à matemática, que estuda e traça estratégias para
tornar as codificações mais complexas e difíceis de serem interpretadas por pessoas que queiram
possuir informações alheias para uso indevido (hackers). Os sistemas de segurança de bancos, lojas
e sites utilizam a criptografia para manter sigilosas as informações de clientes e usuários.
Adaptado de: http://www.mackenzie.br/fileadmin/Graduacao/EE/Producao/2008intertechcriptografia_1_.pdf.Acessado em 30/06/2012.
40)Você enviará para um amigo a palavra “amor”. Para isso, usará como chave a matriz [
]. A
matriz codificada que seu amigo receberá está representada por
]
(A)[
]
(D)[
(B)[
]
(E) [
]
(C) [
]
41) Para seu amigo ler a mensagem que você enviou é preciso decodificá-la. A matriz decodificadora
é a matriz inversa da chave.
Qual é a chave decodificadora que seu amigo possui?
(A) [
(D)
]
[
(B)[
]
(E) [
]
(C) [
]
]
42) Francisco aderiu a um plano de telefonia chamado “Plano sob medida”. Esse plano é montado
pelo cliente de acordo com os serviços que ele quer usar. Francisco escolheu o plano com ligações
para telefone móvel da mesma operadora, telefone fixo e envio de torpedos. No primeiro mês pagou
R$ 74, 00 de conta e falou 150 minutos com telefone móvel, 40 minutos com telefone fixo e enviou
60 torpedos. No segundo mês pagou R$77,00 e falou 200 minutos com telefone móvel, 60 minutos
com telefone fixo e enviou 30 torpedos. Já no terceiro mêspagou R$ 86,00 e falou 100 minutos com
telefone móvel, 100 minutos com telefone fixo e enviou 40 torpedos.
Calcule o valor de cada serviço usado por Francisco.
43) Utilizando o método de Cramer, discuta a sistema {
.
44) Em um feriado um casal reuniu seus três filhos com as esposas e netos para assistir a um filme.
Cada filho deveria levar bolo, sorvete e suco em uma quantidade proporcional ao tamanho de sua
família.
Os filhos compraram os produtos em um supermercado próximo à casa dos pais. O primeiro filho
comprou dois bolos, três garrafas de suco e um pote de sorvete e pagou trinta reais; o segundo
comprou um bolo, uma garrafa de suco e um pote de sorvete e pagou vinte e um reais e cinquenta
centavos; o terceiro comprou três bolos, duas garrafas de suco e um pote de sorvete e pagou trinta e
dois reais e cinquenta centavos.
Agora responda: quanto custa o bolo nesse supermercado?
a b
1 2 
1 0
, B  
 e I  
, em que a, b,ce dsão números reais.
45) Considere as matrizes A  
 0 1
c d 
0 1
Marque, para cada uma das afirmativas abaixo, (V) verdadeira ou (F) falsa.
1(
) Se AB = I, então A + B = I.
2(
) Se A + B = I, então AB = I.
3(
) Se A-1 é a matriz inversa de A, e det(A-1)10 = 1024, então a = 2.
 2
 0
1
) Se Bt é a matriz transposta de B, e X 1    é solução do sistema B t X    , então X 0   
1
 5
 2
5
é solução do sistema BX    .
0
4(
Assinale a seqüência correta:
A) F F F V.
B) V F F V.
C) V V F F.
D) F F V F.
 a b 1


46) Considere a matriz A   1 a 0  , em que a e b são números reais. Considere as informações
 1 a 1


acima e marque para as afirmativas a seguir (V) verdadeira ou (F) falsa.
1(
1 0 1


) Se B   0 1 0  , então, AB = BA.
1 0 0


2) (
) Se b< 0, então a matriz A tem inversa.
3) (
 x  1
   
) Fixando b > 0, o sistema linear A. y   1 é possível e determinado (isto é, tem exatamente
 z  1
   
uma solução), exceto para dois valores de a.
4) (
 x   0
   
) Fixando a> 0, o sistema linear A. y    0  é possível e indeterminado (isto é, tem infinitas
 z   0
   
soluções), exceto para um valor de b.
Assinale a seqüência correta:
A) F V F F.
B) V F V V.
C) V V F F.
D) F F V V.
E) F V V F.