Matemática- 2008/09 -Resolução folhas 16 e 17
1
72. Calcule:
1 2
2 3 3
2
0
4
1
(c) det 4
2
3
2
1
2
4
1
(e) det 3
2
1
(a) det
(b) det
=3
3
0
0 5=
3
3
3
1 5=
2
2
1
1
1
1
=0
3
3 2
1
4
3 5=4
6
(d) det 0 2
7
2 2 6
3
1 2 3 0
6 2 6 6 1 7
7
30
(f) det 6
4 1 0 0 3 5=0
2 0 0 0 0
3
2
3
0 0
0
0
3
2
1
0
0
6 0 0
0
4
0 7
6 1
6
7
2
1
0 7
6
7
6
7 = 120
0
0
1
0
0
(g) det 4
=
5
(h)
det
6
7
0
1
2
1 5
4 0 2
0
0
0 5
0
0
1
2
0
0 30
2
3
2 5 0
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6
6 2 2 2 2 2 2 7
6 1 0 3 4 5 6 7
6
7
6
7
6 3 3 3 3 3 3 7
6 1 2 0 4 5 6 7
7
7
(i) det 6
(j) det 6
6 4 4 4 4 4 4 7=0
6 1 2 3 0 5 6 7 = 720
6
7
6
7
4 5 5 5 5 5 5 5
4 1 2 3 4 0 6 5
6 6 6 6 6 6
1 2 3 4 5 0
2
3
3 0
0 0
6 0
1 0 7
7 = é:
73. O valor do determinante da matriz A = 6
4 0
1 0 5
0 0
0 2
12
2
6
74. det 6
4
0
k 0
k 0
1 1
0 k4
k5
2
0
6
2
k=
2
75. det 4
1
k
1
0
1
0
1
3
k
0 7
7=
1 5
0
12
k4
3
2
k 5=0
3
k2
k3
k=3
2
2
k
6 1
76. As soluções da equação det 6
4 0
1
p
p
k = 7; k =
7
k
k=6
0
1
1
0
1
0
1
1
3
7
1 7
7 = 0 são:
0 5
k
= 1; k =
1
77. Usando determinantes, determine para que valores de
são invertíveis:
p
p
2
2
1+
(a)
: 6=
e 6=
1
2
2
e
k=
k=0
7
k=0
2 R as seguintes matrizes
Matemática- 2008/09 -Resolução folhas 16 e 17
+1
(b) det
2
1
3
2
0 3
4
3 5
(c) det 0 1
1 0 2
6= 1 +
6= 0 e
p
6=
2e
2
6= 1
p
2
3
2
78. Considere os vectores:
1. u = (1; 0; 0), v = (0; 1; 0), w = (0; 0; 1)
2. u = (0; 0; 2), v = (1; 0; 4), w = (2; 1; 0).
3. u = (3; 2; 1), v = (0; 2; 3), w = (2; 6; 7)
4. u = (1; 2; 4), v = (1; 2; 4), w = ( 1; 2; 5) :
Para cada conjunto u; v e w; determine, se possível:
1. u = (1; 0; 0), v = (0; 1; 0), w = (0; 0; 1)
(a) (0; 0; 0)
v = (0; 0; 0)
(b) w
(0; 0; 0) = (0; 0; 0)
(c) u
v = (0; 0; 1)
(d) u
w = (0; 1; 0)
(e) v
w = (1; 0; 0)
(f) v
u = (0; 0; 1)
(g) w
u = (0; 1; 0)
(h) w
v = ( 1; 0; 0)
(i) (u + w)
v = ( 1; 0; 1)
(j) u
(v + w) = (0; 1; 1)
(k) u
(v
w) : = (0; 0; 0)
(l) a equação de um plano com a direcção de u e w e que passe pela origem:
y=0
(m) a área do paralelogramo de…nido por u e v :
ku vk = 1
(n) a área do paralelogramo de…nido por v e w :
kv wk = 1
2. u = (0; 0; 2), v = (1; 0; 4), w = (2; 1; 0).
(a) (0; 0; 0)
v = (0; 0; 0)
(b) w
(0; 0; 0) = (0; 0; 0)
(c) u
v = (0; 2; 0)
(d) u
w = ( 2; 4; 0)
(e) v
w = ( 4; 8; 1)
(f) v
u = (0; 2; 0)
(g) w
u = (2; 4; 0)
Matemática- 2008/09 -Resolução folhas 16 e 17
(h) w
v = (4; 8; 1)
(i) (u + w)
v = (4; 6; 1)
(j) u
(v + w) = ( 2; 6; 0)
(k) u
(v
w) = ( 16; 8; 0)
(l) a equação de um plano com a direcção de u e w e que passe pela origem.
2x + 4y = 0
(m) a área do paralelogramo de…nido por u e v:
ku vk = 2
(n) a área do paralelogramo de…nido por v e w:
kv wk = 9
3. u = (3; 2; 1), v = (0; 2; 3), w = (2; 6; 7)
(a) (0; 0; 0)
v = (0; 0; 0)
(b) w
(0; 0; 0) = (0; 0; 0)
(c) u
v = ( 4; 9; 6)
(d) u
w = (20; 23; 14)
(e) v
w = (32; 6; 4)
(f) v
u = (4; 9; 6)
(f) w
u = ( 20; 23; 14)
(g) w
v = ( 32; 6; 4)
(h) (u + w)
v = ( 36; 15; 10)
(i) u
(v + w) = (16; 14; 20)
(j) u
(v
w) = ( 14; 20; 82)
(k) a equação de um plano com a direcção de u e w e que passe pela origem.
20x 23y + 14z = 0
(l) a área do paralelogramo de…nido por u e v:
p
ku vk = 133
(m) a área do paralelogramo de…nido por v e w:
p
kv wk = 1076
4. u = (1; 2; 4), v = (1; 2; 4), w = ( 1; 2; 5) :
(a) (0; 0; 0)
v = (0; 0; 0)
(b) w
(0; 0; 0) = (0; 0; 0)
(c) u
v = (0; 0; 0)
(d) u
w = (2; 9; 4)
(e) v
w = (2; 9; 4)
(f) v
u = (0; 0; 0)
(g) w
u = ( 2; 9; 4)
(h) w
v = ( 2; 9; 4)
3
Matemática- 2008/09 -Resolução folhas 16 e 17
(i) (u + w)
v = ( 2; 9; 4)
(j) u
(v + w) = (2; 9; 4)
(k) u
(v
w) = (44; 4; 13)
(l) a equação de um plano com a direcção de u e w e que passe pela origem.
2x 9y + 4z = 0
(m) a área do paralelogramo de…nido por u e v:
ku vk = 0
(n) a área do paralelogramo de…nido por v e w:
p
kv wk = 101
79. Considere os vectores:
1. u = (1; 0; 0), v = (0; 1; 0), w = (0; 0; 1)
2. u = (1; 2; 3), v = (0; 9; 4), w = (0; 0; 5).
3. u = (3; 2; 1), v = (0; 2; 3), w = (2; 6; 1) :
4. u = (1; 2; 4), v = (3; 4; 2), w = (2; 4; 8) :
Para cada conjunto u; v e w; determine, se possível:
1. u = (1; 0; 0), v = (0; 1; 0), w = (0; 0; 1)
(a) u (v
(b) (u
w) = 1
v) w = 1
(c) o volume do paralelipípedo de…nido por u; v e w:
j(u v) wj = 1
2. u = (1; 2; 3), v = (0; 9; 4), w = (0; 0; 5).
(a) u (v
(b) (u
w) =
45
v) w =
45
(c) o volume do paralelipípedo de…nido por u; v e w:
j(u v) wj = 45
3. u = (3; 2; 1), v = (0; 2; 3), w = (2; 6; 1)
(a) u (v
(b) (u
w) = 52
v) w = 52
(c) o volume do paralelipípedo de…nido por u; v e w:
j(u v) wj = 52
4. u = (1; 2; 4), v = (3; 4; 2), w = (2; 4; 8)
(a) u (v
(b) (u
w) = 0
v) w = 0
(c) o volume do paralelipípedo de…nido por u; v e w:
j(u v) wj = 0
4
Matemática- 2008/09 -Resolução folhas 16 e 17
5
80. Sejam u = ( 1; 2; 2), v = (0; 5; 3) e w = (0; 0; 7) : Então:
(a) u
v = ( 1; 2; 2)
(0; 10; 6)
(0; 5; 3) =
(8; 8; 6)
(0; 3; 16)
(b) O volume do paralelipípedo de…nido por u; v e w é:
42
35
35
(4; 3; 5)
42