20/07/2010
1. DEFINIÇÃO
Chama-se de MATRIZ a um conjunto de números
dispostos de maneira retangular.
Exemplos
 2

A  1
 4

Prof. Adroaldo Lima
8

5
3 
B  0
1
6
4
C 
5
1
6
9
Atenção
C1 C2 C3 C4
8

5
1

L1
L2
L3
2. MATRIZ GENÉRICA ou MATRIZ LITERAL

3x2
5
6
8
7

2
2 
Ordem da Matriz
3x4
São matrizes que possuem características importantes.
a) Matriz Linha → É a matriz que possui uma única linha.
Exemplos
ij
0
3
3. TIPOLOGIA DAS MATRIZES
É uma matriz que representará todas as matrizes de
mesma ordem que a sua.
1)  a
3
a

 a

a
a 

a 

a 
11
12
21
2)  b
22
31
32
ij

3x3
b

 b

b
11
b
12
21
b
22
31
b
32
b 

b 

b 
Exemplo
13
23
33
Atenção
B  0
1
6
4
1x 4
b) Matriz Coluna→ É a matriz que possui única coluna.
Exemplo
2
A   
7 
c) Matriz Nula → É a matriz que possui todos os elementos
nulos.
Exemplo
0 0 0 
O  

0 0 0 
2 x1
Todos os elementos de uma matriz tem a sua própria
ordem.
Linha
aij
Coluna
2x3
3. TIPOLOGIA DAS MATRIZES
OBSERVAÇÕES
d) Matriz Oposta→ É a matriz que será obtida trocando os
sinais dos seus elementos.
Exemplo
2
A  
4
1
5
0 

 7
2x3
 2
A  
 4
0

7
1
5
e) Matriz Quadrada ( Nº de Linhas = Nº de Colunas )
→ Quando as matrizes são quadradas, elas possuem
duas diagonais.
Ds
Diagonal Secundária
b
b 
Exemplo
b
(i + j = constante)


B  b
b
b 


b
b 
b
11
2x3
6

9
2x2
2

2) A   1

3
3
0
4
0

5

5
13
21
22
23
31
32
33
Dp
Exemplos
2
1) A  
3
12
→ Traço da Matriz: É a soma dos
elementos da Dp.
Diagonal Principal
(i = j)
Exemplo
3x3
2
A 
3
6

9
Tr(A) = 2 + 9 = 11
2x2
1
20/07/2010
e.1) Matriz Diagonal → É a matriz quadrada cujos
elementos não pertencentes à Dp são nulos.
Exemplo
2
D 
0
0

9
2x2
4. IGUALDADE ENTRE MATRIZES
Para que duas matrizes de mesma ordem sejam
iguais, é necessário que os elementos que ocupem a
mesma posição sejam iguais.
Exemplo
e.2) Matriz Escalar → É a matriz diagonal, onde os
elementos da Dp são iguais.
Exemplo
9
E 
0
0

9 2x2
e.3) Matriz Identidade → É a matriz escalar, onde os
elementos da Dp são iguais a 1.
Exemplo
1
I 
0
2
0

1
3

 x
2y    3

z  1  2
2y = 8 → y = 4
8

5
-x=2→x=-2
z–1=5→z=6
2x2
5. OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES
5. OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES
a) Adição ou Subtração
b) Produto
→ Produto de uma matriz por uma constante
Para adicionar ou subtrair matrizes de mesma ordem,
devemos operar elementos que ocupem a mesma
posição.
Exemplos
3
 2
1) 
1
4
2) 
0
0
4 1

7 3
 2  3

1   3
4
5
0  3
 
 2 2
5
1
 
1
3
b) Produto
→ Produto entre matrizes
1
5
4

5
 7

0 
A mxn . B nxp  C mxp
 Condição: Nº de colunas da 1ª = Nº de linhas da 2ª
 Ordem da matriz resultante: L1ª x C2ª
Exemplo
2

4

3
1 

2
 1
.
3

0 3x 2
0


4 2x2
 2 .2  1 .3

 4 .2  1 .3

 3 .2  0 .3
7

A .B  5

6
4 

 4

0 3x 2
2 .0  1 .4 

4 .0  1 .4 

3 .0  0 .4  3 x 2
3
1
2
5
Considere a matriz A  
4 
 , determine:
 8
Exemplos
6
2
4
10
3

1
2
2) A  
2
 1

1
1) 2 A  
2
5
2
8 

 16 

2 

 4 

OBSERVAÇÕES
→ O produto AxB ≠ BxA, geralmente não é comutativo.
→ Para multiplicar uma matriz escalar por uma qualquer,
quando possível, basta multiplicar cada elemento da
matriz pelo número localizado na Dp.
Exemplo
2

4

3
1 

2
 1
.
0

0 3x 2
CONCLUSÃO
4

0
 8

2 2x2

6
2 

 2

0 3x 2
A . In = A
2
20/07/2010
6. MATRIZES ESPECIAIS
6.2) Matriz Simétrica → Uma matriz quadrada A é dita
simétrica quando: A = At
6.1) Matriz Transposta (Xt) → É a matriz obtida quando
trocamos de posição os elementos da linha e coluna.
Exemplo
Exemplos
6
2
4
10
2
3

4 2x2
1) A  
2) B  
0
6

t
A  2

8
8

3 2x3
2
t
B 
3
4 

10 

3 3x 2
0

4 2x2
Propriedades das matrizes transpostas
1)
(At)t
=A
2) (A +
B)t
=
At
+
 2

A   3

 5
3
 2

A   3

 5
3
0
7
0
7
5 

7 

1 
3x3
 2

A   3

 5
5 

7 

1 
3x3
t
3
0
7
5

7

1 3x3
DICA: Os elementos
eqüidistantes da Dp
são iguais.
Bt
3) (A . B)t = Bt . At
6.3) Matriz Anti-Simétrica → Uma matriz quadrada A é
dita anti-simétrica quando: - A = At
Exemplo
 0

A  3

 5
0

A  3

5
5 

7 

0 
3x3
3
0
7


7 

0 
3x3
3
5
0
7
 0

t
A   3

 5
3
0
7
 5

7 

0 3x3
Prof. Adroaldo Lima
DICA: Os elementos da Dp
são nulos e os eqüidistantes
da Dp são opostos.
1. DEFINIÇÃO
2. CÁLCULO DOS DETERMINANTES
Seja uma matriz quadrada A de ordem n (n ≥ 1). A
essa matriz está associado um único número chamado
determinante de A.
2.1) Determinantes de 2ª Ordem
2
Exemplos
2
A 
9
B  0
2
C  5
5
Exemplos
1) A  
4
→ Ǝ det A

3 2x2
1
2) C 
4 1 x 4 → Não existe det B, pois a matriz
B não é quadrada.
6
7
1
0
1
4
4
9
3)
→ Ǝ det C
4

3
3
5
4
7
3
5
1
3
Det A = 2.3 - 1.4 = 2
Det C = - 3.7 - (- 4).5 = - 1
 3.3 - 1.5 = 4
3x3
3
20/07/2010
2. CÁLCULO DOS DETERMINANTES
Atenção
2.2) Determinantes de 3ª Ordem (Regra de Sarrus)
Menor Complementar (MC)
Exemplo
É o determinante associado a um elemento de uma
matriz quadrada, quando suprimimos sua linha e coluna.
 1

A  3

1
2  1

1  3

 3 1
4
0
2
4
Exemplo
0
Determine o menor complementar do termo a23 na
matriz abaixo.
2
(MC)
Det A = 1.0.(-3) + 4.1.(-1) +2.3.2 – (-1).0.2 – 2.1.1 – (-3).3.4
Det A = 0 – 4 + 12 + 0 – 2 + 36
Det A = 42
 1

A  3

1
2 

1 

 3
4
0
2
1
4
1
2
 1 . 2  (  1). 4  6
Atenção
2. CÁLCULO DOS DETERMINANTES
Complemento Algébrico ou Cofator
2.3) Teorema de Laplace
(Cálculo para determinantes de qualquer ordem)
É o determinante obtido pelo produto entre o MC e o
fator (- 1) i + j.
Exemplo
Exemplo
1
1
0
0 P1º) Escolhe-se uma fila qualquer.
Determine o cofator do termo a23 na matriz abaixo.
6
3
0
0
0
4
3
2
5
0
1
0 P2º) Multiplica-se cada elemento da fila
 1

A  3

1
4
0
2
2 

1 

 3
 1
23
.
1
4
1
2
   1 . 6   6
Regra prática para Matriz Inversa de 2ª Ordem
Se uma matriz A quadrada de ordem n tem como
inversa A- 1 de ordem n, então é válida a igualdade:
A- 1 =
A- 1 .
A = In
2
Exemplo Calcule a matriz inversa de A  
2

4
1 a
. 
3 b
escolhida por seu cofator..
P3º) O determinante associado a matriz
original será a soma dos determinantes
parciais obtidos no P2º).
3. MATRIZ INVERSA
A.
Sugestão: Escolhe-se a fila com o maior
número de “zeros”.
c 1

d 0
4
0

1
2a  b  1

4a  3b  0
2c  d  0

 4 c  3d  1
a  3/2
c  1 / 2
b  2
d 1
A
1
1
.
3
 3
 2

 2
1

2
1 

(1º Passo) Troca-se de posição os elementos da Dp.
(2º Passo) Troca-se de sinais os elementos da Ds.
(3º Passo) Divide-se todos os elementos da matriz pelo
determinante associado a matriz original.
2 1
Exemplo Calcule a matriz inversa de A  
.
 4 3
 1
 1
 3
 3




2 
2 
1
 4
 4
A 

det A
2
A
1
 3
 2

 2
1

2
1 

4
20/07/2010
Observações
4. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Propriedades que anulam um determinante:
 Uma matriz será dita inversível se, somente se, o
determinante associado a ela for diferente de “zero”.
 Uma matriz é dita singular quando o determinante
associado a ela for “zero”.
 Sendo a matriz
A-1
inversa de A, temos:
det A
1
 O determinante é nulo quando tem uma fila toda nula.
1
2
3
0
0
0  0
1
3
7
 O determinante é nulo quando tem duas filas iguais ou
proporcionais.
1

det A
IGUAIS
1
2
3
5
1
8  0
1
2
3
X4
1
2
3
5
1
8  0
4
8
12
Propriedades que alteram um determinante:
Propriedades que alteram um determinante:
 Um determinante muda de sinal quando duas filas
paralelas mudam de posição.
 Se A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem,
então det(A.B) = det A . det B. (Teorema de Binet)
2
3
4
5
 2
3
2
5
4
 2
 Quando se multiplica ou divide uma fila de um
determinante por uma constante, o novo determinante
fica multiplicado ou dividido por está constante.
x3
3
2
5
4
 2
3
6
5
12
 6
Exemplo Calcule o determinante de A.B.
2
A 
3
1
 → det A = 2.4 – 3.1 = 5
4
0
B 
1
4
 → det B = 0.2 – 1.4 = - 4
2
det (A.B) = det A . det B
det (A.B) = 5 . (– 4)
det (A.B) = – 20
Atenção
Uma matriz quadrada é dita triangular, quando aij = 0,
para i > j ou i < j.
Exemplo
2

A  0

0
7
3
0
1

5

4
Dp
 Em uma matriz triangular, o determinante é igual
ao produto da Dp.
2 7 1
0
3
5  2 . 3 . 4  24
0
0
4
Prof. Adroaldo Lima
Dp
5
20/07/2010
1. EQUAÇÃO LINEAR (E.L.)
2. SISTEMA LINEAR
É toda equação do 1º grau, do tipo:
É um conjunto de equações lineares.
ax + by + cz + ... = w
onde:
I) a, b, c, ... → COEFICIENTES
II) x, y, z, ... → INCÓGNITAS
III) w → TERMO INDEPENDENTE
Exemplos
Equação Linear Homogênea
1) 2x + y = 10
Termo Independente = zero
Exemplo
Matriz Incompleta: matriz
3  formada pelos coeficientes.
2


2x  3y  1  1  1

Matriz Completa: matriz
1
x  y  2
2 3

 formada pelos coeficientes
e termos independentes.
2
1 1
Atenção
Um Sistema Linear é dito Homogêneo (SLH), quando
todos os termos independentes forem zeros.
Exemplo
3 x  5 y  0

x  y  0
2) - 13x + 3y – 5z = 0
3) x3 + 5y = 10 → não é E.L.
3. SISTEMA NORMAL
4. REGRA DE CRAMER
É um sistema que possui uma única solução.
A Regra de Cramer consiste em determinar o valor de
cada incógnita dividindo o seu determinante secundário
pelo determinante principal.
1) Nº de equações = Nº de incógnitas
2) Δp ≠ 0, onde Δp é o determinante da matriz incompleta.
Exemplo
Exemplos
1)  x  y  4
p 

x  y  6
1
1
1
1
 2 Sistema Normal
p 
2)  x  y  7

x  z  0
x 
x  y  4

x  y  6
1
1
1
1
4
1
6
1
Não é um Sistema Normal
x 
y 
 2
5. SISTEMAS ESPECIAIS
a) Sistema Indeterminado
b) Sistema Impossível
Exemplo
Exemplo
1)  x   y   z  ...  0
p 
x 
y 
p  0
2
1
4
2
4
1
8
2
2
4
4
8
2) Admite infinitas soluções.
p 
 0
 0
 0
x 
y 
x
p
y
p

0
 
0

0
0
 
1)  x
x  y  4

x  y  2
x 
y 
1
1
1
1
4
1
2
1
1
4
1
2
p
y
p
y 
 10
5. SISTEMAS ESPECIAIS
2x  y  4

4x  2 y  8
x
ou
10

5
2
→ S = {(5; 1)}
2

1
2
1
4
1
6
y
ou
 2
z
ou
...  0
p  0
2) Não admite solução.
 0
 2
 2
x 
y 
x
p
y
p

2
 não existe
0

2
 não existe
0
6
20/07/2010
5. SISTEMAS ESPECIAIS
c) Sistema Linear Homogêneo (SLH)
(1º Caso)
(2º Caso)
x  y  0

x  y  0
2x  y  0

4x  2 y  0
p 
1
1
1
1
 2
x  y  0
O sistema admite apenas
a Solução Trivial.
p 
2
1
4
2
 0
x  y  0
O sistema admite infinitas
soluções, inclusive trivial.
S = {(0; 0)}
7