PLANO DE AULA (Macro aula)
1-Dados de identificação
IFC-Instituto Federal Catarinense - Campus Sombrio
Município: Sombrio, SC.
Disciplina: Matemática
Série: 2º ano
Nível: Ensino Médio
Professora: Mara Cristina Baltazar
Turma: A
Tempo previsto: 4 h.a.
2-Tema: Matrizes e Determinantes
2.1- Subtemas: Tipos de matrizes, Operações com matrizes, determinante, propriedades
dos determinantes, matriz inversa.
3- Justificativa
As matrizes são muito utilizadas em desenhos cinematográficos, páginas da
internet e fotos de máquina fotográfica digital, imagem de Tvs. Essas imagens podem
ser criadas por softwares a partir de combinações de pixels em formas de tabelas, ou
matematicamente dizendo “matrizes”.
Objetivos:






Identificar e representar os diferentes tipos de matrizes.
Efetuar cálculos envolvendo as operações com matrizes;
Resolver problemas utilizando a linguagem matricial;
Relacionar Determinantes com Matrizes;
Resolver Determinantes de 2º e 3º ordem;
Utilizar as propriedades de determinantes;
5- Conteúdos envolvidos
Efetuar cálculos com matrizes e determinantes.
6-Estratégias:
Aula expositiva e dialogada com exemplos e uso de tecnologias.
6.1- Recursos:
Quadro, pincel, recurso tecnológico, software winmat, material disponível em
sala de aula.
6.2- Técnicas:
Aula expositiva e dialogada, atividades aplicando o software Winmat e
exemplos do conteúdo em sala de aula.
7-Procedimentos:
Após apresentar uma situação problema, será apresentado o conteúdo com uma aula
expositiva e dialogada e com exemplos. O software Winmat será utilizado nas propriedades do
determinante.
7.1- Problematização:
O iogurte é um alimento derivado do leite, tendo assumido
várias cores nas prateleiras dos supermercados,
dependendo do elemento a ele incorporado. A oferta de
marcas, cores, sabores e consistência é grande. Os
iogurtes fornecem proteínas, vitaminas A, D e E, cálcio e
fósforo. Alguns recebem ferro e fibras e o mais importante
é que dificilmente ultrapassam 5% de gordura, fator muito
observado pelos usuários, principalmente os que cultuam
as formas de um corpo ideal, baseando nas proporções
divulgadas
pela
mídia,
e
também
os
que
seguem
prescrição
médica.
<http//saúde.abril.com.br/livre/speciais/especial_gordura/1209pop2.html.>
Acessado
em
29/09/04(adaptado)
Os teores de magnésio e sódio, presentes em 100 ml de iogurte feito com leite integral
ou com leite desnatado, estão representados pelas variáveis x, y, z, t na matriz;
Com leite
Integral
x
M 
z
Com leite
Desnatado
y  magnésio(mg )
t  sódio(mg )
Sendo,
M  (aij ) 2 x 2





5i  j 3 , se i  j
i 1
2.10  10 j 2 , se i  j
3i 4  2 j , se i  j
Com base no texto e em seus conhecimentos, determine:
a) A quantidade de magnésio encontrada em 100ml de leite desnatado e a quantidade de
sódio encontrada em 100 ml de leite integral.
b) A matriz representada pela soma do triplo da matriz M e de 2
3
da matriz oposta de M.
7.2- Historicização
7.2.1- Matrizes
Arthur Cayley nasceu em 16 de agosto de 1821 em Richmond na Inglaterra.
Vindo de uma família de comerciantes, seu pai desejava que continuasse os negócios da
família, porém em 1835 ingressou no King´s College School onde sua aptidão para a
matemática se tornou mais aparente, assim seu pai resolveu envia-lo para Cambridge.
Em 1838 começou seus estudos no Trinity College em Cambridge onde se
graduou em 1842.
A partir de 1849 trabalhou catorze anos como advogado, desistindo da docência,
pois continuar nela implicaria em tomar hábitos religiosos. Embora muito hábil nessa
carreira, a considerava apenas como uma forma de sustento para prosseguir com a
matemática. Durante esses catorze anos publicou aproximadamente 250 trabalhos
matemáticos, a maioria sobre a teoria dos invariantes algébricos.
No período em que era estudante conheceu James Joseph Sylvester, também
um ícone da álgebra britânica. Como ambos pesquisavam as mesmas áreas, tornaram
grandes amigos. E foi nessa época então que Cayley, 1855 escreveu um artigo usando
os termos Matriz (termo este que já teria sido usado por Sylvester a cinco anos antes)
salientando que como pela lógica a noção de Matriz antecedesse a de Determinantes o
que historicamente não era correto, pois os Determinantes já eram usados na resolução
de sistemas lineares muito antes da criação das matrizes. Os chineses alguns séculos
antes de Cristo já resolviam sistemas de equações lineares por processos em que está
implícita a ideia de matriz.
Cayley introduziu as matrizes em seu artigo simplesmente para facilitar a
notação no estudo de transformações dadas por equações lineares simultâneas. Por
exemplo, a observação feita por ele do efeito de duas transformações sucessivas sobre
uma transformação dada, sugeriu-lhe a definição de multiplicação de matrizes (linhas
por colunas), operação que como ele próprio verificou não gozava da propriedade
comutativa. Nesse mesmo artigo Cayley propôs, ainda que resumidamente, a ideia de
matriz inversa. Três anos depois, num outro artigo, Cayley introduziu as operações de
adição de matrizes e multiplicação de matrizes por escalares, colocando inclusive suas
propriedades.
7.2.2- Determinantes
O estudo sobre determinantes precedeu o estudo de matrizes, feito por Cayley. A
definição de determinantes é atribuída ao matemático alemão Gottfried Leibniz (16461716) e teria sido realizada em 1963.Mais tarde, em 1750, o matemático e astrônomo
suíço Gabriel Cramer (1704-1752) publicou a solução de sistemas lineares através da
“Regra de Cramer”
Em1683, paralelamente a Leibniz, o Oriente resolvia sistemas lineares por
intermédio do matemático japonês Kowa, de forma parecida com a usada hoje.
No século XVIII outros matemáticos, como Bézout, Vandemonde e Laplace,
deram sua contribuição para aperfeiçoar esse estudo, consolidado no século XIX por
Cauchy e Jacobi.
O francês Pierre Laplace (1749-1827) viveu num século em que a Europa
respirava o clima revolucionário, em particular seu país de origem envolvido com a
Revolução Francesa.
O clima de guerra leva a Igreja e o Exército a chamar a seus homens da ciência,
Laplace, por exemplo, foi um dos matemáticos indicados por Napoleão para ocupar
postos administrativos.
No conjunto de suas realizações, Laplace contribuiu de forma significativa para
a Matemática. Seu objetivo maior, porém, foi a Astronomia. Sua obra principal é a
mecânica celeste. Nesse percurso precisou solucionar alguns problemas matemáticos,
que acabaram por se tornar valiosíssimos, como a teoria das probabilidades e o conceito
de potencial. Esses trabalhos fizeram dele um dos principais matemáticos de seu tempo
7.3- Operacionalizações da aula
Iniciar a aula fazendo um breve Historicização sobre matrizes, disponibilizar via E
mail para os alunos uma apostila contendo um texto relacionado com a história de matizes e
determinantes, seus conceitos e propriedades.
O que é matriz? Chamamos de matriz do tipo
mxn
(Lê-se “m por n”) a toda
tabela constituída por m x n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Notação:
As matrizes são representadas em forma de tabela de dois modos diferentes: usando-se
parêntese ou colchetes.
Exemplos:
1 3
1x2
1 
 2 2x1
 
1 4 0 
 2 6 2


4 0 4
3x3
Tipos de matriz:
Matriz retangular: m
n (número de linhas é diferente de números de coluna)
 2 1 0
3 2 1 2x3


Matriz linha: m=1
1 3
1x2
Matriz coluna: n=1
1 
 2 2x1
 
Matriz nula:
Quando todos os elementos da matriz são zeros.
0 0 

0 0  2 x 2
02 = 
Matriz Quadrada:
Uma matriz quadrada do tipo mxm é dita de ordem m :
Assim :
m=n (número de linhas é igual ao número de coluna)
 3 2
7 0 2x2


Matriz Triangular
Matriz Diagonal
Quando todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos.
4 0 0
0 2 0


0 0 3
Matriz Identidade
É uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são todos 1, e os
elementos fora da diagonal principal são todos 0.
Importante a matriz identidade é elemento neutro do produto de matrizes.
Matriz Nula
É uma matriz de qualquer tamanho onde todos os elementos são ZERO.
Matriz Oposta
É quando se obtém trocando os sinais dos elementos de A. Identificamos por –A
Exemplo:
 3 2

A=  7
0


 3  2

- A=  7
0


Matriz Transposta
Matriz transposta de A: At
Linhas de uma = coluna da outra
Matriz Simétrica
Quando uma matriz quadrada A é igual à sua transposta At (A=At), dizemos que A é uma matriz
simétrica.
Exempo:
1 2 3 
A  2 0 4 que é igual
3 4 6
1 2 3 
At  2 0 4
3 4 6
Igualdades de Matriz
Representação genérica:
Uma matriz A do tipo 3x3 é representada genericamente por:
 a11 a12 a13 
a

a
a
23 
 21 22
a31 a32 a33  3x3
Podemos também representar por A= ( a ij ) 3x 3 em que i e j indicam, respectivamente, a posição
da linha e da coluna
aij .
Exemplo:
2

4
2

8 0

2 6
1 3
a11  2 a12  8 a13  0
a21  4 a22  2 a23  6
a31  2
a32  1
a33  3
Assim:
a13
 a11 a12
a
a 23
 21 a 22
 a31 a32
a33




a m1 a m 2 a m3




a1n 
a 2 n 
a3n 
 

a mn 
Operações com Matrizes
Adição
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é a matriz, também de mesma ordem,
obtida com a adição dos elementos de mesma posição das matrizes A e B.
Sendo as matrizes A  (aij ) m x n e B  (bij ) m x n , a soma de A e B é a matriz
A+B = (aij  bij ) m x n
Exemplo:
Dadas a matrizes:
 1 0 3
A

  4 7 2
2 3 1 
B

5 0  2
Assim temos;
Propriedades da Adição:
Considerando matrizes de mesma ordem, são validas as seguintes propriedades:
P1 Comutativa:
A + B = B+A
Exemplo:
Dadas as Matrizes:
1 2 
3 5
A
e
B


7 8
8  4


É valido que:
A
+
1 2 
A
 
8  4
B
=
3 5
B

7 8
 4 7
15 4


B
=
=
+
A
3 5
B

7 8

1 2 
A

8  4
 4 7
15 4


P2 Associativa
A + (B + C) = (A + B) + C
Dadas as matrizes:
4  1
C

5 3 
3 5
B

7 8 
1 2 
A

8  4
É válido que:
A
+
(B
+
C)
=
(
A
+
B)
+ C
 1 2  3 5  4  1
1 2   3 5 4  1 




A

+
=
  7 8 5 3  
 8  4  7 8   5 3 
8

4
 

 
 


 

1 2 
7 4
8  4 + 12 11




=
 4 7
4  1
15 4 + 5 3 




 8 6
20 7


=
 8 6
20 7


P3 Elemento simétrico
A matriz oposta da matriz A de ordem m x n é a matriz –A de ordem m x n, cujos
elementos de mesma posição são simétricos.
A + (- A) = 0
seja a matriz:
1 2 
A

8

4


É válido que:
A
+
1 2 
8  4 


(-A)
= 0
  1  2 0 0
 8 4   0 0

 

P4 Elemento neutro
A+0=A
1 3 
A
 é válida que:
5  2
1 3  0 0 1 3 
5  2  0 0  5  2

 
 

Subtração de matrizes
A diferença entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é a matriz obtida pela
adição da matriz A com a oposta da matriz B, ou seja:
A–B= A+(-B)
 1 0 3
2 3 1 
A
B


5 0  2
  4 7 2


Multiplicação de um número real por uma matriz
O produto de um número real K por uma matriz A é obtido pela multiplicação de cada elemento
da matriz A por esse número real K.
Exemplos:
Propriedades
P1=
P2=
P3=
P4=1. A = A
Multiplicação de matrizes
Para a multiplicação entre matrizes precisamos de uma técnica mais elaborada do que as
que vimos até agora.
Primeiro observamos que só definimos o produto de AB de duas matrizes quando o
número de colunas de A for igual ao número de linhas de B; além disso, notamos que o produto
de AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B:
Condição:
Como proceder:
Cada elemento da nova matriz C é calculado multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz
B e, a seguir, somando-se os produtos obtidos .
Exemplos
Dada a matriz:
3 2
A  5 0
1 4 3 x 2
3 1 
e B

6
2

2 x 2
Vamos determinar AB.
Como A é uma matriz 3 x 2 e B é uma matriz 2 x 2, o número de colunas de A é ig:ual
ao número de linhas de B; assim, está definido o produto AB, que será uma matriz 3 x 2, isto é:
 c11 c12  3 2
3.3  2.6 3.1  2.2  21 7
3
1


AB  c 21 c 22   5 0.
 5.3  0.6 5.1  0.2  15 5

6 2
c31 c32  1 4 
1.3  4.6 1.1  4.2  27 9
Propriedades da multiplicação
P1 Associativa
(A . B) . C = A . (B . C)
Exemplo:
 0 2
A

  6 3
1 3
1 3
B
C


2 5
2 1
(A . B) . C =
4 10 
1 3  24 22 
AB  
.C  




0  3
2 1  6  3
A . (B . C)
 0 2   7 6    24 22 

A
.  BC 


  6  3

6
3
12
11

  
 

P2 Distributiva
(A + B) . C = A . C + B . C
C . (A + B) = C . A + c B
Exemplo:
 0 2
A


6
3


1 3
B

2
5


P3 Elemento Neutro
A m x n . In = A
Exemplo:
 0 2
A


6
3


1 0
B

0
1


Temos que A.B = A
P4
(K . A m x n) . B m x p = A . (K . B) = K . (A . B), com K
Exemplo:
 0 2
A


6
3


P5
1 3
B

2
5


(A m x n . B n x p) t = B t . At
Exemplo:
Reais.
 0 2
A


6
3


1 3
B

2
5


Observação importante
A propriedade comutativa não é válida para a multiplicação de
matrizes.
Em geral
A.B
B.A
Exemplo:
 0 2
A


6
3


1 3
B

2
5


Porém em alguns casos:
A . B = B . A elas comutam.
Exemplo:
 1 0
 2 0
A
B


 1 1
  1 2
Determinantes
Determinante de uma matriz é um número real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras.
Inicialmente vamos ver de 1º ordem, 2ª ordem .
Notação: sendo a matriz
1 3
1 3
A= 
, o seu determinante é indicado como det A =
.

7 8
7 8
 Determinante de uma matriz quadrada de 1ª ordem
A= a11 
det A= a11
Exemplos:
a) A = (6) det A = 6
ou
b) B = (-9) det B = -9
ou
A= 61x1
é det A = 6
A=  91x1 é det A = -9
 Determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem
 a11 a12 
O determinante da matriz A = 
 , é o número real obtido através do produto
a21 a22  2 x 2
dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal
secundária:
Det A =
a11
a12
a21 a22
 a11. a22  a12 . a21
Exemplos:
1 2 
Determinante da matriz B = 
 é
4 9 
det B
1 2

4 9
det B = 1.9 – 2.4
det B = 9 – 8 , det B = 1
 Determinante de matrizes quadradas de ordem n, n≥2,
Esse cálculo do determinante pode ser feito empregado um processo denominado regra
de Sarrus.
 a11 a12
A = a 21 a 22
a31 a32
a13 
a23 
a33  3 x 3
1º Passo: Escrevemos a matriz e repetimos a 1º coluna e a 2º coluna à direita da
3º coluna:
a11
a12
a13
a11
a21 a22
a23
a21 a22
a31
a33
a31
a32
a12
a32
2º Passo: Efetuamos a adição algébrica dos produtos dos elementos indicados
pelas setas conforme o esquema:
a11
a12
a13
a11
a21 a22
a23
a21 a22
a31
a33
a31
a32
a12
a32
Det A = a11. a22. a33  a12 . a23. a31  a13. a21. a32  a13. a22. a31  a11. a23. a32  a12. a21. a33
Exemplos:
Calcule o determinante das matrizes:
a)
1 2  3

2 
A= 4 5

1 0 4 
1 2 31 2
Det A =
Det = 1.5.4+2.2.1+(-3).4.0 - (-3).5.1-1.2.0-2.4.4
Det = 20+4-0+15-0-32
Det= 24-17=7
4 5
2 4 5
1 0
4 1 0
b)
1 2 0 


B= 2 5 0


1 2 3
1 2 01 2
Det B= 2 5 0 2 3
1 2 31 2
Det=(1.5.3)+(2.0.1)+(0.2.2)-0.3.1)-1.0.2)-(2.2.3)
Det B = 15+0+0-0-0-12
Det B= 3
c)
3 1 5 


C= 2 0  2


 1 4  3
Det C =
3
1
5
3
1
2
0 2 2
0
1 4  3 1 4
Det C = 0+2+40-0+24+6
Det C = 72
d)
3 5  1 

2 
D= 0 4

0 0  2
Det D = -24+0+0+0+0+0
Det D = -24
3 5
det D= 0
4
1 3 5
2 0 4
0 0 2 0 0
Propriedades de Determinantes:
SEQUÊNCIA PARA UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE WINMAT
Propriedades e Teoremas dos Determinantes – Software Winmat
Propriedade I:
1.
Abrindo o software Winmat escolha a opção matriz a seguir nova, aparecendo uma
pequena janela intitulada nova matriz real nela podemos escolher a ordem da matriz
e na
Opção nome nomear a matriz.
2.
Na opção Tamanho escreva (
), na opção nome escolha A e com a opção criar
crie a matriz. Surgirá na janela de visualização uma matriz
, para editar seus
valores basta selecionar sua célula, inserir um novo valor e pressionar enter.
3.
Na matriz criada edite seus valores, para gerar a matriz [
].
Como fazer:
Selecione
e escreva 2, a seguir pressione enter. Repita este passo para
inserir o número 3 selecionando o elemento
.
Note que os valores da matriz estão com cinco casas decimais, para deixar os
valores com duas casas decimais selecione a opção editar na caixa de diálogo da
matriz criada e escolha a opção formato a seguir insira o número dois na opção
números decimais finalizando com ok.
4.
Para calcular o determinante dessa matriz selecione a opção calc da janela
principal, a seguir escolha a opção uma matriz e posteriormente A. Aparecerá uma
caixa de diálogo com diversas descrições, dentre elas determinante, aparecendo
neste item o cálculo do determinante da matriz criada. Qual é o valor do
determinante desta matriz?
Outros exemplos (para cada nova matriz criada escolha um nome diferente):
a) [
]
b) [
√
√
√
]
c) [
].
Qual o determinante desta matriz? Compare esta matriz com a matriz criada
anteriormente existe alguma característica em comum? Se não possui, o que as
diferencia?
Conclusão:
Por meio destes exemplos, observamos que se todos os elementos de uma linha
ou coluna de uma matriz quadrada forem nulos, o seu determinante é zero, assim temos
a 1ª propriedade dos determinantes.
5.
Feche as duas últimas janelas criadas.
Propriedade II:
6.
Crie uma nova matriz de ordem
7.
Insira a matriz [
8.
Crie uma nova matriz, na opção tamanho escreva (
crie a matriz.
9.
Insira a matriz [
10. Insira a matriz [
, renomeando por A.
], calcule o determinante desta matriz.
) e com a opção criar e
], calcule seu determinante.
]. Qual seu determinante?
11. Insira a matriz [
], calcule o determinante desta matriz.
12. Insira a matriz [
], Calcule o determinante
13. Insira a matriz [
], Calcule o determinante
Compare seus resultados, o que elas têm em comum?
Conclusão:
I)
II)
Se a matriz A tiver duas linhas ou duas colunas formadas por elementos
respectivamente iguais, então o det A= 0,
Os elementos de duas linhas serem proporcionais, ou duas colunas com
elementos proporcionais o det A= 0.
Propriedade III:
14. Com a opção matriz e a seguir nova, crie as seguintes matrizes:
a) [
], calcule seu determinante e o determinante de sua transposta, compare
os resultados.
b) [
]. Qual seu determinante e o determinante de sua transposta?
c) [
]. Qual o determinante e o de sua transposta?
Conclusão:
Sendo
a matriz transposta de A, então
.
Propriedade IV
15.
Crie as matrizes:
a) [
], multiplique uma linha ou uma coluna por um 3 e calcule seu
determinante.
b) [
], multiplique uma linha ou uma coluna por um 2 e calcule seu
determinante.
c) [
] multiplique uma linha ou uma coluna por um 7 e calcule seu
determinante.
Conclusão: Multiplicando-se os elementos de uma fila de A por um número k, o
determinante da nova matriz é tal que:
.
Propriedade V:
16.
Crie as matrizes abaixo calcule seus respectivos determinantes e a seguir crie uma
nova matriz para cada matriz dada trocando de lugar duas filas paralelas de cada
matriz:
a) [
b) [
]
]
c) [
]
Conclusão:
Se B é a matriz que se obtém de A, quando trocadas entre si as posições de duas
filas paralelas, tem-se:
.
Portanto sendo A uma matriz de ordem n, as principais propriedades dos determinantes
são as seguintes:
P1= Se os elementos de uma fila de A forem todos iguais a zero, então det A=0
2 1
 det A= 0
0 0
Exemplo: A 
P2= Se a matriz A tiver duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente iguais,
então det A=0
 2 1 3 2 1


Exemplo: A 2 2 2 2 2


2 2 2 2 2
det= 2.2.2+1.2.2+3.2.2-3.2.2.-2.2.2-1.2.2=0
P3= Sendo At a matriz transposta de A, então det At=det A
2 1 
 det A= 8-6=2
6 4
Exemplo: A= 
2 6
4 det A = 8-6= 2
At =  1

P4 = Multiplicando-se os elementos de uma fila de A por um número K, o determinante da
nova matriz é tal que: det B = K .det A.
2 1 
 det A= 8-7=1
7 4 
Exemplo: A= 
Multiplicando k pela primeira fila onde k=3
6 3
 det B = 6.4-3.7= 24-21=3
7 4 
Nova matriz B= 
Assim fazendo 3.det A= 3
P5= Se B é a matriz que se obtém de A, quando trocadas entre si as posições de duas filas
paralelas, tem-se: det B= -det A
2 1 

6 4
Exemplo: matriz A= 
det A =8-6=2
6 4
 = det 6-8= -2
2 1 
matriz B= 
Matriz Inversa
Considerando A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A-1
é inversa de A se, e somente se, A . A-1 = I n e A-1 . A = I n
A.A-1=A-1.A= In
Condição de uma matriz ser invertível:
Uma mátria só admite inversa se o seu determinante for diferente de zero.
Onde : {
Exemplo
Determine caso exista a inversa da matriz dada.
3 1
A

5 2
Resolução:
Se existir a matriz inversa da matriz A é do tipo:
a b 
X 

c
d


tal que A . X = I2, ou seja
3 1 a b  1 0  3a  c 3b  d  1 0
A . X  I2  
 . c d   0 1  5a  2c 5b  2d   0 1
5
2

 
 
 
 

Da igualdade de matrizes, temos os sistemas:
3a  c  1.(2)  6a  2c  2


 5a  2c  0
 5a  2c  0
 a  2  a  2
3a  c  1  3.2  c  1  c  5
3b  d  0.(2)  6  2d  0


5
b

2
d

1
 5b  2d  1

 b  1  b  1
3b  d  0  3.(1)  d  0  d  3
7.4- Conclusões da aula (atividades e sugestão de atividade).
Questionar os alunos em relação ao conteúdo, verificando se os objetivos da aula
foram alcançados buscando a comprovação através da resolução dos exercícios.
8-Avaliação
8.1- Instrumentos de avaliação
Verificação da aprendizagem será realizada através trabalho em dupla.
9- Referências:
Dante, Luis Roberto. Matemática, Volume único. 1ª edição, SP: Editora ática,2011.
Paiva, Manoel. Componente curricular: Matemática. 1ª edição, SP: Ed.Moderna,2005.
Barreto Filho, Benigno et al. Matemática aula por aula. 1ª edição, SP:Ed. FTD,2003.
Paiva, Manoel. Matemática Paiva.1ª edição, SP: Ed. Moderna,2009.
Acessadoemabrilde2014/LucasSpillerebarchinskihttps://www.youtube.com/watch?v=0xr8Lkt5
Anglo: ensino médio: livro texto. Vários autores - São Paulo: Ed Anglo, 2002
WINMAT, Disponível em <http://ler.vc/ditsp4>, pagina do site da Philips Exeter Academy.
Acessado em (10 setembro de 2014).
SOUZA, Joamir. Novo Olhar Matemática, 2ª edição, SP: Editora FTD 2013.
SILVA, Claudio Xavier et al. Matemática aula por aula, 2ª edição, SP: Ed FTD, 2005.