FGV - 1a Fase — 21/10/2001
Matemática
MATEMÁTICA
01. Adotando-se os valores log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, a raiz
da equação 5x = 60 vale aproximadamente:
a)
b)
c)
d)
e)
2,15
2,28
41
2,54
2,67
Resolução: Alternativa D
 log 2 = 0,30

 log 3 = 0,48
03. A área da superfície da Terra é aproximadamente 510 milhões de km2. Um satélite artificial dirige-se aleatoriamente
para a Terra. Qual a probabilidade de ele cair numa cidade
cuja superfície tem área igual a 102 km2 ?
a)
b)
c)
d)
e)
2 . 10–9
2 . 10–8
2 . 10–7
2 . 10–6
2 . 10–5
Resolução: Alternativa C
P (cair na cidade citada) =
5x = 60 ⇒ x . log 5 = log 60
⇒ x =
⇒ x =
log ( 2 . 3 . 10 )
log 2 + log 3 + log10
=
 10 
log10 – log 2
log  
 2
1,78
0,30 + 0,48 + 1
=
≅ 2,54
0,70
1 – 0,30
02. Em um conjunto de 100 observações numéricas, podemos
afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
a média aritmética é maior que a mediana.
a mediana é maior que a moda.
50% dos valores estão acima da média aritmética.
50% dos valores estão abaixo da mediana.
25% dos valores estão entre a moda e a mediana.
Resolução: Alternativa D
A mediana divide as observações numéricas em duas
partes iguais, logo 50% dos valores estão abaixo da
mediana.
MATEMÁTICA
=
102 km 2
510 . 106 km 2
área da cidade
=
área da Terra
= 2 . 10–7
04. O Sr. Eduardo gasta integralmente seu salário em
4 despesas: moradia, alimentação, vestuário e transporte.
Ele gasta 1/4 do salário com moradia, 35% do salário com
alimentação, R$ 400,00 com vestuário e R$ 300,00 com
transporte. Sua despesa com moradia é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 430,00
R$ 432,50
R$ 435,00
R$ 437,50
R$ 440,00
Resolução: Alternativa D
Somando as despesas,
temos:
m+a+v+t =S
S
35
então
+
S + 400 + 300 = S ⇒ S = 1750
4
100
Portanto, o gasto com a moradia é
S
1750
=
= 437,50 ⇒ R$ 437,50
4
4
1
2
O melhor cursinho especializado na GV
FGV – 21/10/2001
05. Um terreno tem o formato de um trapézio retângulo ABCD,
conforme mostra a figura abaixo. O lado AB tem a mesma
medida que AD e vale 6m. O ângulo B Ĉ D mede 30º.
A área do terreno é igual a:
C
(
18 (3 +
18 ( 4 +
18 (5 +
18 (6 +
)
3)
3)
3)
3)
06. Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e
3 de anis. Se duas balas forem sorteadas sucessivamente e
sem reposição, a probabilidade de que sejam de mesmo
sabor é:
a) 18 2 + 3
b)
c)
d)
e)
D
A
B
a)
18
65
b)
19
66
c)
20
67
d)
21
68
e)
22
69
Resolução: Alternativa B
A possibilidade de retirar as balas de mesmo sabor são:
Resolução: Alternativa A
morango morango ou hortelã hortelã ou anis anis
(
C
30°
Assim, a probabilidade é:
D
6
E
P =
6
6
A
6
B
07. O sistema linear
Seja DE // AB.
Então ABED é um quadrado cuja área é SABED = 36 m2.
No triângulo CDE, temos que tg 30° =
portanto CE =
18
3
6
3
=
,
CE
3
= 6 3 ⇒ CE = 6 3 m
A área do triângulo CDE é: SCDE =
6.6 3
= 18 3
2
SCDE = 18 3 m2
Como SABCD = SABED + SCDE, então
S = 36 + 18 3
S = 18 (2 + 3 ) m2
MATEMÁTICA
5 4
4 3
3 2
38
19
.
.
.
+
+
=
=
132
66
12 11
12 11
12 11
a)
b)
c)
d)
e)
 x + 2y – 3z = 1

 2x – y – z = 4
é impossível.
admite apenas uma solução.
admite apenas duas soluções.
admite apenas três soluções.
admite infinitas soluções.
Resolução: Alternativa E
 x + 2y − 3z = 1

 2x − y − z = 4
 x + 2y − 3z = 1
Escalonando, temos 
 − 5y + 5z = 2
Na forma escalonada, o sistema apresenta o número de
equações menor que o número de incógnitas. Com isso,
descarta-se a hipótese de o sistema ser impossível.
Portanto, ele é indeterminado, admitindo infinitas soluções.
O melhor cursinho especializado na GV
1
08. Na equação 1 +
1+ x
+
2
1
)
(
2
1 + x2
+ ...................... = 2
o 1o membro é a soma dos termos de uma progressão
geométrica infinita. A soma das raízes da equação é:
a)
b)
c)
d)
e)
0
1
2
3
4
Nessa PG infinita, temos que a1 = 1 e q =
n →∞
Como
1+ x
2
a) 4
2
b) 5
2
c) 6
2
d) 7
2
e) 8
2
1
1 + x2
Dada a circunferência x2 + y2 = 13, de centro C (0,0) e
raio r = 13 ; e a reta (s) x – y – 1 = 0, temos:
a1
1– q
A
1
lim S =
n →∞
10. A reta de equação y = x – 1 determina, na circunferência
de equação x2 + y2 = 13, uma corda de comprimento:
Resolução: Alternativa B
Resolução: Alternativa A
Então lim S =
1–
3
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=
1
1 + x2
1 + x2
x2
m
d
B
C (0,0)
13
s
= 2, então x2 = 1, donde x = ± 1
x2
Portanto, a soma das raízes é zero.
09. Uma variável y é inversamente proporcional ao quadrado
de outra variável x. Para x = 3, y vale 15. Então, se x = 4,
y deverá valer:
a)
1
16
b)
15
16
d)
135
16
e)
625
16
c)
45
16
d=
| 0 + 0 −1|
1+1
=
1
2
2
 1 
5 2
1
2
∴ m=
m2 = ( 13) – 
 ⇒ m2 = 13 −
2
2
 2
Como AB = 2m, então AB = 2 .
5 2
=5 2
2
Resolução: Alternativa D
Devemos ter y =
k
x
onde k é uma constante.
2
Para x = 3, y vale 15.
k
Logo, 15 = 2
3
⇒ k = 135
Assim, x = 4 ⇒ y =
MATEMÁTICA
135
16
11. O maior número inteiro que satisfaz a inequação
5
> 3 é:
x–3
a)
b)
c)
d)
e)
um múltiplo de 2.
um múltiplo de 5.
um número primo.
divisível por 3.
divisível por 7.
4
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13. No plano cartesiano, o triângulo de vértices A (1, –2),
B (m, 4) e C (0, 6) é retângulo em A. O valor de m é
igual a:
Resolução: Alternativa A
Escrevemos:
5
> 3
x−3
⇒
5
–3 > 0
x−3
⇒
14 − 3x
5 − 3(x − 3)
> 0 ⇒
x−3 > 0
x−3
Os sinais das expressões A = 14 – 3x e B = x – 3
podem ser comparados na tabela:
a) 47
d) 50
b) 48
e) 51
c) 49
⇒
Resolução: Alternativa C
A reta AB é perpendicular à reta AC.
Os coeficientes angulares são, respectivamente:
14
3
3
A
+
+
+
0
–
B
–
0
+
+
+
A
B
–
∃
+
0
–
m1 =
−2 − 4
−6
=
1− m
1− m
e m2 =
Deve-se ter m1 . m2 = – 1, logo
−2 − 6
= –8
1−0
(−6) (−8)
= – 1,
1− m
donde m = 49.
A
14
> 0 para 3 < x <
. O maior valor
B
3
inteiro de x é 4, que satisfaz apenas a alternativa A.
Assim, temos
12. Um fabricante vende determinado produto pelo preço p,
para pagamento n meses após a compra. Se o pagamento
for feito à vista, há um desconto igual a 5% de p. A taxa
mensal de juros simples do financiamento é:
14. A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det(A) = 7. Nessas
condições, det(3A) e det(A–1) valem, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
7 e –7
21 e 1/7
21 e –7
63 e –7
63 e 1/7
Resolução: Alternativa E
100
%
b)
20 n
100
%
a)
19 n
d)
100
%
22 n
e)
100
%
c)
21n
100
%
23n
15. Uma pizzaria vende pizzas com preços proporcionais às
suas áreas. Se a pizza média tiver raio igual a 80% do raio da
grande, seu preço será:
Resolução: Alternativa A
Se v representa o preço à vista, então o preço p a ser pago
n meses após a compra, com taxa mensal de juros simples
igual a i, é dado por: p = v (1 + n . i)
Como
v = 0,95p então:
p = 0,95p (1 + n . i),
logo
1 = 0,95 + 0,95 n . i
Assim
i =
MATEMÁTICA
a)
b)
c)
d)
e)
59% do preço da grande.
64% do preço da grande.
69% do preço da grande.
74% do preço da grande.
80% do preço da grande.
Resolução: Alternativa A
A área da pizza grande (de raio r) é A1 = π . r2
A área da pizza média, então, é:
A2 = π(0,80 . r)2 = π . 0,64 . r2
0, 05
1
, ou seja, i =
0,95 n
19 n
Expressa em porcentagem, essa taxa é igual a
I. Como det(kA) = kn . det A, para a matriz A (n x n),
então det(3A) = 32 . det A = 32 . 7 = 63.
1
1
, então det (A–1) = .
II. Como det (A–1) =
det A
7
100
%.
19n
Assim,
2
A2
π . 0, 64 . r
=
= 0,64 = 64%
2
A1
π.r
O melhor cursinho especializado na GV
COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA
Este é o segundo vestibular desde que a FGV voltou a instituir
Matemática na 1a Fase.
A exemplo do que aconteceu no semestre anterior, a prova só
pode receber a aprovação dos professores, pois compõe-se
de questões de nível médio de dificuldade, envolvendo
conhecimentos específicos de cada assunto e sem exigir muito
trabalho em cálculos. Quanto aos assuntos solicitados, não
houve surpresas, pois a prova cobriu com satisfação o
programa estabelecido.
Trata-se, portanto, de um excelente exame, capaz de atingir
plenamente sua meta, sem apresentar os excessos de
preciosismo que, às vezes, encontramos em outros
vestibulares. Está de parabéns a banca examinadora de
Matemática.
DISTRIBUIÇÃO DAS QUESTÕES DE MATEMÁTICA
Razão e
Proporção
6,6%
Probabilidades
13,3%
Logaritmos
6,6%
Estatística
6,6%
Progressões
6,6%
Inequações
6,6%
Matrizes e
Determinantes
6,6%
MATEMÁTICA
Sistemas Lineares
6,6%
Porcentagem
13,3%
Geometria
Plana
13,3%
Geometria
Analítica
13,3%
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