Guia Mangá
Álgebra Linear
Apêndices suplementares
Shin Takahashi,
Iroha Inoue e
Trend-Pro Co., Ltd.
novatec
Copyright © 2012 by Shin Takahashi e TREND-PRO Co., Ltd. ISBN-13: 978-1-59327-413-9
Copyright © 2012 Novatec Editora
sumário
A
Livro de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Conjuntos de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
B
Espaços vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
C
Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
O ângulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Produtos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Espaços de produto interno real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Bases ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
D
Produto cruzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
O que é produto cruzado? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Produto cruzado e paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Produto cruzado e produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
E
Propriedades úteis de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
ii Sumário
A
Livro de exercícios
? Conjuntos de problemas
Conjunto de problemas 1
Vamos começar com a matriz 2x2
4
5
−1
. Utilize-a nos seis problemas a seguir:
−2
1.
Calcule o determinante.
2.
a12
a
Utilize a fórmula 11
a21 a22
inverso.
3.
Encontre o inverso utilizando a eliminação de Gauss.
4.
Encontre todos os autovalores e autovetores.
5.
x x
Expresse a matriz na forma 11 12
x21 x22
6.
4x1−1x2 = −1
Resolva o sistema linear de equações
5x1−2x2 = −1
Cramer.
Conjunto de problemas 2
A seguir, temos a matriz 3x3
−1
a22 −a12
1
para calcular o
= a a −a a
−a
a11
11
22
12
21
21
1
4 −1
2
1
3
1.
2.
λ1 0
0 λ2
x11 x12
x21 x22
2 Apêndice a
.
utilizando a regra de
2 . Utilize-a nos dois problemas a seguir:
−2 −1
1
4
−1
Prove que os vetores de coluna de matrizes 2 , 1
independentes (ou seja, que o posto da
3
−2
matriz é igual a três).
Calcule o determinante.
−1
e
2
−1
são linearmente
Conjunto de problemas 3
Determine se os conjuntos a seguir são subespaços de R3:
α
β
1.
5α−7β
α
β
2.
5α−7
α e β são números
reais quaisquer
α e β são números
reais quaisquer
Dê uma olhada nos apêndices C e D antes de tentar o conjunto de problemas 4.
Note
Conjunto de problemas 4
1
Vamos lidar com os vetores 2
3
4
e
1
para o próximo conjunto de problemas.
−2
1.
Calcule a distância até a origem para ambos os vetores.
2.
Calcule o produto escalar dos dois vetores.
3.
Calcule o ângulo entre os dois vetores.
4.
Calcule o produto cruzado dos dois vetores.
Livro de exercícios 3
! Soluções
Conjunto de problemas 1
4
5
−1
= 4 · (−2) − (−1) · 5 = −8 + 5 = −3
−2
1.
det
2.
3.
Aqui está a solução:
1
4 · (−2) − (−1) · 5
−2
−5
1 2 −1
1
1 −2 1
=
=
3 5 −4
4
−3 −5 4
4
5
−1
−2
1
0
0
1
Multiplique a linha 1 por 2 e subtraia a linha 2 da linha 1.
3
5
0
−2
2
0
−1
1
Multiplique a linha 1 por 2 e a linha 2 por 3.
Subtraia a linha 1 da linha 2.
15
0
0
−6
10
−10
−5
8
Divida a linha 1 por 15 e a linha 2 por -6.
4.
1
0
0
1
2
3
5
3
−
−
1
3
4
3
Os autovalores são raízes da equação característica
det
4 Apêndice a
4−λ
−1
5
−2 − λ
=0
e são os seguintes:
det
−1
4−λ
= (4 − λ) · (−2 − λ) − (−1) · 5
−2 − λ
5
= (λ − 4)(λ + 2) + 5
= λ2 − 2λ − 3
= (λ − 3)(λ + 1) = 0
λ = 3, −1
a.
Autovetores correspondentes a λ = 3
Inserindo nosso valor em
ou seja
temos
4
5
x1
x
=λ 1 ,
x2
x2
−1
−2
x1
−1
0
4−λ
=
,
x
−2 − λ
5
0
2
4 − 3 −1
5 −2 − 3
x1
1
=
x2
5
−1
−5
x1
x1
=
5x1
x2
−x2
1
0
= [x1 − x2]
=
.
−5x2
5
0
Vemos que x1 = x2, o que nos leva ao autovetor
x1
c
1
= 1 = c1
x2
c1
1
onde c1 é um número real não zero.
b.
Autovetores correspondentes a λ = −1
Inserindo -1 na matriz, temos isto:
4 − (−1)
−1
5
−2 − (−1)
x1
5 −1
=
x2
5 −1
x1
5x1 −x2
1
0
= [5x1 − x2]
=
=
x2
5x1 −x2
1
0
Vemos que 5x1 = x2, o que nos leva ao autovetor
x1
c2
1
= c2
=
x2
5c2
5
onde c2 é um número real não zero.
Livro de exercícios 5
5.
A partir do problema 4:
4 −1
1
=
5 −2
1
6.
1 3
0
5 0 −1
O sistema linear de equações
4
5
−1
−2
x1
x2
=
1
1
1
5
−1
4x1 − 1x2 = −1
pode ser reescrito desta forma:
5x1 − 2x2 = −1
1
−1
Utilizando os métodos do problema 1, somos facilmente capazes de inferir
as raízes utilizando a regra de Cramer.
det
•
•
x1 =
det
4 −1
5 −2
det
4
1
5 −1
x2 =
det
6 Apêndice a
1 −1
−1 −2
4 −1
5 −2
=
1 · (−2) − (−1) · (−1)
−3
=
−3
=1
−3
=
4 · (−1) − 1 · 5
−3
=
−9
=3
−3
Conjunto de problemas 2
1.
Parece que o posto da matriz
1
2
3
4
1
−2
−1
2
−1
é 3, mediante inspeção. Mas vamos utilizar a tabela a seguir apenas para ter
certeza.
1
4
−1
2
3
1
−2
2
−1
Some (-2 vezes a linha 1) à linha 2 e (-3 vezes a linha 1) à linha 3.
1 0
−2 1
−3 0
0
0
1
1
2
3
4
1
−2
−1
1
2 = 0
−1
0
4
−7
−14
−1
4
2
4
−7
0
−1
4
−6
Some (-2 vezes a linha 2) à linha 3.
1
0
0
Some ( −
Some (
1
6
0
1
−2
0
0
1
1
0
0
4
−7
−14
−1
4 =
2
vezes a linha 3) à linha 1 e (
1
0 −
1
6
1
4
0
1
4
6
0
−7
0
0
1
0
0
−1
1
0
0
4
vezes a linha 3) à linha 2.
6
1
4
0
4 = 0
−7
0
0
−6
−6
0
4
vezes a linha 2) à linha 1.
7
1
4
7
0
1
4
0
1
0
0
−7
0
0
1
0
0
1
0
0
0 = 0
−7
0
0
−6
0 −6
0
Livro de exercícios 7
1
As duas matrizes 2
3
4
1
−2
−1
1
2 e 0
−1
0
0
−7
0
0
0 têm o mesmo posto, como
−6
vimos nas páginas 196 a 201.
Uma vez que vimos que o número de vetores linearmente independentes entre
1
0 ,
0
−7
0
0
1
0
0
0
−7
0
0
e 0
−6
1
é obviamente 3, o posto matricial de tanto 2
3
4
1
−2
−1
2
−1
e
0
0 também deve ser 3.
−6
Note que a solução é evidente no passo três da tabela, já que matrizes triangulares n×n com entradas de diagonal principal não zero têm posto matricial n.
Isso também é verdadeiro para matrizes não quadradas.
2.
1
det
2
3
4
1
−2
−1
2
−1
= 1 · 1 · (−1) + 4 · 2 · 3 + (−1) · 2 · (−2) − (−1) · 1 · 3 − 4 · 2 · (−1) − 1 · 2 · (−2)
= −1 + 24 + 4 + 3 + 8 + 4 = 42
8 Apêndice a
Conjunto de problemas 3
Vamos supor que c seja um número real qualquer.
1.
O conjunto é um subespaço já que ambas as condições são atendidas.
α1
β1
 c
5(cα1) − 7(cβ1)
β
5α − 7β
α1
α2
α1 + α 2
β1
β2
β1 + β 2
+
5α1 − 7β1
2.
∈
cβ1
=
5α1 − 7β1

α
cα1
5α2 − 7β2
=
α e β são
números reais
quaisquer
α
∈
5(α1 + α2) − 7(β1 + β2)
β
5α − 7β
α e β são
números reais
quaisquer
O conjunto não é um subespaço já que nenhuma das condições é atendida1.
α1
β1
2α1
2α1
2β1
2β1
 2
=
≠
∈
5α1 − 7
5(2α1) − 14
5(2α1) − 7

α1
β1
5α1 − 7
+
α
β
5α − 7
α e β são
números reais
quaisquer
α2
β2
5α2 − 7
α1 + α 2
α1 + α 2
β1 + β 2
β1 + β 2
=
≠
∈
5(α1 + α2) − 14
5(α1 + α2) − 7
α
β
5α−7
α e β são
números reais
quaisquer
1. Ambas as condições da página 151 têm de ser atendidas para que o subconjunto seja um subespaço.
Isso significa que será desnecessário verificar a segunda condição se descobrirmos que a primeira não
é válida.
Livro de exercícios 9
Conjunto de problemas 4
1.
1
2
3
= 12 + 22 + 32 =
4
1
−2
1+4+9 =
14
= 42 + 12 + (−2)2 = 16 + 1 + 4 =
21
2.
1
4
2 · 1 = 1 · 4 + 2 · 1 + 3 · (−2) = 4 + 2 − 6 = 0
3
−2
3.
1
O ângulo entre 2
3
4
e 1
−2
pode ser calculado utilizando-se a fórmula do
produto escalar desta forma:
cos θ =
1
4
2 · 1
3
−2
1
2
3
·
4
1
−2
=
0
14 · 21
=0
Então, o ângulo é cos−1 0 = 90 graus.
4.
1
2 · (−2) −
1·3
4
(−4) − 3
− (−2) · 1 = 12 + 2 =
2 × 1 = 3·4
3
1·1
−
4·2
−2
1−8
10 Apêndice a
−7
14
−7
=7
−1
2
−1
B
Espaços vetoriais
Na página 16 (Capítulo 1) foi mencionado que, em geral, a álgebra linear trata da
tradução de algo que reside em um espaço m-dimensional para uma forma correspondente em um espaço n-dimensional. Isso é certamente verdade, ainda que
compreender uma interpretação mais geral de álgebra linear possa dar-lhe uma
vantagem se você decidir estudar mais o assunto.
Nessa interpretação, a maioria dos cálculos e teoremas interessantes está
relacionada a algo chamado espaços vetoriais, os quais são descritos na página
13. Note que há uma diferença entre esses vetores e aqueles apresentados no
capítulo 4 – os que estamos discutindo aqui representam um conceito muito mais
abstrato.
A ideia básica é esta: da mesma forma que você joga futebol em campos
de futebol e golfe em campos de golfe, você calcula álgebra linear em espaços
vetoriais.
Mas antes de entrarmos na definição técnica de um espaço vetorial, vamos
dar uma olhada em dois exemplos simples e concretos.
Exemplo 1
O primeiro exemplo talvez já lhe seja familiar: digamos que X é o conjunto de
todos os triplos ordenados de números reais. Então, dois dos muitos elementos
de X são (1,0, 2,3, -4,6) e (0,0, -5,7, 8,1). Esse conjunto infinito de triplos ordenados forma um espaço vetorial (como descrito pelos axiomas listados na página
13). X é um espaço vetorial e (1,0, 2,3, -4,6) é um vetor.
Exemplo 2
Como um segundo exemplo, considere estes dois polinomiais com coeficientes
reais:
7t4 − 3t − 4 e 2t − 1
Esses polinomiais podem ser considerados vetores se visualizarmos todo o
conjunto de polinomiais até o quarto grau como um espaço vetorial.
12 Apêndice b
Os oito axiomas dos espaços vetoriais
Suponha que x, y e z sejam elementos do conjunto X e que c e d sejam dois
números quaisquer.
Se X satisfaz aos dois conjuntos de axiomas a seguir, dizemos que X é um
espaço vetorial e x, y e z são vetores.
Axiomas de adição
O conjunto tem de ser fechado sob adição de vetores. Isso significa que a
soma de dois elementos do conjunto também pertence a ele.
A adição de vetores também deve satisfazer às quatro condições a
seguir:
1.
(x + y) + z = x + (y + z) (associatividade)
2.
x + y = y + x (comutatividade)
3.
Um vetor inverso (0) existe com as seguintes propriedades:
x+0=0+x=x
4.
Um vetor inverso (−x) existe com as seguintes propriedades:
x + (−x) = (−x) + x = 0
Axiomas da multiplicação escalar
O conjunto tem de ser fechado sob multiplicação escalar. Isso significa que
o produto de um elemento do conjunto e de um número qualquer também
pertence ao conjunto.
A multiplicação escalar também deve satisfazer às quatro condições a
seguir:
5.
c(x + y) = cx + cy
6.
(cd)x = c(dx)
7.
(c + d)x = cx + dx
8.
1x = x
Neste livro, sempre presumimos que a multiplicação escalar é feita com
números reais. Tais espaços vetoriais são geralmente chamados de espaços
vetoriais reais. Espaços vetoriais que também permitem multiplicação
com números complexos seriam, semelhantemente, chamados de espaços
vetoriais complexos.
Espaços vetoriais 13
C
Produto escalar
Norma
Vamos supor que temos um vetor qualquer em Rn
x1
x2
xn
A norma ou comprimento do vetor é, então, igual a
e é escrita
x1
x2
xn
.
x12 + x22 + ... + xn2
.
Exemplo 1
1
3
= 12 + ( 3 )2 =
1+3 =
4 =2
12 − 6
= 12 +
4 2 ==2
= ( (3 2)2 −= 6)12 ++ (3 2=+ 6)
32 + 6 2
Exemplo
2 − 6
2 + 6
16 Apêndice c
= ( 2 − 6)2 + ( 2 + 6)2 =
2 − 2 12 + 6 + 2 + 2 12 + 6 = 16 = 4
2 − 2 12 + 6 + 2 + 2 12 + 6 = 16 = 4
Produto escalar
Vamos supor que temos dois vetores quaisquer
x1
x2
e
xn
y1
y2
em Rn.
yn
O produto escalar do vetor é definido desta forma:
x1y1 + x2 y2 + ... + xn yn
Isso é geralmente representado com um ponto ( ∙ ) desta forma:
x1
x2
·
xn
x1
x2
xn
Exemplo
1
3
·
2 − 6
2 + 6
= 1 · ( 2 − 6) + 3 · ( 2 + 6) = 2 − 6 + 6 + 18 = 2 + 3 2 = 4 2
Produto escalar 17
O ângulo entre dois vetores
O ângulo entre dois vetores
x1
x2
y1
y2
e
xn
em Rn.
yn
O ângulo θ entre esses dois vetores pode ser encontrado utilizando-se a relação a seguir:
x1
x2
·
xn
y1
y2
=
yn
x1
x2
y1
y2
·
xn
yn
Exemplo
O ângulo θ entre os dois vetores
zando-se esta fórmula:
1
3
2 − 6
1
3
e
2 + 6
2 + 6
=
1
3
2 − 6
·
2 + 6
Assim, θ = 45 graus.
2 + 6
3
θ
2 − 6
O
pode ser encontrado utili-
2 − 6
·
cos θ =
18 Apêndice c
· cos θ
1
4 2
2·4
=
2
2
Produtos internos
O produto escalar é, na realidade, um caso especial de um conceito mais geral
que tem algumas aplicações muito interessantes. O conceito geral é uma função,
chamada de produto interno, que mapeia dois vetores a um número real e que
também satisfaz algumas propriedades especiais. Há também espaços de produto
interno1, que são espaços vetoriais que têm um produto interno associado, como
descrito a seguir.
Espaços de produto interno real
Dizemos que o espaço vetorial real X é um espaço de produto interno real, ou
espaço euclidiano, se existe um produto interno real <x, y> que mapeia um par
de vetores para um escalar e que satisfaz às condições a seguir para todos os
vetores x, y, z e todos os escalares c:
 <x , y > = <y , x >
 <cx , y > = c<x , y > = <x , cy >
 <x , y + z > = <x , y > + <x , z > e < x + y , z > = <x , z > + <y , z >
 <x , x > ≥ 0 e <x , x > = 0 apenas quando x = 0 (o vetor zero).
O produto escalar é o exemplo mais costumeiro de um produto interno. Nesse
exemplo, nós definimos
<x, y> = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn
1. O tópico está fora do escopo deste livro, mas produtos internos também aparecem em espaços de
produto complexo.
Produto escalar 19
Bases ortonormais
Conjuntos de vetores como
1
0
,
0
1
1
2
1
,
1
1
2
−1
1
e
1
2 ,
14
3
1
1
21
4
1 ,
−2
1
6
−1
2
−1
onde
•
•
a norma de cada vetor é igual a 1
o produto escalar de cada par de vetores é igual a 0
são chamados de bases ortonormais ou bases ON.
O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt pode ser utilizado para criar
uma base ortonormal a partir de uma base qualquer, mas ele está fora do escopo
deste livro.
20 Apêndice c
D
Produto cruzado
O que é produto cruzado?
a
Vamos supor que temos dois vetores quaisquer b
c
P
e Q em R3.
R
bR − Qc
O produto cruzado do vetor é definido como cP − Ra
aQ − Pb
a
e é geralmente representado com uma cruz  desta forma: b
c

P
Q
R
O produto cruzado é definido apenas em R3. Em contraste, o produto escalar é definido em R n para todos os n positivos.
Nota
Aqui temos um bom recurso mnemônico para lembrarmos as combinações no
cálculo do produto cruzado de dois vetores:
a
P
b
Q
c
R
a
P
b
Q
c
R
Comece escrevendo duas vezes os elementos de cada vetor, como você pode
ver no quadro. Ignorando a primeira e a última linha, desenhe uma flecha de cada
elemento até aquele abaixo dele no vetor oposto.
Flechas que vão da esquerda para a direita recebem um sinal de mais; flechas
que vão da direita para a esquerda recebem um sinal de menos. O par superior de
flechas produz o primeiro componente do produto cruzado, o par do meio produz
o segundo componente e o par da base produz o último componente.
22 Apêndice d
Produto cruzado e paralelogramos
Produto cruzado e paralelogramos:
P
Q
R

a
b
c
P
u Ele é perpendicular a ambos os vetores Q e
R
a
b .
c
P
v Seu comprimento é igual à área do paralelogramo de lados Q e
R
a
b .
c
Ambas as propriedades estão ilustradas na figura a seguir.
P
Q
R
a
b
c
O

a
b
c
P
Q
R
Essa figura está utilizando um sistema coordenado de “mão direita”. Isso
significa que seu polegar apontará na direção do produto cruzado se você fizer o
seguinte: estenda seu polegar de modo que ele fique perpendicular ao seu antebraço, então utilize o restante de seus dedos para formar a letra C. Partindo da
base de seus dedos como o vetor no lado esquerdo do produto cruzado, oriente
sua mão para que as pontas de seus dedos estejam apontando na direção do
vetor do lado direito do produto cruzado. Seu polegar estará, então, apontando
na direção do resultado do produto cruzado! Note que se você trocar a posição
dos vetores, o produto cruzado inverterá de direção.
Nota
Produto cruzado 23
Vamos nos certificar de que tanto
a
b ·
c
a
b
c
P
Í Q
a
b
c
=
R
 quanto  são válidas.
·
bR − Qc
cP − Ra
aQ − Pb
= a(bR − Qc) + b(cP − Ra) + c(aQ − Pb)
= abR − aQc + bcP − bRa + caQ − cPb
=0

P
Q ·
a
b
Í Q
P
P
= Q
R
c
R
R
·
bR − Qc
cP − Ra
aQ − Pb
= P(bR − Qc) + Q(cP − Ra) + R(aQ − Pb)
= PbR − PQc + QcP − QRa + RaQ − RPb
=0
a
b
c
Í
P
Q
2
=
R
2
bR − Qc
cP − Ra
aQ − Pb
P
θ é o ângulo entre Q e
R
a
b
c
= (bR − Qc)2 + (cP − Ra)2 + (aQ − Pb)2
= (a2 + b2 + c2)(P2 + Q2 + R2) − (aP + bQ + cR)2

= (a2 + b2 + c2)(P2 + Q2 + R2) −
a
b
c
P
2
· Q
R
= (a2 + b2 + c2)(P2 + Q2 + R2) − (a2 + b2 + c2)(P2 + Q2 + R2) cos2θ
= (a2 + b2 + c2)(P2 + Q2 + R2)(1 − cos2θ)
= (a2 + b2 + c2)(P2 + Q2 + R2) sin2θ
=
24 Apêndice d
a
b
c
P
Q
R
2
sin θ
Produto cruzado e produto escalar
A tabela a seguir contém uma comparação entre produtos cruzados e escalares.
Produto cruzado
1
4
2 Í 5
3
6
2·6−5·3
3·4−6·1
=
1·5−4·2
5·3−2·6
4
1
6·1−3·4 =− 5 Í 2
4·2−1·5
6
3
=−
1c
4
2c Í 5
3c
6
2c · 6 − 5 · 3c
3c · 4 − 6 · 1c
1c · 5 − 4 · 2c
=
2·6−5·3
3·4−6·1
1·5−4·2
=c
1
2 Í
3
=c
1
4
2 Í 5
3
6
7
4
5 + 8
9
6
Produto escalar
1
2
3
·
=1·4+2·5+3·6
4
=4·1+5·2+6·3= 5
6
1c
2c
3c
4
5
6
·
·
1
2
3
= 1c · 4 + 2c · 5 + 3c · 6
= c (1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6) = c
1
2
3
4+7
5+8
6+9
4
5
6
1
2
3
·
4
5
6
4
7
5 + 8
6
9
·
=
1
2 Í
3
=
2 · (6 + 9) − (5 + 8) · 3
3 · (4 + 7) − (6 + 9) · 1
1 · (5 + 8) − (4 + 7) · 2
= 1 · (4 + 7) + 2 · (5 + 8) + 3 · (6 + 9)
=
2·6−5·3
3·4−6·1
1·5−4·2
= (1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6) + (1 · 7 + 2 · 8 + 3 · 9)
=
1
2
3
Í
4
5
6
+
=
+
2·9−8·3
3·7−9·1
1·8−7·2
1
7
2 Í 8
3
9
=
1
2
3
1
2
3
·
·
4+7
5+8
6+9
4
5
6
+
1
2
3
·
7
8
9
Produto cruzado 25
E
Propriedades úteis de
determinantes
Determinantes têm várias propriedades interessantes. Veremos sete delas neste
apêndice.
Propriedade 1
Para qualquer matriz quadrada A, det A = det AT.
a11
a1n
an1
ann
det
a11
a1n
an1
ann
= det
Exemplo
•
det
3
0
0
2
=6
2
O
•
det
3
0
0
2
T
= det
3
3
0
0
2
=6
2
O
28 Apêndice
3
T
Propriedade 2
Se duas colunas ou duas linhas de A são trocadas, resultando na matriz B, então
det B = −det A.
a11
a1i
a1j
a1n
an1
ani
anj
ann
det
a11
a1j
a1i
a1n
an1
anj
ani
ann
= (−1)det
Exemplo
•
det
3
0
0
2
=6
2
O
•
(−1)det
0
3
2
0
3
= (−1) · (−6) = 6
2
O
3
Propriedades úteis de determinantes 29
Propriedade 3
Se A tem duas colunas ou linhas idênticas, então A = 0.
a11
b1
b1
a1n
an1
bn
bn
ann
det
=0
coluna i
coluna j
Exemplo
•
det
3
3
0
0
=0
O
A área é igual a zero.
30 Apêndice
3
Propriedade 4
Se uma coluna de A é multiplicada pela constante c, resultando na matriz B,
então det B = c det A, ou, de modo equivalente, det A = ¹⁄c det B.
a11
a1i · c
a1n
an1
ani · c
ann
a11
a1i
a1n
an1
ani
ann
= c det
det
Exemplo
•
det
3
0
0
2
=6
2
O
•
det
3·2
0
0·2
2
= det
3
6
0
0
2
= 2 · 6 = 2 det
3
0
0
2
2
O
6
Propriedades úteis de determinantes 31
Propriedade 5
Sejam A e B matrizes quadradas idênticas, exceto pelas colunas (ou linhas) i, que
diferem. Seja C uma matriz idêntica a A e B, exceto pela coluna (ou linha) i de C,
que é a soma das colunas (ou linhas) i de A e B. Então, det C = det A + det B.
a11
a1i
a1n
an1
ani
ann
det
a11
b1i
a1n
an1
bni
ann
+ det
a11
a1i + b1i
a1n
an1
ani + bni
ann
= det
Exemplo
•
det
3
0
0
2
=6
2
O
•
det
2
0
2
2
3
+ det
1
0
−2
2
= det
2
O
2+1
0
2−2
2
= det
3
0
0
2
=6
2
2
O
−2
32 Apêndice
1
Propriedade 6
Seja B a matriz formada pela substituição da coluna (ou linha) j de A pela soma da
coluna (ou linha) j de A e de um múltiplo não zero, c, da coluna (ou linha) j de A,
onde i ≠ j. Então det B = det A.
a11
a1i
a1j
a1n
an1
ani
anj
ann
det
a11
a1i
a1j + (a1i · c)
a1n
an1
ani
anj + (ani · c)
ann
= det
Exemplo
•
det
3
0
0
2
=6
2
O
•
det
3
0 + (3 · 1)
0
2 + (0 · 1)
3
= det
3
3
0
2
=6
2
O
3
6
Propriedades úteis de determinantes 33
Propriedade 7
Sejam A e B duas matrizes quadradas quaisquer. Então (det A)(det B) = det (AB).
a11
a1n
an1
ann
3
0
1
3
0
0
2
0
1
2
det
b11
b1n
bn1
bnn
det
a11
a1n
b11
b1n
an1
ann
bn1
bnn
= det
Exemplo
•
det
· det
=6·
1
=1
6
2
1
2
O
3
•
0
det
0
2
1
3
0
0
1
2
1
O
34 Apêndice
O
3
1
1
0
0
1
= det
=1
1
3