Álgebra Linear e Geometria Analítica
Eng. Electrotécnica e Eng. Mecânica
Ano lectivo: 2006/07
Ficha Prática nº 4: Determinantes
1. Suponha que
a
b
c = −2.
d Use as propriedades da função determinante e determine:
3a + c
(c) 3b + d
c d a − 3c
(b) b − 3d
2c 2d a
(a) b
3c − a 3d − b 2. Sabendo que


a
b
c

det 
 2
1

0 
 = 1,
1
1
2
calcule o determinante das seguintes matrizes, usando as propriedades da função determinante

a
b

(a) det 

c

6
3
0 

1
1
−
−1 −
2
 2
a
b
c

(b) det 
2c
 2a + 2 2b + 1
a+1
b+2 c+1
3. Use as propriedades

a1 + b1


(a) det  a2 + b2
a3 + b3

a b c

(b) det 
 b c a
a c b







(c) det 



(d) det 

dos determinantes para mostrar


c1 a1 − b1
a1 b1




c2 a2 − b2 =2det  a2 b2
c3 a3 − b3
a3 b3



b 2c 2a


 1
=- det  a 2b 2c 


 4
a 2c 2b
que:

c1

c2 

c3
a−1
b−2
c−1
3
3
1
1
2
1

a+b
c
2b
3
0
3
1

2 

4




4. Calcule os seguintes determinantes:
2
(a) 1
−3
−1
0
(d) 0
3
1
0 4 5 3
2
4
1
1
5
1
1
2
2
2
(b) 0
4
(e) 0 1 2 7 1
1
2 −1 1 0
1
1
2
−1
1
3
1
2
1
3
1
−2
3
(c) −1
−2
(f) 4 3 0 5 5 1 3 −1
2
4
1
5
2
0
2
7
0
0
4
0
0
0
3 6 1 5 5. Considere os seguintes sistemas de equações lineares:



 3x
(a)
x






4x



 3x
(c)

7x




 x



x



 2x
(e)

x




 −x
+
y
−
z
=
0
+
y
+
z
=
0
y
−
z
=
1



 2x
(b)
x


 4x
+
y
+
z
+
w
=
+
7y
−
z
+
w
=
+
3y
−
5z
+
8w
=
+
y
+
z
+
2w
=
+
2y
−
3z
+
5w
=



6
4x




1
x
(d)

−3
2x




 x
3
+
y
−
4z
−
w
=
1
+
y
+
z
+
w
=
0
−
y
−
z
+
w
=
4
−
y
+
z
=
1
+
3y
−
2z
=
0
−
3y
+
z
=
2
+
y
+
z
+
w
=
1
−
y
+
2z
−
3w
=
0
+
y
+
3z
+
5w
=
0
+
y
−
z
−
w
=
2
0
Para cada sitema:
i) Mostre que a solução é única, sem resolver o sistema.
ii) Encontre a solução pela regra de Cramer.
iii) Encontre a solução pelo método de Gauss.
iv) Encontre a solução pelo método de Gauss-Jordan.
v) Verifique que a solução do sistema é igual a A−1 b , onde A representa a matriz dos coeficientes
do sistema e b a matriz coluna dos termos independentes (calcule a inversa da matriz A usando
a matriz dos cofactores)
6. Prove que se A é uma matriz ortogonal, isto é, uma matriz quadrada de ordem n tal que
AT A = In
2
Ilda Reis
então det(A) = ±1.
7. Duas matrizes A e B dizem-se semelhantes se existe uma matriz não singular C tal que
B = C −1 AC
Prove que matrizes semelhantes têm o mesmo determinante.
8. Mostre que a função determinante não é linear, isto é, encontre duas matrizes A e B que não
verifiquem a igualdade
det(A + B) = det(A) + det(B).
9. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3. Sabendo que det(A) = −5, determine
(e) det(7AT )
(a) det(5A)
(c) det(2A−1 )
(b) det(A−1 )
(d) det((4A)−1 )
10. Uma matriz quadrada A diz-se idempotente se A2 = A. O que é que pode afirmar sobre o determinante de matrizes idempotentes?
11. Seja A =
"
a
b
c
d
#
uma matriz 2 × 2 invertível.
(a) Mostre que
A−1
1
=
ad − bc
"
d
−b
−c
a
#
.
(b) Pelo cálculo que a seguir se apresenta, parece que o determinante da inversa de uma matriz
2 × 2 é sempre igual a 1:
det(A−1 ) = det
1
ad − bc
"
d
−b
−c
a
#!
=
1
(ad − bc) = 1
ad − bc
O que é que está errado? Qual é o valor correcto do det(A−1 )?
12. Determine todos os valores do escalar λ para os quais a matriz A − λIn é singular, onde A é a
matriz
(a)
Ilda Reis
"
0
3
2
−1
#

1

(b) 
 0
2
0
−1
−2
2


−2 

0

11
−2

(c) 
 19
−8
−3
2
8


14 

−5
3