UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA
FORMAÇÃO DE PROFESSOR
O DETERMINANTE DE UMA MATRIZ
João Pereira Bonfim
FOZ DO IGUAÇU - PR
FEVEREIRO DE 2011
O DETERMINANTE DE UMA MATRIZ
Por:
João Pereira Bonfim
Monografia apresentada ao Curso de
Especialização em Matemática –
Formação
de
Professores
da
Universidade
Federal
de
Santa
Catarina, como requisito para o
obtenção
parcial
do
grau
de
Especialista em Matemática.
Orientador: Prof. Licio Hernanes
Bezerra.
FOZ DO IGUAÇU - PR
FEVEREIRO DE 2011
O DETERMINANTE DE UMA MATRIZ
JOÃO PEREIRA BONFIM
Aprovado em ____/____/_____.
BANCA EXAMINADORA
_________________________________________________
Profº Licio Hernanes Bezerra (orientador)
Doutor em Matemática (PUC – Rio)
__________________________________________________
Profª Sônia Elena Palomino Bean
Doutora em Engenharia de Controle e Automação (UFSC)
__________________________________________________
Profº Celso Melchiades Dória
Doutor em Matemática (University of Warwick)
CONCEITO FINAL: _____________________
AGRADECIMENTOS
Ao meu orientador Licio Hernanes Bezerra, que me
acompanhou, dando-me orientações preciosas para que
esse trabalho pudesse ser concluído.
A Jesus Cristo, amigo sempre presente, sem o
qual nada teria feito.
Aos amigos, que sempre incentivaram meus
sonhos e estiveram sempre ao meu lado.
Ao meu tutor Gilberto, aos meus colegas de classe
e demais formandos pela amizade e companheirismo que
recebi.
À minha esposa Leir e minha filha Mônica por abrir
mão de momentos preciosos, pois só assim pude chegar
até aqui.
RESUMO
Neste trabalho definimos o determinante de uma matriz a partir da expansão
de Laplace. Mostramos, então, que o determinante definido dessa forma é uma
função multilinear alternada (em relação às linhas da matriz) e assume o valor 1 na
matriz identidade. Ou seja, o Teorema de Laplace é equivalente à definição usual de
determinante. O determinante aparece em estudo de volumes de sólidos
tridimensionais, mudança de coordenadas, inversibilidade de matrizes, resolução de
equações lineares etc. Há várias formas equivalentes de se definir determinante, o
que fornece formas alternativas de cálculo, adequadas para diferentes formas de
matrizes. O nosso objetivo é mostrar que podemos definir determinante como um
procedimento indutivo, que é uma forma direta e acessível a um aluno de ensino
médio, além de ser um modo matematicamente rigoroso.
Palavras chaves: Determinante, matrizes, expansão de Laplace.
NOTAÇÕES:
MATRIZES:
 a11 a12

a
a22
A   21


 am1 am 2
a1n 

a2 n 


amn 
A   aij i 1:m
ou
A  A(1: m,1: n)
j 1:n
MATRIZ IDENTIDADE:
1 0 0

0 1 0
In  


0 0 0
0

0
.


1
TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ:
Seja A uma matriz mxn . A transposta de A é a matriz B , nxm , tal que Bij  Aji .
Notação: B  AT .
Então:
 a11 a12

a
a22
A   21


 an1 an 2
a1n 
 a11


a2 n 
a
T
 A   12




ann 
 a1n
a21
a22
a2 n
an1 

an 2 
.


ann 
INVERSA DE UMA MATRIZ:
i) Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A.B  B.A  I .
ii) Dada uma matriz inversível A , chama-se inversa de A a matriz A1 (que é única)
tal que A. A1  A1. A  I .
SOMA DE MATRIZES:
A B  C
 cij  aij  bij
PRODUTO DE UM ESCALAR POR UMA MATRIZ
k
e kA  B
 bij  kaij
SUBMATRIZ
Sejam:
v   i1,
, ir  , 1  i1 
w   j1,
 ir  m
, js  , 1  j1 
 ai1 j1

A  v, w   
a
 ir j1
Exemplo:
 1 2 3


A   4 5 6
7 8 9


ai1 js 


air js 
 js  n
 2
 A  (1,3), 2     .
8
Obs:
i) A   (1,3),:  A  (1,3), (1, 2,
ii) A :, w  A  (1, 2,
 1 2 3
, n  
.
7 8 9
, m), w  A 1: m, w .
iii) A :, j  é a coluna j de A .
iv) A  i,: é a linha i de A .
v) 1: m  1, 2,
, m  e 1: n  1, 2,
9 8 7


vi) A  (3, 2,1), (3, 2,1)    6 5 4  .
3 2 1


, n .
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 09
1. DEFINIÇÕES ........................................................................................................ 11
1.1 – Matriz ............................................................................................................... 11
1.2 – Determinante ................................................................................................... 11
1.3 – Matriz dos Cofatores ....................................................................................... 12
2. PROPRIEDADES ................................................................................................ 15
2.1 – Propriedade 1 ................................................................................................. 15
2.2 – Propriedade 2 ................................................................................................. 16
2.3 – Propriedade 3 ................................................................................................. 17
2.4 – Propriedade 4 ................................................................................................. 17
2.5 – Propriedade 5 ................................................................................................. 18
2.6 – Corolário 1 ...................................................................................................... 20
2.7 – Propriedade 6 ................................................................................................. 21
2.8 – Corolário 2 ...................................................................................................... 22
2.9 – Proposição 1 .................................................................................................. 23
3. OUTRAS PROPRIEDADES ................................................................................ 24
3.1 – Fórmula de Leibniz........................................................................................... 24
3.2 – Teorema 1 ....................................................................................................... 25
3.3 – Determinante de Matriz Transposta................................................................. 26
4. DETERMINANTES DE MATRIZES EM BLOCOS .............................................. 27
4.1 – Determinante de Matrizes em Blocos 1............................................................ 27
4.2 – Determinante de Matrizes em Blocos 2 ........................................................... 28
5. APLICAÇÃO DE DETERMINANTES .................................................................. 29
5.1 – Definição de Vetores ....................................................................................... 29
5.2 – Propriedades de Vetores ................................................................................. 29
5.3 – Definição de Produto Vetorial .......................................................................... 29
5.4 – Propriedades de Produto Vetorial ................................................................... 30
5.5 – Definição de Produto Misto ............................................................................. 30
5.6 – Propriedades de Produto Misto ....................................................................... 30
5.7 – Área de Região Triangular .............................................................................. 30
5.8 – Equação da Geral Reta ................................................................................... 32
5.9 – Volume de Tetraedro ....................................................................................... 33
REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 36
9
INTRODUÇÃO
O sistema de equações lineares pouco apareceu na matemática Ocidental
antiga ao contrário do que ocorreu no extremo Oriente, onde recebeu maior atenção.
Os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes
escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim,
acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação, que consiste em
anular coeficientes por meio de operações elementares.
Contudo, apenas em 1683 a idéia de determinante como um número que se
associa a um matriz quadrada de números se concretizou, com um trabalho de Seki
Kowa. Considerado o maior matemático japonês do sec. XVII, Kowa chegou a essa
conclusão através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho
procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas).
O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois em um
trabalho de Leibniz sobre sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a
condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em
termos do determinante de ordem 3, formado pelos coeficientes e pelos termos
independentes (este determinante deve ser nulo)
Autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, o francês Étienne
Bézout (1730 -1783) sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos
sinais dos termos de um determinante. E coube a outro francês, Alexandre
Vandermonde (1735 -1796), em 1771, empreender a primeira abordagem da teoria
dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares, embora também
os usasse na resolução destes sistemas.
O termo determinante foi introduzido pelo matemático alemão Carl Friedrich
Gauss em 1801, que o utilizou para ‘determinar’ as propriedades de certos tipos de
funções. Mas foi em 1812 que surgiu o termo com o sentido atual num trabalho de
Cauchy sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências,
Cauchy resumiu e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes.
Além de Cauchy, quem também contribuiu para consolidar a teoria dos
determinantes foi o alemão Carl G. J. Jacobi (1804 -1851). Deve-se a ele a forma
simples como essa teoria se apresenta hoje.
O conceito de determinante desempenha um importante papel em muitas
aplicações da Álgebra Linear à Geometria e à Análise. Hoje em dia, embora não
10
sejam um instrumento prático para resolução de sistemas via regra de Cramer, os
determinantes são utilizados, para caracterizar certas operações algébricas, ou
mesmo para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas.
11
1 – DEFINIÇÕES:
1.1 - Matriz
Seja A   aij  uma matriz quadrada de ordem n com elementos em
nxn
 {matrizes complexas nxn }.
Exemplos:
1x1
2x2
nxn
 x x 

 a b 

 
 a, b, c, d  
 c d 

 a11

 a
  21

 an1

a1n 

a2 n 
a ,a ,
 11 12

ann 
a12
a22
an 2



, a1n  



1.2 – Determinante
Seja A
nxn
, uma matriz complexa de ordem n , tal que:
 a11 a12

a
a22
A   21


 an1 an 2
a1n 

a2 n 


ann 
Então:
a) Se A 
1x1
b) Se A
nxn
 A   a   det A  a .
, n>1
 det A  (1)11.a11.det A(1,1)  (1)12 .a12 .det A(1,2) 
 (1)1n .a1n .det A(1, n) .
, então:
12
A(i , j )
 a11


 ai 1,1

 ai 1,1


 a
 n1
a1, j 1
a1, j 1
ai 1, j 1
ai 1, j 1
ai 1, j 1
ai 1, j 1
an , j 1
an , j 1
a1n 


ai 1,n 
.
ai 1,n 


ann 
Exemplos:
i)
a 
a
det  11 12   a11.det  a22   a12 .det  a21   a11.a22  a12 .a21 .
 a21 a22 
 a11 a12

ii) det a21 a22

a
 31 a32
a13 
a

a23   a11.det  22
 a32
a33 
a23 
 a21 a23 
 a21 a22 
  a12 .det 
  a13 .det 

a33 
a
a
a
a
 31 33 
 31 32 
 a11.(a22 .a33  a23.a32 )  a12 .(a21.a33  a23.a31 )  a13.(a21.a32  a22 .a31 ) 
 a11.a22 .a33  a11.a23.a32  a12 .a21.a33  a12 .a23.a31  a13.a21.a32  a13.a22 .a31 .
1.3 – Matriz dos Cofatores
B é a submatriz de A , que se obtém retirando-se a linha i e a linha j de A
(matriz dos cofatores).
B  cof ( A) é uma matriz, tal que:
Bij  (1)i  j .det A(i , j )
Exemplo:
1 3 0


Seja A   2 5 2 
 1 1 3 


Então cof ( A)  Bij  (1)i  j .det A(i , j )
 5 2
B11  (1)11.det 
  1.17  17
 1 3 
13
 2 2
B12  (1)1 2 .det 
  1.4  4
1 3
2 5 
B13  (1)13 .det 
  1.(7)  7
 1 1
 3 0
B21  (1)21.det 
  1.9  9

1
3


1 0 
B22  (1)2 2 .det 
  1.3  3
1 3 
1 3 
B23  (1)23 .det 
  1.(4)  4
1 1
3 0
B31  (1)31.det 
  1.6  6
5 2
1 0
B32  (1)3 2 .det 
  1.2  2
 2 2
 1 3
B33  (1)33 .det 
  1.(1)  1
 2 5
 17 4 7 


B   9 3 4 
 6 2 1 



e
 17 9 6 


B   4 3 2  .
 7 4 1 


T
Note que:
 1 3 0   17 9 6 



A.B   2 5 2  .  4 3 2  
 1 1 3   4 4 1 



T
1.(9)  3.3  0.4
1.6  3.(2)  0.(1) 
 1.17  3.(4)  0.(7)


  2.17  5.(4)  2.(7)
2.(9)  5.3  2.4
2.6  5.(2)  2.(1)  
1.17  (1).(4)  3.(7) 1.(9)  (1).3  3.4 1.6  (1).(2)  3.(1) 


5 0 0
1 0 0




  0 5 0   5.  0 1 0  .
0 0 5
0 0 1




Também:
 5 2
 2 2
2 5 
det A  1.det 
  3.det 
  0.det 

 1 3 
1 3
 1 1
14
 1.17  3.4  0.(7)  17 12  0  5

det A  5 .
Assim concluímos que o produto de uma matriz A pela transposta da matriz dos
cofatores de A
 cof A
é igual ao produto da determinante de A pela matriz
identidade de A , ou seja,
A.  cof A
T
0
0 
 1 0 0   det A

 

 det A.  0 1 0    0
det A
0 .
0 0 1  0
0
det A 

 
Obs: Este teorema está demonstrado no livro de Hoffman (pp. 152-154).
15
2 – PROPRIEDADES
2.1 Propriedade 1
B  kA, k 
 det B  k n .det A
Demonstração:
Por indução na ordem da matriz.
Provemos que a propriedade vale para n  1
Sejam A   a11  e B  kA   ka11 
 det B  ka11  k.det A  k 1.det A
Suponha válido para n  1
Seja m  n  1
 ka11

B
 ka
 n 1,1
ka1,n 1 


kan 1,n 1 
 det B  ka11.det B(1,1)  ka12 .det B(12) 
 (1)n11.(ka1,n1 ).det B(1,n1)
(j ), B(i , j )  kA(i , j )
 det B(i , j )  k n .det A(i , j )
Logo,
det B  ka11.k n .det A(1,1)  ka12 .k n .det A(1,2) 
 k n1.a11.det A(1,1)  k n1.a12 .det A(1,2) 
 k n1.(a11.det A(1,1)  a12 .det A(1,2) 
 (1)n2 .(ka1,n1 ).k n .det A(1,n1) 
 (1)n2 .k n1.(a1,n1 ).det A(1,n1) 
 (1)n2 .(a1,n1 ).det A(1,n1) ) 
 k n1.det A . 
Exemplo:
 2 1
6 3
Se k  3 , A  
 e kA  
 , temos:
 4 5
12 15 
det  kA  54  32.6  k n .det A
16
2.2 - Propriedade 2
Seja A uma matriz de ordem n  2 . Se trocarmos de posição duas linhas
paralelas entre sí, obteremos uma nova matriz B e det B   det A .
Demonstração:
Por indução na ordem da matriz.
i) Provemos que a propriedade vale para n  2 .
 a11 a12 
  det A  a11.a22  a12 .a21
 a21 a22 
Seja A  
Trocando de posição as linhas, obtemos:
a a 
B   21 22   det B  a21.a12  a22 .a11   det A .
 a11 a12 
ii) Vamos supor que a hipótese seja verdadeira para todas as matrizes m  n  1  2.
Seja A uma matriz tal que,
(i  k ) , (i  k  1) e 1  k  n  1 , então:
B(i,:)  A(i,:) , B(k ,:)  A(k  1,:) e B(k  1,:)  A(k ,:) .
Desenvolvendo det A e det B pela linha i , teremos:
n
n
j 1
j 1
det A   aij . A(i , j ) e det B   bij .B (i , j )
Como cada cofator B(i , j ) é obtido de A(i , j ) trocando de posição duas linhas e, por
indução,
Bij   Aij ,
j 1, 2,
hipótese
de
j 1, 2,
, n e, portanto, det B   det A . 
Exemplo:
Sejam
 1 3 0
 1 2 2 




A   4 1 3 e B   4 1 3
 1 2 2 
 1 3 0




, n ,
segue
que
B
(i , j )
  A(i , j ) ,
17
 1 3
 4 3
 4 1
 det A  1.det 
  3.det 
  0.det 
  1.(4)  3.11  0.9  37
 2 2
 1 2 
 1 2 
1 3
 4 3
 4 1
 det B  1.det 
  2.det 
  2.det 
  1.(9)  2.(3)  2.11  37
3 0
1 0
 1 3
 det B  37   det A.
2.3 - Propriedade 3
Se uma A matriz de ordem n  2 tem duas linhas formadas por elementos
respectivamente iguais, então det A  0 .
Demonstração:
Suponha que A(i,:)  A( j,:)
Seja B a matriz formada pelas linhas de A , permutando-se as linhas i e j .
Logo, B  A  det B  det A
Mas pela propriedade anterior,
det B   det A , ou seja, det A   det A  det A  0 . 
Exemplo:
 3 1 4


A   2 5 3
 3 1 4


5 3
 2 3
 2 5
 det A  3.det 
  1.det 
  4.det 

1 4
1 4
 3 1
 3.17 1.(1)  4.(13)  51  1  52  0.
2.4 - Propriedade 4
Se as linhas de uma matriz A são linearmente dependentes, isto é, se A tem
uma linha que é combinação linear das outras, então det A  0.
Demonstração:
Suponha que l1 é combinação linear, então:
18
l1  k2 .l2  k3 .l3 
 a11
 kn .ln
a1n   k2 .  a21 a22
a12
a2n   k3 .  a31 a32
 det A  a11.det A(1,1)  a12 .det A(1,2) 
 (k2 .a21 
 kn an1 ).det A(1,1)  (k2 .a22 
 k2 .(a21.det A(1,1)  a22 .det A(1,2) 
 a21 a22

a
a22
 k2 .det  21


 an1 an 2
 k2 .0 
 kn .  an1 an 2
ann  .
 (1)1n .a1n .det A(1,n) 
 kn an 2 ).det A(1,2) 
 (1)1n .a2 n .det A(1,n) ) 
a2 n 

a2 n 



ann 
a3n  
 (1)1n .(k2 .a2n 
 kn .(an1.det A(1,1)  an 2 .det A(1,2) 
 an1 an 2

a
a22
 kn .det  21


 an1 an 2
 k2ann ).det A(1,n) 
 (1)1n .ann .det A(1, n) ) 
ann 

a2 n 



ann 
 kn .0  0. 
Exemplo:
11 16 21


Seja A   1 2 3  , em que l1  3.l2  2.l3 (linha 1 é combinação linear das linhas 2
4 5 6


e 3).
 2 3
 1 3
 1 2
 det A  11.det 
  16.det 
  21.det 

 5 6
 4 6
 4 5
 11.(3) 16.(6)  21.(3)  33  96  63  0.
2.5 - Propriedade 5
Seja A
nxn
, k 1, 2,
, n
Seja B a matriz tal que (i  k ) ,
B(i,:)  A(i,:) e B(k ,:)  x.A(k ,:) , x  ;
Seja C a matriz tal que (j  k ) ,
C(:, j )  A(:, j ) e C(:, k )  y.A(:, k ) , y  ;
Então:
i) det B  x.det A
ii) det C  y.det A
Demonstração (i):
19
Para k  1 , teremos:
 x.a11

a
B   21


 an1
x.a12
a22
an 2
x.a1n 

a2 n 


ann 
det B  x.a11.det A(1,1)  x.a12 .det A(1,2) 
 x.(a11.det A(1,1)  a12 .det A(1,2) 
 (1)1n .x.a1n .det A(1,n) 
 (1)1n .a1n .det A(1,n) )  x.det A
Para k  2 (por indução na ordem da matriz):
Se n  2 , então:
 a
B   11
 x.a21
a12 

x.a22 
det B  a11.x.a22  a12 .x.a21  x.(a11.a22  a12 .a21 )  x.det A
Vamos supor que a hipótese de indução seja verdadeira para todas as matrizes
m  n 1  2 .
Seja A uma matriz tal que (i  k )
B(i,:)  A(i,:) e B(k ,:)  x.A(k ,:) , x  ;
Assim,
det B  a11.det B(1,1)  a12 .det B(1,2) 
 (1)1n .a1n .det B(1,n)  (*)
Seja 1  j  n
Sejam B j  B(1, j ) e Aj  A(1, j )
Então (i  k  1)
B j (i,:)  Aj (i,:) e B j (k  1,:)  x.Aj (k  1,:)
(j ) B j é de ordem n  1 e, pela hipótese de indução
B(1, j )  x.det A(1, j ) , substituindo em (*):
det B  a11.( x.det A(1,1) )  a12 .( x.det A(1,2) ) 
 x.(a11.det A(1,1)  a12 .det A(1,2) 
 (1)1n .a1n .( x.det A(1,n) ) 
 (1)1n .a1n .det A(1,n)  x.det A . 
A demonstração (ii) é análoga à (i).
20
Exemplo:
1 2 3


Seja A   4 3 2  e x  2
 3 3 2


2 4 6


 B   4 3 2  , B(1,:)  2.A(1,:)
 3 3 2


Então:
det B  x.det A
1 2 3
3 2
 4 2
 4 3


 2.det 
  4.det 
  6.det 
  2.det  4 3 2 
3 2
 3 2
 3 3
 3 3 2


1 2 3


 2.0  4.2  6.3  2.det  4 3 2 
 3 3 2



3 2
 4 2
 4 3 
 10  2. 1.det 
  2.det 
  3.det 

3 2
 3 2
 3 3 

 10  2.(1.0  2.2  3.3)  2.5  10 .
2.6 - Corolário 1
Seja B uma matriz cuja k-ésima linha é nula. Então det B  0 .
Demonstração:
Seja A uma matriz tal que (i  k )
A(i,:)  B(i,:)
Logo,
B(k ,:)  0. A(k ,:)
Pela propriedade anterior,
det B  0.det A  0
21
 a11


B 0


a
 n1
a1n 


0 


ann 
a12
0
an 2
 a22


 det B  a11.det  0


a
 n2
a23
0
an 3
a2 n 
 a21 a23




0   a12 .det  0
0




a
ann 
 n1 an3
a2 n 


0 


ann 
a24
0
an 4
 a21


 (1)1 n .a1n .det  0


a
 n1
 (1)1n .a1n .0  0 . 
 a11.0  a12 .0 
Exemplo:
1 4 5


Seja B   0 0 0 
5 1 2


0 0
0 0
 0 0
 det B  1.det 
  4.det 
  5.det 
  1.0  4.0  5.0  0
1 2
5 2
5 1
2.7 - Propriedade 6
Seja A
nxn
e seja 1  k  n
Seja B 
nxn
uma matriz tal que (i  k )
B(i,:)  A(i,:) e B(k ,:)  A(k ,:)  t.  x1
Então:
 a11


det B  det A  t.det  x1


a
 n1
Demonstração:
Para k  1 , teremos:
a12
x2
an 2
a1n 


xn 


ann 
x2
xn 
a22
0
an 2
a2,n 1 


0 


an ,n 1 
22
 a11  t.x1 a12  t.x2

a21
a22
B


an 2
 an1
a1n  t.xn 

a2 n 


ann 
 (1)1n .(a1n  t.xn ).det B(1,n)
 det B  (a11  t.x1 ).det B(1,1)  (a12  t.x2 ).det B(1,2) 
(j ) B(1, j )  A(1, j ) , logo
det B  (a11.det A(1,1)  a12 .det A(1,2) 
 (1)1n .a1n .det A(1,n) )  t.( x1.det A(1,1)  x2 .det A(1,2) 
 x1 x2

a
a22
 det A  t.det  21


 an1 an 2
 (1)1n .xn .det A(1,n) ) 
xn 

a2 n 


ann 
Se k  2 , basta trocar as linhas de ordem de forma que k  1 (propriedade 2).
2.8 - Corolário 2
 a11


det  ak1


a
 n1
a12
ak 2
an 2
a1n 
 a11




ak n   ak1.  1




a
ann 
 n1
a12
0
an 2
a1n 
 a11




0  ak 2 .  0




a
ann 
 n1
a12
1
an 2
Exemplo:
 1 2 3
1 2 3
1 2 3






det  4 5 6   det  4 5 6   9.det  4 5 6  
7 8 9
7 8 0
0 0 1






 1 2 3
 1 2 3
 1 2 3






 det  4 5 6   8.det  4 5 6   9.det  4 5 6  
7 0 0
 0 1 0
0 0 1






 1 2 3
 1 2 3
 1 2 3






 7.det  4 5 6   8.det  4 5 6   9.det  4 5 6  .
1 0 0
 0 1 0
0 0 1






a1n 


0 


ann 
 a11


 akn .  0


a
 n1
a12
0
an 2
a1n 


1 


ann 
23
2.9 - Proposição 1
1

0
det 


0
0

0
1


1
0
1
0
Demonstração:
i) det1  1 .
ii) Se I n é uma matriz identidade nxn , com n  1
Então det I n , por definição, é igual a
1.det I (1,1)  0.det I (1,2) 
 (1)1n .0.det I (1,n ) 
 1.det I (1,1)  1.1  1.
Portanto, o determinante definido a partir da expansão de Laplace é uma
função multilinear (em relação às linhas da matriz), alternada e tal que o seu valor na
matriz identidade é 1. Como só existe uma única função multilinear alternada que
aplicada em
1
0 0
0 ,  0 1 0
0 ,
, 0 0 0
1  é igual à 1,
concluímos que o procedimento indutivo de Laplace define rigorosamente a função
determinante. Podemos obter, então, a fórmula de Leibniz para o determinante.
Essa fórmula expressa o determinante de uma matriz quadrada como um somatório
de n! parcelas, cada uma igual a um produto de n elementos da matriz, que não
podem estar em uma mesma linha ou coluna. Essa exigência se traduz em uma
permutação de n elementos. O sinal da parcela é dado pela paridade dessa
permutação.
24
3 – OUTRAS PROPRIEDADES
3.1 – Fórmula de Leibniz
det A 
n
 sgn( ) Ai, i ; 1  i  n e 1    n.
 N n
i 1
OBSERVAÇÕES:
n
i)
A
i 1
i, i
= a1 (1) .a2 (2) . .an ( n) , em que  é uma permutação do conjunto N n .
Nesse produto aparece apenas um elemento de cada linha de A (pois os primeiros
índices não se repetem) e apenas um elemento de cada coluna de A (pois os
segundos índices também não se repetem).
ii) sgn: é a função sinal de permutações no grupo de permutações que retorna 1
para permutações pares e -1 para permutações ímpares (sugerimos ao leitor que
faça uma leitura de teoria de permutações – Callioli, pg. 197).
iii)
O
número
de
permutações
em
um
conjunto
Nn  1, 2,
, n
n!  n.(n 1).(n  2). .3.2.1 . Teremos portanto n ! parcelas na somatória
sgn( ).a 


1 (1)
.a2 (2) . .an ( n) .
iv) A demonstração da fórmula de Leibniz pode ser vista, por exemplo, em Hoffman
(pg.149-152).
Exemplo:
 a11 a12

Seja A   a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23  .
a33 
As permutações do conjunto 1, 2,3 e respectivos sinais são:
1 2 3 

 (+1)
1 2 3 
1 2 3 

 (-1)
1 3 2 
 1 2 3

 (+1)
 2 3 1
 1 2 3

 (-1)
 3 2 1
é
25
1 2 3

 (+1)
3 1 2
 1 2 3

 (-1)
 2 1 3
Logo,
det A  a11.a22 .a33  a12 .a23.a31  a13.a21.a32  a11.a23.a32  a13.a22 .a31  a12 .a21.a33 .
3.2 - Teorema 1
Sejam A e B matrizes de ordem n . Então det( AB)  det( A) det( B).
Demonstração:
Sejam A  (aij ) , B  (bij ) e C  AB  (cij ) . Logo
n
cij   aik bkj (i, j  1,
k 1
n
, n). cij   aik bkj (i, j  1,
, n).
k 1
Então
  a1k1 bk11

det(C )  det 
 a b
  nk1 k11

k1


bk11bk2 2
( k1 , , kn )


bk11bk2 2
( k1 , k2 , , kn )
  bk11bk2 2

b
a
b
a



 ankn bknn 
1k2 k2 2
 a1k1

bkn n det 
a
 nk1
 a1k1

bkn n det 
a
 nk1
a1kn bkn n 


ankn bkn n 
a1k2 bk2 2
ank2 bk2 2
a1kn 


ankn 
a1k2
ank2
a1kn 

 , onde ki  k j 
ankn 
bknn sgn( ) det A  det A sgn( )bk11bk2 2

 det A sgn( )bk11. .bkn n  det( A).det( B). 

b
1kn kn n
nk2 k2 2
 a1k1 bk11

det 

kn
a b
 nk1 k11
k2

a
bknn 
26
3.3 – Determinante da Matriz Transposta
Se M é a matriz de ordem n e M T sua transposta, então det M T  det M .
Demonstração:
Vamos usar o princípio da indução finita.
1ª parte
Para n  1 , a propriedade é imediata.
2ª parte
Suponhamos a propriedade válida para matrizes de ordem (n  1) e provemos que
ela também será válida para determinantes de ordem n . Temos:
 a11 a12

 a21 a22
M   a31 a32


a
 n1 an 2
a13
a23
a33
an 3
 b11 b12

 b21 b22
T
M   b31 b32


b b
 n1 n 2
a1n 

a2 n 
a3n 


ann 
em que bij  aij i 1, 2,
, n e j 1, 2,
det M  a11. A11  a21. A21  a31. A31 
det M T  b11. A'11  b12 . A'12  b13. A'13 
b1n 

b2 n 
b3n 


bnn 
b13
b23
b33
bn 3
, n .
 an1. An1 (pela 1ª coluna)
 b1n . A'1n (pela 1ª linha)
Mas, por definição de matriz transposta, temos:
a11  b11 , a21  b12 , a31  b13 ,
, an1  b1n
e pela hipótese da indução temos: A11  A'11 , A21  A'12 , A31  A'13 ,
, An1  A'1n .
Logo det M T  det M .
Portanto, a propriedade é válida para matrizes de ordem n , n  1 . 
Exemplo:
1 0 2
1 3 4




det  3 1 3   det  0 1 5   9 .
 4 5 2
 2 3 2




Obs: A importância dessa propriedade reside no fato de que toda propriedade válida
para as linhas de uma matriz também é válida para as colunas e vice-versa.
27
4 - DETERMINANTES DE MATRIZES EM BLOCOS
4.1 – Determinante de Matrizes em Blocos 1
 A B
1
1
det 
  det  A .det  D  C. A .B   det  D  .det  A  B.D .C 
C D
Demonstração:
A B
i) Seja M  
 , tal que A
 C D nxn
nxn
é inversível.
Logo,
0  A B   A
B
 I


 .


1
1
I   C D   0 D  C. A .B 
 C. A
Então:
0
B
 I
 A B
A

det 
 .det 
  det 

1
1
I
 C. A
C D
 0 D  C. A .B 
 A B
1
Isto é, 1.det 
  det A.det  D  C. A .B  .
C
D


A B
ii) Seja M  
 , tal que D 
 C D nxn
nxn
é inversível.
Logo,
 I  BD 1   A B   A  BD 1C

 .

C
D
0
I
C

 


0

D
Então:
 I  BD 1 
 A  BD 1C
A B
det 
.det

det




I 
C
C D
0

0

D
 A B
1
Isto é, 1.det 
  det D.det  A  B.D .C  .
C
D



 A B
1
1
det 
  det  A .det  D  C. A .B   det  D  .det  A  B.D .C  . 
C D
Obs: Desse resultado segue que o determinante de uma matriz de bloco triangular é
o produto dos determinantes dos blocos diagonais.
28
Exemplo:
1

3
det 
0

0
1

4 1 2 
1 2
3 5
 det 
.det 

  (2).(30)  60.
0 3 5
3 4
6 0

0 6 0
2
1
4.2 – Determinante de Matrizes em Blocos 2
det  I  AT .B   det  I  A.BT   det  I  BT .A  det  I  B.AT 
Demonstração:

i) det  I  AT .B   det  I  AT .B 
T
  det  I  B .A , pois det M
T
 I
ii) det  I  AT .B   det I .det  I  AT .I .B   det  T
A
T
 det M (2.11).
B 

I 
 det I .det  I  B.I . AT   det  I  B. AT  (3.1).

iii) Assim, det  I  AT .B   det  I  B. AT   det  I  B. AT 





T


  det  I  A.B 
 det I  AT .B  det I  A.BT  det I  BT . A  det I  B. AT
T


.
29
5 – APLICAÇÃO DE DETERMINANTES:
Antes de colocarmos algumas aplicações de determinantes, daremos algumas
notações com definições e propriedades sobre vetores.
5.1 – Definição de Vetores
Sejam
 xa , ya , za 
e
 xb , yb , zb 
as coordenadas cartesianas de dois pontos do
espaço, A e B , respectivamente. O vetor AB é, por definição, a classe de
equivalência de todos os segmentos orientados de mesma direção, de mesmo
sentido e mesmo tamanho que o segmento orientado que vai de A até B . Definimos
as coordenadas do vetor AB como sendo  xb  xa , yb  ya , zb  za  .
5.2 – Propriedades de Vetores
i) Soma de Vetores: Se V   v1 , v2 , v3  , W   w1 , w2 , w3  , então definimos a soma de
V  W , por: V  W   v1  w1 , v2  w2 , v3  w3  .
ii) Diferença de Vetores: V  W   v1  w1 , v2  w2 , v3  w3  .
iii) Módulo de um Vetor: V  x 2  y 2  z 2
5.3 – Definição de Produto Vetorial
Dado os vetores V   v1 , v2 , v3  e W   w1 , w2 , w3  , definimos o produto vetorial entre V
e W por VxW , como o vetor obtido pelo objeto matemático que não é um
determinante, mas que pode ser calculado como se fosse um determinante:
 i

VxW  det  v1
w
 1
j
v2
w2
k 

v3  .
w3 
30
5.4 – Propriedades de Produto Vetorial
i) VxW  WxV
ii) Ux V  W   UxV  UxW
5.5 – Definição de Produto Misto
Dado os vetores U   u1 , u2 , u3  , V   v1 , v2 , v3  e W   w1 , w2 , w3  , definimos o produto
misto entre U , V e W , que é denotado por U ,V ,W  , do seguinte modo:
U ,V ,W   U .VxW  .
Observe que o produto misto é um número real e que pode ser obtido a partir do
seguinte determinante:
 u1
U ,V ,W   U . VxW   det  v1
w
 1
u2
v2
w2
u3 

v3  .
w3 
5.6 – Propriedades de Produto Misto
i) U ,V ,W    V ,U ,W  .
ii) U ,V ,W   V ,W ,U   W ,U ,V  .
5.7 – Área de Região Triangular
Uma aplicação na geometria analítica relacionada com determinantes está no
cálculo da área de um triângulo ABC conhecidas as coordenadas de seus vértices.
31
 
No caso da geometria plana, sejam (O, i , j ) um sistema ortogonal de coordenadas e
A   xA , y A  , B   xB , yB  e C   xc , yc  três pontos não colineares.
A área do triângulo ABC será dada por:
AC .h
S=
2
Sendo AC  ( xC  xA , yC  y A ) e h  BC distância do ponto B ao ponto C, vem:
AC 
 xC  xA    yC  yA 
2
2
e
h  BC 
 xA
1

 S  . det  xB
2
x
 C
 xA

det  xB
x
 C
y A 1

yB 1
yC 1
 xC  xA    yC  y A 
2
2
y A 1

yB 1 , que é a expressão analítica da área do triângulo no plano.
yC 1
Exemplo:
Determine a área do triângulo ABC de vértices: A(1, 4) , B(2,3) e C(  1, 2) .
 1 4 1
 3 1
 2 1
2 3


det  2 3 1  1.det 
  4.det 
  1.det 
  1.5  4.3  1.(1)  8.
 2 1
 1 1
 1 2 
 1 2 1


1
 A= . 8  4.
2
32
5.8 – Equação Geral da Reta
Através do determinante nulo formada pelas coordenadas de dois pontos no plano
cartesiano podemos encontrar a equação geral da reta.
Considere uma reta originada pelos pontos A(x1 , y1 ) e B(x 2 , y2 ) . Podemos destacar
um ponto P(x, y) nessa mesma reta e assim obtermos as seguintes equações:
x  x1  ( x2  x1 )
x  x1  x2  x1
y  y1  ( y2  y1 )
y  y1  y2  y1
Assim:
x  x1
y  y1

x2  x1 y2  y1
( x  x1 ).( y2  y1 )  ( y  y1 ).( x2  x1 )
[( x  x1 ).( y2  y1 )]  [( y  y1 ).( x2  x1 )]  0
 x  x1
det 
 x2  x1
y  y1 
0
y2  y1 
Esta última equação pode ser transformada na seguinte:
 x

det  x  x1
x x
 2 1
y
y  y1
y2  y1
1

1  0
1
Ao calcularmos o determinante nulo dessa matriz de ordem 3 formada pelas
coordenadas dos três pontos acrescentada por uma coluna formada por numero 1
encontraremos a equação ax + by + c = 0, que é denominada equação geral da
33
reta, onde a e b são números não nulos e x e y são pontos de coordenadas da
retas.
x

det  x1
x
 2
y
y1
y2
1
 y 1
 x 1
x

1  0  x.det  1   y.det  1   1.det  1
 y2 1 
 x2 1
 x2
1
y1 
0
y2 
 x.  y1  y2   y.  x1  x2   1.  x1. y2  y1.x2   0
  y1  y2  .x   x1  x2  . y   x1. y2  y1.x2   0 .
a
b
c
Exemplo:
Obtenha uma equação da reta que passa pelos pontos: A(1,3) e B(-2,8) .
 x y 1


det  1 3 1  0
 2 8 1


 3 1
 1 1
 1 3
 x.det 
  y.det 
  1.det 
  0.
 8 1
 2 1
 2 8 
 x.(5)  y.3  1.14  0  5x  3 y  14  0
 A equação geral da reta é 5x  3 y  14  0
5.9 – Volume do Tetraedro
Em 1773, Lagrange, em um trabalho sobre Mecânica, mostrou que o volume de um
tetraedro ABCD de vértices A(x 0 , y0 , z0 ) , B(x1 , y1 , z1 ) , C(x 2 , y2 , z2 ) , e D(x 3 , y3 , z3 ) pode
 x0

x1
1
ser dado por V= . D , em que D é o módulo do determinante det 
 x2
6

 x3
Seja (O, i , j , k ) um sistema ortogonal de coordenadas.
y0
y1
y2
y3
z0 1 

z1 1
.
z2 1

z3 1
34
A  ( x0 , y0 , z0 ) , B  ( x1 , y1 , z1 ) , C  ( x2 , y2 , z2 ) e D  ( x3 , y3 , z3 ) quatro pontos do espaço
três a três não colineares e os quatro não situados no mesmo plano, conforme figura
abaixo.
O volume do tetraedro ABCD será igual à sexta parte do volume do paralelepípedo
que é dado por:
 AB, AC , AD 


Nestas condições o volume do tetraedro ABCD será:
1
V  .  AB, AC , AD 
6
Como
AB  ( x1  x0 )i ( y1  y0 ) j ( z1  z0 )k
AC  ( x2  x0 )i ( y2  y0 ) j ( z2  z0 )k
AD  ( x3  x0 )i ( y3  y0 ) j ( z3  z0 )k
e
 x1  x0
1

V  . det  x2  x0
6
x x
 3 0
y1  y0
y2  y0
y3  y0
z1  z0 

z 2  z0 
z3  z0 
ou:
 x0

x
1
V  . det  1
 x2
6

 x3
y0
y1
y2
y3
z0 1 

z1 1
z2 1

z3 1
que é a fórmula analítica do volume de um tetraedro no espaço.
Exemplo:
35
Determine o volume do tetraedro ABCD de vértices A(1,0,0) , B(2,3,1) , C(-1, 2,3) e
D(5, 1, 2) .
1 0 0

2 3 1
det 
 1 2 3

 5 1 2
1

1
 1.23  1.64  41
1

1
1
41
 V= . -41  .
6
6
36
REFERÊNCIAS
BOLDRINI, José Luís. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil,
1980.
CALLIOLI, Carlos A. Álgebra Linear e Aplicações. 6ª ed. São Paulo: Atual Editora,
1990.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: volume único. 1ª ed. São Paulo: Editora Ática,
2005.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Traduzido por Hygino H.
Domingues. Editorial. UNICAMP, 2004.
HOFFMAN, Kenneth e KUNZE, Ray. Álgebra Linear. Traduzido por Adalberto P.
Bergamasco. São Paulo: Editora Univ. de S. Paulo e Polígono, 1970.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 4: sequências,
matrizes, determinantes, sistemas. 7ª ed. São Paulo: Atual Editora, 2004.
KOLMAN, Bernard; HILL, David R. Introdução à Álgebra Linear: com aplicações.
Rio de Janeiro, 2006.