Lista 5 de Álgebra Linear
Terceiro Quadrimestre de 2012
João Paulo Pitelli
CMCC/UFABC
1.a Questão (Callioli).
Seja F o operador linear do R2 cuja matriz em relação à base B = {(1, 0), (1, 4)} é
[F ]B
B =
1
5
1
1
.
(1)
Determinar a matriz de F em relação à base canônica.
Seja T um operado de um espaço vetorial V de dimensão 2. Se a matriz de T em
relação a uma certa base B de V é
a b
,
(2)
2.a Questão (Callioli).
c
d
mostrar que T 2 − (a + d)T + (ab − bc)I = 0 (operador nulo).
Mostrar que se A e B são semelhantes, então An e B n são semelhantes para todo n ≥ 1.
Sendo p(t) um polinômio, p(t) = a0 + a1 t + . . . an tn , indicamos por p(A) a matriz p(A) = I + a1 A + . . . an An .
Provar que se A e B são semelhantes, então p(A) e p(B) são semalhantes.
3.a Questão (Callioli).
4.a Questão (Anton).
Verique que pos(A) = pos(At ), onde

1
A =  −3
−2

2 4 0
1 5 2 
3 9 2
Suponha que A é uma matriz 3 × 3 cujo espaço-nulo é uma reta que passa pela origem
no espaço tridimensional. Podem o esdpaço-linha oou o espaço coluna também ser uma reta que passa pela
origem? Explique.
5.a Questão (Anton).
6.a Questão (Anton).
Verique como o pósto de A varia com t.

1
A= 1
t
7.a Questão (Anton).

t
1 
1
Existem valores de r e s para os quais o posto de

1
 0

 0
0
8.a Questão (Anton).
1
t
1

0
0
r−2
2 

s−1 r+2 
0
3
Prove que se k 6= 0, então A e kA têm o mesmo posto.
9.a Questão (Callioli).
Provar que se A = (A1 , . . . , An ) e λ1 , . . . , λn ∈ R, então det(λ1 A1 , . . . , λn An ) =
10.a Questão (Callioli).
Sem cálculo, provar que a matriz
λ1 · · · · · λn det(A).


x
y 
z
−6
−2
−4
3
 1
2
tem determinante igual a zero quaisquer que sejam x, y, z ∈ R.
Seja A uma matriz de ordem n tal que A+At = 0. Provar que det(A) = (−1)n det(A).
O que acontece se n é ímpar?
11.a Questão (Callioli).

12.a Questão (Callioli).

a
 a 

Seja A = 
 .. 
 . 
a
13.a Questão (Callioli).
Provar que det(A) = 0 sendo
b
b ···

1
 cos a
cos 2a
14.a Questão (Callioli).
b
cos a
cos 2a
cos 3a
. Quanto é det(A)?

cos 2a
cos 3a 
cos 4a
Seja a matriz de ordem n + 1

1 a0
 1 a1

A= .
..
 ..
.
1 an
a20
a21
···
···
an−1
0
an−1
1
a2n
···
an−1
n
..
.
..
.
..
.

an0
an1 

.. 
. 
ann
Provar que det(A) = Π0≤i<j≤n (aj − ai ), onde o símbolo Π0≤i<j≤n signica que devemos multiplicar todos
os números aj − ai com os índices i e j satisfazendo a condição 0 ≤ i < j ≤ n.
15.a Questão (Boldrini).
Mostre que se duas matrizes A e B são semelhantes, então det(A) = det(B).
16.a Questão (Boldrini).
Resolva o sistema, usando a regra de Cramer:

 x
2x

17.a Questão (Boldrini).
− 2y
+ y
y
+
z
− 5z
=
=
=
1
3
4
Prove que uma matriz A de ordem n tem posto n se, e somente se A é inversível.
2