MTM 5512 | Lista 2
Respostas
14/09/15
Professor: Sergio Tadao Martins
1) Apresentamos em cada item a forma escalonada reduzida da matriz e seu determinante.

1

a) 0
0
0
1
0

0
0 ,
1
det(A) = 10

1
0

b) 
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0

0
0

0
,
0
1
0
0
0
1
0
det(A) = 6
c) In , det(A) = (n − 1)!
2) O sistema possui uma soluc~ao unica se, e somente se,


1 α
0
M =  0 1 −1
α 0
1
e inversvel, e isto e equivalente a det(M) 6= 0 ⇔ a 6= ±1.
3) AA−1 = I ⇒ det(AA−1 ) = det(I) ⇔ det(A) det(A−1 ) = 1 ⇔ det(A−1 ) = 1/ det(A).
4) Cada linha de A ca multiplicada por α, e como A tem n linhas, devemos ter ent~ao det(αA) = αn det(A).
5)
a) AAT = I ⇒ det(A) det(AT ) = 1 ⇔ det(A)2 = 1 ⇔ det(A) = ±1.
b) Se n e mpar, temos A = −AT ⇒ det(A) = (−1)n det(AT ) ⇔ det(A) = − det(A) ⇔ det(A) = 0.
6) As propriedades do determinante ao realizarmos operac~oes elementares sobre as colunas s~ao as mesmas que
temos ao realizarmos operac~oes sobre as linhas, visto que o determinante de uma matriz e igual ao determinante
de sua transposta.
7) An = I ⇒ det(A)n = 1. Se n e mpar, ent~ao det(A) = 1. Se n e par, det(A) = ±1.
8) A − λI3 n~ao e inversvel se, e somente se, det(A − λI3 ) = 0 ⇔ −λ3 + 5λ2 − 8λ + 4 = 0 ⇔ λ = 1 ou λ = 2.
7
9) Fazendo a expans~ao usando a primeira linha (que tem varios zeros), obtemos det(A) = −2 3
0
10) Pense mais e, se realmente n~ao conseguir, consulte um professor!
1 6 7 2 3 −1