IST - 1o Semestre de 2011/12
LEGM, MEC
1
EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
FICHA 4 - Determinantes. Vectores e valores próprios
1
Determinantes
Pode-se definir det A, o determinante de uma matriz A ∈ Mn×n (K), como o valor da
função de Mn×n (K) em K que satisfaz as seguintes propriedades:
i) Se In é a matriz identidade, então det In = 1.
′
ii) Se a matriz A se obtém da matriz A multiplicando uma das suas linhas por α, então
′
det A = α det A
iii) det A não se altera se uma linha for substituída pela sua soma com outra linha.
Partindo destas propriedades axiomáticas é possível mostrar que a função A → det A também
tem que satisfazer as seguintes:
iii’) det A não se altera se uma linha for substituída pela sua soma com o múltiplo de outra
linha.
′
′
iv) Se a matriz A se obtém da matriz A permutando duas das suas linhas, então det A =
− det A
Com base nas propriedades acima descritas é possível calcular qualquer determinante através
do método de eliminação de Gauss. Por exemplo:
1
Coligidos por: João Ferreira Alves, Ricardo Coutinho e José M. Ferreira.
1



2 2 2
2 2 2
det  3 3 8  = det  0 0 5
2 5 3
0 3 1

2 2
= − det  0 3
0 0



2
1 
5

por iii′ )
por iv)

1 1 1
= −2 × 3 × 5 × det  0 1 1/3 
0 0 1


1 0 0

= −30 det 0 1 0 
por iii′ )
0 0 1
= −30
1.1
por ii)
por i)
Propriedades dos determinantes
Representando a matriz A através das

a11 a12
 a21 a22
A=
 ... ...
an1 an2
suas linhas:
 
... a1n

... a2n 
=
... ...  
... ann

a′1
a′2 
,
... 
a′n
podemos descrever a linearidade do determinante em função das suas linhas nas seguintes
duas primeiras propriedades.



1. det 





2. det 



 ′ 

a′1
a1
 ... 

... 

 ′ 

′
 ai  + det 
ai + a 
=
det




 ... 

... 
a′n
a′n

 ′ 
a1
a′1



... 
 ...′ 
′ 

αai  = α det 
 ai  (∀α) .
 ... 
... 
′
an
a′n
a′1
...
a
...
a′n



.


3. det AT = det A.
4. O determinante muda de sinal por permutação entre pares de linhas (ou de colunas).
5. det A não se altera se uma linha (ou coluna) for substituída pela sua soma com o
múltiplo de outra linha (respectivamente coluna).
2
6. Se




A=


a11 a12 a13
0 a22 a23
0
0 a33
..
..
.
.
0
0
0
···
···
···
...
a1n
a2n
a3n
..
.
· · · ann







é uma matriz triangular superior (ou triangular inferior) então det A = a11 a22 ...ann .
7. Se A tiver duas linhas (ou duas colunas) iguais então det A = 0.
8. det A = 0, se A tiver uma linha (ou coluna) nula.
9. As linhas (ou colunas) de A são linearmente dependentes se e só se det A = 0.
10. A é invertível se e só se det A = 0. Nestas circunstâncias
det A−1 =
1
.
det A
11. det (AB) = (det A) (det B) .
1.2
Outros métodos para o cálculo de determinantes
Existem outros métodos directos para

a11
 a21
A=
 ...
an1
calcular determinantes de uma matriz n × n

a12 ... a1n
a22 ... a2n 
.
... ... ... 
an2 ... ann
• Regra de Laplace2 : Para qualquer i = 1, 2, ..., n,
det A =
n
(−1)i+j aij det Aij
=
j=1
n
aij Cij
j=1
= ai1 det Ai1 − ai2 det Ai2 + ai3 det Ai3 − ... + (−1)i+n ain det Ain
= ai1 ci1 + ai2 ci2 + ai3 ci3 + ... + ain cin
Para qualquer j = 1, 2, ..., n,
det A =
n
i+j
(−1)
aij det Aij
=
i=1
n
aij cij
i=1
= a1j det A1j − a2j det A2j + a3j det A3j − ... + (−1)n+j anj det Anj
= a1j c1j + a2j c2j + a3j c3j + ... + anj cnj
onde Aij é a matriz que se obtem de A por supressão da linha i e da coluna j. O
valor cij = (−1)i+j det Aij é chamado de cofactor (i, j) da matriz A.
2
Pierre Simon Laplace, n. Beaumont-en-Ange (Normandia) França, a 23 de Março de 1749, m. Paris, a
5 de Março de 1827.
3
• Expansão permutacional: Designemos por P o conjunto de todas as permutações
σ = (σ1 , ..., σn ) de {1, 2, ..., n} . Obtemos,
det A =
ǫσ a1σ1 a2σ2 ...anσn =
ǫσ aσ1 1 aσ2 2 ...aσn n ,
σ∈P
σ∈P
onde ǫσ é o sinal da permutação σ (i. e. ǫσ = (−1)iσ , onde iσ designa o número total
de inversões de σ; dada uma permutação σ dizemos que ocorre uma inversão sempre
que i < j e σi > σj ).
1.3
Determinantes de matrizes 2 × 2 e 3 × 3
Para o caso de uma matriz 2 × 2,
A=
a11 a12
a21 a22
det A = a11 a22 − a12 a21 .
Uma utilização importante deste determinante prende-se com o cálculo de áreas de
paralelogramos P do plano gerados por dois vectores v1 = (a, b) e v2 = (c, d) de R2 :
a
b
= |ad − bc| .
área de P = det
c d Relativamente a uma matriz 3 × 3,


a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23  ,
a31 a32 a33
podemos estabelecer que
det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31 ,
dando origem à chamada regra de Sarrus3
a11
a21
a31
+
ց
a12
a22
a32
+
ց
ց
a13
a23
a33
a11
ց
ց
a12
a21
a31
a13
a22
ց
a32
a23
ւ
a33
− a11
ւ
a21
ւ
a31
−
ւ
ւ
a12
a22
− a13
ւ
a23
a32
a33
Estes determinantes permitem a obtenção do cálculo de volumes de paralelepípedos, P,
gerados por três vectores v1 = (x1 , y1 , z1 ) , v2 = (x2 , y2 , z2 ) e v3 = (x3 , y3 , z3 ) de R3 :


x1 y1 z1 volume de P = det  x2 y2 z2 
x3 y3 z3 = |x1 y2 z3 + x3 y1 z2 + x2 y3 z1 − x1 y3 z2 − x2 y1 z3 − x3 y2 z1 | .
3
Pierre Frédéric Sarrus, n. Saint Affrique (Midi-Pyrenées) França, a 10 de Março de 1798, m. Estrasburgo,
França, a 20 de Novembro de 1861.
4
1.4
Matriz dos cofactores
Considerando os cofactores
cij = (−1)i+j det Aij
chama-se matriz dos cofactores de A à matriz
cofA = [cij ]i,j=1,...n

c11 c12
 c21 c22
=
 ... ...
cn1 cn2

... c1n
... c2n 
.
... ... 
... cnn
A matriz cofA satisfaz a seguinte relação com a matriz A ∈ Mn×n (K), n 2:
A (cofA)T = (det A) In .
Desta igualdade resulta que se A é invertível então
A−1 =
1.5
1
cofA.
det A
Regra de Cramer4
Seja Ax = d um sistema de n equações a n incógnitas tal que det A = 0. Então o sistema
possui uma única solução dada por
x1 =
det A1
det A2
det An
, x2 =
, ..., xn =
,
det A
det A
det A
onde com j = 1, 2, ..., n, Aj é a matriz que se obtém de A substituindo a coluna j de A pelo
vector coluna d.
1.6
Exercícios
Exercício 1 Use eliminação de Gauss para calcular os determinantes das seguintes matrizes:


3 −1 4
1 2
1 1
a)
.
b)
.
c)  0 1 −2  .
1 1
1 1
0 5
0






1 0 0
3 0 0
1 −1 1
d)  1 1 0  . e)  0 1 −2  . f)  1 1 3  .
1 1 1
0 5 0
0 1 1
4
Gabriel Cramer, n. a 31 Julho de 1704 em Geneva, m. a 4 de Janeiro de 1752 em Bagnols-sur-Cèze
(França) .
5
Exercício 2 Use eliminação de Gauss para calcular os determinantes das seguintes matrizes. Aproveite o resultado para indicar as que são invertíveis.






1 12 22 31
1 2 4 3
1 0 0 3
 0 3 11 16 


 1 1 0 3 
 . b)  1 1 3 3  .


a) 
c)
 0 0 1 10 
 0 3 0 0 
 0 3 1 1 .
0 0 0 1
0 2 2 2
0 2 2 2






1 1 0 0 0
1 0 0 2
1 0 0 3
 1 4 0 6 0 
 0 1 2 3 
 1 1 0 3 


.

 . f)  1 1 0 3 0  .
d) 
e)


 0 2 1 2 
 0 0 1 1 
 0 3 1 1 3 
3 3 0 1
−5 2 2 2
0 0 0 2 5
Exercício 3 Sabendo que


a b c
det  d e f  = 5,
g h i
calcule:




d e f
−a −b −c
a) det  g h i  .
b) det  2d 2e 2f  .
a b c
−g −h −i




a+d b+e c+f
a
b
c
e
f  . d) det  d − 3a e − 3b f − 3c  .
c) det  d
g
h
i
2g
2h
2i
Exercício 4 Sabendo que os valores reais γ e δ

1
2
1
det  δ
1 γ+δ
determine
são tais que:

γ
1  = 1,
2

1
2
γ
det  δ δγ + δ2 2δ  .
δγ
γ
γ

Exercício 5 Mostre que




det 



λ
λ
λ
λ
λ
λ
1
λ+1
λ+1
λ+1
λ+1
λ+1
1
1
1
1
2
2
2
2
λ+2
3
3
3
λ+2 λ+3
4
4
λ+2 λ+3 λ+4
5
λ+2 λ+3 λ+4 λ+5
6




 = λ6 .



Exercício 6 Calcule o determinante da matriz n × n

λ
λ
λ
...
λ
 1 λ+1
1
...
1

 1
1
λ
+
1
...
1
B=
 ..
..
..
..
..
 .
.
.
.
.
1
1
1
1 λ+1




.


Exercício 7 Mostre que


1 1 1
det  λ1 λ2 λ3  = (λ3 − λ2 )(λ3 − λ1 )(λ2 − λ1 ).
λ21 λ22 λ23
Exercício 8 Utilize
matrizes indicadas a

1

1
a)
0

1
 1
d) 
 0
0
sucessivamente a regra de Laplace para calcular os determinantes das
seguir.





0 3
1 1 0
1 1 1
3 1 .
b)  2 3 1  .
c)  2 3 1  .
0 −3
1 6 0
5 6 −3





1 1 0 0 0
2 4 3
1 0 0 3
 1 4 0 6 0 
 1 1 0 3 


1 3 3 
 . e) 
 . f)  1 1 0 3 0  .





3 0 0
0 0 1 1
 0 3 1 1 3 
2 2 2
−5 2 2 2
0 0 0 2 5
Exercício 9 Uma matriz cujas entradas são 0 ou 1 tem determinante igual a 0, 1 ou
−1.Verdadeiro ou falso?
Exercício 10 Através da regra de Sarrus calcule os determinantes





1 0 3
1 1 0
1 1





a)
1 3 1
. b)
2 3 1 . c)
2 3
0 0 −3
1 6 0
5 6
das seguintes matrizes:

1
1 .
−3
Exercício 11 Calcule as áreas dos paralelogramos cujos vértices são:
a) (0, 0) , (−1, 3) , (4, −5) e (3, −2) .
b) (−1, 0) , (0, 5) , (1, −4) e (2, 1) .
c) (0, −2) , (6, −1) , (−3, 1) e (3, 2) .
Exercício 12 Calcule os volumes dos paralelepípedos gerados pelos vectores u, v e w onde:
a) u = (1, 0, −2) , v = (1, 2, 4) e w = (7, 1, 0) .
b) u = (1, 4, 0) , v = (−2, −5, 2) e w = (−1, 2 − 1) .
7
Exercício 13 Calcule os determinantes das matrizes




1 0 1
2 2 2
A =  0 1 5  e B =  0 2 2 .
3 0 1
1 1 2
E ainda: a) det(3A). b) det(A3 B 2 ). c) det(A−1 B T ). d) det(A4 B −2 ).
Exercício 14 i) Para as matrizes indicadas a seguir verifique a validade da fórmula:
A (Cof A)T = (det A) I,
onde Cof A designa a matriz dos cofactores.








0 1 2
1 1 0
1 0 0
1 4 5
a)  2 4 1  . b)  2 0 1  . c)  1 3 0  d)  2 5 4  .
1 2 0
1 2 2
1 1 1
3 6 3
ii) Caso seja possível, determine a matriz inversa de cada uma destas matrizes.
Exercício 15 Use a regra de Cramer para resolver os sistemas de equações lineares:


 y + 2z = 1
 x+y = 1
2x + 4y + z = 0 . b)
2x + z = 1
a)
.


x + 2y = 1
x + 2y + 2z = −1
Exercício 16 Sejam f1 , f2 e f3 funções do espaço vectorial C 2 (R) , das funções reais de de
variável real que são duas vezes diferenciáveis. Mostre que se existe t0 ∈ R de modo que o
determinante5


f1 (t0 ) f2 (t0 ) f3 (t0 )
det  f1′ (t0 ) f2′ (t0 ) f3′ (t0 )  = 0,
f1′′ (t0 ) f2′′ (t0 ) f3′′ (t0 )
então f1 , f2 e f3 são linearmente independentes.
Exercício 17 Aplicando o exercício anterior, mostre que {1, e−t , te−t } é constituído por
funções linearmente independentes.
5
Este determinante é conhecido pelo nome de wronskiano das funções f1 , f2 e f3 . Esta condição de
independência linear é devida a Josef-Maria Hoëné Wronski (n. Wolsztyn, Polónia, 23 de Agosto de 1778;
m. Neilly-sur-Seine, França, em 8 de Agosto de 1853).
8
2
Vectores e valores próprios de transformações lineares
Dada uma transformação linear T : E → E do espaço vectorial E nele próprio, se com
v ∈ E\ {0} e λ escalar se tem
T (v) = λv,
diremos que v é um vector próprio de T e λ um seu valor próprio.
Designando por I : E → E a transformação linear identidade, ou seja a transformação
tal que I (x) = x, qualquer que seja x ∈ E, temos que
T (v) = λv ⇔ (T − λI) (v) = 0.
Assim, se λ é um valor próprio de T, então v será um vector próprio de T associado a λ se
e só se
v ∈ Nuc (T − λI) \ {0} .
Como tal, podemos afirmar que λ é um valor próprio de T se e só se Nuc (T − λI) = {0} ,
sendo qualquer elemento não nulo de Nuc (T − λI) um vector próprio de T associado a λ.
O subespaço de E, Nuc (T − λI) , é chamado de subespaço próprio associado a λ,
que representaremos por E (λ):
E (λ) = Nuc (T − λI) .
2.1
Vectores e valores próprios de matrizes
Analogamente, podem definir-se os conceitos de valor próprio e vector próprio de uma
matriz A (n × n) . Nesse sentido, um vector v = 0 e um escalar λ são, respectivamente, um
vector próprio de A e um valor próprio de A, se
Av = λv.
O conjunto dos valores próprios de A é designado por espectro da matriz A e representado por σ (A) . Ao contrário do que sucede para uma transformação linear qualquer,
para uma matriz podemos obter uma caracterização dos seus valores próprios. Na verdade,
atendendo a que
Av = λv ⇔ (A − λI) v = 0,
se v é um vector próprio associado ao valor próprio λ, podemos afirmar que v é uma solução
não nula do sistema homogéneo (A − λI) x = 0, e portanto concluir que
λ ∈ σ (A) ⇔ det (A − λI) = 0.
Facilmente se verifica que det (A − λI) é um polinómio em λ de grau n, chamado de polinómio característico de A. Logo o conjunto dos valores próprios de uma matriz A é
analiticamente identificado pelas raízes de um polinómio:
σ (A) = {λ : det (A − λI) = 0} .
9
O conjunto dos vectores próprios associados a um mesmo valor próprio de A, é constituído por todos os vectores não nulos que são solução do sistema homogéneo (A − λI) x = 0,
ou seja Nul(A − λI) \ {0} . O subespaço Nul(A − λI) é também designado por espaço próprio
associado ao valor próprio λ e igualmente representado por E (λ) .
2.2
Vectores e valores próprios de transformações lineares em espaços de dimensão finita
Seja agora T : E → E uma transformação linear em que o espaço E é de dimensão
finita. Considerando a matriz [T ]B que representa T, relativamente a uma dada base B de
E, de
[T (v)]B = [T ]B [v]B ,
podemos concluir que a relação
T (v) = λv
é equivalente a
[T ]B [v]B = λ [v]B .
Deste modo, λ é um valor próprio de T se e só se λ ∈ σ (A) . O espaço próprio associado a
um valor próprio λ, pode também ser caracterizado através da matriz [T ]B :
E (λ) = Nuc (T − λI) = {v ∈ E : [v]B ∈ Nul ([T ]B − λI)} .
No caso de ser E = Rn ou Cn como há uma identificação entre vectores e coordenadas
na base canónica temos que
E (λ) = Nuc (T − λI) = Nul ([T ]E − λI) ,
onde [T ]E é a representação matricial de T na base canónica de Rn ou Cn .
2.3
Diagonalização de matrizes
Uma matriz D (n × n) diz-se uma matriz diagonal se forem nulos todos os elementos
de D que estão fora da diagonal principal:


d1 0 0 ... 0
 0 d2 0 ... 0 


.
D=
0
0
d
...
0
3


 ... ... ... ... ... 
0 0 0 ... dn
Por exemplo, a matriz identidade é uma matriz diagonal.
Uma matriz A (n × n) é dita diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal
D. Ou seja, se existir uma matriz invertível, P, dita matriz de semelhança, tal que
A = P DP −1 .
10
• Teorema da diagonalização. Uma matriz A (n × n) é diagonalizável se e só se
admitir n vectores próprios, v1 ,v2 , ...,vn , linearmente independentes.
A matriz de semelhança, P, terá como colunas as coordenadas dos vectores próprios
v1 ,v2 , ...,vn :
P = [v1 v2 ...vn ] .
A matriz diagonal



D=


λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ3
... ... ...
0 0 0
... 0
... 0
... 0
... ...
... λn






será formada de maneira que λj é um valor próprio associado a vj , para j = 1, ..., n.
• Corolário. Se A tiver n valores próprios distintos então A é diagonalizável.
Com E um espaço de dimensão finita (dim E = n) seja T : E → E uma transformação
linear representada por uma matriz [T ] diagonalizável. Nestas condições, aos n vectores
próprios de [T ] linearmente independentes, associamos n vectores próprios de T também
linearmente independentes que desse modo constituirão uma base B do espaço E. A matriz
diagonal D = [T ]B semelhante a [T ] será a representação de T relativamente à base B.
2.4
Exercícios
Exercício 18 Seja T : R2 → R2 a transformação linear definida por
T (x1 , x2 ) = (x1 + 2x2 , 2x1 + x2 )
e considere os vectores v1 = (2, 1), v2 = (−1, 1), v3 = (2, 3) e v4 = (4, 4). Identifique os que
são vectores próprios de T. Nos casos afirmativos, indique os respectivos valores próprios de
T.
Exercício 19 Considere a transformação linear definida por
T (x1 , x2 , x3 ) = (0, x2 + 3x3 , 3x2 + x3 ) .
Dentre os vectores v1 = (2, 1, 1), v2 = (0, −1, 1), v3 = (1, 0, 0), v4 = (−1, 1, 3) e v5 = (0, 3, 3),
quais são vectores próprios de T ? E que valores próprios de T que lhes estão associados?
Exercício 20 T é a transformação linear definida por:
T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 + 2x3 , 2x1 + x2 + 2x3 , 2x1 + 2x2 + x3 ) .
Verifique se alguns dos vectores v1 = (2, 1, 1), v2 = (1, 1, 1), v3 = (−2, 0, 2), v4 = (−1, 1, 3)
e v5 = (−1, 1, 0) são vectores próprios de T. A que valores próprios de T estão associados?
11
Exercício 21 Seja T : R2 → R2 a transformação linear definida por
T (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x1 + x2 ) .
Mostre que os vectores v1 = (1, −1) e v2 = (1, 1) determinam uma base de R2 constituída
por vectores próprios de T. Nesta base, determine a representação matricial de T.
Exercício 22 T : R3 → R3 é a transformação linear dada por:
T (x1 , x2 , x3 ) = (x2 , x2 , x2 ) .
Justifique que os vectores v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) determinam uma base
de R3 constituída por vectores próprios de T . Qual a representação matricial de T nesta
base?
Exercício 23 T é a transformação linear definida por T (x1 , x2 ) = (x1 + 2x2 , 3x2 ) .
a) Indique o polinómio característico da matriz que representa T.
b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T que lhes estão associados.
c) Determine uma base de R2 constituída por vectores próprios de T. Qual a representação
matricial de T nesta base?
Exercício 24 Seja T : R2 → R2 a transformação linear que na base canónica de R2 é
representada pela matriz
2 3
A=
.
3 2
a) Especifique σ (A) .
b) Calcule os subespaços próprios de T.
c) Determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que
D = P −1 AP.
Exercício 25 Na base canónica de R2 a transformação linear T é representada pela matriz
2 1
A=
.
0 2
a) Determine σ (A) .
b) Calcule os subespaços próprios de T.
c) Mostre que não existe uma base de R2 constituída por vectores próprios de T.
Exercício 26 Seja T : R3 → R3 a transformação linear definida por
T (x1 , x2 , x3 ) = (x2 + x3 , 2x2 + x3 , x2 + 2x3 ) .
a) Indique o polinómio característico da matriz que representa T.
12
b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T.
c) Determine uma base de R3 constituída por vectores próprios de T . Qual é a representação
matricial de T nesta base?
d) Designando por A a matriz que representa T na base canónica de R3 , determine uma
matriz P e uma matriz diagonal D tais que D = P −1 AP.
Exercício 27 T : R3 → R3 é a transformação linear dada por
T (x1 , x2 , x3 ) = (3x1 , 2x2 + x3 , 2x3 ) .
a) Qual o polinómio característico da matriz que representa T ?
b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T.
c) Mostre que não existe uma base de R3 constituída por vectores próprios de T.
Exercício 28 Seja T : R3 → R3 a transformação linear que na base canónica de R3 é
representada pela matriz


9 0
0
A =  3 7 −1  .
3 −2 8
a) Determine σ (A) .
b) Calcule os subespaços próprios de T.
c) Determine uma matriz P e uma matriz diagonal D tais que D = P −1 AP.
Exercício 29 T : P1 → P1 é uma transformação linear que na base canónica de P1 , {1, t} ,
é representada pela matriz
−1 −3
A=
.
2
4
a) Determine σ (A) .
b) Calcule os subespaços próprios de T.
c) Indique uma base de P2 tal que a representação matricial de T nessa base seja diagonal.
Exercício 30 Considere a transformação linear T : P2 → P2 dada por
T (p (t)) = p′ (t) + p (t) .
a) Relativamente à base canónica de P2 , {1, t, t2 } , que matriz representa T ?
b) Qual o polinómio característico da matriz que representa T ?
c) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T.
d) Pode T ser representada por uma matriz diagonal? Justifique.
13
Exercício 31 Duas matrizes quadradas A e B dizem-se semelhantes se existe uma matriz
P invertível tal que B = P −1 AP. Mostre que:
a) Qualquer matriz quadrada é semelhante a ela própria (A é semelhante a A).
b) Se A e B são semelhantes, então também B e A são semelhantes.
c) Se A e B são semelhantes e se B e C são semelhantes, então A e C são semelhantes.
d) Se A e B são semelhantes e A é diagonalizável, então B é diagonalizável.
e) Se A e B são semelhantes, então têm o mesmo polinómio característico.
3
Valores próprios complexos
Mesmo que A seja uma matriz real (n × n) , A pode admitir valores próprios complexos.
Nestas condições, se λ ∈ C é um valor próprio de A então um vector próprio v que lhe esteja
associado será necessariamente um vector de Cn : v = (v1 , ..., vn) , com v1 , ..., vn ∈ C. Numa
circunstância destas é possível então concluir que λ, o complexo conjugado de λ, é igualmente
um valor próprio de A e que o chamado vector conjugado de v,
v = (v 1 , ..., v n ) ,
é vector próprio de A associado a λ.
3.1
Exercícios
Exercício 32 Resolva as seguintes equações na variável complexa z.
a) z 4 − 1 = 0. b) z 3 + 8 = 0. c) z 4 + 1 = 0. d) z (z − 3)2 + 16z = 0.
Exercício 33 Seja T : C2 → C2 a transformação linear definida por T (z1 , z2 ) = (−z2 , z1 ) .
a) Calcule o polinómio da matriz que representa T.
b) Quais os valores próprios e os subespaços próprios de T ?
c) Determine uma base de C2 constituída por vectores próprios de T. Qual é a representação
matricial de T nesta base?
Exercício 34 T : C2 → C2 é a transformação linear que na base canónica de C2 é representada pela matriz
0 2
A=
.
−2 0
a) Indique o polinómio característico de A.
b) Calcule os valores próprios e os subespaços próprios de T.
c) Determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D =
P −1 AP.
14
Exercício 35 Seja T : C3 → C3 a transformação linear definida por
T (z1 , z2 , z3 ) = (z1 + z2 − z3 , z2 , z1 − z2 + z3 ) .
a) Calcule o polinómio característico da matriz que representa T.
b) Determine os valores próprios e os subespaços próprios de T.
c) Determine uma base de C3 constituída por vectores próprios de T. Qual é a representação
matricial de T nesta base?
d) Designando por A a matriz que representa T na base canónica de C3 , determine uma
matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D = P −1 AP.
Exercício 36 Considere as matrizes:
1 1
−1 2
10 −4
A=
, B=
eC=
.
0 2
−4 5
24 −10
Mostre que todas são diagonalizáveis e calcule An , B n e C n , para n ∈ N.
Exercício 37 Considere as matrizes:
1 1
2 1
A=
eB=
.
−1 1
−4 2
Mostre que as matrizes A e B (não sendo diagonalizáveis enquanto matrizes reais) são
diagonalizáveis enquanto matrizes complexas. Calcule An e B n , para n ∈ N.
Exercício 38 A matriz
A=
a −b
b a
com a, b ∈ R, b = 0, tem valores próprios complexos λ = a ± ib. Mostre que transformação
linear que A representa consiste na composição de uma rotação seguida de uma mudança de
escala. Ou seja, que
ρ 0
cos θ − sin θ
A=
.
0 ρ
sin θ cos θ
Exercício 39 Com base no exercício anterior calcule An , onde
A=
1 −1
1 1
Particularize para o cálculo de A10 e A12 .
15
.
4
Aplicação à resolução de algumas equações diferenciais
Exercício 40 Seja T : P2 → P2 a transformação linear definida por
T (p(t)) = p′ (t) − 2p(t).
a) Qual a matriz que representa T na base canónica {1, t, t2 } de P2 ?
b) Mostre que T é bijectiva e calcule a matriz que representa T −1 na mesma base. Justifique
que, para qualquer polinómio q(t) ∈ P2 ,
1
1
1
T −1 (q(t)) = − q(t) − q ′ (t) − q ′′ (t).
2
4
8
c) Resolva em P2 a equação diferencial p′ (t) − 2p(t) = 1 + t + t2 .
Exercício 41 Seja T : P2 → P2 a transformação linear definida por
T (p(t)) = t2 p′′ (t) − 2p(t).
a) Que matriz representa T na base canónica {1, t, t2 } de P2 ?
b) Determine uma base do NucT e conclua que T não é injectiva nem sobrejectiva.
c) Resolva em P2 a equação diferencial t2 p′′ (t) − 2p(t) = 1.
Exercício 42 No espaço vectorial C 2 (R) das funções reais de variável real duas vezes diferenciáveis, considere a transformação linear T : C 2 (R) → C 2 (R) definida por
T (f ) = f ′′ − 2f ′ + f.
a) Indique uma base de NucT (ver Exercício 47 da Ficha 2).
b) Sabendo que f (t) ≡ 1 é uma solução da equação linear T (f ) = 1, calcule a única solução
da mesma equação que verifica f (0) = f ′ (0) = 0.
Exercício 43 Considere o sistema de equações diferenciais lineares
′
x1 (t)
x1 (t)
2 1
=A
, com A =
.
x′2 (t)
x2 (t)
1 2
Decida quais dos seguintes pares de funções são soluções deste sistema: (−et , et ), (e3t , e3t ),
(et , e3t ).
Exercício 44 Considere uma matriz A ∈ R2×2 e designe por SA o conjunto das soluções do
sistema
′
x1 (t)
x1 (t)
=A
.
x′2 (t)
x2 (t)
a) Mostre que SA com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar tem estrutura
de espaço linear.
16
λ1 0
b) Mostre que se D =
, então os pares de funções (eλ1 t , 0) e (0, eλ2 t ) constituem
0 λ2
uma base para SD , e portanto
SD =
c1 eλ1 t , c2 eλ2 t : c1 , c2 ∈ R .
Sugestão: mostre que se (x1 (t), x2 (t)) ∈ SD , então x1 (t)e−λ1 t e x2 (t)e−λ2 t são funções
constantes.
λ 1
c) Mostre que se J =
, então os pares de funções (eλt , 0) e (teλt , eλt ) constituem
0 λ
uma base para SJ , e portanto
SJ =
λt
c1 e + c2 teλt , c2 eλt : c1 , c2 ∈ R .
Sugestão: mostre que se (x1 (t), x2 (t)) ∈ SJ então x2 (t)e−λt é uma função constante e
x1 (t)e−λt é um polinómio com grau 1.
d) Mostre que se S é uma matriz de mudança de base e B = S −1 AS, então tem-se:
y1 (t)
: (y1 (t), y2 (t)) ∈ SB .
SA = S
y2 (t)
Exercício 45 Considere a matriz
A=
2 1
1 2
.
a) Mostre que A é diagonalizável, identificando uma matriz diagonal D e uma matriz de
mudança de base S tais que A = SDS −1 .
b) Resolva o sistema de equações diferenciais
x′1 (t) = 2x1 (t) + x2 (t)
x′2 (t) = x1 (t) + 2x2 (t)
Exercício 46 Considere a matriz
A=
2 1
−2 5
.
a) Mostre que A é diagonalizável, identificando uma matriz diagonal D e uma matriz de
mudança de base S tais que A = SDS −1 .
b) Calcule a única solução do problema de valores iniciais
x′1 (t) = 2x1 (t) + x2 (t)
, x1 (0) = 1, x2 (0) = −1.
x′2 (t) = −2x1 (t) + 5x2 (t)
17
5
Soluções
1) a) −1. b) 0. c) 30. d) 1. e) 30. f) 0.
2) a) 3. b) 6. c) 0. d) 18. e) 15. f) −45
3) a) 5. b) 10. c) 5. d) 10.
4) −δγ.
6) λ , onde n é o número de linhas (e de colunas da matriz).
n
8)a) −9; b) −5; c) −7; d) 6; e) 15; f) −45.


1 0 1
9) Falso; det  1 1 0  = 2.
0 1 1
10) a) −9. b) −5. c) −7.
11) a) 7. b) 14. c) 21.
12) a) 22. b) 15.
13) det A = −2, det B = 4. a) −54. b) −128. c) −2. d) 1.




−2 1
0
−2 4 −7
14) a) CofA =  4 −2 1 , det A = 1 e A−1 =  1 −2 4  .
−7 4 −2
0
1 −2




−2 −3 4
2/5
2/5 −1/5
b) CofA =  −2 2 −1 , det A = −5 e A−1 =  3/5 −2/5 1/5  .
−4/5 1/5
2/5
1 −1 −2




3 −1 −2
1
0
0
c) CofA =  0 1 −1 , det A = 3 e A−1 =  −1/3 1/3 0  .
0 0
3
−2/3 −1/3 1


−9 6 −3
d) CofA =  18 −12 6  , det A = 0 e A não é invertível.
−9 6 −3
15) a) (−9, 5, −2) . b) (1, 0, −1) .
18) v1 e v3 não são vectores próprios de T ; v2 é vector próprio de T associado ao valor próprio
−1, v4 é vector próprio de T associado ao valor próprio 3.
19) v2 , v3 e v5 são vectores próprios de T ; −2, 0 e 4 são os respectivos valores próprios.
20) v2 é vector próprio de T associado ao valor próprio 5, v3 e v5 são vectores próprios
associados ao valor próprio −1.


0 0 0
0 0
21)
.
22)  0 1 0  .
0 2
0 0 0
23) a) P (λ) = (λ − 1) (λ − 3) .
b) 1 e 3 são os valores próprios de T. Os subespaços próprios de T são:
E (1) = L {(1, 0)} e E (3) = L {(1, 1)} .
1 0
c)
.
0 3
18
24) a) σ (A) = {−1, 5} b) E (−1) = L {(−1, 1)} e E (5) = L {(1, 1)} . c) D =
−1 1
eP =
.
1 1
25 a) σ (A) = {2} . b) E (2) = L {(1, 0)} . c) dim E (2) = 1 = dim R2 = 2.
26) a) P (λ) = λ (3 − λ) (λ − 1) .
b) 0, 1 e 3 são os valores próprios de T. Os subespaços próprios são:
E (0) = L {(1, 0, 0)} , E (1) = L {(0, −1, 1)} e E (3) = L {(2, 3, 3)} .
c) {(1, 0, 0) , (0, −1, 1) , (2, 3, 3)} .




0 0 0
1 0 2
d) D =  0 1 0  e P =  0 −1 3  .
0 0 3
0 1 3
27) a) P (λ) = (3 − λ) (λ − 2)2 .
b) 2 e 3 são os valores próprios de T. Os subespaços próprios são:
E (2) = L {(0, 1, 0)} e E (3) = L {(1, 0, 0)} .
c) Não existe uma base de R3 formada por vectores próprios de T porque
dim E (2) + dim E (3) = 2 = dim R3 .
28) a) σ (A) = {6, 9} .
b) E (6) = L {(0, 1, 1)} e E (9) = L {(2, 3, 0) , (1, 0, 3)} .




0 2 1
6 0 0
c) P =  1 3 0  e D =  0 9 0  .
1 0 3
0 0 9
29) a) σ (A) = {1, 2} .
b) E (1) = L ({t − 3/2}) , E (2) = L ({t − 1}) .
1 0
c) T é representada por D =
na base {t − 3/2, t − 1} .
0 2


1 1 0
30) a) A =  0 1 2  . b) (1 − λ)3 .
0 0 1
c) 1 é valor próprio de T. E (1) = L {1} .
d) Não: dim E (1) = 1 = 3 = dim P2 .
√
32) a) z = ±1 e z = ±i. b) z = 1 ± i 3 e z = −2.
√ √ √
√
c) z =
2 ± i 2 /2 e z = − 2 ± i 2 /2. d) z = 0 e z = 3 ± 4i.
33) a) P (z) = z 2 + 1. b) ±i são os valores próprios de T ; E (i) = L {(i, 1)} e
E (−i) = L {(−i, 1)} .
19
−1 0
0 5
c) {(i, 1) , (−i, 1)} é base de C ; D =
2
i 0
0 −i
.
34) a) P (z) = z 2 + 4. b) ±2i são os valores próprios de T ; E (2i) = L {(−i, 1)} e
E (−2i) = L {(i, 1)} .
c) {(i, 1) , (−i, 1)} é base de C ; D =
2
−2i 0
0 2i
, P =
i −i
1 1
.
35) a) P (z) = (1 − z) (1 − z)2 + 1 . b) 1 e 1 ± i são os valores próprios de T ;
E (1) = L {(1, 1, 1)} , E (1 + i) = L {(i, 0, 1)} e E (1 − i) = L {(−i, 0, 1)} .


1
0
0
c) {(1, 1, 1) , (i, 0, 1) , (−i, 0, 1)} é base de C2 ; D =  0 1 + i
0 .
0
0
1−i


1 i −i

d) P = 1 0 0  e D.
1 1 1
1 2n − 1
2 − 3n
3n − 1
n
n
36 A =
,B =
e
0
2n
2 − 2 (3n ) 2 (3n ) − 1
3 (2n ) − 2 (−2)n
(−2)n − (2n )
n
C =
.
6 (2n ) − 6 (−2)n 3 (−2)n − 2 (2n )
1
√
√
sin(πn/4)
cos(nπ/4) sin(nπ/4)
cos(πn/4)
n
n
n
n
2
37) A = 2
.
eB = 8
−2 sin(πn/4) cos(πn/4)
− sin(nπ/4) cos(nπ/4)
n/2
n/2
2
cos
(nπ/4)
−2
sin
(nπ/4)
0
−32
−64
0
39) An =
. A10 =
; A12 =
.
32 0
0 64
2n/2 sin (nπ/4) 2n/2 cos (nπ/4)




−2 1
0
−1/2 −1/4 −1/4
40) a)  0 −2 2  . b)  0
−1/2 −1/2  . c) −1 − t − t2 /2.
0
0 −2
0
0
−1/2


−2 0 0
41) a)  0 −2 0  . b) {t2 } é base de NucT. c) p (t) = −1/2 + a t2 , com a ∈ R.
0
0 0
42) a) {et , tet } . b) f (t) = tet − et + 1.
43) Sim, sim, não.
1 0
45) a) D =
eS=
0 3
1 1
46) a) S =
eD=
1 2
−1 1
; b) SA = {(−c1 et + c2 e3t , c1 et + c2 e3t ) : c1 , c2 ∈ R}
1 1
3 0
; b) (3e3t − 2e4t , 3e3t − 4e4t )
0 4
20