DETERMINANTES
CAP. 5 – DETERMINANTES
5.1 DEFINIÇÕES
DETERMINANTE DE ORDEM 2
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é por definição a aplicação:
det : M 2u2 IK o IK
A
ª a11
«a
¬ 21
a12 º
o det A
a 22 »¼
a11
a 21
a12
a 22
a11a 22 a 21a12
EXEMPLO
det( A)
1 3
2 5
1u 5 2 u 3
1
1
DETERMINANTES
DETERMINANTE DE ORDEM 3
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 é por definição a aplicação:
det : M 3u3 IK o
IK
ª a11 a12 a13 º
A «a 21 a 22 a 23 » o det A
«
»
«¬ a31 a32 a33 »¼
a11 a12
em que det(A) = a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
a11
a22
a32
a23
a
a
a
a
a12 21 23 a13 21 22
a33
a31 a33
a31 a32
= a11 det( A11 ) a12 det( A12 ) a13 det( A13 )
onde A1 j é a matriz de ordem 2 que se obtém eliminando a linha 1 e a coluna j, j = 1, 2, 3
2
DETERMINANTES
EXEMPLO
1 2 3
0
1
1
4
2
1
1
1 2
0 2
0 1
(2)
3
4 1
1 1
1 4
1(1 8) 2(2) 3(1)
7 4 3
14
3
DETERMINANTES
DETERMINANTE DE ORDEM N
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é por definição a aplicação
det : M nun IK o IK
A o det A
a11 det A11 a12 det A12 1n 1 a1n det A1n onde Aij é a matriz obtida de A por eliminação da linha i e coluna j.
EXEMPLO
0
1
0
1
1
0
1
2
0
1
1
3
1
0
0
4
1 1 0
1 0 1
1 0 1 0 1 0 1 1
1 3 4
1 2 3
1u 1
1 0
1 1
0 1
1u 1
1u 1
3 4
2 3
1 2
4 0 3 2 0 1 4 1 1 4
4
DETERMINANTES
PROPRIEDADES
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n.
1) O determinante de uma matriz triangular (inferior ou superior) é igual ao produto
dos elementos da diagonal principal.
2) det A det AT .
3) Se A tiver uma linha ou coluna nula, então det(A) = 0.
4) Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0.
5) O determinante de A não se altera quando se adiciona a uma linha (ou coluna) de A
uma combinação linear das outras linhas (ou colunas).
5
DETERMINANTES
6) det(AB) = det(A) det(B).
7) Se B é uma matriz obtida de A por meio de troca de duas linhas (ou duas colunas)
entre si, então det B det A.
8) Seja A = [A1 ... Aj+Bj ... An ] uma representação de A indicando as suas colunas.
Então:
det(A) = det([A1 ... Aj ... An ]) + det([A1 ... Bj ... An ])
A mesma propriedade aplica-se às linhas.
9) Seja A = [A1 ... ĮAj ... An ] uma representação de A indicando as suas colunas.
Então:
det(A) = Į det([A1 ... Aj ... An ])
A mesma propriedade aplica-se às linhas.
6
DETERMINANTES
10) As linhas (ou colunas) de uma matriz A são linearmente dependentes se e só se
det(A) = 0. Logo,
A invertível Ù A é não singular Ù det (A)  0
11) Se A é invertível então det A 1 1
.
det( A)
NOTA
Em geral:
det A B z det A det B n
det DA z D det A. De facto, det DA D det A
7
DETERMINANTES
5.2 TÉCNICAS PARA O CÁLCULO DE DETERMINANTES
REGRA DE SARRUS (só para matrizes de ordem 3)
Os "termos positivos" de uma matriz A de ordem 3 obtêm-se do produto dos elementos
da diagonal principal e dos produtos dos vértices dos triângulos que têm um dos lados
paralelo à diagonal principal:
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
Assim, os "termos positivos" são:
a11a22a33, a12a23a31, a21a13a32
8
DETERMINANTES
Os "termos negativos" da matriz A obtêm-se multiplicando os elementos da diagonal
secundária e multiplicando os vértices dos triângulos que têm um dos lados paralelo à
diagonal secundária:
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a31
a32
a33
Assim, os "termos negativos" são:
a13a22a31, a21a12a33, a11a23a32
Então:
det(A) = + a11a22a33 + a12a23a31 + a21a13a32 a13a22a31 a21a12a33 a11a23a32
9
DETERMINANTES
EXEMPLO
2
1
2
1
0
1
1
1 1
2u
0
u 1 1
u
1
u 1 ( 1) u 2 u (1) 2
u 0 u
1 (1) u 1 u 1 2 u 1 u ( 1)
0
1
0 1 2 0 1 2
2
0
-1
-2
6
10
DETERMINANTES
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Consiste em transformar uma matriz quadrada de ordem n numa matriz triangular
aplicando algumas das propriedades enunciadas anteriormente.
EXEMPLO
0
1
3
4
2 3
2
1
3
L1 l L2
5 6
1
2
4
5
3
0
1
3
2 3
6
1 2
3
1
0 2
3
3
0 3 6
1 2 3
1
0 2 3
L3 4 L1
3
4 5 6
1 2
3
1
0 2
3
3
3
L3 L2
0 0 3
2
1
§ 3·
u1u 2 u ¨ ¸
3
© 2¹
1
2
11
DETERMINANTES
FÓRMULA DE LAPLACE
Na definição, o determinante é calculado usando o desenvolvimento segundo a primeira
linha. Este, no entanto, pode ser calculado usando o desenvolvimento segundo qualquer
linha i ou qualquer coluna j do seguinte modo:
Fórmula de Laplace segundo a linha i
det A
i 1
ai1 1
i2
det Ai1 ai 2 1
in
det Ai 2 ain 1
det Ain n
i j
¦ aij 1 det Aij j 1
Fórmula de Laplace segundo a coluna j
det A a1 j 11 j det A1 j a 2 j 12 j det A2 j a nj 1n j det Anj n
i j
¦ aij 1
i 1
det Aij onde Aij é a matriz de ordem n 1 obtida de A por eliminação da linha i e da coluna j.
12
DETERMINANTES
Chama-se a Aij o menor-ij da matriz A e chama-se a 1i j det Aij o cofactor-ij ou
complemento algébrico ij de A.
Os sinais 1i j
ª º
« »
».
podem ser obtidos da seguinte matriz de sinais: «
« »
« »
¼
¬
EXERCÍCIO
0 1 0 0
Calcule
1 0 1 0
0 1 0 1
usando a fórmula de Laplace, desenvolvendo segundo a 3ª coluna.
0 0 1 0
13
DETERMINANTES
5.3 APLICAÇÕES DOS DETERMINANTES
CÁLCULO DA INVERSA
Dada uma matriz A de ordem n, chama-se matriz adjunta de A, e denota-se por adj A, à
matriz de ordem n
>
adj A = 1i j det Aij
@
onde Aij é o menor-ij da matriz A, ou seja, os elementos de adj A são os complementos
algébricos de A.
Se A for invertível, det(A)  0 e a inversa de A é dada por
A
1
adj AT
det A
1
adj AT
det A
14
DETERMINANTES
ª1 1 2º
EXEMPLO A «2 0 1 »
det( A) 2
«
»
«¬3 1 2»¼
0 1
2 1
det A11 det A12 det A13 1
1
1 2
3 2
1 2
1 2
det A21 0
det A22 4 det A23 1 2
3 2
1 2
1 2
det A31 1 det A32 3 det A33 0 1
2 1
ª det A11 det A12 det A13 º ª 1 1
adj A « det A21 det A22 det A23 » « 0 4
«
» «
«¬ det A31 det A32 det A33 »¼ «¬ 1 3
T
0 1º ª 1 / 2
ª1
ª 1 1 2º
1
1 «
1
A
« 1 4 3 » « 1 / 2
0 4 2»
» «
»
«
2«
2
2 »¼
«¬ 2 2 2 »¼ ¬« 1
«¬ 1 3
2
3
1
3
1
2
2º
2»
»
2 »¼
0
1
1
1
1
0
2
2
2
0
1/ 2 º
2 3 / 2»
»
1
1 »¼
15
DETERMINANTES
REGRA DE CRAMER
Seja A uma matriz não singular, isto é, car(A) = n œ det(A) z 0
A solução do sistema de equações lineares Ax = b, com x
>x1
T
x 2 x n @ , é dada
por
xj
det C j
det A
onde Cj é a matriz que se obtém de A substituindo a coluna j de A pela coluna b.
16
DETERMINANTES
EXEMPLO
­ x1 x 2 x3 2
°
® 2 x1 x 2 x3 1
°3 x x x
2
¯ 1
2
3
A matriz dos coeficientes do sistema é:
A
det(A) = 6 z 0 Ÿ A é não singular
ª1 1 1 º
«2 1 1»
«
»
«¬3 1 1»¼
A solução do sistema é:
x1
2 1 1
1
1 1
2 1 1
6
6
1, x 2
6
1 2
1
2 1 1
3 2 1
6
12
6
2 , x3
1 1 2
2 1
1
3 1 2
6
18
6
3
17