Determinantes
Problematização
Uma vendedora de loja de roupas atendeu, no mesmo dia, três clientes
e efetuou as seguintes vendas:
Cliente 01 – 1 calça, 2 camisas e 3 pares de meias – valor: R$ 156,00
Cliente 02 – 2 calças, 5 camisas e 6 pares de meias – valor: R$ 347,00
Cliente 03 – 2 calças, 3 camisas e 4 pares de meias – valor: R$ 253,00
Quanto custa cada par de meia?
Matriz quadrada de 1º ordem
Seja a matriz quadrada de 1º ordem, indicada
por A= [a11]. Por definição o determinante de A
é igual ao número a11
Indicamos assim det A= a11
Exemplo 01) Dada a matriz A=[4]
Logo det A= 4
Exemplo 02) Dada a matriz B[-2]
Logo det B= -2;
Matriz quadrada de 2º ordem
Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calculamos seu
determinante fazendo o produto dos elementos da diagonal
principal
menos
o
produto
dos
elementos
da
diagonal
secundária.
Dada a matriz A =
𝑎11 𝑎12
, indicamos seu determinante
𝑎21 𝑎22
assim:
Det A=
𝑎11 𝑎12
= a11.a22 – a12. A21
𝑎21 𝑎22
Exemplo 01): O determinante da matriz A,
sendo:
A=
6
2
3
, é dado por:
−4
6
Det A=
2
3
= 6.(-4) – 3.2 = -24-6 = -30
−4
1
Exemplo 02) A=
2
1
det A=
2
3
=
7
3
= 1.7 – 2.3 = 7-6 = 1
7
Matriz quadrada de 3º ordem
Exemplo 01) Calcular o determinante da matriz
1 5 −2
𝐴= 8 3
0
4 −1 2
det A = + 6 + 0 +16 + 24 + 0 – 80 = - 34
3 1
Exemplo 02) A= 2 0
−1 4
0+2+40+6+24= 72
Det A= 72.
5
−2
−3
Regra de Cramer
Caso 2x2
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
Considere o sistema nas incógnitas 𝑥 e 𝑦:
.
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
Seja 𝐷 o determinante da matriz 𝑀 incompleta dos
coeficientes do sistema:
𝑀=
𝑎
𝑐
𝑏
e 𝐷 = det 𝑀 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑑
Se 𝐷 ≠ 0, então o sistema é possível e determinado (SPD) e sua solução é dada por:
𝑥=
𝐷𝑥
𝐷
e 𝑦=
𝐷𝑦
𝐷
em que 𝐷𝑥 e 𝐷𝑦 são os determinantes das matrizes obtidas a partir
da matriz 𝑀 substituindo, respectivamente, a 1ª coluna e a 2ª
coluna de 𝑀 pela coluna dos coeficientes independentes da
equação do sistema, como descritas abaixo.
𝑒
𝐷𝑥 =
𝑓
𝑎
𝑏
𝑒 𝐷𝑦 = 𝑐
𝑑
𝑒
𝑓
Exemplo:
Usando a regra de cramer, vamos
4𝑥 + 5𝑦 = −1
resolver os sistema:
2𝑥 + 3𝑦 = 4
4 5
𝐷=
= 12 − 10 = 2 ≠ 0,
2 3
1)
𝐷𝑥 =
−1
4
5
= −3 − 20 = −23
3
𝐷𝑦 =
4 −1
= 16 + 2 = 18
2 4
Então, 𝑥 =
Logo, 𝑆 =
𝐷𝑥
𝐷
=
−23
2
−23
,9
2
e𝑦=
𝐷𝑦
𝐷
=
18
2
= 9.
Caso 3x3
Considere o sistema linear
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑒 , nas incógnitas 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧.
𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑓
𝑎1
Se 𝐷 = 𝑎2
𝑎3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑐1
𝑐2 ≠ 0, então o sistema é possível e
𝑐3
determinado (SPD).
Sua solução (𝑥, 𝑦, 𝑧) é dada por 𝑥 =
𝐷𝑥
,
𝐷
𝑦=
𝐷𝑦
𝐷
e𝑧=
𝐷𝑧
,
𝐷
em que 𝐷𝑥 ,𝐷𝑦 e 𝐷𝑧 são os determinantes das matrizes
obtidas quando trocamos, na matriz dos coeficientes do
sistema,
a
coluna
dos
coeficientes
de
𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 ,
respectivamente, pela coluna dos coeficientes independentes
das equações, como descritas abaixo:
𝑑
𝐷𝑥 = 𝑒
𝑓
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑐1
𝑎1
𝑐2 , 𝐷𝑦 = 𝑎2
𝑎3
𝑐3
𝑑
𝑒
𝑓
𝑎1
𝑐1
𝑐2 𝑒 𝐷𝑧 = 𝑎2
𝑐3
𝑎3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑑
𝑒
𝑓
Exemplo:
1)
𝑥 + 2𝑦 – 𝑧 = −5
Resolva o sistema: −𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = −3
4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4
1
2 −1
Como 𝐷 = −1 −2 −3 = 2 − 24 − 1 −
4 −1 −1
8 − 3 − 2 = −36 ≠ 0, o sistema é SPD;
−5 2
𝐷𝑥 = −3 −2
4 −1
−1
−3 = −10 − 24 − 3 − 8 + 15 − 6
−1
𝐷𝑥
−36
= −36; 𝑥 =
=
=1
𝐷
−36
1
𝐷𝑦 = −1
4
−5 −1
−3 −3 = 3 + 60 + 4 − 12 + 12 + 5 = 72; 𝑦
4 −1
𝐷𝑦
72
=
=
= −2
𝐷
−36
1
2 −5
𝐷𝑧 = −1 −2 −3 = 8 − 24 − 5 − 40 − 3 + 8 = −72; 𝑧
4 −1 4
𝐷𝑧
−72
=
=
=2
𝐷
−36
Assim, 𝑆 =
1, −2, 2 .
Problematização
Uma vendedora de loja de roupas atendeu, no mesmo dia, três clientes
e efetuou as seguintes vendas:
Cliente 01 – 1 calça, 2 camisas e 3 pares de meias – valor: R$ 156,00
Cliente 02 – 2 calças, 5 camisas e 6 pares de meias – valor: R$ 347,00
Cliente 03 – 2 calças, 3 camisas e 4 pares de meias – valor: R$ 253,00
Quanto custa cada par de meia?
Resolução
Montando o sistema:
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 156
2𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 347
2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 253
1
𝐷= 2
2
2 3
5 6 = 20 + 24 + 18 − 30 − 18 − 16 = −2 ≠ 0
3 4
156
𝐷𝑥 = 347
253
1
𝐷𝑦 = 2
2
2 3
5 6 = 3120 + 3036 + 3123 − 3795 − 2808 − 2776
3 4
= −100 ⇒ 𝑥 = 50
156 3
347 6 = 1388 + 1872 + 1518 − 2082 − 1518 − 1248 = −70
253 4
⇒ 𝑦 = 35
1 2 156
𝐷𝑧 = 2 5 347 = 1265 + 1388 + 936 − 1560 − 1012 − 1041
2 3 253
= −24 ⇒ 𝑧 = 12
Então, como cada par de meias equivale à incógnita 𝑧, temos
que cada par custa R$ 12,00.