Aula 14: Dinâmica de Sistemas Mecânicos: Formulação de Equações de movimento:
Exemplo.
Exemplo. Voltemos ao problema do regulador centrífugo da aula 10, Fig. 13, e da aula 12,
Fig. 23. Vamos obter as equações de movimento que descrevem o movimento das esferas
para o caso quando a velocidade angular ω0 do regulador é mantida constante. Como antes,
elos rígidos de massa desprezível, pivotados nas juntas sem atrito, restringem o movimento
das esferas ao plano xz. A mola linear com constante k tem um comprimento livre 2a.
Fig. 26 – Exemplo do regulador centrífugo.
O método direto. Começamos por analisar as forças do sistema, como mostra a Fig. 27,
onde estão representadas as componentes das forças no plano xz, agindo em cada elemento.
Observa-se que há componentes de força normais a esse plano, mas, uma vez que o sistema
de articulações proíbe o movimento das esferas para fora do plano, essas componentes não
têm influência nas equações do movimento. As forças fora do plano, no entanto, são
importantes na determinação do carregamento sobre os membros e sobre as articulações.
Uma vez que os elos na Fig. 27 têm massa desprezível, as forças agindo sobre eles devem
estar equilibradas. Isto requer, por exemplo, que f1 e f3 atuem ao longo do comprimento do
elo e, além disso, que f1 = f3. Aplicando o mesmo requisito para os outros elos, além de
fazer uso da simetria do sistema, encontramos as relações
fl = f3 = f5 = f7
f2 = f4 = f6 = f8,
54
(154)
Fig. 27 – Regulador centrífugo: Análise de forças no plano xz.
de modo que todas as forças nos elos podem ser expressas em termos de f1 e f2. O equilíbrio
de forças no colar deslizante na parte superior leva a
fs = 2f1 sin θ.
(155)
A força da mola fs também é dada pela relação constitutiva,
fs = 2ak(1 − sin θ).
(156)
A força resultante no plano xz que age sobre a partícula de massa em P na Fig. 27 é
f m = −( f 1 + f 2 ) cos θu x + [( f 1 − f 2 )sin θ − mg ]u z .
(157)
Em seguida, avaliar-se-á a quantidade de movimento p da partícula de massa em P. Aqui
utilizar-se-á o resultado (113) obtido na Aula 10 para a velocidade de uma partícula de
massa para escrever
(158)
p = m − aθ& sin θu x + (b + a cos θ )ω 0 u y + aθ& cos θu z .
[
]
Para aplicar a lei de Newton, fm = dp/dt, é necessário derivar (158) com relação ao tempo,
obtendo-se
du x
dp

= m − a θ& 2 cos θ + θ&&sin θ u x − aθ& sin θ
dt
dt

(
)
55
− aω 0θ& sin θu y + (b + a cos θ )ω 0
du y
dt
du z 
+ a − θ& 2 sin θ + θ&& cos θ u z + aθ& cos θ
.
dt 
(
)
As derivadas dos versores podem ser obtidas de (111) com ω = ω0uz, obtendo-se
du y
du x
du z
= ω0 u z × u x = ω0 u y ,
= ω0 u z × u y = −ω0 u x ,
= ω0 u z × u z = 0 .
dt
dt
dt
(159)
Substituindo (159) na expressão para dp/dt encontra-se a taxa de variação da quantidade de
movimento p, como sendo
{[
]
(
) }
dp
= m − aθ&& sin θ + aθ& 2 cos θ + (b + a cos θ )ω 02 u x − 2aω0θ& sin θu y + a θ&& cos θ − θ& 2 sin θ u z . (160)
dt
Agora, aplicando a lei de Newton, igualam-se as componentes x e z de (157) e (160),
obtendo-se
( f1 + f 2 ) cosθ = m aθ&&sin θ + aθ& 2 cosθ + (b + a cosθ )ω 02
( f1 − f 2 )sin θ − mg = ma θ&& cos θ − θ& 2 sin θ .
(161)
[
(
)
]
Neste estágio está concluída a formulação matemática dos requisitos que regem o sistema e
têm-se quatro equações: (155), (156) e (151), para as quatro incógnitas f1, f2, fs, e θ. Uma
única equação de movimento pode ser obtida com a eliminação das três forças em favor do
ângulo θ. Após considerável manipulação algébrica, obtém-se
aθ&& + ω 02 (b + a cos θ )sin θ − 2a
k
(1 − sin θ ) cos θ + g cos θ = 0 .
m
(162)
como uma única equação diferencial de segunda ordem do movimento. Isto ilustra a
aplicação do método direto para formular equações dinâmicas de movimentos. Observe a
importância das forças internas, f1, f2 e fs, na análise intermediária, embora não apareçam
na equação final do movimento. Observe também a complexidade cinemática na passagem
de p para dp/dt.
O método variacional. Voltando à Fig. 26, observe que, uma vez que velocidade de
rotação ω0 é constante, as únicas variações admissíveis são àquelas correspondentes a uma
variação no ângulo θ. Não há forças não-conservativas que realizam trabalho numa
variação δθ, por isso o indicador variacional geral (144) reduz-se a
t2
(
)
I.V. = ∫ δ T ∗ − V dt ,
t1
56
(163)
Para este sistema, a co-energia cinética T* é dada por (115), na Aula 10, e a energia
potencial V é dada por (142), na Aula 12, de modo que
{[
] [
]}
I.V. = ∫ δ m a 2θ& 2 + (b + a cos θ ) ω 02 − 2mga sin θ+ 2ka 2 (1 − sin θ ) dt .
t2
t1
2
2
(164)
Na aplicação do princípio de Hamilton, é necessário considerar movimentos
geometricamente admissíveis e variações geometricamente admissíveis. Em (164) os
requisitos geométricos foram satisfeitos pelo artifício de expressar todas as variáveis
geométricas e cinemáticas em termos de θ(t), o que representa um histórico temporal
arbitrário admissível do movimento. Variações admissíveis são representadas por δθ.
Neste estágio, todas as considerações físicas que regem o sistema foram atendidas, somente
resta obter as equações do movimento a partir de (164) mediante a aplicação da rotina do
cálculo de variações. De todos os movimentos admissíveis um movimento natural
distingue-se pelo requisito de que o indicador variacional se anula para variações
admissíveis arbitrárias. Para começar, vamos realizar a variação indicada entre os colchetes
do integrando de (164). No integrando há funções de θ e θ& . Variações nas funções de θ são
obtidas derivando as mesmas com relação a θ e multiplicando as funções resultantes pela
variação δθ. Da mesma forma, variações nas funções de θ& são obtidas derivando as
mesmas com relação à θ& e multiplicando as funções resultantes pela variação δθ&, obtendo,
t2
k


I.V. = ∫ 2m  a 2θ&δθ& − (b + a cos θ )ω 02 a sin θδθ − ga cos θδθ + 2 a 2 (1 − sin θ ) cos θδθ  dt . (165)
t1
m


Em seguida, insira em (165) a relação de comutatividade - ver (76) Aula 6 δθ& = d (δθ ) / dt , obtendo,
t2
d
I.V. = 2ma 2 ∫ θ& (δθ )dt
t1
dt
t2 
k

− 2ma ∫ (b + a cos θ )ω 02 sin θ + g cos θ − 2 a (1 − sin θ ) cos θ δθdt .
t1
m


d (δθ )
dt e integrando o primeiro termo por partes, tem-se
Chamando u = θ& e dv =
dt
∫
t2
t1
t2
t
udv = uv t2 − ∫ vdu = θ&δθ
1
t1
t2
t1
t2
− ∫ θ&&δθdt .
t1
Resultando
I.V. = 2ma 2θ&δθ
t2
t1
t2 
k

− 2ma ∫  aθ&& + ω 02 (b + a cos θ ) sin θ + g cos θ − 2 a (1 − sin θ ) cos θ δθdt .
t1
m


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(166)
O primeiro termo do lado direito de (166) é nulo por que foi acordado que as variações
devem se anular em t1 e t2. A condição necessária para a integral remanescente se anular
para δθ arbitrário é que o conteúdo entre colchetes se anule em qualquer instante de tempo
durante o intervalo de t1 até t2. Fazendo o conteúdo dos colchetes igual a zero, obtém-se a
seguinte equação, que deve ser satisfeita pelo movimento natural:
aθ&& + ω 02 (b + a cos θ )sin θ + g cos θ − 2a
k
(1 − sin θ ) cos θ = 0 .
m
(167)
(167) é idêntica à equação de movimento (162) obtida pelo método direto. Observe que no
método variacional os passos difíceis estão confinados à identificação das contribuições
para as funções de estado T* e V e na a representação dessas contribuições em formas que
facilitem a garantir a admissibilidade geométrica. A manipulação subseqüente é de natureza
padronizada de rotina. Na Aula 16, será mostrado que em muitos casos, esta manipulação
pode ser simplificada ainda mais.
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