Mecânica Analítica
REVISÃO
Prof. Nelson Luiz Reyes Marques
Dinâmica Lagrangiana

Vínculos
São limitações às possíveis posições e velocidades das partículas de um
sistema mecânico, restringindo a priori o seu movimento.
• É importante salientar que os vínculos são limitações de ordem
cinemática impostas ao sistema mecânico.
• As restrições antecedem a dinâmica e precisam ser levadas em conta na
formulação das equações de movimento do sistema.
• Restrições de natureza dinâmica – decorrentes, portanto das equações
de movimento – não são vínculos.
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 1: Um pêndulo duplo oscila num plano vertical fixo. As equações de
vinculo são
𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑙12 = 0,
𝑥2 − 𝑥1
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑙12
𝑥2 − 𝑥1
2
+ 𝑦2 − 𝑦1
2
= 𝑙22
2+
𝑦2 − 𝑦1
2
− 𝑙22 = 0
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 2: Escreva as equações de transformação o pêndulo duplo
𝑥1 = 𝑙1 s𝑖𝑛 𝜃1
𝑦1 = 𝑙1 cos 𝜃1
𝑥2 = 𝑙1 sin 𝜃1 + 𝑙2 sin 𝜃2
𝑦2 = 𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos 𝜃2
O sistema tem apenas 2 grau de
liberdade com coordenadas
generalizadas q1 = θ1 e q2 = θ2
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 3: Um cilindro rola sem deslizar ao longo de uma linha reta. Sendo x
a posição do centro de massa do cilindro e  o ângulo de rotação do centro de
massa, a condição de rolar sem deslizar é representada por
𝑥 = 𝑅𝜙
onde R é o raio do cilindro.
→
𝑥 − 𝑅𝜙 = 0
Dinâmica Lagrangiana
A função de Lagrange ou, simplesmente, lagrangiano 𝐿 por:
𝐿 =𝑇−𝑉
As equações de movimento do sistema podem ser escritas na forma
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕q k
𝜕qk
Equações de Lagrange
onde 𝑘 = 1, … , 𝑛.
Se o sistema não for conservativo
d 𝜕L
𝜕L
−
= 𝑄𝑘
dt 𝜕qk
𝜕qk
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 4: Considere uma partícula numa região onde existe um certo potencial
de interação.
1
Solução: A lagrangiana é dada por:
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚𝑣 2 − V 𝑟
2
Tomando as coordenadas generalizadas como coordenadas cartesianas, temos:
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖
d 𝜕L
𝑑
𝜕L
𝜕𝑉
→
=
𝑚𝑥𝑖 = 𝑚𝑥𝑖
→
=−
dt 𝜕𝑥𝑖
𝑑𝑡
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖
O que faz com que a equação de Euler-Lagrange forneça:
d 𝜕L
𝜕L
d 𝜕L
𝜕L
−
=0→
=
dt 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖
dt 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖
𝝏𝑽
→ 𝒎𝒙 = −
𝝏𝒙𝒊
que é a segunda lei de Newton para forças conservativas.
Força
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 5: Obtenha a Lagrangiana para um projetil (livre da resistência do ar)
em termos de suas coordenadas cartesianas (𝑥, 𝑦, 𝑧) , com 𝑧 medido
verticalmente para cima. Determine as três equações de Lagrange.
Solução:
A energia cinética e a energia potencial:
1
𝑇 = 𝑚(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )
2
𝑉 = 𝑚𝑔𝑧
1
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − mgz
2
A lagrangiana fica:
As equações de movimento:
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝟎 = 𝒎𝒙
𝟎 = 𝒎𝒚
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝑦
𝜕𝑦
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝑧
𝜕𝑧
−𝒎𝒈 = 𝒎𝒛 que corresponde a F=mg.
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 6: Obtenha a Lagrangiana para uma partícula movendo-se em uma
dimensão ao longo do eixo x sujeita à força 𝐹 = − 𝑘𝑥 (com 𝑘 positivo).
Determine a equação de Lagrange do movimento.
Solução:
1 2
1
𝐹 = −𝑘𝑥 → 𝑉 = 𝑘𝑥 → 𝑇 = 𝑚𝑥 2
2
2
1
1 2
2
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 = 𝑚𝑥 − 𝑘𝑥
2
2
A energia cinética e a energia potencial:
A lagrangiana fica:
As equações de movimento:
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝑥
𝜕𝑥
−𝒌𝒙 = 𝒎𝒙
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 7: Considere uma massa 𝑚 movendo-se em duas dimensões com
1
energia potencial 𝑉 𝑥, 𝑦 = − 𝑘𝑟 2 , onde 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 . Obtenha a
2
lagrangeana, usando as coordenada 𝑥 e 𝑦, e determine as equações de
movimento de Lagrange.
Solução:
A energia cinética e a energia potencial:
1
1
2
2
𝑇 = 𝑚 𝑥 + 𝑦 → 𝑉 = − 𝑘 𝑥2 + 𝑦2
2
2
A lagrangiana fica: 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =
1
𝑚
2
𝑥2
+
𝑦2
+
1
𝑘
2
𝑥2 + 𝑦2
As equações de movimento:
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝑥
𝜕𝑥
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝑦
𝜕𝑦
−𝒌𝒙 = 𝒎𝒙
−𝒌𝒙 = 𝒎𝒚
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 8: Considere uma massa 𝑚 movendo-se em uma rampa, sem atrito, que
tem uma declividade 𝛼 com a horizontal. Obtenha a Lagrangiana em termos da
coordenada 𝑥, medida horizontalmente através da rampa, e da coordenada 𝑦,
medida para baixo da rampa. (Trate o sistema como bidimensional, mas inclua a
energia potencial gravitacional). Determine as duas equações de Lagrange e
justifique se elas são as mesmas que você esperava.
Solução:
1
A energia cinética e a energia potencial: 𝑇 = 𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 → 𝑉 = 𝑚𝑔𝑦 = 𝑚𝑔𝑦 sin 𝛼
2
A lagrangiana fica: 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =
1
𝑚
2
𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑚𝑔𝑦 sin 𝛼
As equações de movimento:
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝑥
𝜕𝑥
→ 0 = 𝒎𝒙
d 𝜕L
𝜕L
−
= 0 → 𝒎𝒈 sin 𝜶 = 𝒎𝒚
dt 𝜕𝑦
𝜕𝑦
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 9: Determine a Lagrangiana e a equação de movimento de um pêndulo
simples em coordenadas polares de raio fixo r=a e θ é a única coordenada
livre.
Solução:
𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 → 𝑦 = 𝑎 sin 𝜃
𝑥 = −𝑎𝜃 sin 𝜃 → 𝑦 = 𝑎𝜃 cos 𝜃
A energia cinética e a energia potencial:
1
1
2
2
𝑇 = 𝑚 𝑥 + 𝑦 = 𝑚𝑎2 𝜃 2
2
2
𝑉 = −𝑚𝑔𝑥 = −𝑚𝑔𝑎 cos 𝜃
A lagrangiana fica:
1
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 = 𝑚𝑎2 𝜃 2 + 𝑚𝑔𝑎 cos 𝜃
2
Dinâmica Lagrangiana
1
𝐿 = 𝑚𝑎2 𝜃 2 + 𝑚𝑔𝑎 cos 𝜃
2
A equação de movimento:
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝜃
𝜕𝜃
d
𝑚𝑎2 𝜃 + 𝑚𝑔𝑎 sin 𝜃 = 0
dt
𝑚𝑎2 𝜃 = −𝑚𝑔𝑎 sin 𝜃
𝑎𝜃 = −𝑔 sin 𝜃
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 10: Deduza as equações de Lagrange, para uma partícula que se
move em um campo conservativo bidimensional, em coordenadas
a) cartesianas
b) Polares
c) cilíndricas
Dinâmica Lagrangiana
Solução:
a)
1
𝑇 = 𝑚(𝑥 2 + 𝑦 2 )
𝑉 = 𝑉 𝑥, 𝑦
2
1
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 − V 𝑥; 𝑦
2
A energia cinética e a energia potencial:
A lagrangiana fica:
As equações de movimento:
𝜕L
𝜕𝑉
=−
= 𝐹𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
→
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕L
𝜕𝑇
=−
= 𝑚𝑥 → 𝐹𝑥 = 𝑚𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝑭 = 𝒎𝒂
𝜕L
𝜕𝑉
=−
= 𝐹𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕L
𝜕𝑇
→
=−
= 𝑚𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
→ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑦
Dinâmica Lagrangiana
Solução:
b)
A energia cinética e a energia potencial:
𝑣𝑟 = 𝑟 → 𝑣𝜙 = 𝑟𝜙
1
1
2
𝑇 = 𝑚𝑣 = 𝑚 𝑟 2 + 𝑟 2 𝜙 2
2
2
𝑉 = 𝑉 𝑟, 𝜙
A lagrangiana fica:
1
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚 𝑟 2 + 𝑟 2 𝜙 2 − V 𝑟, 𝜙
2
A equações de movimento:
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝑟
𝜕𝑟
d
𝜕𝑉
2
𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜙 −
=0
dt
𝜕𝑟
𝜕𝑉
2
𝑚𝑟 = −𝑚𝑟𝜙 −
𝜕𝑟
𝑭𝒓 = 𝒎(𝒓 − 𝒓𝜽𝟐 )
Dinâmica Lagrangiana
1
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚 𝑟 2 + 𝑟 2 𝜙 2 − V 𝑟, 𝜙
2
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝜙
𝜕𝜙
d
𝜕𝑉
2
𝑚𝑟 𝜙 − −
=0
dt
𝜕𝜙
𝒎𝒓𝟐 𝝓
𝝏𝑽
=−
𝝏𝝓
Torque
Momento angular
Dinâmica Lagrangiana
Solução:
c)
A energia cinética e a energia potencial:
𝑣𝑟 = 𝑟 → 𝑣𝜙 = 𝑟𝜃 → 𝑣𝑧 = 𝑧
1
1
2
𝑇 = 𝑚𝑣 = 𝑚 𝑟 2 + 𝑟 2 𝜃 2 + 𝑧 2
2
2
𝑉 = 𝑉 𝑟, 𝜃, 𝑧
A lagrangiana fica:
1
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚 𝑟 2 + 𝑟 2 𝜃 2 + 𝑧 2 − V 𝑟, 𝜃, 𝑧
2
Dinâmica Lagrangiana
1
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚 𝑟 2 + 𝑟 2 𝜃 2 + 𝑧 2 − V 𝑟, 𝜃, 𝑧
2
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝑟
𝜕𝑟
d
𝜕𝑉
𝜕𝑉
2
2
𝑚𝑟 − (m𝑟𝜃
) = 0 → 𝑚 𝑟 − 𝑟𝜃 = −
dt
𝜕𝑟
𝜕𝑟
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝜃
𝜕𝜃
d
𝜕𝑉
𝑑 2
𝜕𝑉
2
𝑚𝑟 𝜃 +
=0 → 𝑚
𝑟 𝜃 =−
dt
𝜕𝜃
𝑑𝑡
𝜕𝜃
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝑧
𝜕𝑧
d
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝑚𝑧 +
= 0 → 𝑚𝑧 = −
dt
𝜕𝑧
𝜕𝑟
𝐹𝑧
𝐹𝑟
Torque
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 11: Determine a equação de Lagrange e as equações de movimento
para um pêndulo com suporte livre (a massa M pode se mover livremente sem
atrito no plano horizontal, enquanto o pêndulo oscila no plano vertical).
Refazendo o desenho e tomando o
nível de referencia na origem, temos
Dinâmica Lagrangiana
Podemos escrever as energias cinética e potencial
1
1
2
𝑉𝑀 = 0 𝑒 𝑉𝑚 = −𝑚𝑔𝑌,
𝑇 = 𝑀𝑥 + 𝑚 𝑋 2 + 𝑌 2
2
2
Como
Logo
𝑋 = 𝑥 + 𝑙 sin 𝜃 →
𝑌 = 𝑙 cos 𝜃
→
𝑙𝑜𝑔𝑜
𝑉 = −𝑚𝑔𝑌
𝑋 = 𝑥 + 𝑙𝜃 cos 𝜃
𝑌 = −𝑙𝜃 sin 𝜃
𝑋 2 + 𝑌 2 = 𝑥 2 + 𝑙 2 𝜃 2 + 2𝑙𝑥 𝜃 cos 𝜃
Podemos reescrever as energias cinética e potencial como
𝑚 + 𝑀 2 𝑚𝑙 2 2
𝑇=
𝑥 +
𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 𝜃 cos 𝜃
2
2
A lagrangiana fica
𝑉 = −𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃
𝒎 + 𝑴 𝟐 𝒎𝒍𝟐 𝟐
𝑳=𝑻−𝑽=
𝒙 +
𝜽 + 𝒎𝒍𝒙𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒎𝒈𝒍 𝒄𝒐𝒔 𝜽
𝟐
𝟐
Dinâmica Lagrangiana
𝑚 + 𝑀 2 𝑚𝑙 2 2
𝐿=
𝑥 +
𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 𝜃 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃
2
2
Podemos, agora, determinar as equações de movimento
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝑥
𝜕𝑥
d
𝑚 + 𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 0 = 0
dt
𝑚 + 𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃 = 0
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝜃
𝜕𝜃
d
𝑚𝑙 2 𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 − −𝑚𝑙𝑥 𝜃 sin 𝜃 − 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0
dt
𝑚𝑙 2 𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝑥 𝜃 sin 𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 𝜃 sin 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0
𝑚𝑙 2 𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0
Dinâmica Lagrangiana
Como as equações de movimento são difíceis de resolver (equações não lineares – não existe um
método geral de resolução, cada caso é um caso), vamos analisar alguns casos limites
(particulares) afim de verificarmos se essas equações estão corretas.
1º) Se m = 0
0+𝑀 𝑥 =0
2º) Se M  
𝑚 + 𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃 = 0
→
𝒙=𝟎
→ 𝑀 𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒
𝑚 + 𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃 = 0
Divide-se todos os termos por M
𝑚 + 𝑀 𝑥 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃
+
−
=0→ 𝑥=0
𝑀
𝑀
𝑀
Substituindo
𝑥=0
na
segunda
equação
de
𝑚𝑙 2 𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0 e dividindo por 𝑚𝑙 2 , obtemos
𝒈
𝜽 + 𝒔𝒊𝒏 𝜽 = 𝟎
𝒍
que corresponde a equação do pêndulo simples com ponto de suspensão fixo.
movimento
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 12: Uma partícula de massa m move-se em um campo de força conservativo. Ache
(a) a função lagrangiana, (b) as equações do movimento em coordenadas cilíndrica
𝑟, 𝜃, 𝑧 .
Solução: (a) A energia cinética total em coordenadas
cilíndricas
1
𝑇 = 𝑚 𝑟2 + 𝑟2𝜃2 + 𝑧2
2
A energia potencial 𝑉 = 𝑟, 𝜃, 𝑧 . Então a função
lagrangiana é
1
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚 𝑟 2 + 𝑟 2 𝜃 2 + 𝑧 2 − 𝑉 𝑟, 𝜃, 𝑧
2
(b) As equações de Lagrange são
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝑑
𝜕𝑉
𝜕𝑉
2
2
−
=0→
𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜃 −
= 0 → 𝑚 𝑟 − 𝑟𝜃 = −
𝑑𝑡 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑑𝑡
𝜕𝑟
𝜕𝑟
Dinâmica Lagrangiana
(b) As equações de Lagrange são
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝑑
𝜕𝑉
𝜕𝑉
−
=0→
𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜃 2 −
= 0 → 𝑚 𝑟 − 𝑟𝜃 2 = −
𝑑𝑡 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑑𝑡
𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝑑
𝜕𝑉
𝑑 2
𝜕𝑉
−
=0→
𝑚𝑟 2 𝜃 +
=0 → 𝑚
𝑟 𝜃 =−
𝑑𝑡 𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝑑𝑡
𝜕𝜃
𝑑𝑡
𝜕𝜃
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝑑
𝜕𝑉
𝜕𝑉
−
=0→
𝑚𝑧 +
= 0 → 𝑚𝑧 = −
𝑑𝑡 𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑡
𝜕𝑧
𝜕𝑧
Dinâmica Lagrangiana
;
Exemplo 13: Considere um pêndulo plano formado por uma haste inextensível de
comprimento 𝑙 e massa desprezível tendo na sua extremidade uma partícula
pontual de massa 𝑚. Escreva as equações de movimento da partícula em
coordenadas polares 𝑟 e 𝜃.
Solução:
1
1
2
𝑇 = 𝑚𝑟 + 𝑚𝑟 2 𝜃 2
2
2
𝑉 = 𝑚𝑔𝑧 = 𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃
A lagrangiana fica:
1
1
2
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 = 𝑚𝑟 + 𝑚𝑟 2 𝜃 2 − 𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃
2
2
Dinâmica Lagrangiana
;
1
1
2
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 = 𝑚𝑟 + 𝑚𝑟 2 𝜃 2 − 𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃
2
2
As equações de movimento são: :
;
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝑟
𝜕𝑟
d
𝑚𝑟 − [𝑚𝑟𝜃 2 − 𝑚𝑔 1 − cos 𝜃 ] = 0
dt
𝑚𝑟 = 𝑚𝑟𝜃 2 − 𝑚𝑔 1 − cos 𝜃
𝒓 = 𝒓𝜽𝟐 − 𝒈 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝜽
Dinâmica Lagrangiana
;
1
1
2
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 = 𝑚𝑟 + 𝑚𝑟 2 𝜃 2 − 𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃
2
2
As equações de movimento são:
;
d 𝜕L
𝜕L
−
=0
dt 𝜕𝜃
𝜕𝜃
temos:
→
d
𝑚𝑟 2 𝜃 − 𝑚𝑔𝑟 sin 𝜃 = 0
dt
𝑚𝑟 2 𝜃 + 2𝑚𝑟𝑟𝜃 = 𝑚𝑔𝑟 sin 𝜃
Como, 𝑟 = 𝑙 e 𝑟 = 0 :
𝒍𝜽 = 𝒎𝒈 sin 𝜽
→
𝒈
𝜽 = sin 𝜽
𝒍
Dinâmica Lagrangiana
Exemplo 14:
Dinâmica Lagrangiana
Dinâmica Lagrangiana
Dinâmica Lagrangiana
Dinâmica Lagrangiana
Dinâmica Lagrangiana
Momentos generalizados (canônicos)
Estas equações podem ser chamadas de equação de movimento de Lagrange
𝝏𝑳
𝝏𝑳
𝒑𝒊 =
𝒑𝒊 =
𝝏𝒒𝒊
𝝏𝒒𝒊
Equações de Hamilton
𝒏
O hamiltoniano 𝐻 𝑞, 𝑝, 𝑡 definida por:
𝑯 𝒒, 𝒑, 𝒕 =
𝒒𝒊 𝒑𝒊 − 𝑳 𝒒, 𝒒, 𝒕
𝒊=𝟏
Se um sistema for conservativo, o hamiltoniano 𝐻 pode ser interpretado como
a energia total (cinética e potencial) do sistema. 𝑯 = 𝑻 + 𝑽
Equações de movimento de Hamilton
𝝏𝑯
𝒒𝒊 =
𝝏𝒑𝒊
𝝏𝑯
𝒑𝒊 = −
𝝏𝒒𝒊
Dinâmica Hamiltoniana
Exemplo 15: A lagrangiana de um oscilador harmônico é dada por
𝑚𝑥 2 𝑘𝑥 2 , determine:
𝐿=
−
2
2
a) o momento conjugado
𝑝𝑥 = 𝑚𝑥
→
b) A hamiltoniana
𝑝𝑥2 𝑚 𝑝𝑥
𝐻 = 𝑥 𝑝𝑟 − 𝐿 =
−
𝑚 2 𝑚
2
𝑘𝑥 2
+
2
𝑝𝑥
𝑥=
𝑚
Dinâmica Hamiltoniana
Exemplo 16: A partícula livre em coordenadas esféricas. O vetor velocidade é
dado por 𝒓 = 𝒓𝒓 + 𝒓𝜽𝜽 + 𝒓𝝓 sin 𝜽 𝝓, determine:
a) a lagrangiana
1
1
2
𝐿 = 𝑇 + 𝑉 = 𝑇 = 𝑚𝑣 = 𝑚 𝑟 2 + 𝑟 2 𝜃 2 + 𝑟 2 𝜙 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
2
2
b) Os momentos conjugados
𝑝𝑟 = 𝑚𝑟
𝑝𝜃 = 𝑚𝑟 2 𝜃
𝑝𝜙 = 𝑚𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝜙
𝑝𝑟
𝑟=
𝑚
𝑝𝜃
→ 𝜃=
𝑚𝑟 2
𝑝𝜙
𝜙=
𝑚𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
Dinâmica Hamiltoniana
c) a hamiltoniana
𝑛
𝐻 𝑞, 𝑝, 𝑡 =
𝑞𝑖 𝑝𝑖 − 𝐿 𝑞, 𝑞 , 𝑡
𝑖=1
𝐻 = 𝑟𝑝𝑟 + 𝜃 𝑝𝜃 + 𝜙𝑝𝜙 − 𝐿
2
𝑝𝜙
𝑝𝑟2
𝑝𝜃2
𝑚 𝑝𝑟
𝐻=
+
+
−
2
2
2
𝑚 𝑚𝑟
𝑚𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 𝑚
𝟏
𝑯=
𝒑𝟐𝒓 +
𝟐𝒎
𝒑𝟐𝜽
𝒓𝟐
+
2
𝑚𝑟 2 𝑝𝜃
−
2 𝑚𝑟 2
𝒑𝟐𝝓
𝒓𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽
2
𝑝𝜙
𝑚𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
−
2
𝑚𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
2
Dinâmica Hamiltoniana
Exemplo 17: Maquina de Atwood
Pelos dados da figura, temos
1
1
2
𝑇 = 𝑚1 𝑥 + 𝑚2 𝑥 2 𝑉 = −𝑚1 𝑔𝑥 − 𝑚2 𝑔 𝑙 − 𝑥
2
2
Desprezando o termo constante, temos
𝑉 = −𝑚1 𝑔𝑥 − 𝑚2 𝑔𝑥
A expressão do lagrangiano fica
1
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 𝐿 = 𝑚1 + 𝑚2 𝑥 2 + 𝑚1 − 𝑚2 𝑔𝑥
2
A expressão do hamiltoniano é dada por
𝐻 = 𝑞𝑖 𝑝𝑖 − 𝐿 = 𝑝𝑥 − 𝐿
1
𝐻 = 𝑝𝑥 − 𝐿 = 𝑝𝑥 − 𝑚1 + 𝑚2 𝑥 2 + 𝑚1 − 𝑚2 𝑔𝑥
2
Dinâmica Hamiltoniana
1
𝐻 = 𝑝𝑥 − 𝐿 = 𝑝𝑥 − 𝑚1 + 𝑚2 𝑥 2 + 𝑚1 − 𝑚2 𝑔𝑥
2
O hamiltoniano deve ser escrito apenas em termos de coordenadas e momentos,
eliminando as velocidades.
𝜕𝐿
𝑝=
= (𝑚1 + 𝑚2 )𝑥
𝜕𝑥
Substituindo a equação
no hamiltoniano
obtemos
𝜕𝐿
𝑝=
= (𝑚1 + 𝑚2 )𝑥
𝜕𝑥
1
𝐻 = 𝑝𝑥 − 𝑚1 + 𝑚2 𝑥 2 + 𝑚1 − 𝑚2 𝑔𝑥
2
𝑝2
𝐻=
2 𝑚1 + 𝑚2
2
+ 𝑚1 − 𝑚2 𝑔𝑥
Dinâmica Hamiltoniana
𝑝2
𝐻=
2 𝑚1 + 𝑚2
2
+ 𝑚1 − 𝑚2 𝑔𝑥
Calculando as equações de Hamilton
𝜕𝐻
𝜕𝐻
𝑝
𝑞𝑖 =
→ 𝑥=
=
𝜕𝑝𝑖
𝜕𝑝 𝑚1 + 𝑚2
𝜕𝐻
𝜕𝐻
𝑝𝑖 = −
→ 𝑝=−
= 𝑚1 − 𝑚2 𝑔
𝜕𝑞𝑖
𝜕𝑥
Combinando as duas expressões, obtemos a expressão para a aceleração
com que as massas se deslocam
𝑚1 − 𝑚2
𝑥=
𝑔
𝑚1 + 𝑚2
Dinâmica Hamiltoniana
Exemplo18:
Dinâmica Hamiltoniana
Dinâmica Hamiltoniana
Dinâmica Hamiltoniana
Dinâmica Hamiltoniana