Hamiltonianos e Equações Canônicas. - Já havíamos observado o seguinte fato: ao calcular a derivada temporal “convectiva” de um Lagrangeano L=L q , q̇ ,t (fixemo-nos por enquanto em um sistema de 1 grau de liberdade), obtemos dL ∂ L ∂L ∂L = q̇ q̈ , dt ∂ q ∂ q̇ ∂t (1) o qual, com auxílio da Eq. Dde Euler-Lagrange d / dt ∂ L/ q̇=∂ L/ ∂ q , pode ser reescrita nas formas dL d ∂ L ∂L ∂L d ∂L ∂L = q̇ q̈ = q̇ . dt dt ∂ q̇ ∂ q̇ ∂ t dt ∂ q̇ ∂t (2) Isto implica na igualdade d ∂L ∂L L −q̇ = , dt ∂ q̇ ∂t (3) que nos informa ser a quantidade E≡ q̇ ∂ L/ ∂ q̇− L uma constante de movimento sempre que o tempo não comparecer explícitamente no Lagrangeano. - Para Lagrangeanos do tipo se U(x,t) = U(x). 2 L=m / 2 ẋ – U x , t , 2 E=m/ 2 ẋ U x ,t , onde E será constante - Seria no mínimo curioso transitar de uma formulação onde L seja a função básica de onde se extraem as equações de movimento, para uma onde E seja esta função básica. Para tanto, vamos seguir os seguintes passos: ∂ L q , q̇ ,t ≡p; (i) Definamos ∂ q̇ E= q̇ p – L . ∂L ∂L dq – d q̇ , (iii). Calculemos o diferencial de E: dE =d q̇ pq̇ dp – ∂q ∂ q̇ (ii) Reintroduzamos o conceito de E na forma o que, de acordo com (i) pode ser escrito como dE =q̇ dp – ∂L dq . ∂q (4) - Se E pudesse ser escrito explicitamente como uma função de p e q, de (4) poderíamos diretamente interpretar dE como uma forma diferencial para a qual valem as relações ∂E , (5) ∂p −∂ L ∂ E = . (6) ∂q ∂q q̇= - O que acontece é que é de fato possível escrever E unicamente em termos de q e p, porque através de (i) sabemos como expressar q̇ em termos de q e p! Conclusão: as expressões (5) e (6) são perfeitamente válidas. - As expressões (5) e (6) valem para valores genéricos de q e p. Mas ha mais! Se estivermos “perseguindo” uma partícula, então vale e equação de Euler-Lagrange ṗ=∂ L/∂ q . Com isto, se então estivermos integrando a órbita física de uma partícula, as expressões (5) e (6) assumem a assim chamada forma canônica: ∂H , (7) ∂p ∂H ṗ=− , (8) ∂q q̇= onde por uma questão de tradição designamos E como H(p,q,t), o assim chamado “Hamiltoniano” do sistema. - Na formulação Lagrangeana, as trajetórias de movimento eram extraídas de uma equação diferencial de segunda ordem. Na formulação Hamiltoniana, as equações são duas de primeira ordem o que é totalmente equivalente à formulação anterior. - Explo.: Suponham um Lagrangeano do tipo L=m / 2 ẋ 2 – U x , t . Como gerar o Hamiltoniano? Bem, como primeiro passo, definir p≡∂ L/ ∂ ẋ=m ẋ . A seguir, construir H={dot x} p – m/2 {dot x}^2 + U(x,t) , o que, usando a definição de p para escrever ẋ em termos de p e x, nos dá: H = p2 /2m U x ,t . As equações de movimento (7) e (8) de pronto nos fornecem ∂H p = , (9) ∂p m ∂H ∂U ṗ=− =− . (10) ∂x ∂x ẋ= Derivando mais uma vez a (9) e usando (10) finalmente terminamos com ẍ=− 1 ∂U , m ∂x (11) que é a equação de “força” obtida diretamente da formulação Lagrangeana. - Problema: Como fica a formulação Hamiltoniana em várias dimensões? - Problema: Como fica o caso de uma partícula atraída por um campo central em 2D, como já analisado anteriormente ( L=m / 2 ẋ 2 ẏ 2 – U x 2 y 2 )?