Elementos de Teoria Clássica de Campos
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Teoria de Campos Lagrangeana
Faremos uma breve revisão do formalismo de teoria clássica de campos
Ação ( S ) é a entidade fundamental da Mecânica Clássica:
S =
∫
Ldt =
∫
L (φ, ∂ µφ )d 4x ,
sendo L (φ, ∂ µφ ) a densidade de lagrangiana. Daqui para frente vamos chamá-la
simplesmente de lagrangiana
– Princípio da Mínima Ação
Quando um sistema evolui de uma dada configuração (instante t1) para uma outra
(instante t2) ele o faz ao longo de uma trajetória no espaço das configurações para a
qual a ação é um extremo (normalmente um mínimo):
⎧
⎫
∂L
⎪
4 ⎪ ∂L
d
x
δφ
δ
(
φ
)
+
∂
⎨
⎬=
µ
∫ ⎪⎩⎪ ∂φ
∂(∂ µφ )
⎪
⎪
⎭
⎛ ∂L ⎞⎤
⎛
⎞⎫
⎧⎪ ⎡ ∂L
⎟⎟ ⎥ δφ + ∂ µ ⎜⎜ ∂L δφ ⎟⎟ ⎪
d 4x ⎨ ⎢
− ∂ µ ⎜⎜
⎬
⎪⎩⎪ ⎣⎢ ∂φ
⎝⎜ ∂(∂ µφ ) ⎠⎟ ⎥⎦
⎝⎜ ∂(∂ µφ ) ⎠⎟ ⎪
⎪⎭
0 = δS =
=
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∫
1
•
•
•
•
O último termo pode ser transformado em integral de superfície sobre a
fronteira da região de integração em 4 dimensões;
Como as configurações inicial e final são dadas (fixas), δφ = 0 nos instantes
inicial e final
Restringindo a análise a deformações que também se anulem na fronteira
espacial desta região e portanto termos de superfície se anulam
O termo restante da integral deve se anular para δφ arbitrário levando às
Equações de Euler-Lagrange
⎛ ∂L ⎞ ∂L
⎟⎟ −
∂ µ ⎜⎜
=0
⎜⎝ ∂(∂ µφ ) ⎟⎠ ∂φ
•
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Caso a lagrangiana contenha mais que um campo teremos uma equação de
Euler-Lagrange para cada um dos campos
Teoria de Campos Hamiltoniana
Formulação lagrangiana: mais apropriada à dinâmica relativística
• todas as expressões são explicitamente invariantes de Lorentz
Formulação hamiltoniana: torna mais simples a transição quântica
• para sistema discreto, pode-se definir o momento conjugado a cada variável
dinâmica q como p = ∂L / ∂q (com q = ∂q / ∂t ) e hamiltoniana fica:
H =
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∑ (pq ) − L
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– Generalização para sistemas contínuos
Para facilitar, vamos supor que os pontos espaciais x sejam discretamente
espaçados. Definem-se, então, os momentos canonicamente conjugados:
=
∑
y
∂L ( φ (y ), ∂φ (y ) ) ∂φ (y )
∂φ (y )
∂φ (x )
d 3y =
∑ π (y ) δ 3 (x − y )d 3y ∼ ∫ π (y ) δ 3 (x − y )d 3y
y
= π (x )d 3x
onde a densidade de momento conjugado a φ (x ) é
Assim, a hamiltoniana se escreve na forma
Passando ao limite do contínuo:
sendo H é a densidade de hamiltoniana.
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– Exemplo simples:
Consideremos a teoria de um único campo φ(x) real governado pela lagrangiana:
=
1
2
[ (∂ tφ )2 − (∇ φ )2 ] − 12 m 2φ 2
Usando as equações de movimento (Euler-Lagrange):
Temos
⎧⎪ ∂
⎡ 1 (∂ φ ∂ ν φ ) − 1 m 2φ 2 ⎤ ⎫⎪⎬ − ∂ ⎡ 1 (∂ φ ∂ ν φ ) − 1 m 2φ 2 ⎤ = 0
∂µ ⎨
ν
2
2
⎦⎥ ⎪⎭⎪ ∂φ ⎣⎢ 2 ν
⎦⎥
⎪⎩⎪ ∂(∂ µφ ) ⎣⎢ 2
Ou seja:
∂ µ [ (∂ ν φ )δ νµ ] − [ −m 2φ ] = ( ∂ µ ∂ µ + m 2 )φ = 0
a qual nada mais é do que a equação de Klein-Gordon.
Lembre-se que neste contexto esta é uma equação clássica de campos, como as
equações de Maxwell, i.e., não como uma equação de onda quântica.
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Lembrando que
π (x ) =
∂L
=φ
∂φ
é a densidade de momento canonicamente conjugado a φ (x ) , pode-se facilmente
determinar a hamiltoniana nesse caso:
o que resulta em
Os três termos da hamiltoniana acima podem ser interpretados como:
•
•
•
1º Æ custo em energia para “se mover” no tempo
2º Æ custo em energia para “se deformar” no espaço
3º Æ custo em energia para “se ter” propriamente o campo
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Teorema de Noether
Este teorema resume a relação entre simetrias e leis de conservação em teoria
clássica de campos. Ele diz respeito a transformações contínuas nos campos φ , as
quais, em forma infinitesimal, podem ser escritas na forma
Onde α é um parâmetro infinitesimal (aqui suposto independente de x) e ∆φ é um
tipo de deformação da configuração de campo.
Chamamos esta transformação de simetria se ela deixar invariantes as equações de
movimento.
•
•
Isto é assegurado caso a ação seja invariante sob tal transformação
Lembremos que a ação pode variar por um termo de superfície já que ele
não afeta as equações de Euler-Lagrange.
Portanto, a lagrangiana deve ser invariante sob a transformação acima, a menos de
uma quadri-divergência:
para algum Jµ.
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Relacionemos este resultado com aquele que obtemos variando o campo
(δφ=α∆φ)
= 0 (Euler-Lagrange)
Comparando o resultado acima com a expressão anterior para ∆L e igualando o
termo que sobrou a α ∂ µ J µ (x ) , obtém-se:
⎡ ∂L
⎤
∴ ∂µ ⎢
∆φ − J µ ⎥ = 0
⎢⎣ ∂(∂ µφ )
⎥⎦
ou
onde
Se a simetria envolver mais de um campo, o primeiro termo da expressão para jµ
acima deverá ser substituído por uma soma deles.
µ
O resultado acima ( ∂ µ j = 0 ) estabelece que
X a corrente
0=
∫
d Ω(∂ µ j µ ) =
∫
j µ é conservada
dS µ j µ =
∫
S1
j µdS µ − ∫ j µdS µ =
S2
∫
x 10
j 0dV − ∫ j 0dV
x 20
X a carga é constante no tempo (conservada)
Q≡
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∫
j 0dV
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j µ dS µ representa a integral tomada sobre todo o hiperplano quadri-dimensional ortogonal ao eixo-x0 (i.e., integração sobre todo o
espaço tridimensional).
• Por simplicidade, ∫
• A demonstração anterior permanece válida para quaisquer duas integrais
nas quais a integração seja estendida a quaisquer duas hiper-superfícies
infinitas (e não apenas aos hiper-planos x0 = constante) que contenham todo
o espaço tridimensional.
X Para cada simetria de L haverá uma tal lei de conservação.
– Um exemplo simples: transformação de fase
A Lagrangiana livre para o campo escalar complexo φ:
L =| ∂ µφ |2 −m 2φ 2 = ∂ µφ ∂ µφ * − m 2φφ *
As equações de movimento dessa lagrangiana são as equações de Klein-Gordon:
⎡ ∂L ⎤ ∂L
⎥−
∂µ ⎢
=0 ⇒
⎢⎣ ∂(∂ µφ ) ⎥⎦ ∂φ
∴ (∂ µ ∂ µ + m 2 )φ = 0
∂ µ ⎣⎡ ∂ µφ * ⎦⎤ − ⎣⎡ −m 2 (φ * ) ⎦⎤ = 0
e
(∂ µ ∂ µ + m 2 )φ * = 0
Em geral, considera-se φ e φ* como campos independentes; alternativamente, podese trabalhar com as partes reais e imaginárias de φ
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Essa lagrangiana é invariante sob a transformação
.
φ → φ ' = e iαφ
E para a forma infinitesimal dessa transformação (e iα ≈ 1 + iα), temos:
φ → φ ' ∼ φ + iαφ
φ ∗ → φ ∗ ' ∼ φ ∗ − iαφ
ou
A corrente conservada pode ser obtida por:
jµ =
∂L
∂L
∆φ +
∆φ * = (∂ µφ * )(iφ ) + (∂ µφ )(−iφ * )
*
∂(∂ µφ )
∂(∂ µφ )
∴
j µ = i[(∂ µφ * )φ − (∂ µφ )φ * ]
A conservação dessa corrente é demonstrada usando a equação de Klein-Gordon:
∂ µ j µ = i ∂ µ [(∂ µφ * )φ − (∂ µφ )φ * ]
= i[(∂ µ ∂ µφ * )φ + ∂ µφ *∂ µφ − ∂ µφ *∂ µφ − φ * (∂ µ ∂ µφ )
(K-G) = −i[(m 2φ * )φ − φ * (m 2φ )] = 0
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– Transformações espaço-temporais
Podemos descrever uma translação infinitesimal do tipo x µ → x 'µ = x µ − a µ
como uma transformação da configuração de campos:
φ (x ) → φ (x + a ) = φ (x ) + a µ ∂ µ φ (x )
A lagrangiana também é um escalar e deve se transformar de forma análoga:
L
→
L + a µ ∂ µL ≡ L + a ν ∂ µ ( δ µν L )
Comparando a expressão acima com
nota-se que agora corrente não é nula:
J µ ν = δ µν L
Estendendo, então, a definição da corrente conservada para uma variação “vetorial
do campo” (i.e., em vez de ∆φ tem-se agora ∂ µφ ), vê-se que, aplicando o
Teorema de Noether, obtém quatro correntes, conservadas separadamente:
T µν =
∂L
∂ν φ − L δ µν ,
∂( ∂ µφ )
Este é precisamente o tensor de energia-momento do campo φ .
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A carga associada a translações no tempo é a hamiltoniana
H = ∫ T 00d 3x = ∫ H d 3x
No caso do campo de Klein-Gordon,
L = 12 (∂ µφ )2 − 12 m 2φ 2 = 12 [φ 2 − (∇φ )2 ] − 12 m 2φ 2
temos
T 00 =
∂L
∂ 0φ − Lg µν = φ 2 − Lg 00
∂(∂ 0φ )
e
π =
∂L
∂L
=
=φ
(
)
∂
∂
φ
∂φ
0
ou, conforme visto anteriormente nesse caso.
T 00 = H = πφ − L
⇒
H =
∫
1 2
2[π
+ (∇φ )2 + 21 m 2φ 2 ]d 3x
As cargas conservadas associadas às translações no espaço são
P i = ∫ T 0id 3x =
∫
∂L
∂ iφd 3x =
∂(∂ 0φ )
i
3
3
∂
=
−
∂
π
(
φ
)
d
x
π
(
φ
)
d
x,
i
∫
∫
as quais, naturalmente, são interpretadas como as componentes do momento físico
carregado pelo campo.
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Lista 1
Exercício 1:
Obter, a partir da lagrangiana livre de Klein-Gordon:
• as equações de Euler-Lagrange correspondentes
• a expressão da hamiltoniana
Exercício 2:
Discuta o caso de uma translação infinitesimal das coordenadas, i.e.,
x µ → x 'µ = x µ − a µ , correspondente a uma transformação da configuração
de campos φ (x ) → φ (x + a ) = φ (x ) + a µ ∂ µφ (x ) .
Discuta a transformação associada da lagrangiana e obtenha a corrente
(tensorial) conservada. Obtenha as “cargas” conservadas nesse caso.
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