AULA 15
INTRODUÇÃO À ROBÓTICA
DINÂMICA
Trajetória de Força do
Elemento Terminal
Trajetória de Posição
do Elemento Terminal
Posição
Força
Jacobiano
Inverso
Tempo
Jacobiano
Torques
de
Juntas
n
Dinâmica
Direta
Movimento
de
Juntas
Cinemática
Direta
Tempo
n, n, n
Dinâmica
Inversa
Cinemática
Inversa
Dinâmica Direta:
Torques de juntas
Posições, veloc. e acel.
de juntas ou do elemento
terminal
Dinâmica Inversa:
Posições, veloc. e acel.
de juntas ou do elemento
terminal
Torques de juntas
As leis básicas da dinâmica podem ser formuladas a partir de seus princípios
fundamentais de várias formas diferentes onde se incluem:




Leis de Newton com o conceito de trabalhos virtuais
Equações de Lagrange
Equações de Hamilton
Princípio de D’ Alambert
Todas essas formulações são equivalentes e podem ser derivadas das leis de
Newton e do principio dos Trabalhos Virtuais. Em robótica, as duas formulações
mais comuns são:
 Equações de Newton-Euler
 Equações de Lagrange
As formas mais comuns de resolver essas equações em robótica são: iterativa,
forma fechada e recursiva.
 Iterativa: solução numérica, pode ser demorada.
 Forma fechada: expressões analíticas, explícitas e rápidas.
 Recursiva: Equações sofrem interações, mas as soluções de forma
fechada tem duplicação de cálculos.
As formulações de Lagrange ou Euler são equivalentes. O primeiro tipo lida com energia e
é razoável dizer que a formulação de Lagrange é superior para obtenção de equações de
forma fechada que descrevam a evolução no tempo das coordenadas generalizadas do
que a formulação de Euler (q(t) <=> (t)). Entretanto, a última pode ser superior se
necessitarmos saber que forças generalizadas precisam ser aplicadas para produzir uma
evolução particular no tempo das coordenadas generalizadas, ou seja, saber apenas que
função (t) produz uma trajetória particular q(t), não sendo necessário o conhecimento da
relação funcional geral entre as duas. Entretanto, se alguém estiver interessado em
estudar fenômenos mais avançados, como deformações elásticas dos elos, então a
formulação de Lagrange é claramente superior.
PRINCIPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
Equação de D’Alambert
Esta equação foi derivada de deslocamentos infinitesimais, mas é
válida para deslocamentos de qualquer magnitude. Fisicamente,
pode-se dizer que a aceleração de um corpo gera uma força de
inércia que pode ser somada com todas as outras forças agindo no
corpo para que se obtenha uma única força resultante.
PRINCÍPIOS DA MECÂNICA NEWTONIANA QUE SE APLICAM À
FORMULAÇÃO DE NEWTON-EULER SÃO:
1. Toda ação tem uma reação igual e oposta. Portanto, se corpo 1
aplica uma força f e torque  ao corpo 2, então o corpo 2 aplica
uma força de - e um torque de - ao corpo 1.
2. A taxa de variação da quantidade de movimento linear, P, iguala
a força resultante aplicada ao corpo.
3. A taxa de variação da quantidade de movimento angular, L,
iguala o torque resultante aplicado ao corpo.
FORMULAÇÃO DE NEWTON-EULER
força aplicada ao elo n
torque em torno do
centroide do elo n
Efeito giroscópico
Que sai de
(na junta) =
P = quantidade de movimento linear
(no centroide) +
;
Lc
L = quantidade de movimento angular
Tomando como referencia um sistema rigidamente conectado ao elo, então,
Efeito giroscópico
O primeiro termo é o torque inicial resultante da aceleração angular. O segundo é o torque
giroscópico resultante de variações no tensor de inércia à medida que a orientação do elo
varia.
O tensor cI para o centróide é usado para equilibrar os torques em torno do centróide.
Do equilíbrio,
(
=0
)
(quando as forças são equilibradas)
(
=0
)
(quando os torques são equilibrados)
, onde Rcn,n é a distância da origem do sistema n ao centróide do elo n como visto do
sistema de referência.
Como no caso estático, a força e o torque resultantes são nulos
quando as forças e torques no elo estão equilibrados. Por exemplo,
um robô se movendo no espaço livre tem equilíbrio de torques
quando o torque do atuador se iguala aos torques de inércia de
gravidade. Se uma força externa ou torque for aplicado à garra do
robô, torques adicionais no atuador são necessários para manter o
equilíbrio. No caso de uma junta rotativa, a componente de torque
no eixo z na junta é o torque que o atuador tem de suprir, e no caso
de juntas de translação, a força no eixo z tem que ser suprida pelo
atuador.
FORMULAÇÃO DE LAGRANGE
Na formulação de Newton-Euler, equações dinâmicas são derivadas em
função de forças e movimentos. As forças de vínculos foram eliminadas
através do uso do principio dos trabalhos virtuais e o efeito da
aceleração como uma força de inércia foi descrito com a equação de D’
Alambert. A equação resultante do equilíbrio de torques pode ser ainda
manipulada para se obter uma equação de forma fechada para o torque
do atuador.
A formulação de Lagrange descreve o comportamento dinâmico de um
robô em termos do trabalho realizado ou energia armazenada pelo
sistema. O robô é tratado como uma caixa preta que tem equilíbrio de
energia. As forças de vínculo são eliminadas durante a formulação das
equações. Como na dinâmica de Newton-Euler, as equações na forma
fechada podem ser derivadas em qualquer sistema de coordenadas.
A derivação da equação de Lagrange não será demonstrada aqui. Em
robótica as n coordenadas generalizadas independentes q1, …, qn são
as coordenadas de juntas, uma vez que elas representam
completamente a dinâmica de um robô.
L = Lagrangeano
, K = energia cinética
,U = energia potencial
Usando o Lagrangeano, as n equações de movimento acopladas, nãolineares, que descrevem a dinâmica de um robô de n elos são (equação de
D’Alambert + derivações):
, onde n = 1 …. nº. de elos e Fn = força generalizada correspondente à
coordenada qn .
A força generalizada age no elo n na direção do movimento possível do elo, e
é uma quantidade escalar. É composta de um vetor de torque, no caso de
uma junta de revolução, ou um vetor de força, no caso de uma junta
prismática, forças gravitacionais, e outras forças não-lineares em razão de
zonas mortas e histerese. Como a energia potencial é dependente apenas de
posição, então
(preferível referência no elo, no C. G.,
uma vez que é necessário transformar
a inércia I)
ωn e In → mesma referência
, onde g é um vetor gravidade 3 x 1 , e 0cn é o vetor posição da origem do sistema de
referência ao centróide do elo n, representado no sistema de referência.
A energia potencial de um manipulador é
Então a contribuição da energia potencial à dinâmica Lagrangeana é
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
No manipulador do tipo 1 de 2 elos, formular sua dinâmica utilizando Newton-Euler e o Lagrangeano.
1) Newton-Euler
Logo,
(1)
(2)
(3)
(4)
Mas
no sistema x-y
De (1)
De (2)
0
De (1) e (2)
De (1)
Sabe-se que
De (3)
De (4)
0
De (3) e (4) →
2) Lagrangeano
2.a) Energia Cinética
2.b) Energia Potencial
2.c) Formulação do Lagrangeano
Substituindo no Lagrangeano