8ª Série de Problemas
Mecânica e Ondas
MEBM, MEFT, LEGM, LMAC
1. Uma esfera de dimensões desprezáveis e massa m = 50 kg pode moverse sem atrito num aro circular de raio R = 20 m que se encontra na vertical
como mostra a figura.
y
x
θ
1.a) Determine o Lagrangeano do problema.
1.b) Calcule as equações de movimento da esfera.
1.c) Qual é a frequência de oscilação da esfera na aproximação de
pequenas oscilações?
1.d) Suponha agora que o aro é inclinado passando a fazer um ângulo α
= 30° com a horizontal como mostra a figura. Determine as soluções das
alíneas a), b) e c) para esta nova situação.
2. Uma massa m está presa ao tecto por um fio inextensível de comprimento
l (pêndulo cónico). Considere o fio leve e sob tensão, e despreze a
resistência do ar.
2.a) Escreva o lagrangeano do sistema em função do ângulo polar que o fio
faz com a vertical e em função do ângulo azimutal que um plano
vertical contendo o fio faz com outro plano vertical fixo (de referência).
2.b) Escreva as equações do movimento a partir das equações de
Lagrange.
2.c) Estude o caso particular em que o ângulo polar é constante, obtendo a
relação entre esse ângulo polar e a velocidade de rotação em torno do
eixo vertical.
3. Considere um objecto de massa m que se move sem atrito sobre uma
mesa, preso por um fio de comprimento l a outro objecto, de massa M (ver
figura). Este último desloca-se na vertical. Suponha o fio inextensível.
3.a) Quantos graus de liberdade tem o sistema? Escreva o lagrangeano.
3.b) Como varia o lagrangeano do sistema quando este sofre uma
rotação em torno da vertical (eixo zz)?
3.c) Escreva as equações de Lagrange e use-as para mostrar que o
momento angular do sistema se conserva.
3.d) Imprimindo uma certa velocidade inicial à massa m é possível fazer
com que esta tenha movimento circular. Calcule essa velocidade em
função do raio da trajectória pretendida (indique também a direcção e o
sentido).
3.e) Como varia, nas condições da alínea d), o raio da trajectória com
período? (Compare com a 3a Lei de Kepler para o movimento dos
planetas!)
4. Duas massas iguais estão ligadas por meio de molas entre si e a duas
extremidades fixas, segundo a mesma direcção (ver figura abaixo).
As molas que ligam as massas às extremidades têm constante de
restituição k; a mola entre as duas massas tem constante de restituição k’.
4.a) Escreva o lagrangeano do sistema. Sugestão: tome como
coordenadas generalizadas os deslocamentos das massas em relação
às suas posições de equilíbrio.
4.b) Determine as equações do movimento e resolva-as. Quais as
frequências características do sistema?
4.c) Descreva o movimento do sistema se ambas as massas foram
largadas com um deslocamento d em relação às posições de equilíbrio.
4.d) Descreva o movimento do sistema se as massas foram largadas com
deslocamentos simétricos, d1 = d e d2 = –d, em relação às posições de
equilíbrio.
4.e) Descreva o movimento do sistema se apenas a massa 1 for largada
com um deslocamento d em relação à sua posição de equilíbrio, ao
passo que a massa 2 está inicialmente em repouso com deslocamento
nulo. Verifique a existência de batimentos. Escreva esta solução do
movimento como uma sobreposição das soluções das alíneas c) e d).
5. A Fig. representa um pêndulo cujo ponto de suspensão se move sem
atrito sobre uma linha recta; a massa do bloco onde o pêndulo está
suspenso é desprezável em relação a m e o fio é inextensível (m=1 kg e
l=1 m).
5.a) Supondo que o movimento do bloco onde o pêndulo está suspenso é
descrito por uma função b(t) conhecida, quantos graus de liberdade tem
o sistema? Escreva o lagrangeano e as equações do movimento.
5.b) Particularize para b(t)=at2/2, com a=2 m.s-2 (ponto de suspensão
movendo-se com aceleração constante). Determine o ponto de
equilíbrio e resolva a equação do movimento para pequenas
oscilações.
5.c) Particularize para b(t)=2 cos 3t (ponto de suspensão oscilando no
tempo) e resolva a equação do movimento para pequenas oscilações.
5.d) Particularize para b(t)=2 cos 4t e resolva a equação do movimento
para pequenas oscilações. Compare este caso e o da alínea anterior.
Esboce como varia a amplitude e o desfasamento em função dos
parâmetros do sistema e da frequência exterior.
6. Dada a estrada representada na figura abaixo, com um automóvel a rodar
sobre ela, determine a velocidade do automóvel para a qual o sistema entra em
ressonância. Despreze os efeitos do atrito nos amortecedores.
A frequência característica de uma massa presa a uma mola é de 5 Hz.
6.a) Qual a aceleração da massa quando o deslocamento é de 0.51 m?
6.b) Porque factor se devia aumentar a massa para duplicar o período da
oscilação?
7. Dois carros com igual massa movem-se sem atrito sobre uma mesa
horizontal (ver figura abaixo). Estão interligados por uma mola de
coeficiente de restituição k e comprimento l0 . No instante inicial o carro 1
desloca-se com velocidade v0 e o carro 2 está parado.
7.a) Determine a velocidade do centro de massa. Qual o movimento o
movimento do centro de massa?
7.b) Escreva as equações do movimento a partir da equação de Newton.
7.c) Como varia a posição de cada carro em função do tempo em relação
ao referencial do centro de massa? Qual a frequência do movimento?
7.d) Como varia a posição e o momento linear de cada carro em função
do tempo em relação ao referencial do laboratório?
7.e) Escreva o lagrangeano do sistema no referencial do laboratório e
obtenha as equações do movimento.
7.f) Repita a alínea anterior usando como coordenadas generalizadas a
distância entre os dois carros, x = x2 - x1, e a posição do centro de
massa, XCM. Compare com os resultados anteriores.