A UA UL L AA
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Operando com
potências
Introdução
O
perações com potências são muito utilizadas em diversas áreas da Matemática, e em especial no cálculo algébrico. O
conhecimento das propriedades operatórias da potenciação pode facilitar a
resolução de cálculos com expressões algébricas, que de outra forma seriam
bastante trabalhosos.
Para estudar essas propriedades, vamos antes rever algumas definições de
potências com expoentes inteiros e bases reais.
Nossa aula
Potenciação, por definição, é uma forma prática e simples de se representar uma multiplicação de fatores iguais.
Na potenciação, o fator da multiplicação chama-se base e o número de
vezes que o fator se repete é representado pelo expoente. Por exemplo:
l
2
5 x 5 = 25 « 5 = 25
Onde 5 é a base e 2 é o expoente.
Lê-se: “5 ao quadrado”.
2 vezes
l
3
2x2x2=8 « 2 =8
3 vezes
l
4
3 x 3 x 3 x 3 = 81 « 3 = 81
4 vezes
Onde 2 é a base e 3 é o expoente.
Lê-se: “2 ao cubo”.
Onde 3 é a base e 4 é o expoente.
Lê-se: “3 à 4ª potência”.
De maneira geral, podemos escrever:
a . a . a ... a = an
n vezes
se n > 2 (número inteiro)
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Alguns casos especiais da potenciação:
l
a1 = a
l
a =1
l
a-n =
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para qualquer a
0
se a ¹ 0
1
an
se a ¹ 0
Além dessas definições, convenciona-se ainda que:
- 32 significa
- (3)2 = - (3 . 3) = - 9
e
2
(- 3) = (- 3) . (- 3) = + 9
- 32 ¹ (- 3)2
Portanto:
Isso nos leva a concluir que, se a base é um número negativo e está elevada
a um expoente positivo, é indispensável o uso dos parênteses. Caso os
parênteses não sejam utilizados o resultado encontrado poderá ser incorreto.
Vejamos alguns exemplos numéricos de aplicação das propriedades
vistas até aqui:
l
70 = 1
l
(- 2)2 = + 4
l
61 = 6
l
3-2 =
l
2
-2 =-4
l
1 1
=
32 9
³
æ 1¯
ö
1
1
8
=
è 2 ø (½)³ = ( _1 ) =
8
Para calcular o valor de uma potência, quase sempre precisamos efetuar a
multiplicação equivalente. Assim, por exemplo, para comparar duas ou mais
potências é necessário conhecer antes os seus valores. Por exemplo:
l
-2
-2
As potências 3 e (-3) são iguais ou diferentes?
1
1
1 1
(-3)-³ =
-³ =
3-2 = 2 =
e
(-3)
9
3
9
-2
-2
Portanto as duas potências são iguais e podemos escrever: 3 = (- 3)
l
-2
2
Qual é a maior 6 ou -6 ?
6-2 =
1
1
=
2
6
36
-2
ou
- 62 = -(6 . 6) = -36
2
Vimos que 6 resulta num número positivo e -6 resulta num número
negativo. Todo número positivo é maior que qualquer número negativo.
-2
2
Logo: 6 > -6 .
5
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l
³
æ_ 1 ö
è 2ø
æ_ 1 ö
è 2ø
Qual é o número menor:
ou
?
5
ö
ö
æ_ 1 ö æ_ 1 ö . æ_ 1 ö . æ_ 1 . æ_ 1 ö . æ_ 1
_1
=
=
è 2 ø è 2ø è 2 ø è 2ø è 2ø è 2 ø
32
e
æ_ 1 ö ³ æ_ 1 ö . æ_ 1 ö . æ_ 1 ö = _ 1
=
8
è 2 ø è 2ø è 2 ø è 2 ø
Se as frações fossem positivas, a menor seria a que tem o maior denominador, portanto 1 .
32
³
æ_ 1 ö
Comoæ_
as1 öfrações
são negativas o resultado é ao contrário e teremos como
è 2ø
è 2ø
resposta:
>
5
Sugestão: represente as frações obtidas na reta numérica.
Para efetuar operações com potências, também é necessário calcular
antes o valor de cada potência. Por exemplo:
2
3
l
3 + 2 = 9 + 8 = 17
l
5 - 7 = 125 - 49 = 76
l
2 · . 3 = 8 . 9 = 72
l
4 : 2 = 16 : 8 = 2
3
2
3
2
2
3
Propriedades da potenciação
Vamos apresentar agora as propriedades operatórias, no caso especial das
potências de bases iguais. Nesses casos, podemos resolver a multiplicação sem
efetuar as potências e obteremos o resultado em forma de potência.
Multiplicação de potências de bases iguais
l
4
4
2 x2 =2
4+2
6
4
2
= 2 porque 2 x 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2
4 vezes
l
6
2 vezes
75 x 7-3 = 75 + (-3) = 75-3 = 72
Generalizando, para multiplicar potências de bases iguais, repetimos a base
e somamos os expoentes.
m
n
m+n
a .a =a
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Divisão de potências de bases iguais
.
:
l
l
7 :7 =7
l
9 :9 =9
-3
2
4
-3-2
6
4-6
=7
=9
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. .
54 5· 5· 5· 5
5 4 ¸ 52 = 2 =
= 5· 5 = 52
5
5· 5
-5
-2
Então, para dividir potências de bases iguais, repetimos a base e subtraímos
os expoentes.
m
n
m-n
a :a =a
Potenciação de potência
l
2 3
(2
l
2
2
2
(3 ) = (3 ) . (3 ) . (3 ) = 3
2x3
=3
6
3 vezes
4
) = æ 1 ö = 1 8 = 2-8
2
è 2²ø
(-2) 4
Então, para elevar uma potência a um expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.
n
(am) = a
m.n
Distributividade da potenciação em relação à multiplicação
l
3
(2 x 3) = (2 x 3) . (2 x 3) . (2 x 3) = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 = 8 . 27
3 vezes
3 vezes
-2
-2
1
1
(5 x 7) =
= 5 x7
=
(5 x 7)² 5² x 7²
-2
l
3 vezes
Para elevar um produto a um expoente, elevamos cada fator ao mesmo
expoente.
m
m
(a . b) = a . b
m
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Distributividade da potenciação em relação à divisão
l
æ7ö æ7ö 7 . 7
(7 : 3)² = è3 ø . è3 ø =
3.3
7²
3² = 7² : 3²
2 vezes
-3
l
æ4ö 4-3
= -3
è5 ø 5
Para elevarmos um quociente (ou uma fração) a um expoente, elevamos o
dividendo e o divisor (ou o numerador e o denominador) ao mesmo expoente.
m
m
m
(a : b) = a : b
m
æaö amou
=
èbø bm
Aplicações
Como já foi dito no início da aula, uma das maiores aplicações das
propriedades operatórias das potências de bases iguais está no cálculo
algébrico. Na Aula 62, efetuamos a adição e a subtração de expressões algébricas. Vejamos nos exemplos, a multiplicação e a divisão dessas expressões e
verificaremos o uso constante das propriedades estudadas.
l
2
3
5
x · x · x =x
2
10
2
2
2
2
2
4
3
l
y · (y + y + 1) = y · y + y · y + y · 1 = y + y + y
l
(- 2xy) = (- 2) · x · y = - 8x y
l
(x ) · x-4 = x · x- 4 = x - 4
l
(2x5 + 3x4) ¸ x3 = (2x5 ¸ x3) + (3x4 ¸ x3) = 2x2 + 3x
l
3
2 3
3
6
3
3
3 3
7
.
(xy)44
.
.
44
4
β
xy γx ·. y 4
x4 y4
6
(x- ) = (x x) · . y
=
=
·
= x · y5
βx2 y γ-1 βx2 γ-1 · y -1 x-2 · y -1 x-2 y -1
2
As propriedades podem ser usadas em expressões numéricas como uma
forma de simplificação dos cálculos. Veja:
7
5
l
2 . 128 . 32 = 2 . 2 . 2 = 2
l
(4 ) : 16 = 4 : 4 = 4
3 2
2
l
.
6
3
2
2
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4
.
5 · 5
5 · 53 55
=
= 4 = 51 = 5
4
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5
5
Exercício 1
Verifique se as sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F):
-2
a) ( ) 4 = - 16
-3
3
b) ( ) 7 . 7 = 1
æ1ö-2
c) (
1Ι
Φèxø
)
Ηx Κ = x
-2
d) ( ) -3 =
2
1
9
æ_ ö²2
æ_ ö³3
Exercício 2
Φ
Φ
ø
è 1Ι
è 1 øΙ
Qual é a maior ou Η 5 Κ Η 5 Κ?
Exercício 3
x
1
3
Se 2 = 4, qual é o valor de 2 +x? E qual o valor de 2 -x?
Exercício 4
Efetue as operações nas seguintes expressões algébricas:
a) x3 . (x + x2 + x4) =
5
4
4
b) (7x - 8x ) : x =
3
2
c) (6x + 3x ) : (-3x) =
d) (x2 + y) . xy =
Exercícios