NEEJA: NÚCLEO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS
“CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO’’
MÓDULO - 3 ( QUINTA SÉRIE )
PROFESSOR:Ardelino R Puhl
PROBLEMAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES
1-A um teatro compareceram 519 homens e 385 mulheres. Quantas pessoas foram ao teatro?
2-Numa livraria havia 586 livros de poesia. Foram vendidos 283. Quantos livros ainda não foram
vendidos?
3-Luana tem 75 livros. Suzana tem o triplo dos livros de Luana. Quantos livros Susana têm?
4-Numa escola a diretora guardou 56 tubos de cola em 7 caixas. Quantos tubos ela guardou em cada
caixa, se em cada uma colocou a mesma quantidade?
5-Paula Ana e Marta são irmãs e todas elas ganham mesadas do pai, só que cada uma ganha um valor
diferente. Paula ganha R$ 70,00 por mês, Ana ganha R$ 60,00 e Maria R$ 50,00. Qual o total que o pai
das meninas precisa separar no mês para pagar as mesadas?
6-Fabrício tinha 320 reais para pagar as contas (117 reais de energia elétrica, 58 reais de água e 88 reais
de telefone) e para fazer algumas compras. Quanto lhe restou para fazer as compras?
7-Na escola de Pedro há 8 classes de 35 alunos, 5 classes de 33 alunos e 12 classes de 30 alunos. Qual é o
total de alunos nessa escola?
8- Quarenta oito balas foram repartidas entre três crianças, Ana, Maria e João. Quantas balas cada uma
receberam?
9-Ana tinha 500 reais no banco. Na segunda-feira retirou 250 reais e na terça-feira fez um depósito de 180
reais. Qual o valor do seu saldo?
10-Da mesada que ganhei R$ 180,50 gastei 32,80 no primeiro dia e 42,90 no segundo dia. Quanto ainda
possuo?
ÁREA E PERÍMETRO DO QUADRADO E RETÂNGULO
O quadrado
O quadrado é uma figura geométrica plana regular em que todos os seus lados e ângulos são iguais. Veja
um exemplo de quadrado na figura a seguir:
Para calcular a área de um quadrado basta que se multipliquem dois dos seus lados l entre si.
Área = lado x lado ou l2
Perímetro é a soma de todos os lados
Exemplo 1
Uma sala mede 5 metros de lado. Quanto mede sua área e perímetro?
Área = 5m x 5m = 25m2
Perímetro = 5m + 5m + 5m + 5m = 25m
Lembrete: a unidade de medida de área mais utilizada é o metro quadrado (m 2), porém em alguns
casos usa-se o km2, cm2, etc.
O retângulo
O retângulo é uma figura geométrica plana cujos lados opostos são paralelos e iguais e todos os ângulos
medem 90º. Confiram o retângulo abaixo:
Para calcular a área do retângulo, basta que se multipliquem seu comprimento c pela largura l. E o
perímetro é a soma de todos os lados.
Exemplo 2
Num campeonato de futebol a equipe organizadora do evento está providenciando o gramado que será
plantado em toda área do campo. Para comprar as gramas, a equipe precisa saber a área do campo, pois a
grama é vendida por metro quadrado. Sabendo que o campo tem 115 m de comprimento por 75 m de
largura e ainda que o campo tenha o formato retangular, ajude a equipe a solucionar o problema, diga
quantos metros quadrados de área tem o campo de futebol e qual é o seu perímetro?
Área = 115m x 75m = 8625m2
Perímetro = 115m + 115m + 75m +75m = 380m
Exercícios
1-A medida do lado de um quadrado é de 20 cm. Qual é a sua área?
2-A área de um quadrado é igual a 196 cm2. Qual a medida do lado deste quadrado?
3-Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste terreno?
4-A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimensões 30 cm por 15 cm. Qual a área desta tampa?
PORCENTAGEM
Porcentagem:é muito utilizada no mercado financeiro, seja na hora de obter um desconto, calcular o
lucro na venda de um produto ou medir as taxas de juros. Na Engenharia, por exemplo, a porcentagem
pode ser utilizada para definir o quanto já foi construído de um prédio. Em Administração, pode ser usada
para medir as quotas de participação dos sócios em um negócio e por aí vai.
O cálculo percentual nada mais é que a multiplicação de um valor qualquer pelo percentual desejado.
Exemplos:
1-Carlos jogou fora 20% das 10 laranjas que ele tinha. Quantas laranjas foram para o lixo?
10 x 20/100= 2 laranjas
Exercícios
1-Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam
Matemática nessa escola?
2-Na compra de um aparelho obteve desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Pagou-se R$
102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?
3-Calcule as porcentagens correspondentes:
a) 2% de 700 laranjas
b) 40% de 48 m
c) 38% de 200 Kg
d) 6% de 50 telhas
e) 37,6% de 200
f) 22,5% de 60
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
POTENCIAÇÃO
Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais,
podemos montar uma potência. Representamos uma potência da seguinte forma:
A base sempre será o valor do fator.
O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete.
A potência é o resultado do produto.
• Base positiva
Quando a base é positiva resolvemos a potência normalmente. Exemplo:
a)(+2)5 = (+2) . (+2). (+2). (+2). (+2) = 32
b) 30 = 1(toda base com expoente
zero, tem como potência 1).
Exercícios
1-Calcule as potências:
a) 23
b) 42
c) 54
d) 05
e) 16
f) 30
g) 40
h) 62
i) 241
j) 670
l) 35
m) 63
RADICIAÇÃO:
A radiciação é a operação inversa da potenciação. É muito utilizada na obtenção de
solução de equações e na simplificação de expressões aritméticas e algébricas. Vamos
definir essa operação e analisar suas propriedades.
Dados um número real não negativo x e um número natural n ≥ 1, chama-se raiz
enésima de x o número real não negativo y tal que yn = x. O símbolo utilizado para
representar a raiz enésima de x é
radicando e n é o índice.
e é chamado de radical. Nesse símbolo, x é o
Pela definição de radiciação, temos que: Exemplos:
Exemplo 1.
2- Determine as raízes:
a) √4 =
b) √25 =
c) √0 =
d) √25 =
e) √64 =
f) √81 =
g) √36 =
h) √100 =
i) √400 =
j) √121 =
k) √169 =
l) √900 =
3- Calcule:
a) √25 + √16 =
b) √9 + √49 =
c) √1 + √0 =
d) √100 - √81 + √4 =
e) √36 + √121 + √9 =
f) √144 + √169 -√81 =
4-Calcule o valor das expressões
a)10 – 5 – 2 + 3 = (Resposta: 6)
b) 10 – ( 5 + 2) + 3 = (R:6)
c) ( 10 – 5) – ( 2 + 3) = ( R: 0)
d) 10 – ( 5 – 2 + 3) = ( R: 4)
e) ( 17 + 9 ) – 8 – ( 11 + 4) = (R: 3)
f) 86 + ( 31 – 16 + 60 ) – ( 200 – 70 – 50 ) = ( R: 81)
g) ( 79 + 21 – 84) + ( 63 – 41 + 17 ) – 26 = ( R: 29)
5-O resultado da expressão ( 2412: 12 – 8 ) – 13 + (48 – 6 x 2 ) é:
A) 48 B) 98 C) 226
D) 228
6-Calcule o valor das expressões (primeiro as potências)
a) 15 + (+5)² = (Resposta: 40)
b) 18 + (-5)² = (R: 43)
c) (8)² + 14 = (R: 78)
d) (7)² - 40 = (R: 9)
e) 40 – (2)³ = (R: 32)
NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Para representar os números fracionários foi criado um símbolo, que é a fração. Sendo a
e b números racionais e b ≠ zero, indicamos a divisão de a por b com o símbolo a: b ou,
ainda a/b.
LEITURA DE UMA FRAÇÃO
Algumas frações recebem nomes especiais: as que têm denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9
Exemplos:
1/2 um meio
1/4 um quarto
1/6 um sexto
1/8 um oitavo
2/5 dois quintos
9/8 nove oitavos
1/3 um terço
1/5 um quinto
1/7 um sétimo
1/9 um nono
4/9 quatro nonos
As decimais que são lidas acompanhadas da palavra avos:
1/11 um onze avos
7/120 sete cento e vinte avos
4/13 quatro treze avos
1/300 um trezentos avos
5/19 cinco dezenove avos
6/220 seis duzentos e vinte avos
As que têm denominadores 10, 100, 1000, etc...
1/10 um décimo
1/100 um centésimo
1/1000 um milésimo
7/100 sete centésimos.
Exercícios
1)Calcule o quociente das divisões
a) 12/3 = (Resposta = 4)
b) 42/21 = (R = 2)
c) 8/4 = (R = 2)
d) 100/10 = (R = 10)
e) 56/7 = (R = 8)
f) 64/8 = (R = 8 )
2) Em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 6
a) Em quantas partes o todo foi dividido? (Resposta = 6)
b) Quantas partes do todo foram consideradas? (R = 5)
3) Escreva como se leem as seguintes frações:
a) 5/8 (Resposta = cinco oitavos)
b) 9/10 (R: nove décimos)
c) 1/5 (R: um quinto)
d) 4/200 ( R: quatro duzentos avos)
e) 7/1000 (R: sete milésimos)
f) 6/32 (R: seis trinta e dois avos)
TIPOS DE FRAÇÕES
a) Fração própria: é aquela cujo numerador é menor que o denominador.
Exemplos: 2/3, 4/7, 1/8
b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador
Exemplo: 3/2, 5/5
c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo numerador é múltiplo do denominador
Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7·.
FRAÇÕES EQUIVALENTES
Para encontrar frações equivalentes, multiplicamos o numerador e o denominador da
fração 1/2 por um mesmo numero natural diferente de zero.
Assim: 1/2, 2/4, 4/8, 3/6, 5/10 são algumas frações equivalentes a 1/2.
SIMPLIFICANDO FRAÇÕES
Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que fração da pizza ele
comeu?
Cláudio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. Assim podemos dizer que
Cláudio comeu 2/4 da pizza.
A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 4/8 por 2 veja:
4/8 : 2/2 = 2/4
Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8.
A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter uma fração
equivalente dividindo os dois termos da fração por 2 e vamos obter 1/2.
Simplificar uma fração consiste em dividir o numerador e o denominador pelo mesmo
número. Você pode simplificar uma fração por partes, veja:
Exercícios
1-simplifique as frações:
a) 14/16 =
b) 18/36 =
c) 5/25 =
d) 12/20 =
e) 21/49 =
f) 4/32 =
g) 11/33 =
h) 9/27 =
i) 20/35 =
j) 12/30 =
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS ABSOLUTOS (FRAÇÕES)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
1°) Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de
fração de denominadores iguais
Conclusão: Somamos os numeradores e conservamos o denominador comum.
Exemplo:
a) 5/7 – 2/7 = 3/7
b) 4/9+ + 2/9 = 6/9 = 2/3
c) 3/5 – 1/5 = 2/5
Exercícios
1) Efetue as adições
a) 3/6 + 2/6 = (Resposta: 5/6)
b) 13/7 + 1/7 = (R: 14/7)
c) 2/7+ 1/7 + 5/7 = (R: 8/7)
d) 4/10 + 1/10 + 3/10 = (R: 8/10)
e) 5/6 + 1/6 = (R: 1)
f) 8/6 + 6/6 = (R: 14/6) = (R: 7/3)
g) 3/5 + 1/5 = (R: 4/5)
2) Efetue as subtrações:
a) 7/9 – 5/9 = (Resposta: 2/9)
b) 9/5 -2/5 = (R: 7/5)
c) 2/3 – 1/3 = (R: 1/3)
d) 8/3 – 2/3 = (R: 6/3)
e) 5/6 – 1/6 = (R: 2/3)
f) 5/5 – 2/5 = (R: 3/5)
g) 5/7 – 2/7 = (R: 3/7)
3) Efetue as operações:
a) 5/4 + 3/4 – 1/4 = (Resposta 7/4)
b) 2/5 + 1/5 – 3/5 = (R: 0/5)
c) 8/7 – 3/7 + 1/7 = (R: 6/7)
d) 7/3 – 4/3 – 1/3 = (R: 2/3)
e) 1/8 + 9/8 -3/8= (R: 7/8)
f) 7/3 – 2/3 + 1/3 = (R:6/3 ) = (R: 2)
g) 7/5 + 2/5 – 1/5 = (R: 8/5)
h) 5/7 – 2/7 – 1/7 = (R: 2/7)
Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de fração
de denominadores diferentes
conclusão: Quando os denominadores são diferentes fazemos o m.m.c. dos
denominadores, como exemplos têm:
a) 2/3 +1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6
3, 2 I 2
3, 1 I 3
1, 1 I ---2 . 3 = 6
b) 2/3 – 1/4 = 8/12 – 3/12 = 5/12
3, 4 I 2
3, 2 I 2
3, 1 I 3
1, 1 I ----2 . 2. 3 = 12
EXERCÍCIOS
1) Efetue as adições:
a) 1/3 + 1/5 = (Resposta 8/15)
b) 3/4 + 1/2 = (R: 5/4)
c) 2/4 + 2/3 = (R: 14/12)
d) 2/5 + 3/10 = (R: 7/10)
e) 5/3 + 1/6 = (R: 11/6)
f) 1/4 + 2/3 + 1/2 = (R: 17/12)
g) 1/2 + 1/7 + 5/7 = (R: 19/14)
h) 3/7 + 5/2 + 1/14 = (Resposta 42/14)
i) 4/5 + 1/3 + 7/6 = (R: 69/30)
j) 1/3 + 5/6 + 3/4 = (R: 23/12)
k) 1/2 + 1/3 + 1/6 = (R: 1)
l) 10 + 1/8 + 3/4 = (R: 85/8)
m) 1/3 + 3/5 = (R:14/15)
n) 3/4 + 6/7 = (R: 45/28)
o) 5/7 + 1/2 = (R: 17/14)
p) 1/2 + 1/3 = (R: 5/6)
q) 3/14 + 3/7 = (R: 9/14)
r) 3/5 + 3/4 + 1/2 = (R: 37/20)
s) 1/12 + 5/6 + 3/4 = (R: 20/12)
t) 8 + 1/5 + 4/5 = (R: 45/5)
2) Efetue as subtrações
a) 5/4 – 1/2 = (Resposta 3/4)
b) 3/5 – 2/7 = (R: 11/35)
c) 8/10 – 1/5 = (R: 6/10)
d) 5/6 – 2/3 = (R: 1/6)
e) 4/3 – 1/2 = (R: 5/6)
f) 13/4 – 5/6 = (R: 29/12)
g) 7/8 – 1/6 = (R: 17/24)
h) 4/5 – 1/3 = (R: 7/15)
i) 3/5 – 1/4 = (R: 7/20)
j) 10/11 – 1/2 = (R: 9/22)
l) 6/4 – 2/3 = (R: 10/12)
m) 5/8 – 1/2 = (R: 1/8)
n) 4/5 – 1/4 = (R: 11/20)
o) 3/4 - 5/8 = (R: 1/8)
p) 9/11 – 1/2 = (R: 7/22)
q) 7 – 2/3 = (R: 19/3)
r) 4/2 - 2/3 = (R: 8/6)
s) 3/2 - 2/3 = (R: 5/6)
t) 1/2 - 1/3 = (R: 1/6)
u) 3/2 - 1/4 = (R: 5/4)
MULTIPLICAÇÃO
Vamos Calcular: 2/3 x 4/5 = 8/15
Conclusão: multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si
Exemplo:
a) 4/7 x 3/5 = 12/35
b) 5/6 x 3/7 = 15//42 = 5/14 simplificando
EXERCICIOS
1) Efetue as multiplicações
a) 1/2 x 8/8 = (Resposta: 8/16)
b) 4/7 x 2/5 = (R: 8/35)
c) 5/3 x 2/7 = (R: 10/21)
d) 3/7 x 1/5 = (R: 3/35)
e) 1/8 x 1/9 = (R: 1/72)
f) 7/5 x 2/3 = (R: 14/15)
g) 3/5 x 1/2 = (R: 3/10)
h) 7/8 x 3/2 = (R: 21/16)
i) 1/3 x 5/6 = (R: 5/18)
j) 2/5 x 8/7 = (R: 16/35)
k) 7/6 x 7/6 = (R: 49/36)
l) 3/7 x 5/2 = (R: 15/14)
m) 3/10 x 5/9 = (R: 15/90)
n) 2/3 x 1/4 x 5/2 = (R: 10/24)
o) 7 x 1/2 x 1/3 = (R: 7/6)
2) Efetue as multiplicações
a) 4/3 x 1/2 x 2/5 = (Resposta: 8/30)
b) 1/5 x 3/4 x 5/3 = (R: 15/60)
c) ½ x 3/7 x 1/5 = (R: 3/70)
d) 3/2 x 5/8 x 1/4 = (R: 15/64)
e) 5/4 x 1/3 x 4/7 = (R: 20/84)
3) Efetue as multiplicações
a) 2 x 5/3 = (Resposta: 10/3)
b) 3 x 2/5 = (R: 6/5)
c) 1/8 x 5 = (R: 5/8)
d) 6/7 x 3 = (R: 18/7)
e) 2 x 2/3 x 1/7 = (R: 4/21)
f) 2/5 x 3 x 4/8 = (R: 24/40)
g) 5 x 2/3 x 7 = (R: 70/3)
h) 7/5 x 2 x 4 = (R: 56/5)
i) 8 x 2/3 = (R: 16/3)
j) 5/9 x 0/6 = (R: 0/54)
k) 1/7 x 40 = (R: 40/7)
l) 1/2x 1/3 x 1/4 x 1/5 = (R: 1/120)
m) 1 x 2/3 x 4/3 x 1/10 = (R: 8/90)
DIVISÃO
Vamos calcular 1/2 : 1/6
Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira fração pela inversa da
segunda
Assim: 1/2 : 1/6 = 1/2 x 6/1 = 6/2 = 3
Exemplos:
a) 2/3 : 5/2 = 2/3 x 2/5 = 4/15
b) 7/9 : 1/5 = 7/9 x 5/1 = 35//9
c) 3/7 : 4 = 3/7 x 1/4 = 3/28
Exercícios
1) Efetue as divisões
a) 3/4 : 2/5 = (Resposta: 15/8)
b) 5/7 : 2/3 = (R: 15/14)
c) 4/5 : 3/7 = (R: 28/15)
d) 2/9 : 7/8 = (R: 16/63)
e) 1/6 : 5/3 = (R: 3/30) ou (3/10)
f) 7/8 : 3/4 = (R: 28/24) ou (7/6)
g) 8/7 : 9/3 = (R: 24/63)
h) 4/5 : 2/5 = (R: 20/10) ou (2/1) ou ( 2)
i) 5/8 : 3/4 = (R: 20/24) ou (5/6)
j) 2/9 : 4/7 = (R: 14/36) ou (7/18)
PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS
Os problemas com números racionais absolutos são geralmente resolvidos da seguinte
forma:
1°) Encontrando o valor de uma unidade fracionária;
2°) obtendo o valor correspondente da fração solicitada.
Exemplo
Eu tenho 60 fichas, meu irmão tem 3/4 dessa quantidade. Quantas fichas têm o
meu irmão?
60 x 3/4 = 180/4 = 45
Resposta: O meu irmão tem 45 fichas
EXERCICIOS
1) Determine 2/3 de R$ 1200,00 (Resposta: 800,00)
2) Numa caixa existem 80 bombons. Calcule 2/5 desses bombons. (R: 32)
3) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quanto mede 3/7 dessa peça?
(R:18 m)
4) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km. Quantos quilômetros o carro
percorreu? (R: 360 km)
5) Numa viagem de 72 km, já foram percorridos 3/4 . Quantos quilômetros já foram
percorridos? (R: 54 km)
6) Um livro tem 240 páginas. Você estudou 5/6 do livro. Quantas paginasestudou? (R:
200)
7) Os 2/5 de um número correspondem a 80. Qual é esse número? (R: 200)
8) Os 3/4 do que possuo equivalem a R$ 900,00. Quanto possuo? (R: 1200,00)
9) Um time de futebol marcou 35 gols, correspondendo a 7/15 do total de gols do
campeonato. Quantos gols foram marcados no campeonato? (R: 75)
10) Para encher 1/5 de um reservatório são necessários 120 litros de água. Quanto é a
capacidade desse reservatório? (R: 600 litros)
11) Se 2/9 de uma estrada corresponde a 60 km, quantos quilômetros tem essa estrada?
(R: 270 km)
12) Para revestir 3/4 de uma parede foram empregados 150 azulejos. Quantos azulejos
são necessários para revestir toda a parede? (R: 200)
13) De um total de 240 pessoas,1/8 não gosta de futebol. Quantas pessoas gostam de
futebol?(R: 210)
14) Eu fiz uma viagem de 700 km. Os 3/7 do percurso foram feitos de automóvel e o
restante de ônibus. Que distância eu percorri de ônibus? (R: 400 km)
15) Numa prova de 40 questões um aluno errou 1/4 da prova. Quantas questões ele
acertou?(R: 30 )
16) Numa classe de 45 alunos, 3/5 são meninas. Quantos meninos há nessa classe? (R:
18)
17) Um brinquedo custou R$ 152,10,. Paguei 1/6 do valor desse objeto. Quanto estou
devendo?(R: 126,75)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÀFICAS
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•
Corti, Ana Paula, Aprender, Interdisciplinar, 1ªEdição, Editora Global, são Paulo
2013.
Santo André Luis Pereira
Mendes, Denise
Carrochano, Maria Clara.
Fernandes, Maria Lídia Bueno.
Paiva, Manoel. Vol. Único. Matemática. São Paulo: Moderna.
Giovanni, José Ruy e Bonjorno, José Roberto, Editora FTD.
Praticando Matemática- Álvaro Andrini (50, 60, 70 e 80 série) Editora do Brasil.
S/A.