Capítulo zero – Glossário
Esse capítulo é formado por temas indispensáveis à matemática que, certamente,
você deve Ter estudado de uma ou outra forma durante sua vida escolar.
Sempre que tiver dúvidas ao longo do restante do texto da apostila, recorra às
próximas páginas para esclarecê-las.
O texto foi escrito com carinho e tem a finalidade de acertar nossa linguagem,
tornando nossa comunicação mais ágil e farta.
Antes de mais nada, vamos explicar o que é glossário. Segundo Aurélio Buarque
de Hollanda, entre outros significados, glossário quer dizer “vocabulário que figura como
apêndice a uma obra, principalmente para elucidação de palavras e expressões regionais ou
poucos usadas (...)”1.
De acordo com os novos Parâmetros Curriculares Nacionais (os famosos PCN’s),
formulados a partir da Lei de Diretrizes e Bases da Educação número 9394 de 1996 que
orienta e fundamenta o ensino nos níveis fundamental, médio e superior, a matemática é tida,
hoje, como uma linguagem que possui um código de comunicação e tecnologia próprios.
Para que nenhum de nós “fale sozinho” – vamos compreender o significado de
algumas palavras e termos essenciais à matemática. Os elementos estão organizados em
ordem alfabética para facilitar a busca.
Bom trabalho para todos nós.
Glossário:
Adicionar: juntar duas ou mais quantidades (ou parcelas) numa só (soma ou total).
Algoritmo: regra geral para obtenção de um resultado.
Antecessor: aquele que veio antes; o anterior.
Associar: agrupar vários elementos em pequenos subgrupos.
Base da potência: é o número que será multiplicado.
Cancelar: é o mesmo que anular.
Comutar: é inverter a ordem; trocar a ordem.
Decompor em fatores primos: ou fatorar um número natural significa escrever o
número dado através de um produto onde todos os fatores são números primos.
Diferente: é aquele que não é igual.
1
Hollanda Ferreira, Aurélio Buarque. Novo Dicionário da Língua Portuguesa. 2. ed., São Paulo: Nova
Fronteira, 1985. p. 854.
Diferença: é o resultado da subtração.
Dividendo: é aquilo que será repartido ou dividido.
Divisão: é a subtração de parcelas iguais.
Divisor de um número natural: São números naturais que dividem exatamente o
número dado.
Divisor: é o número de partes em que se deseja repartir o todo.
Elemento neutro: é aquele que não tende a nenhum tipo de agrupamento.
Expoente: indica quantas vezes a base de una potência deverá ser multiplicada.
Fator: elemento que compõe a multiplicação.
Índice do radical: indica a potência do radicando.
Máximo Divisor Comum: o máximo divisor comum (mdc) de um conjunto de
números naturais é o maior entre os divisores comuns dos números tomados.
Mínimo Múltiplo Comum: Mínimo múltiplo comum (mmc) é o menor entre os
múltiplos de dois, ou mais, números naturais.
Minuendo: primeiro elemento da subtração (aquela de quem vamos retirar algo).
Módulo de um número inteiro: módulo ou valor absoluto de um número inteiro é
a distância entre esse número e a origem (o zero).
Multiplicação: é a soma de parcelas iguais.
Múltiplos de um número natural: Para determinar os múltiplos de um natural basta
multiplicá-lo por outro (s) número (s) natural (is).
Numeral: indicativo do número.
Número complexo: todo número da forma a + bi, onde a e b são reais e i é a
unidade imaginária.
Número composto: É o número natural que admite divisão exata por mais de um
número primo.
Número inteiro: também exprimem a idéia de quantidade mas vão mais além
disso, pois relacionam a quantidade a um determinado referencial, ou seja, todos os naturais,
seus inversos aditivos e o zero.
Número irracional: números que não podem ser expressos na forma de fração.
Número natural: exprimem a idéia de quantidade.
Números opostos ou simétricos: dois números são opostos ou simétricos quando
possuem o mesmo módulo.
Número primo: Um número natural é primo quando somente for divisível por ele
mesmo e pelo número 1.
Número racional: todo número que pode ser expresso na forma de fração.
Número real: é qualquer número racional ou irracional.
Número: quantidade.
Parcela: partes que compõem a adição.
Potência: é o resultado da potenciação.
Potenciação: é o produto de fatores iguais.
Produto: é o resultado da multiplicação.
Propriedade: é uma lei matemática. O mesmo que algoritmo.
Quociente: é o resultado da divisão.
Radical: é o símbolo que indica o cálculo de raízes.
Radicando: é o número de quem se extrairá a raiz.
Radiciação: é a operação inversa da potenciação.
Resto: é a sobra da divisão quando esta não é exata.
Soma ou total: é o resultado da adição.
Subtraendo: segundo elemento da subtração; é a quantia de se retira do
subtraendo.
Subtrair: é retirar.
Sucessor: é aquele que vem imediatamente depois; o próximo.
Exemplo 1: Máximo Divisor Comum - MDC
- O Algoritmo de Euclides (ou método das divisões sucessivas). Esse método
consistem em dividir o maior pelo menor número. Se a divisão for exata, o mdc é o menor
entre os dois números. Caso contrário continuamos a divisão até conseguir o resto zero. Veja
os exemplos:
120
80
40
60
40
20
90
20
10
40
1
2
20
10
2
10
40
2
0
0
0
- Método da decomposição em fatores primos: nesse caso, decompomos cada
número em fatores primos, anotamos os fatores comuns com os menores expoentes. O mdc
será dado pelo produto dos fatores comuns com seus menores expoentes. Veja o exemplo:
120 2
90 2
80 2
60 2
60 2
45 3
40 2
30 2
30 2
15 3
20 2
15 3
15 3
5 5
10 2
5 5
5 5
1
5 5
1
1
1
f ' ( x ) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
h
Exemplo 2: Mínimo Múltiplo Comum - MMC
Para calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) basta decompor os números envolvidos em
fatores primos. O mmc é formado pelo produto de todas as potências, com os maiores
expoentes, que compõem os números dados. Veja os exemplos:
120 2
90 2
80 2
60 2
60 2
45 3
40 2
30 2
30 2
15 3
20 2
15 3
15 3
5 5
10 2
5 5
5 5
1
5 5
1
1
120 = 2 3.3.5⎫
⎪
90 = 2.32.5 ⎪
4 2
⎬ ⇒ m.m.c (120,90,80,60) = 2 .3 .5 = 720
4
80 = 2 .5 ⎪
60 = 2 2.3.5 ⎪⎭
Dispositivo prático: decompor os números dados, simultaneamente:
120,
90,
80,
60 2
60,
45,
40,
30 2
30,
45,
20,
15 2
15,
45,
10,
15 2
15,
45,
5,
15 3
5,
15,
5,
5 3
5,
5,
5,
5 5
1,
1,
1,
1
1
mmc (120, 90, 80 60) = 24.32.5 = 720
Exemplo 3: Propriedades
9
Divisibilidade por 2: um número inteiro é divisível por 2 quando é um número par.
9
Divisibilidade por 3: um número inteiro é divisível por 3 quando a soma de seus
algarismos for múltipla de 3.
9
Divisibilidade por 6: um número inteiro é divisível por 6 quando for um número par
divisível por 3.
9
Divisibilidade por 5: um número inteiro é divisível por 5 quando tiver o último algarismo
igual a 5 ou igual a zero.
9
Um inteiro é divisível por dez quando termina pelo algarismo zero.
9
Adição: Se os números adicionados têm o mesmo sinal, efetuamos a adição e
conservamos o sinal. Se os números adicionados têm sinais diferentes, efetuamos a
diferença e conservamos o sinal do maior.
9
Em seguida mostraremos as propriedades de potenciação.
Propriedades:
1) a m .a n = a m + n
2) a m : a n = a m − n
3) (a m ) n = a mn
4) a 0 = 1
5) a1 = a
6) (a.b) n = a n .b n
n
an
⎛a⎞
7) ⎜ ⎟ =
⎝b⎠
bn
8)
n m
a
m
=an
1
9) a − n =
an
Capítulo 1 – Aritmética das Operações.
Esse capítulo prevê uma rápida revisão sobre expressões numéricas e algébricas,
partindo do trabalho exclusivamente aritmético até alcançarmos as propriedades de
logaritmos.
1.1 – Resumo Operacional
As operações com números, que podemos realizar, são:
•
Adição;
•
Subtração;
•
Multiplicação;
•
Divisão;
•
Potenciação;
•
Radiciação;
Adição e multiplicação possuem propriedades operatórias. Elas são:
•
Comutativa
•
Associativa
•
Elemento neutro
•
São passíveis de cancelamento de elementos
•
A soma (e o produto) de dois reais é sempre real.
A multiplicação possui, ainda, a propriedade distributiva com relação à adição,
isto é: a ( b + c) = ab + ac . Veja, em números: tanto faz resolver primeiro: 2(3 + 4) = 2.7 = 14
ou fazer 2.3 + 2.4 = 6 + 8 = 14 . Multiplicar o “2” que está fora do parênteses pelo “3” e depois
pelo “4” e depois somar os dois resultados é o significado de “distribuir” a multiplicação.
Importantíssimo:
hierarquia das operações: numa expressão numérica, resolveremos sempre, em
primeiro lugar, os operadores especiais: parênteses, colchetes e chaves, nessa ordem. Depois,
potências e radicais (da esquerda para a direita), a seguir, multiplicações e divisões, da
esquerda para a direita, e, por último, adições e subtrações, também da esquerda para a direita.
Exercícios:
1. Efetue:
a. 27 . 15 + 27 . 12 + 33 . 15 + 33 . 12 =
b.
1225 + 7,29 + 16
− 12 . 14 =
10
c. (100 − 36 + 16) : (35 + 48 − 3) =
d. ( 21 + 7) : (10 − 6).(11 − 4) =
e. 13 2 − [ 4 2 + 3.(10 2 − 8 2 )] + (5 2 − 12 : 3) : ( 2 2 + 3) =
2. Em uma divisão exata, o divisor é 37 e o quociente é 16. Qual é o dividendo?
3. Numa multiplicação, um dos fatores é 37 e o produto é 594. Qual é o outro
fator?
4. Associe V ou F a cada uma das seguintes afirmações:
a. 42 é divisível por 6 ( )
b. 54 é divisível por 8 ( )
c. 30 é divisível por 5 ( )
d. 12 é divisível por 7 ( )
e. 8 é divisível por 32 ( )
f. 6 é divisor de 14 ( )
g. 10 é divisor de 50 ( )
h. 11 é divisor de 121 ( )
5. Sem efetuar a divisão, verifique se o número 44022 é divisível por 6.
6. Escreva o conjunto de divisores do número 54.
7. Quanto dá
7
12
de 72?
8. Num auditório,
3
5
dos espectadores são mulheres. Qual a porcentagem de
mulheres no auditório?
Gabarito:
1. a) 1620 b) 42,665
c) 1 d) 49
e) 48
2. 592
3. 22
4. o número é par e a soma de seus algarismos é 12 que é múltiplo de 3.
5. V – F – V – F – F – F – V – V
6. D(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}
7. 42
8.
60%
1.2 – Expressões Algébricas
Uma expressão matemática formada somente por números recebe o nome de
expressão numérica.
Quando agregamos qualquer elementos literal à expressão, chamamos a expressão
obtida de expressão algébrica.
Veja o exemplo: adicionamos 3 ao dobro de um número e obtemos 57 por
resultado. Determine que número é esse.
Para chegarmos ao resultado, podemos fazer:
3 + 2. Número = 57
2 . número = 54
3 + 2n = 57
ou
número = 27
2n = 54
n = 27
1.2.1 – Operações com Expressões Algébricas
Todas as operações que realizamos com números são passíveis de serem
realizadas com expressões algébricas. Para tanto, devemos observar que a parte literal deve
ser exatamente a mesma.
Cada elemento formado por um número e uma (ou algumas) letra (s) chama-se
monômio.
Uma expressão algébrica pode conter um ou vários monômios. Uma expressão
formada por mais de um monômio recebe o nome de polinômio.
1.2.2 – Produtos Nótáveis
Chamamos de produtos notáveis a algumas propriedades que envolvem
polinômios.
Essas propriedades têm nomes especiais e normalmente se aplicam a expressões
formadas por dois termos. Os chamados binômios.
1.2.2.1 – Quadrado da soma
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
⇒
que se lê: “a soma de dois elementos elevada ao
quadrado é igual ao quadrado do primeiro elemento mais duas vezes o primeiro elemento
multiplicado pelo segundo mais o quadrado do segundo elemento”.
Esse resultado vale para expressões algébricas e numéricas. Veja o exemplo:
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2.2.3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 16 + 9 = 25
Embora seja mais fácil fazer: (2 + 3) 2 = 5 2 = 25 .
1.2.2.2 – Quadrado da diferença
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
⇒
que se lê: “a diferença de dois elementos elevada
ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro elemento menos duas vezes o primeiro elemento
multiplicado pelo segundo mais o quadrado do segundo elemento”.
Esse resultado vale para expressões algébricas e numéricas. Veja o exemplo:
(2 − 3) 2 = 2 2 − 2.2.3 + 3 2 = 4 − 12 + 9 = −8 + 9 = 1
Embora seja mais fácil fazer: (2 + 3) 2 = (−1) 2 = 1 .
1.2.2.3 – Diferença de Dois Quadrados
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) ⇒
que se lê: “a diferença de dois elementos elevados
ao quadrado é igual ao produto da soma pela diferença das raízes dos números envolvidos na
operação”.
Esse resultado vale para expressões algébricas e numéricas. Veja o exemplo:
2 2 − 3 2 = (2 + 3)(2 − 3) = 5.(−1) = −5
Embora seja mais fácil fazer: 2 2 − 3 2 = 4 − 9 = −5 .
1.2.2.4 – Fator Comum em Evidência
Fator comum é o elemento que se repete em dois ou mais monômios de uma
expressão algébrica. Colocá-lo em evidência significa aplicar a propriedade distributiva da
multiplicação, ao contrário.
Esse resultado vale para expressões algébricas e numéricas. Veja o exemplo:
2.5 + 3.5 = 5.( 2 + 3) = 5.5 = 25
Embora seja mais fácil fazer: 2.5 + 3.5 = 10 + 15 = 25 .
1.2.2.5 – Agrupamento
Acontece sempre que é possível identificar mais de um fator comum em uma
expressão algébrica.
Esse resultado vale para expressões algébricas e numéricas. Veja o exemplo:
2.5 + 3.5 + 4.6 + 4.7 = 5.( 2 + 3) + 4.(6 + 7) = 5.5 + 4.13 = 25 + 52 = 77
Embora seja mais fácil fazer: 2.5 + 3.5 + 4.6 + 4.7 = 10 + 15 + 24 + 28 = 77 .
1.2.3 – Exercícios
Fatore cada uma das expressões:
1. 7 a 2 b − 5ab 2 =
2. ab + ac + bx + cx =
3. x 2 − 4 =
4. (a + b) 2 − a 2 =
5. ( x − 1) 2 − ( x + 1) 2 =
6. x 4 + x 3 + 2 x 2 + x + 1 =
1.2.4 – Gabarito
Fatore cada uma das expressões:
1. ab (7 a − 5b)
2. ( a + x)(b + c)
3. ( x + 2)( x − 2)
4. 2ab + b 2
5. − 4 x
6. ( x 2 + 1)( x 2 + x + 1)
1.3 – Equações do Primeiro Grau
Equação é toda expressão algébrica determinada por uma igualdade.
Resolver uma equação significa calcular o valor da incógnita, ou seja, que número
pode substituir a letra na expressão de forma a manter a igualdade.
Equações de primeiro grau são expressões algébricas cujo expoente da parte literal
é igual a um.
Sistemas de equações são conjuntos formados por mais de uma equação com mais
de um a incógnita cada uma delas. O procedimento para solução segue o mesmo raciocínio
das equações.
Exemplos: Resolva as equações abaixo, sendo U = R:
a) 18 x − 25 = 65 ⇒ 18 x = 90 ⇒
x=
90
18
⇒
x=5
S={5}
3+ x 1⎛ x −7⎞
= ⎜
⎟
6
3⎝ 2 ⎠
b) x −
6x − 3 − x x − 7
=
6
6
5x − 3 = x − 7
4 x = −4
x = −1
S = { − 1}
1.3.1 – Exercícios
1) Resolva as equações abaixo:
a)
13x − 11 = 15x + 21
b)
3( x + 5) − ( x + 7) = 4(1 − x )
2) Determine o número real m, para que as expressões
3m + 7
2m + 9
e
sejam
8
6
iguais.
3) Toda a produção mensal de uma fábrica foi vendida a três lojas. Para a loja A,
foi vendida a metade da produção; para a loja B, foi vendida
2
da produção e para a loja C
5
foram vendidas 2500 unidades. Qual foi a produção mensal dessa fábrica?
4) Em uma partida de basquete, Marcelo acertou x arremessos de 3 pontos e (x +
2) arremessos de 2 pontos. Se Marcelo marcou 29 pontos nesse jogo, quantos arremessos de 3
pontos ele acertou?
5) Em um estacionamento há 21 veículos, entre carros e motos, num total de 66
rodas. Quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento?
6) Resolva as equações fracionárias a seguir, (U = R):
a)
5
1
−2=
4
x
( x ≠ 0)
b)
3x
2
= 3+
x−4
x
( x ≠ 4 e x ≠ 0)
1.3.1 – Exercícios
1) a) S = { − 16 } e b) S = {− 23 }
2) m = 9
3) 25.000
4) 5 arremessos
5) 12 carros e 9 motos
6) a) S = { 209 } e b) S = {− 54 }
1.4 – Inequações do Primeiro Grau
Inequação é toda expressão algébrica do primeiro grau determinada por uma
desigualdade ( >, ≥ , <, ≤ ).
Resolver uma inequação do primeiro grau significa calcular os valores da
incógnita, ou seja, que números podem substituir a letra na expressão de forma a manter a
desigualdade.
Inequações do primeiro grau classificam-se em: inequações simples, simultâneas,
produto e quociente. Para cada um dos tipos de inequações, há um tipo de procedimento para
solução.
1.4.1 – Inequações Simples:
Neste caso, basta isolar x.
Veja o exemplo: resolver a inequação 2x + 4 > 0
2x + 4 > 0 ⇒
2 x > −4 ⇒
x>−
4
2
⇒
x > −2
1.4.2 – Inequações Simultâneas:
Neste caso, devemos resolver as inequações “separadamente”, de duas em duas e
efetuar a intersecção das respostas, operando em forma de intervalo:
Veja o exemplo: Resolver a inequação: x ≤ 3x − 2 < x + 5
Primeiramente:
x ≤ 3x − 2 ⇒
x − 3 x ≤ −2 ⇒
− 2 x ≤ −2 ⇒
2x ≥ 2 ⇒
x ≥1
Em seguida:
3x − 2 < x + 5 ⇒
3x − x < 5 + 2 ⇒
2x < 7 ⇒
x < 3,5
Construindo os intervalos:
Logo, os valores de x que satisfazem x ≤ 3x − 2 < x + 5 são dados por
{x ∈ R | 1 ≤ x < 3,5}
1.4.3 – Inequações Produto:
Dadas as funções: f(x) e g(x), chamaremos de inequação produto a toda
inequação do tipo: f ( x ).g ( x ) > 0, f ( x ).g ( x ) < 0, f ( x ).g ( x ) ≥ 0, f ( x ).g ( x ) ≤ 0,
Para resolver este tipo de produto, estudaremos os sinais de f(x) e g(x) e
determinaremos o sinal do produto f(x).g(x) para obter o conjunto solução da equação.
Veja o exemplo:
Resolver a inequação ( x − 2)( −2 x − 4) ≥ 0
Fazendo f(x) = x – 2 e g(x) = –2x – 4, comecemos pelo estudo dos sinais de:
f(x) = 0 quando x = 2
f(x) > 0 quando x > 2
f(x) < 0 quando x < 2
e
g(x) = 0 quando x = –2
g(x) > 0 quando x < –2
g(x) < 0 quando x > –2
Colocando num quadro os sinais de cada função e determinando o sinal do
produto f(x).g(x), teremos:
Logo, o conjunto solução de ( x − 2)( −2 x − 4) ≥ 0 será { x ∈ R | −2 ≤ x ≤ 2}
1.4.4 – Inequações Quociente:
Dadas as funções: f(x) e g(x), chamaremos de inequação quociente a toda
inequação do tipo:
f (x)
> 0,
g( x )
f (x)
< 0,
g( x )
f (x)
≥ 0 ou
g( x )
f (x)
≤ 0, com
g( x )
g( x ) ≠ 0
Para resolver este tipo de quociente, estudaremos os sinais de f(x) e g(x) e
determinaremos o sinal do quociente
f (x)
para obter o conjunto solução da equação. A regra
g( x )
dos sinais é a mesma que a regra de sinais para o produto, isto é, para resolver a inequação
quociente procederemos da mesma forma que procedemos para resolver a inequação produto.
1.4.5 – Exercícios:
Determine o conjunto solução das inequações:
1) − 7 x + 21 ≤ 0
2) x − 1 < 2 x − 6 < 3x − 5
3) ( x − 1)( x − 4) < 0
4) ( x − 1)( x − 2)( x − 3) > 0
5)
x−2
≤0
4 − 2x
1.4.6 – Gabarito:
Determine o conjunto solução das inequações:
1) V = {x ∈ R | x ≥ 3}
2) V = {x ∈ R | x > 5}
3) V = {x ∈ R | 1 < x < 4}
4) V = {x ∈ R | 1 < x < 2 e x > 3}
5) V = φ
1.5 – Equações do Segundo Grau:
Vimos no item 1.4 que “Equação é toda expressão algébrica determinada por uma
igualdade.” E que “Resolver uma equação significa calcular o valor da incógnita, ou seja, que
número pode substituir a letra na expressão de forma a manter a igualdade.
Tais definições continuam valendo para o estudo de equações de segundo grau. A
única diferença é que equações de segundo grau são expressões algébricas cujo maior
expoente da parte literal é igual a dois.
Quando a equação é do primeiro grau bastava “isolar” a incógnita para resolver a
expressão. Para resolver equações do segundo grau utilizaremos a famosa fórmula de
Báskara: x =
− b ± b2 − 4ac
(que estudamos lá na oitava série, lembra-se?)
2a
Na fórmula:
“a” é o número que multiplica x2.
“b” é o número que multiplica x.
“c” é o termo independente.
Exemplo: Em x 2 − 5x + 6 = 0 , teremos: a = 1; b = –5 e c = 6.
Na Fórmula de Báskara, os valores de x seriam calculados assim:
5 +1 6
⎧
= =3
x1 =
⎪
− (−5) ± (−5) − 4.1.6 5 ± 25 − 24 5 ± 1 5 ± 1 ⎪
2
2
=
=
=
=⎨
x=
2.1
2
2
2
⎪x = 5 − 1 = 4 = 2
⎪⎩ 2
2
2
2
Outro exemplo: − 2 x 2 + 4 x = 0
Neste caso, temos: a = –2; b = 4; c = 0.
− 4 ± 42 − 4.(−2).0 − 4 ± 16 − 0 − 4 ± 0
=
=
=
−4
−4
2.(−2)
−4±0 −4
=
=
=1
−4
−4
x =
Resolvendo:
Observe que, nesse caso, somar zero ou subtrair zero não altera o valor do
numerador.
A expressão b 2 − 4ac da Fórmula de Báskara é chamada discriminante da
equação e é representada pela letra grega delta: ∆ .
Propriedade:
⎧Se ∆ > 0 então a equação possui duas raízes diferentes
⎪
⎨Se ∆ = 0 então a equação possui uma raiz
⎪Se ∆ < 0 então a equação não possui raízes
⎩
partes da curva!). Matematicamente, escrevemos: crescente: x > 2,5 e decrescente:
x < 2,5.
No outro exemplo, teríamos: y = −2x 2 + 4 x
Neste caso, o gráfico esperado é côncavo para baixo, a = –2.
1.5.1 – Inequações do Segundo Grau:
Para resolver inequações do segundo é necessário, antes, reescrever a expressão
na sua forma fatorada, ou seja, todo polinômio da forma ax 2 + bx + c pode ser reescrito na
forma a( x − x1 )( x − x2 ) onde x1 e x2 são raízes da equação ax 2 + bx + c .
Veja o exemplo:
x 2 − 5x + 6 = ( x − 3)( x − 2) pois 2 e 3 são raízes da equação dada.
2 x 2 − 10x + 8 = 2( x − 4)( x − 1) pois 1 e 4 são raízes da equação dada.
Após transformar a expressão dada na sua similar fatorada basta aplicarmos o
procedimento de resolução de inequações produto (visto na unidade anterior)
1.5.2 – Exercícios:
1) Resolva as seguintes equações do 2º grau em R:
a) 3 x 2 − 3 x − 6 = 0
b) x 2 − 2 x + 1 = 0
c) 2 x 2 − 3 x + 10 = 0
d) 3 x 2 − 27 = 0
e) 5 x 2 − 2 x = 0
f) − 2 x 2 + 6 x = 0
g) x 2 + 23 x − 2 = − 73 x + 2
h) (2 x + 1) 2 + (2 x + 3) 2 = 394
2) A soma de dois números é 19 e seu produto é 48. Determine tais números.
3) O produto de dois números ímpares positivos e consecutivos é 143. Quais são
estes números?
4) Num terreno retangular de área igual a 200 m 2 , um lado mede o dobro do
outro. Quais as medidas dos lados?
5) A soma dos quadrados de dois números positivos é 490; um dos números é o
triplo do outro. Que números são esses?
6) Um retângulo é equivalente (tem a mesma área) a um quadrado de lado igual a
18 cm. Aumentando-se os lados desse retângulo em 2 cm cada, a área aumenta 82 cm 2 .
Quais as dimensões do retângulo?
1.5.3 – Gabarito:
1) a) S = { –1, 2}; b) S = 1; c) S = φ d) {3, –3}; e) S = {0,
2
5
}; f) S = {0, 3}
g) S = {– 4; 1} h) S = {–8; 6}
2) 3 e 16
3) 11 e 13
4) 10 m e 20m
5) 21 e 7
6) 12 cm e 27 cm
1.6 – Logaritmos:
Seja α um número real positivo. Dado um inteiro n > 0, a potência a n é definida
como o produto de n fatores iguais ao número a . Ou seja:
a n = a.a.a.....a (n fatores)
Vale a propriedade fundamental:
a m .a n = a m + n (m, n) inteiros positivos).
Se quisermos definir a0 de modo que a propriedade acima continue válida,
seremos obrigados a convencionar que a0 = 1, a fim de termos a 0 .a n = a 0 + n = a n .
Procurando estender a noção de potência de modo a abranger expoentes negativos
e fazê-lo de forma a manter a validez da propriedade fundamental, devemos ter:
1
a − n .a n = a − n + n = a 0 = 1 , donde a − n =
an
Assim, a única maneira possível de definir a potência a − n (com n > 0, inteiro) de
tal forma que a relação a m .a n = a m + n continue verdadeira, mesmo quando m e n são inteiros
positivos ou negativos, consiste em pôr:
a −n =
1
an
.
Evidentemente, a relação fundamental vale para o produto de várias potências,
como por exemplo a m .a n .a p .a q = a m + n + p + q
Em particular, tomando um produto de p fatores iguais a a m , obteremos
a m a m .....a m = a mp , ou seja, (a m ) p = a mp
Procuremos agora, estender a noção de potência de um número real a > 0, de
modo a incluir expoentes fracionários, da forma r =
p
, onde p, q são inteiros e q > 0.
q
Queremos dar essa definição de modo a não destruir as propriedades anteriormente válidas.
p
q
Assim sendo, seja como for que definamos a , devemos ter
q
⎛ p⎞
⎜ ⎟
⎛ a q ⎞ = a ⎜⎝ q ⎟⎠.q = a p .
⎜ ⎟
⎝ ⎠
p
p
q
Logo, a deve ser o número cuja q-ésima potência é igual a a p . Por definição de
raiz, isto significa afirmar que a
p
q
=
q
1
q
p
a . Em particular, a =
q
a1 .
Agora, dado um número real a > 0, sabemos definir a potência a r , quer r seja
inteiro positivo nulo, negativo ou fracionário. Em suma, a r está definido, para todo número
racional r.
Observemos que, mesmo para r =
p
u
e s = fracionários (q > 0 e v > 0), vale a
q
v
propriedade: a r .a s = a r + s
Com efeito, sabemos que (a r )q = a p
e (a s ) v = a u . Logo
(a r .a s ) qv = (a r ) qv .(a s ) qv = a rqv .a sqv =
= a pv .a uq = a pv +uq .
Vemos que a r .a s é o número cuja qv-ésima potência vale a pv +uq . Isso quer dizer
que a .a = a
r
s
pv + uq
qv
Como
.
pv + uq p u
= + = r + s , temos a r .a s = a r + s .
qv
q v
De posse da definição e da propriedade fundamental das potências de expoente racional de
um número real a > 0, os livros tradicionais definem o logaritmo do seguinte modo:
Dado um número real a > 0, o logaritmo de um número x > 0 na base a é o
expoente y a que se deve elevar a de tal modo que a y = x . Escreve-se y = log a x e lê-se y é o
logaritmo de x na base a .
Vamos usar o sinal ⇔ para exprimir que as duas afirmações são equivalentes
(isto é, têm o mesmo significado). Podemos escrever, então:
log a x = y ⇔ a y = x .
Ou seja, dizer que y = log a x é o mesmo que afirmar que a y = x .
Desta definição ocorre imediatamente a propriedade fundamental dos logaritmos,
que é a seguinte: loga (ux ) = loga u + loga x .
Para provar isso, basta escrever log a u = v, log a x = y . Isto quer dizer que
a v = u e a y = x . Segue-se então que a v .a y = ux , ou seja, que a v + y = ux . Esta última
igualdade significa que v + y = log a (ux) , que log a (ux) = log a u + log a x .
O desenvolvimento sistemático da teoria das potências com expoente real
(racional e irracional), para servir de base ao estudo dos logaritmos, é um processo longo e
tedioso.
A maioria dos autores modernos prefere definir diretamente os logaritmos de
modo geométrico, com base na noção de área de uma figura plana. As demonstrações se
tornam mais simples e os conceitos mais intuitivos.
Resumidamente: logaritmo é um expoente em condições especiais de estudo!
1.6.1 – Propriedades de Logaritmos:
Com base nas definições e demonstrações acima descritas, apresentamos as
demais propriedades operatórios do logaritmo:
(a) log b a = c ⇔ b c = a
(b) log a a = 1 ⇔ a 1 = a
(c) log b 1 = 0 ⇔ b 0 = 1
(d) log b a + log b c = log b (a.c )
⎛a⎞
(e) log b a − log b c = log b ⎜ ⎟
⎝c⎠
(f) log b a n = n log b a
(g) log b n a =
(h)
1
log b a
n
log b a
= log c a (mudança de base)
log b c
1.6.2 – Exemplo de utilização das propriedades de Logaritmos:
Com base no que foi estudado a respeito de logaritmos, discuta os problemas:
• Uma pessoa deposita R$ 5000,00 a 4% de juros. Quanto ela terá (principal +
juros) após 10 anos: (i) se os juros são pagáveis anualmente, e (ii) se os juros são pagáveis
trimestralmente?
(i) y = x (1 + i) n = 5000(1 + 0,04)10
log y = log 5000 + 10 log1,04 = 3,6690 + (10)(0,0170) = 3,8690
y = R $7.396,67
0,04 40
i
(ii) y = x (1 + ) nK = 5000(1 +
)
4
k
log y = log 5000 + 10 log1,01 = 3,6690 + ( 40)(0,0043) = 3,8710
y = R $7.430,00
• Com base nas vendas esperadas e em dados para companhias similares, o
Diretor de Pessoal das Indústrias Nacionais predisse que o número de empregados pode ser
t
descrito pela equação N = 200(0,04) 0,5 onde N é o número de empregados após t anos.
Admitindo que ele está correto, quantos empregados as Indústrias Nacionais terão após 3
anos? Quantos empregados a companhia empregou inicialmente? Quantos empregará quando
atingir seu desenvolvimento máximo?
Resolução:
A companhia emprega (200)(0,04) = 8 pessoas inicialmente e 200 quando tiver
atingido seu tamanho máximo. Após 3 anos ela empregará:
N = (200)(0,04)0,5
3
log N = log 200 + 0,53 log 0,04
= 2,3010 + (0,0125)(−1,3979) = 2,1263
N = 133,75
ou aproximadamente 134 pessoas.
1.6.3 – Exercícios:
1. Calcule o valor de x:
a. log232 = x
b. log3 27 = x
c. log 7 49 = x
d. log 81 3 = x
e. log3 x = 0
f. log5 x = - 2
g. logx 16 = 2
h. logx 27 = 3
2. Um a pessoa aplicou R$ 1500,00 a juros compostos de 15% ao trimestre, durante um ano.
Escreva a função que descreve o montante como função do tempo n (em trimestres).
3. No exercício anterior, calcule o montante após:
a. um trimestre,
b. dois trimestres,
c. quatro trimestres.
4. Se, no exercício 3, os juros forem pagos em frações de tempo e o dinheiro ficar aplicado
apenas um mês qual será o montante?
5. Se, no exercício 3, o capital continuar aplicado por tempo indeterminado, quanto tempo,
após aplicação, a pessoa terá triplicado o seu capital?
6. A população P de um país tem seu crescimento dado pela lei P = 2000000.(1,03)n, onde n
é o número de anos que decorrem depois que esse país ultrapassar dois milhões de
habitantes. Ache a população estimada desse país para n = 2.
7. A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil
unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y =
1000.(0,9)x. Quantas unidades foram produzidas no segundo ano desse período recessivo?
8. Num certo ano, uma passagem aérea entre Rio de Janeiro e Lisboa custava mil dólares.
Daí para frente, esse preço vem sofrendo reajustes anuais de 10%. Expresse a lei que dá o
preço da passagem aérea entre Rio e Lisboa em função do tempo.
9. O preço de um automóvel novo é P0 (em reais). Ele sofre uma desvalorização de 10% ao
ano. Expresse a lei que dá o preço desse automóvel após n anos de uso.
10. O preço de uma mercadoria no início do ano era de R$ 50,00 e evoluiu com a inflação, de
acordo com a função P = 50.(1,02)n, onde P é o preço e n é o tempo em meses, a partir do
início de janeiro.
a) Calcule o preço dessa mercadoria no inicio de março, abril e junho.
b) Em que mês do ano o preço atingiu R$56,30?
c) Faça o gráfico dessa função.
11. Um laboratório, ao lançar um novo produto de beleza, estabelece uma função que dá a
quantidade y procurada do produto no mercado em função da quantidade x de caixas com
certa quantidade de amostras, que foram distribuídas entre donas-de-casa. A função
estabelecida foi y = 200.1,2x.
a) Qual foi a procura do produto antes da distribuição de amostras? E após a distribuição de
duas caixas? E após a distribuição de 4 caixas?
b) Quantas caixas de amostras devem ser distribuídas para que a quantidade procurada seja
2000?
12. Num depósito a prazo efetuado em um banco, o capital acumulado ao fim de certo tempo
é dado pela fórmula C = D(1+t)n, em que C representa ao capital acumulado, D o valor
depositado, t a taxa de juro ao mês e n o número de meses. Supõe-se que, ao final de cada
mês, os juros capitalizados são sempre acumulados ao depósito (sistema de juro
composto).
a) Para um depósito de R$ 200,00, a uma taxa de 4% ao mês, qual o capital acumulado ao
fim de 2 meses? E ao fim de 6 meses?
b) Se a taxa fosse de 5% ao mês, qual seria o capital acumulado nos mesmos períodos?
13. Considere que um certo país troque de moeda cada vez que a inflação acumulada atinge
900%. A nova moeda vale sempre 1000 vezes a moeda antiga. Com uma inflação de 25%
ao mês, em quantos meses esse país trocará de moeda?
14. Num certo país, a taxa de inflação vem se mantendo em 0,7% ao mês. Qual será a inflação
acumulada em 12 meses?
1.6.4 – Gabarito:
1. cálculo do valor de x:
a. x = 5
b. x = 3
c. x = 2
d. x =
1
4
e. x = 1
f. 0,04
g. x = 4
h. x = 3
2.
y = 1500.1,15n , onde n = prazo de aplicação
3. Montantes:
a. R$ 1725,00
b. R$ 1883,75
c. R$ 2281,31
d. R$ 2623,50
4. R$ 1571,53
5. 5 trimestres.
6.
2.121.800 habitantes;
7.
y = 1000.0,10 x , onde x representa o número de anos e y representa o preço da passagem;
8. $ 810,00
9.
y = P0 .0,9 x , onde x representa o número de anos e y representa o preço do carro,
desvalorizado;
10. considerando janeiro como ponto de partida, teremos:
a. março: R$ 52,02; abril: R$ 53,06 e maio: R$ 54,12
b. 6 meses: julho.
11. amostras:
a. 200 e 414
b. pelo menos 12 caixas.
12. Depósitos
a. R$ 216,32 e R$ 253,06
b. R$ 220,50 e R$ 268,02
13. Pelo menos 10 meses
14. 8,731066% no ano.
Capítulo 2 – Conjuntos
De acordo com Aurélio Buarque de Holanda Ferreira, “conjunto é qualquer
coleção de seres matemáticos”2.
Ampliaremos esta definição e diremos: conjunto é qualquer coleção de objetos
bem definidos.
A partir dessa última definição, podemos dizer que:
9
uma caixa de lápis de cor é um conjunto cujos elementos são lápis de cor;
9
Uma cesta de frutas é um conjunto cujos elementos são frutas;
Um álbum é um conjunto de fotografias.
Um conjunto é um grupo, um agrupamento, uma coleção de objetos.
Elementos são os objetos de uma mesma natureza que formam os conjuntos.
2.1 – Conceitos e notações:
Dizemos que:
9
Conjuntos são formados por elementos. Exemplo: A = {a, e, i, o, u}
9
Elementos pertencem – ∈ – ou não – ∉ − a conjuntos.
Exemplo: a ∈ A (o elemento a pertence ao conjunto A) – b∉ A (o elemento b
não pertence ao conjunto A).
Conjuntos podem ser representados por figuras. Essas figuras chamam-se
Diagramas de Venn (balões). Veja os exemplos:
Podemos dar nomes aos conjuntos. Esses nomes podem ser aleatórios quando
estudamos conjuntos sem rigor matemático: guarda-roupa, cômoda, baú, cesto, entre outros.
Matematicamente falando, conjuntos serão sempre denominados por letras maiúsculas do
alfabeto latino: A, B, C, etc..
Da mesma forma, podemos denominar elementos por nomes comuns: peças de
roupas, brinquedos, frutas; ou matematicamente: sempre utilizando letras minúsculas do
alfabeto latino: a, b, c, etc..
2
HOLANDA FERREIRA, Aurélio Buarque. Novo dicionário Aurélio da Língua Portuguesa. 2. ed., Rio de
Janeiro: Nova Fronteira, 1986, p. 455.
Para determinar um conjunto, podemos fazê-lo de duas maneiras diferentes:
9
Citando (ou enumerando) cada um de seus elementos. Exemplo:
A = {branco, negro, índio}
9
Descrevendo as características dos elementos que o compõe. Exemplo:
A = {três principais raças que formaram o povo brasileiro }
Chamamos de conjunto universo ao conjunto formado pela totalidade dos
elementos de uma mesma categoria.
Conjunto unitário é o conjunto formado por um único elemento.
Conjunto vazio é aquele que não tem elementos. Representamos o conjunto vazio
por { } ou ∅.
2.2 – Subconjuntos:
Dados dois conjuntos A e B, pode acontecer que todos os elementos de A sejam
também elementos de B. Nesse caso, dizemos que A está contido em B ( A ⊂ B ) ou que B
contém A ( B ⊃ A ), ou seja, A é subconjunto de B.
São propriedades dos conjuntos:
1. Todo conjunto está contido em si mesmo;
2. O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto;
Se A é subconjunto de B, podemos definir que:
9
Os elementos de B que não pertencem a A formam um novo conjunto que
chamaremos complementar de A em relação a B e representaremos por: C B A ;
Os elementos de B que não pertencem a A formam um novo conjunto que
também podemos designar como sendo a diferença B – A.
2.3 – Igualdade de Conjuntos:
Dizemos que dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.
2.4 – Subconjuntos definidos por uma propriedade:
Através da descrição da propriedade característica é comum descrevermos
subconjuntos de um determinado conjuntos universo.
Exemplo: Considerando por Universo o conjunto formado por todo tipo de frutas
tropicais, determinar o conjunto de frutas tropicais natas do Estado de Mato Grosso do Sul,
Brasil, exportadas para os EUA.
2.5 – Operações com conjuntos:
Dados dois conjuntos quaisquer, podemos definir:
9
União como sendo o conjunto formado por todos os elementos que formam o
conjunto A e formam o conjunto B;
9
Interseção como o conjunto formado pelos elementos comuns aos conjuntos A
9
Diferença: considerando B ⊂ A , diferença é o conjunto formado por todos os
e B.
elementos que estão no conjunto A e não estão em B;
9
Complementar de A em relação a B: é o conjunto formado por todos os
elementos que estão no conjunto A e não estão em B.
Ao número de elementos de um conjunto A, chamaremos cardinal do conjunto
A e representaremos por n(A).
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, então:
n ( A ∪ B) = n ( A ) + n ( B) − n ( A ∩ B) .
2.5.1 – Exercícios sobre conjuntos:
1. (IEZZI, 1990) Sendo A = {1, 9, 8}, B = {1, 5, 0} e C = { 2, 4, 5, 6, 8}, classifique em V
(verdadeiro) ou F (falso):
a)
1∈ A
b)
1∈ B
c)
1∈ C
d)
8∈ A
e)
8∈ B
f)
8∈ C
g)
0∈ A
h)
0∈ B
i)
0∈ C
j) A = {x | x é algarismo de 1989}
k) B = { x | x é algarismo do ano em que o Brasil foi descoberto}
l) C = { x | x é número par compreendido entre 0 e 10}
2. (IEZZI, 1990) Sendo o conjunto universo o conjunto dos Estados do Brasil e sendo
A = { x | x é Estado onde a língua oficial é o alemão}
B = { x | x é Estado onde não existem praias}
C = { x | x é Estado banhado pelo Oceano Pacífico}
D = { x | x é Estado cujo nome começa pela letra T}
Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso);
a)
A é vazio
b)
B é unitário
c)
C é vazio
d)
D é unitário
3. (BIANCHINI e PACCOLA, 1989) a determinação do tipo sangüíneo de uma pessoa
deve-se à presença (ou não) dos antígenos A e B no sangue. Se uma pessoa possuir
somente o antígeno A, ela é do tipo A; se tiver somente o antígeno B, ela é do tipo B; se
tiver ambos, é do tipo AB e se não tiver nenhum é do tipo O. Num grupo de 70 pessoas
verificou-se que 35 apresentam o antígeno A, 30 apresentam o antígeno B e 20
apresentam os dois antígenos. Quantas pessoas são do:
a. tipo A?
b. tipo B?
c. tipo AB?
d. Tipo O?
4. (BIANCHINI e PACCOLA, 1989) – (PUC/CAMPINAS-SP) Numa comunidade
constituída de 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: Esportes (E), Novela (N)
e Humorismo (H).
A tabela seguinte indica quantas pessoas assistem a esses programas.
Programas
Nº de telespectadores
E
N
H
EeN
NeH
EeH
E, N e H
400
1220
1080
220
800
180
100
Através desses dados, verifica-se o número de pessoas da comunidade que não assistem a
qualquer dos três programas:
a. 100
b. 200
c. 900
d. os dados do problema estão incorretos
2.5.2 – Gabarito:
1. Verdadeiro ou Falso
a. Verdadeiro
b. Verdadeiro
c. Falso
d. Verdadeiro
e. Falso
f. Verdadeiro
g. Falso
h. Verdadeiro
i. Falso
j. Verdadeiro
k. Verdadeiro
l. Falso
2. Verdadeiro ou Falso
a. Falso
b. Falso
c. Falso
d. Verdadeiro
3. Antígenos
a. 15
b. 10
c. 20
d. 25
4. 200 (alternativa b)
2.6 – Conjuntos Numéricos Importantes:
A matemática, ao longo dos anos, preocupou-se em estudar os diferentes tipos de
números e agrupou-os em diferentes conjuntos numéricos cada qual com diferente
propriedades operacionais.
Neste momento, nos interesse estudar alguns destes conjuntos: naturais, inteiros,
racionais, irracionais e reais. Os demais não têm aplicação direta no nosso estudo.
2.6.1 – Conjuntos dos Números Naturais:
Números naturais exprimem a idéia de quantidade e são representados por
símbolos especiais.
Os primeiros símbolos utilizados para contagem foram pauzinhos, risquinhos, nós,
conchas, ossos entalhados, entre outros. Com o passar do tempo, outros símbolos foram
utilizados para representar quantidades, pois pequenos objetos eram suficientes para contar
pequenas quantidades. Para quantidades maiores esses objetos eram inconvenientes.
O homem levou muito tempo para resolver esse impasse. Muito tempo, mesmo,
passou para que o homem percebesse que bastavam dez símbolos para representar qualquer
quantidade: os algarismos.
Os dez algarismos formam a base decimal de numeração.
De acordo com MALVEIRA (1993: 16-17): “Os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 …
formam a sucessão dos números naturais. Esta sucessão, indicada pela letra N, também é chamada
conjunto dos números naturais”.
O conjunto dos naturais é ordenado do menor para o maior elemento. Podemos
representá-lo através de uma reta ordenada:
Quanto mais à direita, MAIOR o número; quanto mais à esquerda, MENOR o
número. O conjunto dos números naturais é ordenado do menor para o maior número.
2.6.1.1 Operações com números naturais:
9
Adição: agrupamento dos objetos de duas ou mais coleções.
Propriedades:
1) Comutativa: a + b = b + a
2) Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
3) Elemento neutro – zero: a + 0 = a
4) A soma de dois naturais é sempre natural
5) Cancelamento: a = b ⇔ a + x = b + x
• Subtração: é a “operação” inversa da adição. No conjunto dos naturais, o
minuendo deve ser maior que o subtraendo.
Observação: numa expressão numérica, com adições e subtrações, efetuamos as
operações na ordem em que aparecem (da esquerda para a direita).
• Multiplicação: determina a soma de parcela iguais.
Propriedades:
1) Comutativa: a . b = b . a
2) Associativa: (a . b) . c = a . (b . c)
3) Elemento neutro – 1: a . 1 = a
4) O produto de dois naturais é sempre natural
5) Distributiva: a . (b + c) = ab + ac
5) Cancelamento: a = b ⇔ a . x = b . x
• Divisão: é a operação inversa da multiplicação.
Propriedades:
⎧D = dividendo
⎪d = divisor
⎪
1) Algoritmo da divisão: D = dq + r, onde ⎨
⎪q = quociente
⎪⎩r = resto
2) No conjunto dos números naturais, para que a divisão seja
possível, o dividendo deve ser maior que o divisor.
• Potenciação: é o produto de fatores iguais.
Propriedades:
1) a m .a n = a m + n
2) a m : a n = a m − n
3) (a m ) n = a mn
• Radiciação: é a operação inversa da potenciação.
Propriedades:
1)
n
a = b ⇔ bn = a
2) No conjunto dos números naturais, para que a potenciação
seja possível, o radicando deve ser sempre uma potência perfeita, de acordo com o índice do
radical.
2.6.1.2 Divisores e Múltiplos no conjunto dos números naturais:
9
Divisibilidade por 2: um número natural é divisível por 2 quando é um número
9
Divisibilidade por 3: um número natural é divisível por 3 quando a soma de
par.
seus algarismos for múltipla de 3.
9
Divisibilidade por 6: um número natural é divisível por 6 quando for um
número par divisível por 3.
9
Divisibilidade por 5: um número natural é divisível por 5 quando tiver o último
algarismo igual a 5 ou igual a zero.
9
Um natural é divisível por dez quando termina pelo algarismo zero.
2.6.2 Conjunto dos Números Inteiros:
Números inteiros também exprimem a idéia de quantidade mas vão mais além
disso, pois relacionam a quantidade a um determinado referencial.
Historicamente, podemos relacionar o surgimento do conjunto dos números
inteiros relativos aos primeiros livros de registros contábeis; débitos e créditos são um
excelente caminho para esclarecer “negativo” e “positivo”.
As principais características do Conjunto dos Números Inteiros são:
Os números precedidos pelo sinal “ + ” são denominados números inteiros
positivos. Os números precedidos pelo sinal “ – ” são denominados números inteiros
negativos.
Ao conjunto formado pelos inteiros positivos, inteiros negativos e o zero,
chamamos conjunto dos números inteiros e representamos pela letra Z.
Tal qual o conjunto dos números naturais, Z também é ordenado do menor para o
maior elemento.
Comparando o conjunto dos números naturais com o conjunto dos números
inteiros, podemos concluir que N ⊂ Z .
Destacamos os seguintes subconjuntos de Z:
Z* - inteiros não nulos;
Z + - inteiros não negativos;
Z − - inteiros não positivos;
Z*+ - inteiros positivos;
Z*− - inteiros negativos;
Representação geométrica
Quanto mais à direita, MAIOR o número; quanto mais à esquerda, MENOR o
número. O conjunto dos números inteiros é ordenado do menor para o maior número.
2.6.3.1 Operações com números inteiros:
9
Adição: agrupamento dos objetos de duas ou mais coleções. Se os números
adicionados têm o mesmo sinal, efetuamos a adição e conservamos o sinal. Se os números
adicionados têm sinais diferentes, efetuamos a diferença e conservamos o sinal do maior.
Propriedades:
1) Comutativa: a + b = b + a
2) Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
3) Elemento neutro – zero: a + 0 = a
4) A soma de dois inteiros é sempre inteira
5) Cancelamento: a = b ⇔ a + x = b + x
• Subtração: é a “operação” inversa da adição. No conjunto dos inteiros, o
minuendo e o subtraendo podem ser números quaisquer.
Observação: numa expressão numérica, com adições e subtrações, efetuamos as
operações na ordem em que aparecem (da esquerda para a direita).
• Multiplicação: determina a soma de parcela iguais.
Propriedades:
1) Comutativa: a . b = b . a
2) Associativa: (a . b) . c = a . (b . c)
3) Elemento neutro – 1: a . 1 = a
4) O produto de dois inteiros é sempre inteiro
5) Distributiva: a . (b + c) = ab + ac
5) Cancelamento: a = b ⇔ a . x = b . x
• Divisão: é a operação inversa da multiplicação.
Propriedades:
⎧D = dividendo
⎪d = divisor
⎪
1) Algoritmo da divisão: D = dq + r, onde ⎨
⎪q = quociente
⎪⎩r = resto
2) No conjunto dos números inteiros, para que a divisão seja
possível, o dividendo deve ser maior que o divisor.
• Potenciação: é o produto de fatores iguais.
Propriedades:
1) a m .a n = a m + n
2) a m : a n = a m − n
3) (a m ) n = a mn
• Radiciação: é a operação inversa da potenciação.
Propriedades:
1)
n
a = b ⇔ bn = a
2) No conjunto dos números inteiros, para que a potenciação
seja possível, o radicando deve ser sempre uma potência
perfeita, de acordo com o índice do radical.
2.6.2.2 Divisores e Múltiplos no conjunto dos números inteiros:
Valem as mesmas regras que no conjunto dos números naturais.
2.6.3 Conjunto dos Números Racionais:
Um número é dito racional quando é da forma
p
, p e q ∈ Z, q ≠ 0 .
q
As principais características do Conjunto dos Números Racionais são: Os
números precedidos pelo sinal “ + ” são denominados números racionais positivos. Os
números precedidos pelo sinal “ – ” são denominados números racionais negativos. Ao
conjunto formado pelos racionais positivos, racionais negativos e o zero, chamamos conjunto
dos números racionais e representamos pela letra Q.
Tal qual o conjunto dos números naturais e inteiros, Q também é ordenado do
menor para o maior elemento.
Comparando o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros
com o conjunto dos números racionais, podemos concluir que N ⊂ Z ⊂ Q .
Destacamos os seguintes subconjuntos de Q:
Q* - racionais não nulos;
Q + - racionais não negativos;
Q − - racionais não positivos;
Q *+ - racionais positivos;
Q *− - racionais negativos;
Representação geométrica
Quanto mais à direita, MAIOR o número; quanto mais à esquerda, MENOR o
número. O conjunto dos números racionais é ordenado do menor para o maior número.
2.6.4 Operações com números racionais:
9
Adição: agrupamento dos objetos de duas ou mais coleções. Se os números
adicionados têm o mesmo sinal, efetuamos a adição e conservamos o sinal. Se os números
adicionados têm sinais diferentes, efetuamos a diferença e conservamos o sinal do maior.
Propriedades:
1) Comutativa: a + b = b + a
2) Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
3) Elemento neutro – zero: a + 0 = a
4) A soma de dois racionais é sempre racional
5) Cancelamento: a = b ⇔ a + x = b + x
Em especial, para adicionar dois números racionais é necessário que se
compreenda:
‰
Mínimo Múltiplo Comum;
‰
Classes de equivalência;
‰
Redução de frações ao mesmo denominador;
• Subtração: é a “operação” inversa da adição. No conjunto dos racionais, o
minuendo e o subtraendo podem ser números quaisquer. Para subtrair dois números racionais
utilizamos o mesmo procedimento da adição: reduzimos as frações ao mesmo denominador
para depois operá-las.
Observação: numa expressão numérica, com adições e subtrações, efetuamos as
operações na ordem em que aparecem.
• Multiplicação: determina a soma de parcela iguais.
Propriedades:
1) Comutativa: a . b = b . a
2) Associativa: (a . b) . c = a . (b . c)
3) Elemento neutro – 1: a . 1 = a
4) O produto de dois racionais é sempre racional
5) Distributiva: a . (b + c) = ab + ac
5) Cancelamento: a = b ⇔ a . x = b . x
• Divisão: é a operação inversa da multiplicação.
Propriedades:
⎧D = dividendo
⎪
1) Algoritmo da divisão: D = dq, onde ⎨d = divisor
⎪q = quociente
⎩
2) No conjunto dos números racionais, dividendo e divisor
podem ser números quaisquer.
• Potenciação: é o produto de fatores iguais.
Propriedades:
1) a m .a n = a m + n
2) a m : a n = a m − n
3) (a m ) n = a mn
• Radiciação: é a operação inversa da potenciação.
Propriedades:
1) n a = b ⇔ b n = a
2) No conjunto dos números racionais, para que a potenciação
seja possível, o radicando deve ser sempre uma potência
perfeita, de acordo com o índice do radical.
Uma outra característica importante do conjunto dos números racionais é o fato de
ele ser formado por todos os números naturais, números inteiros, números fracionários
propriamente ditos, números decimais finitos e dízimas periódicas.
2.6.5 Conjunto dos Números Irracionais:
“Todo número em que a parte decimal é finita infinita e periódica
pode ser escrito na forma
a
, com a e b inteiros e b ≠ 0 .
b
E se a parte decimal de um número for infinita e não periódica, como
escrevê-la na forma de fração?
Vamos considerar, por exemplo, o valor aproximado de
2
( 2 ≈ 1,4142135... ) e tentar obter a sua fração geratriz.
Nesse caso, não há formação de período.
2 e obtemos:
Fazemos n =
10 2 ≈ 14,142135... , multiplicando a igualdade por 101; e
2 ≈ 1,4142135... , multiplicando a igualdade por 100.
10 2 = 14,142135...
− 2 = 1,4142135...
Subtraímos os produtos:
9 2 = 12,7279215...
Portanto,
2=
12,7279215...
(O numerador não é um número
9
decimal infinito e não periódico).
Observe que o valor de
2 continua sendo um número decimal
infinito e não periódico.
Como todo número racional pode ser escrito na forma
inteiros e b ≠ 0 , então
Dizemos que
a
, com a e b
b
2 não é racional.
2 é um número irracional. […]
Todo número que tem uma representação decimal infinita e não
periódica é um número irracional.”
Chamamos de conjunto de números irracionais ao conjunto formado por todos os
números cuja representação decimal é infinita e não periódica.
Nesse nível de aprendizado, não discutiremos as operações dentro do conjunto dos
números irracionais.
2.6.6 Conjunto dos Números Reais:
Chamamos de conjunto dos números reais à união do conjunto dos números
racionais com o conjunto dos números irracionais.
2.6.7 Operações com números reais:
9
Adição: agrupamento dos objetos de duas ou mais coleções.
Propriedades:
1) Comutativa: a + b = b + a
2) Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
3) Elemento neutro da adição – zero: a + 0 = a
4) A soma de dois reais é sempre real
5) Cancelamento: a = b ⇔ a + x = b + x
• Subtração: é a “operação” inversa da adição. No conjunto dos reais, o
minuendo e o subtraendo podem ser números quaisquer.
Observação: numa expressão numérica, com adições e subtrações, efetuamos as
operações na ordem em que aparecem.
• Multiplicação: determina a soma de parcela iguais.
Propriedades:
1) Comutativa: a . b = b . a
2) Associativa: (a . b) . c = a . (b . c)
3) Elemento neutro – 1: a . 1 = a
4) O produto de dois reais é sempre real.
5) Distributiva: a . (b + c) = ab + ac
5) Cancelamento: a = b ⇔ a . x = b . x
• Divisão: é a operação inversa da multiplicação.
Propriedades:
⎧D = dividendo
⎪d = divisor
⎪
1) Algoritmo da divisão: D = dq + r, onde ⎨
⎪q = quociente
⎪⎩r = resto
2) No conjunto dos números reais, toda divisão é possível, desde
que o divisor seja diferente de zero.
• Potenciação: é o produto de fatores iguais.
Propriedades:
1) a m .a n = a m + n
2) a m : a n = a m − n
3) (a m ) n = a mn
4) a 0 = 1
5) a1 = a
6) (a.b) n = a n .b n
n
an
⎛a⎞
7) ⎜ ⎟ =
⎝b⎠
bn
8)
n m
a
m
=an
1
9) a − n =
an
• Radiciação: é a operação inversa da potenciação.
Propriedades:
1) n a = b ⇔ bn = a
2) n a.b = n a .n b
a na
3) n =
b nb
4) n m a = n.m a
5)
n n.m
a
= am
n.m m + n
6) n a .m a =
a
2.6.8 Exercícios:
1. Escreva como uma única potência:
a. 24 .23.2
b. 3.35.37
c. ax.a2x.a
d. 43.47
e. 52/55
f. (23)4
g. (3.5)2
h. (-1)0
i. (-2)5
j. (-3)2
k. (2/5)2
l. (3/4)-2
m. (-1/3)3
n. (-2/3)-1
o. (-2/3)-2
2. Calcule o valor de x em: 5x. 53: 55 = 52.
3. 3y : 33 = 310, nesse caso o valor de y é?
4. Se a = 3 então aa = ?
5. 47= 43 . 4x. Nesse caso x = ?
6. (4x)2 = 48. Nesse caso x = ?
7. 2x = 1/8. Nesse caso x =
8. Observe que 0,3 =
3
= 3.10-1 que é a representação de 0,3 como potência de base 10. Da
10
mesma forma podemos escrever 300 como 3.100 = 3.102 que é o número 300 escrito
como potência de base 10, e ainda 1050 = 105.10 ou 10,5.102. Agora represente os
números abaixo como potências de base 10:
a. 0,107
b. 0,021
c. 1,32
d. 200
e. 7200
f. 17300
g. 0,0003
h. 100000
i. 70500000
j. 0,00000203
9. Resolva as seguintes equações exponenciais:
a. 4x = 2
b. 9 x =
1
3
c. 9x = 81
d. 2x = 32
e. 25x = 5
2.6.9 Gabarito
1.
Reduzir a uma só potência:
a. 28 ou 256
b. 313 ou 1594323
c. a 3x +1
d. 410
ou 1048576
e. 5−3 ou 0,008
f.
212
g. 152
ou 4096
ou
225
h. 1 (qualquer número real, diferente de zero, elevado a zero é igual a um)
i.
− 32
j. 9
k. 0,16
l.
16
9
m.
−1
27
n. − 1,5
o. 2,25
2. x = 4
3. y = 13
4. 27
5. x = 4
6. x = 4
7. x = – 3
8. potências de 10
a. 107.10−3 ou 10,7.10−2
b. 21.10−3 ou 2,1.10−2
c. 132.10−2 , entre outros.
d. 2.10 2 , entre outros.
e. 7,2.103 , entre outros.
f. 1,73.104 , entre outros.
g. 3.10 −4 , entre outros.
h. 1.105 , entre outros.
i.
7,05.107 , entre outros.
j.
203.10 −8 , entre outros.
ou 1,07.10−1
ou 0,21.10−1
9. Equações exponenciais:
a. x = 2
b. x =
−1
2
a. x = 2
b. x = 5
c. x = 0,5
2.7 – Representação Geométrica de R:
Representação geométrica do conjunto dos números reais é sempre feita na reta
ordenada, orientada da esquerda para a direita, sobre a qual, escolhemos um ponto e
chamamos de zero, ou, atribuímos o valor zero.
Quanto mais à direita, MAIOR o número; quanto mais à esquerda, MENOR o
número. O conjunto dos números reais é ordenado do menor para o maior número.
2.8 – Valor Absoluto de um número real:
Chamamos de módulo ou valor absoluto de um número real, a distância entre
esse número e a origem (o zero).
Representamos o módulo por duas barras verticais.
⎧a , a ≥ 0
⎩− a , a < 0
Propriedade: a = ⎨
Dizemos que dois números são opostos ou simétricos quando possuem o mesmo
módulo.
Com relação ao conjunto dos números inteiros, podemos dizer que:
1) todo número positivo (representado à direita do número zero) é maior do que
zero;
2) todo número negativo (representado à esquerda do número zero) é menor do
que zero;
3) todo número positivo é maior do que qualquer número negativo;
4) entre dois números inteiros positivos, o menor deles é o que apresenta o menor
módulo ou valor absoluto;
5) entre dois números inteiros negativos, o menor deles é o que apresenta o maior
módulo ou valor absoluto;
2.9 – Subconjuntos da reta:
Os subconjuntos dos números reais determinados por desigualdades são chamados
intervalos.
Vamos estudar alguns desses intervalos. Para isso iremos considerar dois números
reais a e b, com a < b.
• Intervalo fechado: é qualquer conjunto do tipo {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} , geralmente
indicado por [a; b]. Então [a; b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} . Os números reais a e b são chamados
extremos do intervalo.
Representação na reta:
Observação: a notação “ • ” indica que o extremo pertence ao intervalo.
Exemplo:
O intervalo fechado de extremos −
1
e 2 é escrito
2
1
⎡ 1 ⎤ ⎧
⎫
⎢ − 2 ; 2⎥ = ⎨ x ∈ R | − 2 ≤ x ≤ 2⎬ e
⎣
⎦ ⎩
⎭
representado na reta numérica assim:
• Intervalo aberto: é qualquer conjunto do tipo {x ∈ R | a < x < b} , geralmente
indicado por ]a; b[. Então ]a; b[ = {x ∈ R | a < x < b} .
Representação na reta:
Observação: a notação “ ° ” indica que o extremo não pertence ao intervalo.
Exemplo:
O intervalo aberto de extremos − 5 e − 2 é escrito:
]−
[ {
5; − 2 = x ∈ R | − 5 < x < − 2
} e é representado na reta numérica assim:
• Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: são conjuntos do tipo
{x ∈ R | a ≤ x < b} , geralmente indicado por [a; b[. Então [a; b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b} .
Representação na reta:
Exemplo:
O intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de extremos 3 e 10 é escrito:
[3;
[ {
10 = 3 ≤ x < 10
} e é representado na reta numerada assim:
• Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita: são conjuntos do tipo
{x ∈ R | a < x ≤ b} , geralmente indicado por ]a; b]. Então ]a; b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} .
Representação na reta:
Exemplo:
O intervalo aberto à esquerta e fechado à direita de extremos –5 e 5 é escrito:
]− 5; 5] = {x ∈ R | −5 < x ≤ 5} e representado na reta numérica assim:
Sendo a um número real, também são intervalos os seguintes subconjuntos:
[ a; + ∞ [ = {x ∈ R | x ≥ a}
]a; + ∞ [ = {x ∈ R | x > a}
] − ∞; a ] = {x ∈ R | x ≤ a}
] − ∞; a[ = {x ∈ R | x < a}
] − ∞; + ∞ [ = R
Observação: aos símbolos − ∞ e + ∞ lemos, respectivamente, menos infinito e
mais infinito.
2.10 – Aplicações:
Operações com intervalos:
Vejamos através de exemplo a interseção de intervalos. (Lembre-se: interseção é
o que existe em comum entre os conjuntos dados!)
Exemplo: Efetue: ] − 2; 4 ] ∩ [ 2; 6 ]
Logo, ] − 2; 4 ] ∩ [ 2; 6 ] = [ 2; 4 ]
Vejamos através de exemplo a união de intervalos. (Lembre-se: união é o conjunto formado
com todos os elementos dos conjuntos dados!)
Exemplo: Efetue: ] − 2; 4 ] ∩ [ 2; 6 ]
2.11 – Exercícios:
1) Determine os seguintes intervalos, conforme o modelo:
Intervalo fechado de extremos 2 e 8 Solução: [2; 8] = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 8}
a) Intervalo aberto de extremos –5 e 4
b) Intervalo fechado de extremos 0 e 5
c) intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de extremos –8 e –2
d) intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de extremos –5 e 5
2) Representa na reta real os intervalos:
a) [-3, 2]
b) ]2, 5]
c) ]–1; 4[
d) [–8; –2[
e) ] − ∞; 3]
f) ]2,+∞[
g) ] − ∞; 0]
h) {x ∈ R | −4 ≤ x ≤ 2}
i) {x ∈ R | 0 < x ≤ 3}
j) {x ∈ R | x > −4}
k)
{x ∈ R | x ≤ 5}
3) Determine os seguintes intervalos representados na reta real:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4) Determine a interseção dos seguintes intervalos:
a) ] − 5; 3 [ ∩ [1; 8]
b) ] 0; 2 [ ∩ ] − 1; 4[
c) [ −5; 6 ] ∩ [ 6; 40 ]
d) [ −4; 4] ∩ ]4; 6]
e) ] − 2 ; 3] ∩ ] 5; 30 ]
f) ] − ∞; 3] ∩ ]2; ∞ [
5) Determine a reunião dos seguintes intervalos:
a) [ 1; 3] ∪ ] 2; 4 ]
d)
[ 1; 2 ] ∪ [ 2; 3 [
b)
[−3; 3 [ ∪ [ 3; 5 ]
e)
] − ∞; 4 ] ∪ [ 3; 6 [
c)
] − 2; 2 [ ∪ [ 3; 5 ]
f)
] − ∞, 0 ] ∪ ] 0; + ∞ [
2.12 – Gabarito:
1) respondendo como no modelo:
a) ] − 5,4 [ = {x ∈ R | −5 < x < 4}
b) [0, 5 ] = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 5}
c) [−8,−2 [= {x ∈ R | −8 ≤ x < −2}
d) ] − 5,5 ] = {x ∈ R | −5 < x ≤ 5}
2) Representando na reta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
3) Respondendo:
a) [ 2, 8 ] = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 8}
b) ] − 3,3 [= {x ∈ R | −3 < x < 3}
c) [−6,4 [= {x ∈ R | −6 ≤ x < 4}
d) [5,+∞ [= {x ∈ R | x ≥ 5}
e) ] − ∞,−3[= {x ∈ R | x < −3}
f) ] − 6 , 3 ] = {x ∈ R | − 6 < x ≤ 3}
4) efetuando a intersecção:
a) [1, 3[
b) ] − 1, 2 [
c) {6}
d) φ
e) φ
f) ]2, 3 ]
5) efetuando a união:
a) [1, 4 ]
b) [−3, 5 ]
c) ] − 2; 2 [ ∪ [ 3; 5 ]
d) [1, 3[
e) ] − ∞, 6 [
f) ] − ∞, + ∞ [
Capítulo 3 - Funções
Antes de introduzirmos o conceito formal de funções, falaremos sobre as
estruturas matemáticas que suportam tal teoria. Vamos, antes, construir o conceito de produto
cartesiano e relação binária entre os elementos de dois conjuntos.
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chamamos de produto cartesiano de A
por B ( e indicaremos A x B) ao conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b) onde
a ∈ A e b ∈ B.
Antes de mais nada, quando tomamos, ao acaso, um elemento de cada um dos
conjuntos estudados, dizemos que formamos um par. Par é todo conjunto formado por dois
elementos. Ampliando esse conceito, poderemos falar de par ordenado que, segundo IEZZI
(1193, p. 65) pode ser assim determinado: “Admitiremos a noção de par ordenado como
conceito primitivo(*). Para cada elemento a e cada elemento b, admitiremos a existência de
um terceiro elemento (a, b) que denominamos par ordenado, de modo que se tenha (a, b) =
(c, d) ⇔ a = c e b = d”.
Voltando ao produto cartesiano:
A x B = {(a , b), a ∈ A e b ∈ B}
Se A ou B forem vazios o produto A x B também será vazio.
Propriedades:
Se A ≠ B ⇒ A x B ≠ B x A
Se n(A) = n e n(B)= m ⇒ n(A x B) = nm
Se A ou B for infinito e nenhum deles vazio ⇒ A x B é infinito.
Uma relação binária é um subconjunto do produto cartesiano. Dizemos que “R é
uma relação binária de A em B se, e somente se, R ⊂ A x B .”
Utilizaremos a seguinte nomenclatura:
A = conjunto de partida ou domínio da relação R.
B = conjunto de chegada ou contradomínio da relação R.
Quando o par (x, y) pertence à relação R, escrevemos xRy (lê-se: ‘x erre y’), isto
é, ( x , y) ∈ R ⇔ xRy .
3.1 Conceito de função:
Função é uma relação binária onde todo elemento do primeiro conjunto (domínio)
deve formar par com elemento do contradomínio, mas cada elemento do domínio deve formar
um único par.
Para indicar uma função, utilizaremos uma entre as seguintes notações:
f :A → B
x a f (x)
f
ou
A ⎯⎯→ B
x a f (x)
ou
f : A → B t.q.
y = f (x)
Segundo IEZZI e MURAKAMI (1994, p. 85) “Se (a , b) ∈ f (...) o elemento b é
chamado imagem de a pela aplicação f ou valor de f no elemento a, e indicamos: f(a) = b
que se lê ‘f de a é igual a b’ ”.
3.1.1 Domínio, Contradomínio e Imagem:
Conforme IEZZI e MURAKAMI (1994, p. 88-90)
“Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x ∈ A para os quais existe
y ∈ B tal que ( x , y) ∈ f . Como, pela definição de função, todo elemento de A tem essa
propriedade, temos nas funções:
Domínio = conjunto de partida
Isto é, D = A
“Chamamos de contradomínio o conjunto CD dos elementos y ∈ B para os quais
existe x ∈ A tal que ( x , y) ∈ f . Como, pela definição de função, todo elemento de A tem essa
propriedade, temos nas funções:
Contradomínio = conjunto de chegada
Isto é, CD = A
Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y ∈ B para os quais existe
x ∈ A tal que ( x, y) ∈ f , portanto:
Imagem é o subconjunto do contradomínio
Isto é, Im ∈ B
3.2 Igualdade de funções
Dizemos que duas funções f e g ( f : A → B e g : C → D) são iguais quando
apresentam domínios iguais; contradomínios iguais e f(x) = g(x), ∀x ∈ D .
3.3 Operações com funções
drosofi
3.4 Considerações sobre o domínio de f:
Segundo Gelson Iezzi (1994)
“Domínio das funções numéricas:
As funções que apresentam maior interesse na matemática são as funções
numéricas, isto é, aquelas em que o domínio A e o contradomínio B são
subconjuntos de R. as funções numéricas são também chamadas funções
reais de variável real.
Observemos que uma função f fica completamente definida quando são
dados o seu domínio D, o seu contradomínio e a lei de correspondência y =
f(x).
Quando nos referimos à função f e damos apenas a sentença aberta y = f(x)
que a define, subentendemos que D é o conjunto dos números reais x cujas
imagens pela aplicação f são números reais, isto é,, D é formado por todos os
números reais x para os quais é possível calcular f (x).
x ∈ D ⇔ f ( x ) ∈ R ”.
3.5 Representação gráfica:
A representação gráfica do par ordenado dá-se através do Plano Cartesiano.
Plano Cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares entre si, no ponto 0.
(Lembre-se: duas retas paralelas ou concorrentes determinam um plano).
Nestas condições:
“dado um ponto P qualquer, P ∈ α , conduzamos por ele duas retas:
x ' // x e y' // y . Denominamos P1 a interseção de x com y’ e P2 a
intersecção de y com x’.
Nessas condições definimos:
Abscissa de P é o número real xP representado por P1.
Ordenada de P é o número real yP representado por P2.
Coordenadas de P são os números reais xP e yP, geralmente indicados na
forma de um par ordenado (xP, yP) em que xP é o primeiro termo.
Eixo das abscissas é o eixo x (ou Ox)
Eixo das ordenadas é o eixo y (ou Oy)
Sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular) é o
sistema xOy.
Origem do sistema é o ponto 0.
Plano cartesiano é o plano α .” (Iezzi, 1994)
Veja a figura:
Entre o conjunto dos pontos P do plano α e o conjunto de pares ordenados (xP,
yP), existe uma correspondência biunívoca, isto é, cada ponto corresponde a um único par e
cada par corresponde a um único ponto.
3.6 Funções Usuais:
De acordo com sua lei de formação, podemos classificar funções como:
⎧cons tan te
⎪linear
⎪
Função de primeiro grau: ⎨
⎪identidade
⎪⎩afim
Função quadrática ou do segundo grau;
Função modular;
Função exponencial;
Função logarítmica;
Funções trigonométricas, entre outras. Estas são as funções mais usuais da
matemática.
3.6.1 Função do Primeiro Grau:
Chamamos de função do primeiro grau a toda expressão da forma y = ax + b
com a , b ∈ R . São exemplos de funções do primeiro grau:
y = 3x + 4;
y = −2 x + 8;
y = − x − 3;
y = 0,5x − 3;
y=
3
x;
4
y=4
As funções de primeiro grau são classificadas de acordo com os valores de a e b:
Se a e b são ambos diferentes de zero, dizemos função afim;
Se a é diferente de zero e b igual a zero, dizemos função linear;
Se a é igual a 1 e b igual a zero, dizemos função identidade;
Se a é igual a zero e b diferente de zero, dizemos função constante.
3.6.1.1 Domínio, Contradomínio e Imagem da função do primeiro grau:
A função do primeiro grau não apresenta restrições naturais, tanto o domínio
como o contradomínio são representados pelo conjunto dos números reais, ou seja,
D = CD = R . Como para todo valor real de x , da função de primeiro grau, existirá um
correspondente y também real, dizemos que a imagem da função de primeiro grau também é
real, ou seja, Im = R .
Importante: no caso da função constante embora o domínio seja real a imagem
será dada por Im = K , onde K é o valor de b.
3.6.1.2 Gráfico:
O gráfico da função de primeiro grau será sempre uma reta.
Quando o coeficiente a = 0 → reta horizontal (paralela ao eixo x) passando por
y = b.
Quando o coeficiente a for positivo (a > 0) → reta inclinada para a direita.
Quando o coeficiente a for negativo (a < 0) → reta inclinada para a esquerda.
Veja os exemplos:
Construir o gráfico da função y = 3x + 2 . Observe, o coeficiente a = 3, ou seja,
(a > 0) → reta inclinada para a direita.
Construir o gráfico da função y = − x + 1 . Observe que o coeficiente a = –1, ou
seja, (a < 0) → reta inclinada para a esquerda.
Construir o gráfico da função y = 3. Observe que escrever y = 3 é o mesmo que
escrever y = 0x + 3. Note que o coeficiente a = 0, ou seja, reta horizontal passado por y = 3.
3.6.1.3 Zeros ou raízes da função de primeiro grau:
Chamaremos de zero ou raiz da função de primeiro grau ao valor de x que torna
y = 0 ( f ( x ) = 0) .
Assim teremos:
f (x) = 0
⇒
ax + b = 0
⇒
ax = − b
⇒
x=−
b
a
Exemplo: determine a raiz da função y = 2 x + 6
2x + 6 = 0 ⇒
2 x = −6 ⇒
x=
−6
2
⇒
x = −3
3.6.1.4 Estudo do sinal da função do primeiro grau:
Estudar os sinais da função do primeiro grau significa determinar os valores reais
de x para os quais se tenha y > 0, y < 0, y = 0.
Sabemos que para x = −
b
teremos y = 0.
a
Para conhecermos os valores de x de modo que obtenhamos y > 0 ou y < 0,
devemos considerar o sinal do termo a.
Quando a > 0, a função é crescente.
b
⎧
⎪⎪x < − a ⇒ y < 0
Nesse caso, teremos: ⎨
⎪x > − b ⇒ y > 0
⎪⎩
a
Quando a < 0, a função é decrescente.
b
⎧
⎪⎪x < − a ⇒ y > 0
Nesse caso, teremos: ⎨
⎪x > − b ⇒ y < 0
⎪⎩
a
Quando a = 0, a função é constante.
Em resumo:
Função do Primeiro Grau é toda expressão do tipo: f ( x ) = y = ax + b, a , b ∈ R
Se a = 0 e b ≠ 0 ⇒ f ( x ) = b ⇒ f é constante;
Se b = 0 e a ≠ 0 ⇒ f ( x ) = ax ⇒ f é linear;
Se b = 0 e a = 1 ⇒ f ( x ) = x ⇒ f é identidade;
Se a ≠ 0 e b ≠ 0 ⇒ f ( x ) = ax + b ⇒ f é afim.
D = Im = R
Gráfico: reta
Crescente: quando a > 0 – gráfico inclinado para direita
Decrescente: quando a < 0 – gráfico inclinado para esquerda.
Constante: quando a = 0 – gráfico é uma reta horizontal.
3.6.2 Função do Segundo Grau:
Chamamos de função do segundo grau ou função quadrática a toda expressão
do tipo y = ax 2 + bx + c, com a, b, c ∈ R e a ≠ 0 .
Uma função do segundo grau pode ser completa ou incompleta:
Será completa quando os coeficientes a, b e c forem todos diferentes de zero.
Será incompleta quando os coeficiente b e/ou c forem iguais a zero.
3.6.2.1 Domínio, Contradomínio e Imagem:
Por não possuir nenhuma restrição, o domínio e o contradomínio da função
quadrática são dados pelo conjunto dos números reais: D = CD = R .
Já o conjunto imagem da função do segundo grau depende do coeficiente a da
expressão que a define.
Se a > 0, teremos Im = { y ∈ R | y ≥ yV }
Se a < 0, teremos Im = { y ∈ R | y ≤ yV }
yV indica o valor de y onde a função inverte o sinal de crescimento.
3.6.2.2 Gráfico da função de segundo grau:
Ao gráfico da função quadrática, chamamos parábola. Uma parábola é uma curva
que pode estar voltada para cima (no sentido de crescimento do eixo y) ou para baixo (no
sentido de decrescimento do eixo y). Quem determina o tipo de concavidade (curva voltada
para cima ou curva voltada para baixo) é o valor do coeficiente a:
Se a > 0 a curva é côncava para cima;
Se a < 0 a curva é côncava para baixo;
Veja os exemplos:
Determinar o gráfico da função y = x 2 + 3x + 4 . Observe que o coeficiente a = 1,
logo a > 0, portanto teremos parábola côncava para cima.
Determinar o gráfico da função y = −0,5x 2 + x
Observe que o coeficiente a = − 0,5 , logo a < 0, portanto teremos parábola
côncava para baixo.
Tanto quanto para a função de primeiro grau, para obter o gráfico da função
quadrática podemos utilizar o recurso da construção de tabelas, porém, para que possamos
melhor escolher os valores da tabela é indicado, antes, calcular o vértice da parábola (vértice
é o ponto onde a curva inverte o sentido de crescimento).
O vértice da parábola é dado por: Vértice: x V = −
b
2a
e yV = f (x V ) .
Para obter as coordenadas do vértice é necessário conhecer as raízes da função.
− b ± b2 − 4ac
Lembra-se? através da fórmula de Báskara: x =
2a
Exemplo: Em x 2 − 5x + 6 = 0 , teremos: a = 1; b = –5 e c = 6. Na Fórmula de
Báskara, os valores de x seriam calculados assim:
5 +1 6
⎧
= =3
x1 =
⎪
− (−5) ± (−5) − 4.1.6 5 ± 25 − 24 5 ± 1 5 ± 1 ⎪
2
2
=
=
=
=⎨
x=
2.1
2
2
2
⎪x = 5 − 1 = 4 = 2
⎪⎩ 2
2
2
2
A expressão b 2 − 4ac da Fórmula de Báskara é chamada discriminante da equação
e é representada pela letra grega delta: ∆ .
Propriedade:
⎧Se ∆ > 0 então a equação possui duas raízes diferentes
⎪
⎨Se ∆ = 0 então a equação possui uma raiz
⎪Se ∆ < 0 então a equação não possui raízes
⎩
O gráfico da função de segundo grau é uma curva chamada parábola, que pode ser
uma curva voltada para cima ou voltada para baixo, dependendo do valor “a” (do número que
multiplica x2). Se a > 0, o gráfico será uma curva voltada para cima. Se a < 0, o gráfico será
uma curva voltada para baixo.
Não existe gráfico para a = 0 (não existe sequer a função, nesse caso).
Para desenhar o gráfico, sugerimos que também seja elaborada uma tabela.
Todavia, ao contrário do gráfico da função do primeiro grau não vamos escolher valores
aleatórios para x. Antes de construir a tabela vamos calcular as coordenadas do vértice da
parábola. Vértice é o ponto onde a curva muda o sentido de crescimento (como já citamos
anteriormente). É o ponto mais alto ou mais baixo da curva. Na parábola côncava para cima,
dizemos que a função é decrescente até o vértice e crescente a partir dele (veja a inclinação
dos “braços” da curva).
Na parábola côncava para baixo, dizemos que a função é crescente até o vértice e
decrescente a partir dele (veja a inclinação dos “braços” da curva).
Lembre-se: inclinação à direita indica crescimento – inclinação à esquerda indica
decrescimento.
Para calcular as coordenadas do vértice utilizamos a seguinte fórmula:
xV = −
b
2a
e yV = f (x V ) .
Exemplo: Em y = x 2 − 5x + 6 , teremos:
xV =
− (−5) 5
= = 2,5
2
2
y V = (2,5) 2 − 5.2,5 + 6 = 6,25 − 12,5 + 6 = −6,25 + 6 = −0,25
Para elaborar a tabela, utilizaremos, pelo menos, 5 pares ordenados, sendo que o
vértice, necessariamente, deverá ser o centro da tabela. Veja o exemplo:
x
y = x 2 − 5x + 6
1
2
y = 12 − 5.1 + 6 = 1 − 5 + 6 = −4 + 6 = 2
2
0
y = 2 2 − 5.2 + 6 = 4 − 10 + 6 = −6 + 6 = 0
2,5
-0,25
3
0
y = 3 2 − 5.3 + 6 = 9 − 15 + 6 = −6 + 6 = 0
4
2
y = 4 2 − 5.4 + 6 = 16 − 20 + 6 = −4 + 6 = 2
Cálculo do valor de y
Já mostrado acima
Observe que, para valores diferentes de x, encontramos valores iguais para y ( se x
= 1 ou se x = 4 então y = 2). Esse características das funções de segundo grau chama-se
simetria, ou seja, os dois “braços” da parábola são absolutamente idênticos entre si.
Graficamente: a figura esperada é voltada para cima, pois a = 1.
Os pontos em destaque são os da tabela. A curva é idêntica em ambos os “lados”.
Veja também que a função decresce até o vértice e cresce a partir dele (veja a inclinação das
partes da curva!). Matematicamente, escrevemos: crescente: x > 2,5 e decrescente: x < 2,5.
No outro exemplo, teríamos: y = −2x 2 + 4 x
Neste caso, o gráfico esperado é côncavo para baixo, a = –2.
Calculando o vértice: xV =
−b
−4
−4
=
=
= 1 . Na tabela:
2 a 2 ( −2 ) − 4
x
y = −2 x 2 + 4 x
–1
–6
y = −2(−1) 2 + 4(−1) = −2.1 − 4 = −2 − 4 = −6
0
0
y = −2.0 2 + 4.0 = −2.0 + 0 = 0 + 0 = 0
1
2
y = −2.12 + 4.1 = −2.1 + 4 = −2 + 4 = 2
2
0
y = −2.2 2 + 4.2 = −2.4 + 8 = −8 + 8 = 0
3
–6
y = −2.3 2 + 4.3 = −2.9 + 12 = −18 + 12 = −6
Cálculo dos valores de y
Os pontos em destaque são os da tabela. Veja também que a função cresce até o
vértice e decresce a partir dele (veja a inclinação das partes da curva!). Matematicamente,
escrevemos: crescente: x < 1 e decrescente: x > 1.
No gráfico:
Em resumo:
É toda expressão do tipo f ( x ) = y = ax 2 + bx + c,
D=R
⎧a > 0 ⇒ {y ∈ R | y ≥ y V }
Im = ⎨
⎩a < 0 ⇒ {y ∈ R | y ≤ y V }
Gráfico: parábola
⎧a > 0 ⇒ x > x V
Crescente: ⎨
⎩a < 0 ⇒ x < x V
a , b, c ∈ R
e
a ≠0.
⎧a > 0 ⇒ x < x V
Decrescente: ⎨
⎩a < 0 ⇒ x > x V
Vértice: x V = −
b
2a
e
y V = f (x V )
3.7 Exercícios:
1. Sejam as funções de R em R definidas por f(x) = 3 – 2x, g(x) = 2x – 1 e h(x) = 1 + 3x.
Determine:
a. f (2) =
b. g (–1) =
c. h (0) =
d. f (3) + g (3) =
2. Nas seguintes funções, obtenha o gráfico, o domínio, a imagem, os intervalos em que
função é crescente e os intervalos onde ela é decrescente:
a. y = –2x
b. y = x3
x2
c. y =
2
d. y = − x 2 + 6x
e. y = x 2 − 1
f.
y = x2 + x + 1
g. y =
1
x
h. y = 2 x
i.
y= x
j.
⎧x + 1, se x ≤ 0
y=⎨
⎩1, se x > 0
3. Represente graficamente as seguintes (y = f(x)):
a. y = 2 5x + 7
b. 2 y = 4 x − 1
c. y − x + 2 = 0
d. 2 y + x + 2 = 0
e. 3y = −2 x + 3
y= 2
f.
4. Para que valores de ρ ∈ R a função f ( x ) = −(ρ + 1) x − 2 é crescente?
5. Estude o sinal das funções:
a. y = − x + 2
b. y =
1
x+3
2
6. Dada a função f : R → R , definida por y = f(x) (em cada caso), determine:
a. Raízes:
b. Vértice;
c. Conjunto imagem;
d. Gráfico.
I.
y = x 2 − 12 x + 37
II.
y = −2x 2 + 3x + 2
3.8 Gabaritos:
1. valores funcionais:
a. − 1
b. − 3
c. 1
d. 2
2. estudo das funções:
a.
D = Im = R
decrescente para todo x real.
b.
D = Im = R
crescente para todo x real.
D = R Im = R +
c.
d.
.
crescente para x > 0 decrescente para x < 0.
D = R Im = {y ∈ R | y ≤ 9}
crescente para x < 3 e
D = R Im = {y ∈ R | y ≥ −1}
crescente para x > 0 e
decrescente para x > 3.
e.
decrescente para x < 0.
D = R Im = {y ∈ R | y ≥ 0,75}
f.
crescente para
x > − 0,5 e decrescente para x < − 0,5 .
D = R * Im = {y ∈ R | y ≠ 0}
g.
decrescente para x > 0.
crescente para x < 0 e
D = R Im = R *+
h.
i.
D = R+
j.
D=R
x < 0 constante para x > 0.
3. gráficos:
a.
d.
b.
e.
c.
f.
4. ρ < −1
crescente para todo x real.
Im = R *+
crescente para todo x ∈ R + .
Im = {y ∈ R | y < 1}
crescente para todo
5. sinal das funções:
⎧x = 2 ⇒ y = 0
⎪⎪
a. ⎨x > 2 ⇒ y < 0
⎪
⎩⎪x < 2 ⇒ y > 0
⎧x = −6 ⇒ y = 0
⎪
b. ⎨x > −6 ⇒ y > 0
⎪x < −6 ⇒ y < 0
⎩
⇒ y=0
⇒ y<0
⎧x = 0 e x = −2
⎪
c. ⎨− 2 < x < 0
⎪x < −2 ou x > 0
⎩
⇒ y>0
⎧x = −1 e x = 6
⎪
d. ⎨− 1 < x < 6
⎪x < −1 ou x > 6
⎩
⇒ y=0
⇒ y>0
⇒ y<0
6. Funções do segundo grau:
I.
y = x 2 − 12 x + 37
a.
não há raízes
b.
(6, 1)
c.
Im = {y ∈ R | y ≥ 1}
d.
II.
y = −2x 2 + 3x + 2
a. Raízes: x = −0,5 e x = 2
b. (0,75; 3,125)
c. Im = {y ∈ R | y ≤ 3,125}
d.
3.9 Função Exponencial:
É toda expressão do tipo y = a f ( x ) , a > 0
D = depende de f(x)
Im = depende de f(x)
Gráfico: sem nome especial
Crescente: geralmente a > 1
Decrescente: geralmente quando 0 < a < 1.
Para obter o gráfico da função exponencial é necessário compor uma tabela com,
no mínimo, 5 pares ordenados.
Veja os exemplos:
1. Faça a representação gráfica de y = 2 x .
x
y = 2x
–2
0,25
–1
0,5
0
1
y = 20 = 1
1
2
y = 21 = 2
2
4
y = 22 = 4
Cálculo do valor de y
2
12 1
⎛1⎞
y = 2 − 2 = ⎜ ⎟ = 2 = = 0,25
4
2
⎝2⎠
1
No gráfico:
1
1
⎛1⎞ 1
y = 2 −1 = ⎜ ⎟ = 1 = = 0,5
2
2
⎝2⎠
A função é crescente – o gráfico é inclinado para a direita.
⎛1⎞
⎝2⎠
x
2. Faça a representação gráfica de y = 2 − ⎜ ⎟ .
⎛1⎞
y = 2−⎜ ⎟
⎝2⎠
x
x
Cálculo do valor de y
−2
−1
–2
–2
⎛1⎞
y = 2−⎜ ⎟
⎝2⎠
–1
0
⎛1⎞
y = 2−⎜ ⎟
⎝2⎠
0
1
⎛1⎞
y = 2 − ⎜ ⎟ = 2 −1 = 1
⎝2⎠
= 2 − 2 2 = 2 − 4 = −2
= 2 − 21 = 2 − 2 = 0
0
1
1
1,5
1 4 −1 3
⎛1⎞
y = 2−⎜ ⎟ = 2− =
= = 1,5
2
2
2
⎝2⎠
1,75
1 8 −1 7
⎛1⎞
y = 2−⎜ ⎟ = 2− =
= = 1,75
4
4
4
⎝2⎠
2
2
Graficamente:
3.9.1 Exercícios de fixação:
Faça a representação gráfica das funções abaixo e classifique-as como crescente ou
decrescente:
1. y = 2 x
9. y = 10 x
x
2.
⎛1⎞
y=⎜ ⎟
⎝2⎠
⎛3⎞
10. y = ⎜ ⎟
⎝4⎠
x
x
3.
⎛2⎞
y=⎜ ⎟
⎝3⎠
⎛ 5⎞
11. y = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2 ⎠
x
4. y = 3 x − 1
12. y = (10 −1 ) x
5. y = 2 x −1
13. y = 3,14 x
6.
⎛1⎞
y=⎜ ⎟
⎝2⎠
x+2
⎛ 2⎞
⎟
14. y = ⎜⎜
⎟
2
⎝
⎠
−x
7. y = 1 + 2 x
15. y = ( 2 − 1) x
8. y = (1,6)
16. f(x) = 3x
x
Responda: Como se distingue se uma função exponencial é crescente ou decrescente?
3.9.2 Gabarito:
Gráficos:
1.
5.
9.
13.
2.
6.
10.
14.
3.
7.
11.
15.
4.
8.
12.
16.
Responda: Normalmente, se a base for um número maior que 1, a função será crescente e se
a base for um número entre 0 e 1, a função será decrescente.
3.10 Função Logarítmica:
Função logarítmica é toda expressão do tipo:
⎧b > 0, b ≠ 1
y = log b f ( x), onde ⎨
⎩ f ( x) > 0, ∀x ∈ D ( f )
D = depende de f(x)
Im = depende de f(x)
Gráfico: sem nome especial
Crescente: geralmente quando b > 1
Decrescente: geralmente 0 < b < 1
Uma das maneiras usuais de trabalhar com função logarítmica é transformá-la em
função exponencial. Para isso, basta isolar x. Veja em exemplo:
y = log 2 ( x + 2) ⇒ log 2 ( x + 2) = y ⇔ 2 y = x + 2 ⇒ x = 2 y − 2
No caso da função logarítmica, ao invés de escolhermos o valor de x e
calcularmos y, fazemos o contrário: escolhemos y e calculamos x.
y
x = 2y − 2
–2
–1,75
–1
–1,5
0
1
2
–1
0
2
Cálculo do valor de x
1− 8 − 7
1
x = 2 −2 − 2 = − 2 =
=
= −1,75
2
4
4
1− 4 − 3
1
x = 2 −1 − 2 = − 2 =
=
= −1,5
2
2
2
x = 2 0 − 2 = 1 − 2 = −1
x = 21 − 2 = 2 − 2 = 0
x = 22 − 2 = 4 − 2 = 2
Outra maneira, também simples, é calcular o logaritmo diretamente, com a
utilização da propriedade de mudança de base, nas calculadoras.
x
y = log 2 ( x + 2)
-1,5
-1
0
1
2
Graficamente:
–1
0
1
1,5
2
Cálculo do valor de y
y = log 2 ( −1,5 + 2) = log 2 0,5 = −1
y = log 2 ( −1 + 2) = log 2 1 = 0
y = log 2 (0 + 2) = log 2 2 = 1
y = log 2 (1 + 2) = log 2 3 = 1,5
y = log 2 ( 2 + 2) = log 2 4 = 2
Função crescente, pois o gráfico é inclinado para a direita.
Outros exemplos: (lembre-se de construir uma tabela para conferir as
figuras)
Construir o gráfico de y = log( x + 3)
Construir o gráfico de y = log3(2 – x)
3.10.1 Exercícios:
1. Estude as seguintes funções logarítmicas:
a. y = log 3 x
b. y = log 2 ( x + 1)
c. y = log 2 ( x − 1)
d. y = log 2 (1 − x)
3.10.2 Gabarito:
a) D = {x ∈ R | x > 0}
CD = R
Im = R
crescente, bijetora, inversível
y = 0 ⇒ x = 1;
x
0,1
0,5
1
2
3
y > 0 ⇒ x > 1;
y < 0 ⇒ x <1
y
–2,09
–0,63
0
0,63
1
b) D = {x ∈ R | x > 1}
CD = R
Im = R
crescente, bijetora, inversível
y = 0 ⇒ x = 0;
x
–0,9
–0,5
0
1
2
y > 0 ⇒ x > 0;
y <0⇒ x<0
y
–3,3
–1
0
1
1,5
c) D = {x ∈ R | x > −1}
CD = R
Im = R
crescente, bijetora, inversível
y = 0 ⇒ x = 2;
x
1,1
1,5
2
y
–3,3
–1
0
y > 0 ⇒ x > 2;
y <0⇒ x<2
3
4
1
1,5
d) D = {x ∈ R | x > −1}
CD = R
Im = R
crescente, bijetora, inversível
y = 0 ⇒ x = −0,5;
x
–0,9
–0,5
0
1
2
y
–2,3
0
1
2
2,5
y > 0 ⇒ x > −0,5;
y < 0 ⇒ x < −0,5
Capítulo 4 – Aplicações de Funções:
As aplicações mais comuns da teoria de funções para o Curso de Administração
são o estudo de: demanda, oferta, custo, receita, lucro ou prejuízo, ponto (preço e quantidade)
de equilíbrio e ponto de nivelamento.
4.1 Demanda de mercado:
Por definição, segundo Medeiros (2000): demanda ou procura de mercado de
uma utilidade (bem ou serviço) a um determinado preço é a soma de todas as quantidades
que todos os compradores do mercado estão dispostos (e aptos) a comprar, num determinado
período de tempo.
A função que associa a cada preço (x) a quantidade de mercadoria que o mercado
pode absorver é chamada de função demanda de mercado. A representação gráfica desta
função é chamada curva de demanda.
Observação importante: como estamos falando de preços e quantidades, não faz
sentido trabalharmos com valores negativos ou com o zero, logo, preço e quantidade são
grandezas estritamente positivas. Para estudarmos a função demanda, devemos ter em mente
que tanto domínio quanto imagem devem ser sempre positivos.
Veja o exemplo:
Suponhamos que a demanda de um produto (vendido em pacotes de 1 arroba cada
um) seja da por y = 4000 − 50 x , onde y representa a demanda e x o preço de venda. Nestas
condições, vamos determinar: o intervalo de variação do preço desse produto; o intervalo de
variação da quantidade demandada. Vamos, também, elaborar a curva de demanda deste
produto e, por fim, determinar a demanda para um preço igual a R$ 40,00 o pacote e verificar
qual o melhor preço para que sejam vendidos 3500 pacotes do produto. Respondendo o
problema por etapas, teremos:
• intervalo de variação do preço desse produto:
lembrando que preço e demanda devem ser sempre positivos, podemos afirmar
que 4000 − 50 x > 0 ⇒ 4000 > 50 x ⇒ 80 > x , ou seja, o preço não pode ultrapassar R$
80,00, portanto o intervalo de variação do preço é dado por: 0 < x < 80 ;
• intervalo de variação da quantidade demandada:
lembrando que preço e demanda devem ser sempre positivos e invertendo a
função demanda, teremos x =
4000 − y
, lembrando, ainda, que o preço máximo não deve
50
exceder
R$
80,00
(item
anterior),
podemos
afirmar
que
4000 − y
< 80 ⇒ 0 < 4000 − y < 4000 (−1) ⇒ 0 > y − 4000 > −4000
50
⇒ 4000 > y > 0 , ou seja a quantidade não pode ultrapassar 4000 unidades do produto,
0<
portanto o intervalo de variação é dado por: 0 < y < 4000 ;
• elaborar a curva de demanda:
passo para y: 1000 em 1000, passo para x: 10 em
10
• a demanda para um preço igual a R$ 40,00:
y = 4000 − 50.40 = 4000 − 2000 = 2000
A demanda é de 2000 unidades de produto se o preço for R$ 40,00.
• o preço para que sejam vendidos 3500 pacotes do produto
3500 = 4000 − 50 x ⇒ 50 x = 500 ⇒ x = 10
Para que sejam vendidas 3500 unidades do produto, o preço deve ser igual a
R$ 10,00.
4.2 Oferta de mercado:
Por definição, oferta de mercado de uma utilidade (bem ou serviço) a um
determinado preço é a soma de todas as quantidades que todos os produtores do mercado
estão dispostos (e aptos) a vender, num determinado período de tempo.
A função que associa a cada preço (x) a quantidade de mercadoria que o mercado
deseja oferecer é chamada de função oferta de mercado. A representação gráfica desta
função é chamada curva de oferta.
Tanto quanto preço e demanda, a oferta, por tratar-se de quantidade, também é
função cujo domínio e cuja imagem serão, sempre, positivos.
4.3 Ponto (preço e quantidade) de equilíbrio
Preço e quantidade de equilíbrio são aqueles para os quais demanda e oferta
coincidem. Graficamente, observamos que o ponto de equilíbrio é ponto de intersecção entre a
curva de oferta e a curva de demanda.
4.4 Receita total:
Por definição, receita total é a função dada por RT = qx , onde: RT = receita
total, x = preço de venda, q = quantidade vendida.
4.5 Custo total
A função custo total é definida pela soma do preço fixo de produção de uma
determinada mercadoria (ou bem) ao custo variável de sua produção, ou seja, CT = CF + CV ,
onde, CT = custo total, CF = custo fixo e CV = custo variável.
4.6 Lucro total:
A função lucro total é definida pela diferença entre as funções receita total e
custo total. Se essa diferença for positiva, dizemos tratar-se de lucro propriamente dito. Caso
contrário, recebe o nome de prejuízo.
4.7 Ponto de nivelamento:
É aquele para o qual receita total e custo total são iguais entre si.
4.8 Exercícios:
1. Representar graficamente as demandas de mercado dadas por:
a. y = 20 − 5x
b. y = 3 − 0,2 x
c. y = − x 2 − 7 x + 30
d. y = − x 2 − 3x + 18
2. A demanda de mercado de um produto que é vendido em galões é dada por
y = 8000 − 100 x :
a. Determinar o intervalo de variação de x;
b. Determinar o intervalo de variação de y;
c. Representar graficamente a função demanda;
d. Calcular os valores da demanda correspondentes aos preços: R$ 40,00, R$ 50,00 e R$
75,00;
e. A que preço a demanda será de 4500 galões?
3.
Representar graficamente as ofertas de mercado dadas por:
a. y = −5 + 0,5x , x ≤ 20
b. y = −30 + 6 x , x ≤ 15
c. y = x 2 − 49, x ≤ 10
4. Seja a oferta de mercado dada por y = −20 + 2 x , com x ≤ 270 (reais):
a. A partir de que preço haverá oferta?
b. Qual a oferta para x = 270?
c. A que preço a oferta será de 80 unidades?
d. A partir de que preço a oferta será maior que 150 unidades?
5. Determinar o preço e a quantidade de equilíbrio nos casos seguintes (onde D = demanda,
S = oferta e P = preço):
a. D = 34 − 5P ; S = −8 + 2P
1
b. D = 10 − 0,2P ; S = −11 + P
2
6. Determinar o ponto de nivelamento nos seguintes casos:
a. RT = 0,6q CT = 2 + 0,5q 0 ≤ q ≤ 30
b. RT = 1,5q CT = 4 + 0,5q 0 ≤ q ≤ 5
4.9 Gabaritos:
1. gráficos de demanda:
a.
c.
b.
d.
2. função demanda:
a. 0 < x < 80
b. 0 < y < 8000
c.
Passo de x: 10 em 10; passo de y: 1000 em 1000.
d. 4000, 3000 e 500 galões, respectivamente.
e. R$ 35,00 cada galão.
3. Gráficos de oferta:
a.
4. função oferta:
a. a partir de R$ 10,00
b. 520 unidades;
c. R$ 50,00
d. Para P > R$ 85,00
5. Ponto de equilíbrio:
a. R$ 6,00 – 4 unidades;
b. R$ 30,00 – 4 unidades;
6. Ponto de nivelamento:
a. 20 unidades;
b. 4 unidades.
b.
c.
Capítulo 5 - Limite
“A Teoria dos Limites, tópico introdutório e fundamental da
Matemática Superior, será vista aqui, de uma forma simplificada, sem
aprofundamentos, até porque, o nosso objetivo nesta página, é abordar
os tópicos ao nível do segundo grau, voltado essencialmente para os
exames vestibulares.
Portanto, o que veremos a seguir, será uma introdução à Teoria dos
Limites, dando ênfase principalmente ao cálculo de limites de
funções, com base nas propriedades pertinentes.
O estudo teórico e avançado, vocês verão na Universidade, no devido
tempo. Outro aspecto importante a ser comentado, é que este capítulo
de LIMITES abordará o estritamente necessário para o estudo do
próximo tópico: DERIVADAS.
O matemático francês - Augustin Louis CAUCHY - 1789/1857, foi,
entre outros, um grande estudioso da TEORIA DOS LIMITES. Antes
dele, Isaac NEWTON - inglês - 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm
LEIBNIZ - alemão - 1646 /1716, já haviam desenvolvido o Cálculo
Infinitesimal.” MARQUES (2000:1)
5.1 Definição
Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f
possui um limite finito L quando x tende para um valor x 0 , se para cada número positivo δ ,
por menor que seja, existe em correspondência um número positivo ε , tal que para
| x − x 0 |< δ , se tenha | f ( x ) − L |< ε , para todo x ≠ x 0 .
Indicamos que L é o limite de uma função f (x) quando x tende a x 0 , através de:
lim f ( x ) = L
x →x 0
O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente
laborioso e de relativa complexidade.
Antes de estudar limites propriamente ditos, porém, valem as seguintes
observações preliminares:
a) é conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando
x → x 0 , não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x 0 , pois quando
calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do
ponto x0 , porém não coincidente com x 0 , ou seja, consideramos os valores da função na
vizinhança do ponto x 0 .
b) o limite de uma função y = f(x), quando x → x 0 , pode inclusive, não existir,
mesmo a função estando definida neste ponto x0, ou seja, existindo f( x0 ).
c) ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x0 , porém
existirá o limite de f(x) quando x → x 0 .
d) nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x0 , e existir o limite
da função f(x) para x → x 0 e este limite coincidir com o valor da função no ponto x0 , diremos
que a função f(x) é CONTÍNUA no ponto x0 .
e) já vimos a definição do limite de uma função f(x) quando x tende a x 0 , ou
x → x 0 . Se x tende para x 0 , para valores imediatamente inferiores a x 0 , dizemos que temos
um limite à esquerda da função. Se x tende para x0 , para valores imediatamente superiores a
x 0 , dizemos que temos um limite à direita da função. Pode-se demonstrar que se esses limites
à direita e à esquerda forem iguais, então este será o limite da função quando x → x 0 .
5.2 Propriedades operatórias dos limite.
1) P1 - o limite da soma de funções, é igual à soma dos limites de cada função.
lim ( u + v + w +... ) = lim u + lim v + lim w +...
2) P2 - o limite do produto é igual ao produto dos limites.
lim (u. v) = lim u. lim v
3) P3 - o limite do quociente de funções, é igual ao quociente dos limites.
lim
u lim u
=
, se lim v ≠ 0
v lim v
4) P4 - sendo k uma constante e f uma função,
lim k. f = k. lim f
Observações: No cálculo de limites, serão consideradas as igualdades simbólicas,
a seguir, envolvendo os símbolos de mais infinito ( + ∞ ) e menos infinito ( − ∞ ), que
representam quantidades de módulo infinitamente grande. É conveniente salientar que o
infinitamente grande não é um número e, sim, uma tendência de uma variável, ou seja: a
variável aumenta ou diminui, sem limite.
Na realidade, os símbolos + ∞ e − ∞ , não representam números reais, não
podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico.
Dado b ∈ R - conjunto dos números reais, teremos as seguintes igualdades
simbólicas:
b + ( +∞ ) = +∞
b + ( −∞ ) = −∞
( +∞ ) + (+∞ ) = +∞
( −∞ ) + (−∞ ) = −∞
( +∞ ) + ( −∞ ) = nada se pode afirmar inicialmente.
O símbolo ∞ − ∞ , é dito um símbolo de indeterminação.
( +∞ ).( +∞ ) = +∞
(+∞ ).0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.
∞
nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.
∞
No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões
indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite, teremos que
levantar a indeterminação, usando as técnicas algébricas. Os principais símbolos de
indeterminação, são:
∞−∞
∞.0
∞
∞
∞0
0
0
1∞
00
Vamos, agora, calcular alguns limites imediatos, de forma a facilitar o
entendimento dos exercícios mais complexos que virão em seguida:
a) lim(2 x + 3) = 2.5 + 3 = 13
x →5
b) lim ( x 2 + x) = (+∞) 2 + (+∞) = +∞ + ∞ = +∞
x →+∞
c) lim(4 + x 3 ) = 4 + 2 3 = 4 + 8 = 12
x →2
3x + 3 3.4 + 3 15
=
=5
=
x →4 2 x − 5
2.4 − 5 3
d) lim
e) lim[( x + 3)( x − 3)] = (4 + 3)(4 − 3) = 7.1 = 7
x→4
5.3 Exercícios:
1. Determine os seguintes limites:
⎛
1
x
a) lim ⎜ 5 − +
x →∞ ⎝
3 ⎞
⎟
x2 ⎠
4x3 − 2x 2 + 1
x →∞
3x 3 − 5
2
c) lim( x + 6 x + 6)
b) lim
x →4
d) lim
x →0
e)
lim
e x + e−x
2
1
x→+∞
1+
1
2x
x2 − 4x + 4
x →2
x2 − 4
⎛ 1⎞
lim ⎜1 − ⎟
x →−∞ ⎝
x⎠
2
x − 4x + 4
lim 2
x → 2 x − 7 x + 10
3
lim
x→1− x − 1
| x2 − 9 |
lim
x →3+ − | x − 3 |
f) lim
g)
h)
i)
j)
2
k) lim ( x − 2 x + 8)
x →2
1
x→2 ( x − 2) 2
x+3
m) lim 2
x →+∞ x − 1
l) lim
5.4 Gabarito:
1. cálculo de limites:
a. 5
b.
4
3
c. 46
d. 1
e.
1
2
f. 0
g. 1
h. 0
i.
−∞
j. – 6
k. 8
l.
+∞
m. 0
Capítulo 6 – Derivadas
È muito comum nas diversas áreas da Administração, Ciências Contábeis e
Economia tratarmos de medidas médias; por exemplo, o saldo médio de uma conta bancária, a
produção média anual de uma empresa, entre outros.
Neste capítulo, trataremos especialmente de duas medidas fundamentais ao
administrador: as taxas médias e as taxas imediatas de variação.
6.1 Taxa Média de Variação de uma Função
Para compreender o conceito de taxa média de variação de uma função, vamos
propor o seguinte exemplo: a distância entre duas cidades é de 60 Km. A condição da estrada
que liga as cidades entre si é boa. Um motorista de um carro esporte poderia, dentro do limite
permitido de velocidade, sair de uma cidade e chegar a outra em menos de uma hora. Já o
condutor de uma charrete não faria o mesmo percurso em tão pouco tempo. Neste exemplo
fica claro que variando a velocidade, variamos o tempo de percurso entre uma cidade e
outra.
Podemos concluir, então, que qualquer que seja a função estudada se variamos o
valor de x, mudamos também o valor de y.
Quando calculamos o quociente entre as variações de y e x (nesta ordem),
dizemos que calculamos a taxa média de variação da função.
Matematicamente falando, o quociente
∆y y F − y I
=
expressa a variação média
∆x x F − x I
sofrida pelos valores da função entre os pontos de coordenadas ( x I , y I ) e ( x F , y F ) .
6.1.1 Exemplo de utilização:
Dada a função y = x 2 + 5 e x I = 2 e x F = 4 , calcule sua variação média.
xI = 2 ⇒
yI = 22 + 5 = 4 + 5 = 9
xF = 4 ⇒
y F = 4 2 + 5 = 16 + 5 = 21
∆x = x F − x I = 4 − 2 = 2
∆y = y F − y I = 21 − 9 = 12
∆y 12
=
=6
∆x 2
6.2 Derivada de uma função num ponto ou Taxa Instantânea de Variação:
Observe a figura abaixo, que representa o gráfico da função y = f (x), definida
num intervalo real:
Na figura podemos observar que o coeficiente angular da reta secante à curva nos
pontos A e B, tem coeficiente angular dado por:
m = tgα =
∆y f ( x + h) − f ( x) f ( x + h) − f ( x)
=
=
.
∆x
( x + h) − x
h
Onde h é chamado de incremento, ou seja, um aumento pequeníssimo, muito
próximo de zero.
À expressão m =
f ( x + h) − f ( x )
, chamamos razão incremental.
h
Na mesma figura, quando o incremento h tende a zero, o ponto B tende a coincidir
com o ponto A, ou seja, a reta que era secante à curva tende, agora, a tangenciá-la. Nessa
situação, poderíamos dizer, sem perda de generalidades, que estaríamos medindo a variação
imediata da função.
Nestas condições, podemos definir a derivada da função y = f(x) como sendo o
limite da razão incremental, quando h tende a zero, ou seja, a derivada da função é
determinada pela sua variação instantânea, isto é, f ' ( x) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
.
h
6.3 Regras de derivação
6.3.1 Derivada da função constante:
Considerando o limite sobre a razão incremental f ' ( x) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
,
h
vamos determinar a derivada da função constante:
Se f ( x ) = K, temos :
f (x + h) − f (x)
k−k
0
f ' ( x ) = lim
= lim
= lim = lim 0 = 0
h
h →0
h →0 h
h →0 h h → 0
6.3.2 Derivada da constante multiplicada por uma função qualquer:
f (x + h) − f (x)
,
h
h →0
Considerando o limite sobre a razão incremental f ' ( x ) = lim
vamos determinar a derivada da função multiplicada por uma constante:
Se f ( x ) = Kg( x ), temos :
Kg( x + h ) − Kg( x )
K (g ( x + h ) − g ( x )
g( x + h ) − g( x )
f ' ( x ) = lim
= lim
= lim K
=
h
h
h
h →0
h →0
h →0
g( x + h ) − g( x )
= K lim
= kg ' ( x )
h
h →0
6.3.4 Derivada da soma de duas funções:
f (x + h) − f (x)
,
h
h →0
Considerando o limite sobre a razão incremental f ' ( x ) = lim
vamos determinar a derivada da soma de duas funções:
Se f ( x ) = g ( x ) + p( x ), temos :
g ( x + h ) + p( x + h ) − g ( x ) − p( x )
=
h
h →0
⎛ g ( x + h ) − g ( x ) p( x + h ) − p( x ) ⎞
= lim ⎜
+
⎟=
h
h
h →0⎝
⎠
p( x + h ) − p( x )
g( x + h ) − g( x )
= lim
+ lim
= g ' ( x ) + p' ( x )
h
h
h →0
h →0
f ' ( x ) = lim
6.3.5 Derivada da diferença de duas funções:
f (x + h) − f (x)
,
h
h →0
Considerando o limite sobre a razão incremental f ' ( x ) = lim
vamos determinar a derivada da diferença de duas funções:
Se f ( x ) = g ( x ) − p( x ), temos :
g ( x + h ) − p( x + h ) − g ( x ) + p( x )
=
h
h →0
⎛ g ( x + h ) − g ( x ) p( x + h ) − p( x ) ⎞
= lim ⎜
−
⎟=
h
h
h →0⎝
⎠
p( x + h ) − p( x )
g( x + h ) − g( x )
= lim
− lim
= g ' ( x ) − p' ( x )
h
h
h →0
h →0
f ' ( x ) = lim
6.3.6 Derivada do produto de duas funções:
f (x + h) − f (x)
,
h
h →0
Considerando o limite sobre a razão incremental f ' ( x ) = lim
vamos determinar a derivada do produto de duas funções:
Se f ( x ) = g( x )p( x ), temos :
g ( x + h ) p( x + h ) − g ( x ) p( x )
=
h
h →0
g ( x + h ) p( x + h ) − g ( x ) p ( x ) + g ( x + h ) p( x ) − g ( x + h ) p( x )
= lim
=
h
h →0
g( x + h )[p( x + h ) − p( x )] + p( x )[g( x + h − g( x )]
= lim
=
h
h →0
[g ( x + h − g ( x )] ⎤
[p( x + h ) − p( x )]
⎡
= lim ⎢g( x + h )
+ p( x )
⎥=
h
h
h →0 ⎣
⎦
= g ( x ) p' ( x ) + p( x )g ' ( x )
f ' ( x ) = lim
6.3.7 Derivada do quociente de duas funções:
f (x + h) − f (x)
,
h
h →0
Considerando o limite sobre a razão incremental f ' ( x ) = lim
vamos determinar a derivada da divisão de duas funções:
Se f ( x ) =
g( x )
, p( x ) ≠ 0, então g( x ) = p( x )f ( x ), log o, temos :
p( x )
g
⇒ g = f .p ⇒ g' = f ' p + fp' ⇒ f ' p = g'−fp' ⇒
p
g' p − gp'
g
⇒ f ' p = g'− p' ⇒ f ' p 2 = g' p − gp' ⇒ f ' =
p
g2
f =
f ' (x) =
g ' ( x ) p( x ) − g ( x ) p' ( x )
g 2 (x)
Portanto, a derivada do quociente de duas funções resulta no produto da derivada
primeira função vezes a segunda função do qual subtraímos o produto da primeira função pela
derivada da Segunda, em seguida, dividimos o resultado obtido pela Segunda função elevada
ao quadrado.
6.3.8 Derivada da potência de x:
f (x + h) − f (x)
,
h
h →0
Considerando o limite sobre a razão incremental f ' ( x ) = lim
vamos determinar a derivada da potência de x:
Se f ( x ) = x n , então
f ( x + h ) n = x n + nx n −1h + C1x n − 2 h 2 + C2 x n − 3h 3 + C3x n − 4 h 4 + L + Cm x 2 h n − 2 + nx1h n −1 + h n
log o,
x n + nx n −1h + C1x n − 2 h 2 + C2 x n − 3h 3 + C3x n − 4 h 4 + L + Cm x 2 h n − 2 + nx1h n −1 + h n − x n
h →0
h
f ' ( x ) = lim ( nx n −1 + C1x n − 2 h1 + C2 x n − 3h 2 + C3x n − 4 h 3 + L + Cm x 2 h n − 3 + nx1h n − 2 + h n −1 )
f ' ( x ) = lim
h →0
n −1
f ' ( x ) = nx
6.3.9 Derivada da função composta:
Sejam y = h( x ) = f (g( x )) e u = g( x ) .
Nestas condições, podemos fazer:
∆u = g ( x + ∆x ) − g ( x )
⇒
g( x + ∆x ) = u + ∆u
e
∆h = h ( x + ∆x ) − h ( x ) = f (g ( x + ∆x )) − f (g( x )) = f (u + ∆u ) − f (u )
Então:
∆h h ( x + ∆x ) − h ( x ) f (u + ∆u ) − f (u ) f (u + ∆u ) − f (u ) ∆u
.
=
=
=
=
∆x
∆x
∆x
∆u
∆x
f (u + ∆u ) − f (u ) g ( x + ∆x ) − g( x )
.
=
∆u
∆x
Porém, quando ∆x → 0 ⇒
∆u → 0
Portanto, teremos:
f (u + ∆u ) − f (u ) g ( x + ∆x ) − g ( x )
.
= f ' (u ).g ' ( x ) = f ' (g ( x )).g ' ( x )
∆u
∆x
6.3.10 Derivada de duas funções inversas entre si:
Sejam y = f ( x ) e x = g( y) duas funções inversas ente si. Nestas condições,
podemos fazer:
y = f ( x ) ⇒ y = f (g ( y)) ⇒ 1 = f ' (g ( y).g ' ( y) ⇒ 1 = f ' ( x )g ' ( y) ⇒ g ' ( y) =
1
.
f ' (x)
6.3.11 Derivada de f(x) = lnx:
Essa derivada é obtida considerando a definição geométrica do logaritmo e da
f (x + h) − f (x)
.
h
h →0
utilização do limite sobre a razão incremental, f ' ( x ) = lim
Pela definição geométrica, o logaritmo natural de um número a é definido pela
área da –figura formada pelo eixo x, pelas retas x = 1 e x = a e pela curva f ( x ) =
1
, a > 1.
x
Veja a figura:
Para calcular a derivada da função logaritmo, ampliaremos este conceito
observando a figura formada pelo logaritmo de dois números reais x e x + h. Observe:
Observando a figura, fica fácil deduzir que:
Área do retângulo CDFE < Área da figura ADFE < Área do retângulo ABEF, ou
seja,
h.
1
1
< log( x + h ) − log x < h.
x
x+h
Dividindo toda a expressão por h:
h 1 log ( x + h ) − log x h 1
. <
< .
h x
h
h x+h
Aplicando o limite sobre a desigualdade:
1
log ( x + h ) − log x
1
1
log ( x + h ) − log x 1
< lim
< lim
⇒ < lim
<
h
x h →0
h
x
h →0 x h → 0
h →0 x + h
lim
Por transitividade:
log ( x + h ) − log x 1
=
h
x
h →0
f ' ( x ) = lim
6.3.12 Derivada de f(x) = exp(x) = ex:
Essa derivada é obtida levando-se em conta que a função exponencial é a inversa
da função logarítmica:
Sejam:
y = ex
e x = ln y , então: De x =
1
1
= = y = ex
D ln y 1
y
6.3.13 Derivada de f(x) = ax:
Essa derivada é obtida levando-se em conta que a x = e x log a :
Então: Da x = De x log a = e x log a log a = a x log a
6.3.14 Regra de L’Hopital
Teorema: “Sejam f e g funções contínuas num intervalo [a, b] e deriváveis no
intervalo (a, b). Além disso, suponhamos g ( x ) ≠ 0 e g (b) − g ( a ) ≠ 0 . Existe, então, um ponto
c em (a, b), tal que:
f ( b ) − f ( a ) f ' ( c)
.” (1)
=
g ( b ) − g (a ) g ' ( c)
Demonstração:
Consideremos a função auxiliar
Q=
F( x ) = f ( x ) − f (a ) − Q[g( x ) − g(a )]
f ( b) − f (a )
(2)
g ( b ) − g (a )
Observando os extremos da função podemos fazer:
F(a ) = f (a ) − f (a ) −
f ( b) − f (a )
[g(a ) − g(a )] = 0 − Q.0 = 0
g ( b ) − g (a )
e
F(b) = f (b) − f (a ) −
f ( b) − f (a )
[g(b) − g(a )] = f (b) − f (a ) − f (b) + f (a ) = 0
g ( b ) − g (a )
∴ F(a ) = F(b) = 0
Derivando F(x), encontraremos:
F ( x) = f ( x) − f (a ) − Q [g ( x) − g (a )]
cons tan te
F ' ( x) = f ' ( x) − Qg ' ( x) Pelo teorema de Rolle
f ' (c )
(3)
0 = f ' ( x) − Qg ' ( x) ⇒ Q =
g ' (c )
De (2) e (3) temos (1).
6.3.15 Tabela de derivadas:
Função
Derivada
K
Zero
K.f
K.f '
f ±g
f '± g '
f .g
f '.g + f .g '
f
g
f '.g − f .g '
xn
n.x n −1
g2
onde
log u
f (g )
f ' (g ).g '
eu
e u .u '
au
ln a. a u .u '
ou
1
.u '
u
ln u
f e g inversas
f ' e g' são
inversas
6.4 Exercícios:
1. Considere as funções f ( x ) = 7 x − 5 e g ( x) =
derivadas: f ' ( x) = lim
x → x0
2x − 7
e as seguintes definições de
3x + 1
f ( x) − f ( x0 )
f (x + h) − f (x)
e f ' ( x ) = lim
. Usando a primeira
x − x0
h
h →0
definição anterior, determine a derivada da função f no ponto de abscissa x = 3. Usando a
segunda definição anterior, determine a derivada da função g no ponto de abscissa x = 1.
2. Utilizando a tabela de regras de derivação, calcule as derivadas das funções apresentadas
a seguir:
a.
y=
1
x−5
3
b. y = πx − e
c. y = 5x 2 − 7 x − 3
d. y =
7 5 2 3 3 2
x − x + x − 3x + 11
2
3
5
e. y = (5x − 3)4
f.
(
)
y = 5x 2 − 3 (3x + 2)
g. y =
1 − 3x
7x − 5
⎛ x − 2⎞
h. y = ⎜
⎟
⎝3+ x⎠
3
3
i.
y = x2 + 2
j.
y=
x2
x −1
k. y = e 2 x −3
l.
2
y = e x −1
m. y = 5 x
2
n. y = 5 x + 2 x
o. y = ln(3x 2 − 5)
⎛ 2x ⎞
p. y = ln⎜
⎟
⎝ x + 1⎠
q. y = 5 x .
r.
y=
2
x
e 3x
3
x
6.5 Gabarito – exercícios sobre regras de derivação:
1. pela ordem: 7 e
23
100
2. pela ordem:
a. y' =
1
3
b. y' = π
c. y' = 10 x − 7
d. y' = 7 x 4 − 2x 2 + 3x − 3
e. y' = 20(5x − 3)
3
f.
y' = 45x 2 + 20x − 9
g. y' =
8
(7 x − 5) 2
h. y' = 15
(x − 2)2
(3 + x )4
(
−2
)
i.
2x x 2 + 2 3
y' =
3
j.
y' =
x 2 − 2x
2 x (x − 1) 2
k. y' = 2e 2 x −3
3
l.
2
y' = 2xe x −1
m. y' = 5x ln 5
2
n. y' = (2x + 2).5x + 2 x. ln 5
o.
y' =
p.
y' =
6x
3x 2 − 5
1
2x 2 + 2x