Operações com conjuntos
AULA 01: CONJUNTOS
Apresentação
União de conjuntos
Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves.
A União dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos
que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
¨
A = {a, b, c, d, e}
¨
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Propriedade
O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
¨
A = {x : x é uma vogal}
¨
N = { x : x é um número natural}
97
No caso de existirem três ou mais conjuntos, podemos utilizar a
seguinte generalização:
Anote:?
A È B È C = (A È B) È C = A È (B È C)
É importante saber distinguir as relações de pertinência (Î) e de
inclusão (Ì). Observe o esquema a seguir:
Interseção de conjuntos
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os
elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B:
Relação de Pertinência Î - Conjunto
e
Conjunto Relação de Inclusão Ì - Conjunto
Elemento
Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B,
denotado por A Ì B, se todos os elementos de A também estão em
B. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o
conjunto que contém A.
No caso de existirem três ou mais conjuntos, podemos utilizar a
seguinte generalização:
Determinando os subconjuntos de um conjunto
A Ç B Ç C = (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
Dado o conjunto A = {2, 4, 6}, temos:
¨
subconjuntos com 0 elemento: Æ;
¨
subconjuntos com 1 elemento: { 2 }, { 4 }, { 6 };
Anote:?
¨
subconjunto com 2 elementos: {2. 4}, (2, 6}, {4, 6}
¨
subconjuntos com 3 elementos: {2, 4, 6}.
¨ Se o conjunto A e B não têm elemento comum, ou seja,
B = Æ, dizemos que os dois conjuntos são disjuntos.
AÇ
Diferença de conjuntos
No total, temos 8 subconjuntos.
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os
elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao
conjunto B.
Os conjuntos Æ e {2, 4, 6} são chamados de subconjuntos triviais de
A; os outros, de subconjuntos próprios de A.
Se um conjunto A tem n elementos, existe uma relação entre a
quantidade de elementos de A e o total de subconjuntos de A, ou
seja:
A tem n elementos, então A tem 2n subconjuntos.
a) No exemplo trabalhado acima, o conjunto A tem 3 elementos,
logo ele tem 23 = 8 subconjuntos.
Exemplo
b) Se um conjunto B possui 64 subconjuntos, o número n de seus
elementos é calculado da seguinte forma:
2n = 64Þ 2n = 26Þ n = 6
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
97
¨
Sendo A = {1 , 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6}, temos:
A
B = {1 , 2, 3, 4, 5}
B
A = {2, 4, 6}
{2, 4, 6} = {1 , 3, 5}
{1 , 2, 3, 4, 5} = {6}
MATEMÁTICA I
EXERCÍCIO DE SALA
EXERCÍCIO DE CASA
01. Sejam A = {1, 3, 5, 7, 9, 11,} B = {1, 2, 3, 4, 5} e
C = {2, 4, 7, 8, 9, 10}. Então (A È B) Ç C
a) {2, 4}
b) {4}
c) {2, 4, 8}
d) {8, 10}
1) A condição necessária e suficiente para que
é
a) A = B = C = Æ
b) A = C = Æ
c) A = B = C
d) C = Æ
e) B = Æ
A é igual a
02. Seja o conjunto A = {x, y, {x}} e as proposições
I- x Î A;
II- {x} Î A;
III- {x} Ì A;
IV- ÆÌ A.
a) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
b) Apenas (II) e (IV) são verdadeiras.
c) Todas as proposições são falsas.
d) Todas as proposições são verdadeiras.
2) Seja o conjunto A = {x, y, {x}} e as proposições
I- x Î A;
II- {x} Î A;
III-{x} Ì A;
IV-ÆÌ A.
a) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
b) Apenas (II) e (IV) são verdadeiras.
c) Apenas (I) e (II) são verdadeiras
d) Todas as proposições são falsas
e) Todas as proposições são verdadeiras
03. O número de conjuntos X que satisfazem
{ 1 , 2 } Ì X Ì {1,2,3,4} é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
3) Se A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7}, das afirmativas
I - A B = {1, 2, 4, 7}
II - B A = {2, 4}
III - A B = {4, 2}
IV - B A = {1, 2, 4, 7}
a) II e III são verdadeiras.
b) IV é verdadeira.
c) Somente II é verdadeira.
d) Somente III é verdadeira.
e) nenhuma das anteriores
04. No diagrama abaixo, a parte em destaque representa:
4) Sendo A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4, 6, 8} e
C = {4, 5, 6, 7, 8}, o número de elementos do conjunto
(A Ç B) È (C A) é
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
a) (A Ç B) È C
b) (A È B) - C
c) (B Ç C) - A
5) Sendo X o conjunto dos habitantes da cidade de João Pessoa, Y
o conjunto dos habitantes da cidade de Campina Grande e Z o
conjunto dos habitantes do Estado da Paraíba, pode-se afirmar que
a) X Î Y
b) Z É X
c) X È Z = X
d) X Ì Y
e) X Î Z
d) A (B Ç C)
e) B - C
05. Sejam A,B e C conjuntos finitos. O número de elementos de
A Ç B é 30, o número de elementos de A Ç C é 20 e o número de
elementos de A Ç B Ç C é 15. Então, o número de elementos de
A Ç (B È C) é:
a) 35
b) 15
c) 20
d) 45
e) 50
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
A Ì B, B Ì C e C Ì A
98
MATEMÁTICA I
98
AULA 02: CONJUNTOS
b) Sabendo que A tem x elementos, B tem 9 elementos, A Ç B
tem 4 elementos e A È B tem 11 elementos, vamos calcular o
número de elementos (x) do conjunto A.
n(A È B) = n(A) + n(B)
Complemento de um conjunto
11 = x + 9
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por
CA B, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto
de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não
pertencem ao conjunto B.
n(A Ç B)
4
11 = x + 5
11
5=x
x=6
c)
Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: "Quem
é torcedor do Grêmio?" 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou:
"Quem é nascido em Porto Alegre?" 28 levantaram o braço.
Sabendo que nenhum aluno deixou de levantar o braço, vamos
determinar quantos alunos são Gremistas e Porto-alegrenses.
Assim, temos:
¨
AÇB=B
¨
AÈB=A
¨
B
Vamos considerar, no universo U dos alunos dessa sala, o conjunto
G dos que torcem pelo Grêmio e o conjunto P dos que nasceram
em Porto Alegre.
Temos:
A=Æ
Quando não existe dúvida sobre o universo U em que trabalhamos,
simplesmente utilizamos a letra c colocada como um expoente no
conjunto, para indicar o complemento deste conjunto.
Alguns exemplos especiais são:
Æc = U ,Uc = Æ
Exemplos
¨
a) Dados A = {1, 2, 3, 5, 8, 11, 13}, B = {2, 5, 11} e
C = {2, 3, 8, 13}, vamos calcular:
¨ y: número de alunos que são gremistas e porto-alegrenses = G
Ç P;
¨
13}
CA B = A
B = {1, 2, 3, 5, 8, 11, 13}
{2, 5, 11} = {1, 3, 8,
¨
¨
11}
CA C = A
C = {1, 2, 3, 5, 8, 11, 13}
{2, 3, 8, 13} = {1, 5,
¨ t: número de alunos que não são Grêmio nem de Porto Alegre =
U - (G È P), no caso zero, pois todos os alunos se manifestaram.
P);
z: número de alunos que são só porto-alegrenses = P
G;
Logo:
b) Se A = {x Î IR; x < 2}, o conjunto universo é IR; logo
¨
CR A = {x Î IR; x ³ 2}
Determinando os elementos de um conjunto
Podemos representar o número de elementos de um conjunto A por
n(A).
¨
Total de 42 alunos: x + y + z + t = 42 (I)
¨
36 são Grêmio: x + y = 36 (II)
¨
28 são de Porto Alegre: y + z = 28 (III)
Substituindo t = 0, e a equação (lI) em (I), temos:
36 + z + 0 = 42 Þ z = 42
Existe uma relação importante que envolve a quantidade de
elementos dos seguintes conjuntos finitos: A, B, A È B e
A Ç B.
Observe:
n(A È B) = n(A) + n(B)
x: número de alunos que são só gremistas = (G
36Þ z = 6
Agora, substituindo z = 6, na equação (III), vem:
y + 6 = 28 Þ y = 28
n(A Ç B)
6Þ y = 22
Resposta: 22 dos 42 alunos são torcedores do Grêmio e nasceram
em Porto Alegre.
Exemplos
a) Sejam: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8}, temos:
A Ç B = {4, 5, 6} e A È B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; logo, podemos
comprovar que
n(A È B) = n(A) + n(B)
8=6+5
8=8
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
n(A Ç B)
3
99
MATEMÁTICA I
99
EXERCÍCIO DE SALA
EXERCÍCIO DE CASA
01. Em uma escola, 5 000 alunos inscreveram-se para cursar as
disciplinas A e B. Desses alunos, 2 825 matricularam-se na
disciplina A e 1 027 na disciplina B. Por falta de condições
acadêmicas, 1 324 alunos não puderam matricular-se em nenhuma
das
disciplinas.
O
número
de
alunos
matriculados,
simultaneamente, nas duas disciplinas, é
a) 156
b) 176
c) 297
d) 1027
e) 927
1) O conjunto A tem 20 elementos; o A Ç B tem 12 elementos; o
A È B tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é
a) 28
b) 36
c) 48
d) 52
e) 56
2) Os conjuntos A, B e A È B têm, respectivamente, 10, 9 e 15
elementos. O número de elementos de A Ç B é :
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 8
02. Numa cidade existem dois jornais, A e B, que têm juntos 5 000
assinantes. O jornal A tem 2 800 assinantes e os dois jornais têm
400 assinantes comuns. O número de assinantes do jornal B é
a) 2 600
b) 2 800
c) 3 000
d) 3 200
e) 3 400
3) Uma pesquisa do gosto musical dos alunos, realizada num
colégio, indicou que 458 gostam de rock, 112 gostam de música
sertaneja, 62, de ambos e 36, de nenhum desses estilos musicais.
Com base nestes dados, o número de alunos consultados é
a) 544
b) 582
c) 602
d) 640
e) 700
03. Em uma universidade, são lidos dois jornais, A e B. Exatamente
80% dos alunos lêem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que
todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de
alunos que lêem ambos é
a) 40%
b) 50%
c) 60%
d) 70%
e) 80%
4) Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são
homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez.
Conclui-se, portanto, que
a) 31 são mulheres.
b) 29 são homens.
c) 29 mulheres não jogam xadrez.
d) 23 homens não jogam xadrez.
e) 9 homens não jogam xadrez.
04. Numa cidade, são consumidos três produtos A, B e C. Feito um
levantamento do mercado sobre o consumo desses produtos,
obteve-se o seguinte resultado disposto na tabela abaixo.
Produtos
Nº
consumidores
A
B
C
AeB
AeC
BeC
A,B e C
150
200
250
70
90
80
60
O número de pessoas que consomem o produto B ou o produto C é
a) 370
b) 360
c) 350
d) 340
e) 300
5) Em uma escola, os alunos devem estudar uma língua que pode
ser o francês ou o inglês. Se quiserem, poderão estudar as duas.
Nenhum deles
Sabendo-se que
há180
200 alunos estudando francês,
há 130 alunos estudando inglês,
o total de alunos da escola é 300,
Determine quantos alunos estudam apenas francês:
a) 140
b) 70
c) 130
d) 30
e) 100
05. Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras
de TV a que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado
seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 assistem ao canal
B, dos quais 150 assistem a ambos os canais A e B e 80 assistem a
outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas
é:
a) 800
b) 720
c) 570
d) 500
e) 600
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
100
MATEMÁTICA I
100
¨
AULA 03: CONJUNTOS NUMÉRICOS
¨ Cada intervalo representa todos os reais entre a e b estando os
extremos incluídos ou não
Números naturais
¨ Inclusão de extremo Û fechado Û bolinha cheia (˜)
Ûcolchetes normais [ ].
N = {0, 1 ,2, 3, ...}
¨ Exclusão do extremo Û aberto Û bolinha vazia (š) Û
colchetes invertidos ] [.
Números inteiros
Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}
Considerando a um número real qualquer, utilizamos os símbolos +
e
, para representar intervalos infinitos. Veja:
Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z.
Números racionais
101
São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são
inteiros quaisquer, com b diferente de 0.
Q = {x/x = a/b ; a Î Z, b Î Z com b ¹ 0}
Números irracionais
São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b
Inteiros e b diferente de 0.
Exemplos:
Operações com intervalos reais
a) 3 = 1,73205
b) p = 3,141592654
Sendo os intervalos subconjuntos de R, pode-se calcular a união, a
interseção e a diferença desses intervalos.
Exemplos
¨ Calcule ] 3, 7] È ] 4 , + [
Números reais
A união dos números Irracionais com os números racionais constitui
o conjunto dos números reais.
Conjunto dos números complexos
Esse conjunto surgiu da necessidade de dar sentido a raízes
quadradas de números negativos. São números da forma
(a +
bi), com i² = -1 ou seja:
¨
Calcule: ] 3, 7] Ç ]4, + [
¨
Calcule: ] -3, 7]
¨
A união de dois intervalos não é necessariamente um intervalo
C = {a + bi, a Î IR e b Î IR, i = - 1 }.
Intervalos reais
¨
Intervalo fechado de extremos a e b.
Representação: [a, b] = {x Î R; a £ x £ b}
Na reta real:
¨
]4, + [
Intervalo aberto de extremos a e b:
]a, b[ = {x Î R; a < x < b}
¨
Intervalo fechado em a e aberto em b:
[a, b [ = {x Î R; a £ x < b}
Na reta real:
¨ Intervalo aberto em a e fechado em b:
] a, b] = {x Î R; a < x £ b}
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
101
MATEMÁTICA I
EXERCÍCIO DE CASA
EXERCÍCIO DE SALA
æ
æ
ö
ö
01.Se A = ç x Î IR; x > 5 ÷ , B = ç x Î IR; x > 2 ÷ e
8ø
è
è
3ø
1) Se A = {x Î IN / x = 4n, com n Î IN} e
B = {x Î IN* / 20/x = n, com n Î IN}, então, o número de
elementos de A Ç B é
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
e) Æ
æ
ö
C = ç x Î IR; 5 £ x £ 3 ÷ , então (A È C) Ç B é:
8
è
4ø
ü
ì
a) íx Î IR; x < 2 ý
3þ
î
ü
ì
b) íx Î IR; x £ 3 ý
4þ
î
ü
ì
c) íx Î IR; 5 £ x < 2 ý
8
î
102
3þ
2)Dados os conjuntos:
ì
ü
d) íx Î IR; 5 £ x £ 3 ý
8
î
4þ
N = {1, 2, 3, 4, ...}, X = {x Î N /
e) nda
Y = {y Î N /
02. A expressão 888 - 444/844 - 422 é equivalente a:
a) 1 - 228
03. Somando-se as dízimas periódicas 0,454545... e 0,545454...,
obtém-se:
a) Um inteiro
b) Um racional maior que 1
c) Um racional menor que 1
d) Um irracional maior que 1
e) Um irracional menor que 1
3)Sendo
A
=
{x
Î
IR
B = { x Î IR / 2 < x £ 5}, então:
1
a
e b = a, então
+ 2b 1 vale:
2
2
-11
-13
-15
a)
b)
c)
4
4
4
13
15
d)
e)
4
4
d) 12,5
1
<
x
<
3}
c) 8
e) 80
5)Dada a expressão:
A=
abc(a + b + c)
e considerando que a = 1/2, b = -2 e
(a + c)(a - c)
1/3, o valor numérico de A é:
a) 1,30
b) 1,92
c) 2,64
d) 2,80
e) 2,92
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
e
4) Se A é um número compreendido entre 0 e 1, então é FALSO
que:
a) 1/A > 1
b) A/2 > A
c) 0,9.A < A
d) - A > -1
e) A ÷ A = 0,5
05. Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por:
1
8
/
a) A Ç B = {x Î IR /2 £ x £ 3}
b) A È B = {x Î IR / 1 < x £ 5}
c) A B = {x Î IR / 1 < x < 2}
d) B A = {x Î IR / 3 £ x £ 5}
04. Se a =
b)
y
Î N}, então o número de elementos do conjunto
5
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
e) 288(288 + 1)
1
125
e
XÇYé
b) 244288 + 1)
c) 9 . 244
d) 3(1 -288)
a)
20 Î N}
x
102
MATEMÁTICA I
c=
AULA 04:NÚMEROS DIVISIBILIDADE E FATORAÇÃO
Se y = 0 Þ 2 + 6 + x + 3 + 0 = 11 + x Þ x = 1 ou x = 4 ou x = 7
Se y = 5 Þ 2 + 6 + x + 3 + 5 = 16 + x Þ x = 2 ou x = 5 ou x = 8
Conjunto dos números naturais
Números primos
A necessidade de contar fez com que surgisse o conjunto dos
números naturais:
Números primos são os números naturais que têm apenas dois
divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Em IN, estão definidas as operações de: adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
Exemplos
a)
2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número
primo.
Divisibilidade
b)
11 tem apenas os divisares 1 e 11, portanto 11 é um
número primo.
Vamos considerar a e b números naturais. O número a é divisível
por b (diferente de zero) ou b é divisor de a ou a é múltiplo de b, se,
e somente se, existir um número c Î IN tal que: a = b × c
Generalizando, temos:
c) 8 tem os divisores 1, 2, 4 e 8, portanto 8 não é um número
primo.
Observações
¨ 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor
que é ele mesmo.
¨
Relação fundamental da divisão
2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números
compostos.
a = b × q + r; com 0 £ r < b
Decomposição em fatores primos
Critérios de divisibilidade
Todo número natural maior que 1 pode ser decomposto num
produto de dois ou mais fatores. Decomposição do número 36 num
produto:
Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem
regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a
divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.
36 = 6 ´ 6
36 = 2 ´ 3 ´ 2 ´ 3
36 = 2 ´ 2 ´ 3 ´ 3 = 22 ´ 32
Divisibilidade por 2
No produto 2 ´ 2 ´ 3 ´ 3 todos os fatores são primos.
Um número natural é divisível por 2, quando ele termina em 0, ou 2,
ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Chamamos de fatoração de 36 a decomposição de 36 num produto
de fatores primos. Então a fatoração de 36 é 22 ´ 32.
Exemplo
510 é divisível por 2, pois termina em 0.
De um modo geral, chamamos de fatoração de um número
natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores
primos.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3, quando a soma dos valores absolutos
dos seus algarismos for divisível por 3.
Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe,
no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:
Exemplo
432 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 4 + 3
+ 2 = 9, e como 9 é divisível por 3, então 432 é divisível por 3.
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º) A seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo
desse quociente, e assim sucessivamente, até obter o quociente 1.
Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5, quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplo
85 é divisível por 5, pois termina em 5.
Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10, quando ele termina em 0.
Exemplo:
a) 6 250 é divisível por 10, pois termina em 0.
Então, 630 = 2 ´ 3 ´ 3 ´ 5 ´ 7
630 = 2 ´ 32 ´ 5 ´ 7
b) Seja o número 26x3y, determinar x e y, de modo que esse
número seja divisível por 3 e 5 ao mesmo tempo.
Se 26x3y é divisível por 5, então y só pode ser zero ou 5
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
103
MATEMÁTICA I
103
EXERCÍCIO DE CASA
EXERCÍCIO DE SALA
01. Três dúzias de ovos valem 4 dúzias de maçãs e 5 dúzias de
maçãs valem 3 dúzias de goiabas. Sabendo que uma dúzia de
goiabas custa R$ 6,00, podemos afirmar que uma dúzia de ovos
custará:
a) R$ 4,60
b) R$ 4,80
c) R$ 5,00
d) R$ 5,10
e) R$ 5,20
1)Sejam os conjuntos A = {x Î Z; x = 6n + 3, n Î Z} e
B = { x Î Z; x = 3n, n Î Z}. Então, A Ç B é igual a
a) {x Î Z; x é ímpar e múltiplo de 3}
b) {x Î Z; x é par e múltiplo de 3}
c) {x Î Z; x é múltiplo de 3}
d) {x Î Z; x é múltiplo de 6}
e) {x Î Z; x é múltiplo de 9}
2)Sejam os conjuntos formados por números naturais
02. 40 pessoas, rapazes e moças, alugaram um ônibus para
excursão por
R$ 400,00. Os rapazes não permitiram que as
moças pagassem a sua parte. Assim, a quantia de cada rapaz foi
aumentada de R$ 30,00. Quantas eram as moças.
a) 24
b) 30
c) 31
d) 32
e) 48
A = conjunto dos múltiplos de 3
B = conjunto dos divisares de 30
C = conjunto dos números pares
O número de elementos de A Ç B Ç C =
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
3) Um número é da forma 3a7b. Sabendo-se que este número é
divisível por 25 e por 3, os possíveis valores de a e b, são
a) b = 2, a = 0 ou a = 3 ou a = 5 ou a = 9
b) b = 5, a = 0 ou a = 5 ou a = 6 ou a = 9
c) b = 5, a = 0 ou a = 3 ou a = 6 ou a = 9
d) b = 9, a = 0 ou a = 5 ou a = 6 ou a = 9
03. Um aluno recebe R$ 3,00 por problema que acerta e paga R$
2,00 por problemas que erra. Fez 50 problemas e recebeu R$
85,00, quantos problemas errou?
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
4)Na divisão de dois inteiros positivos, o quociente é 16 e o resto é
o maior possível. Se a soma do dividendo e do divisor é 125, o resto
é
a) 4
b) 5
c) 6
d)7
e) 8
04. Numa divisão, o quociente é 8 e o resto, 24. Sabendo-se que a
soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto é 344. Então
a diferença divisor menos dividendo é:
a) 127
b) 127
c) 100
d) 248
e) 248
15) Numa divisão de naturais, o dividendo é 62, o quociente é o
sucessor do divisor e o resto é o maior possível. O quociente dessa
divisão vale
a) 8
b)7
c) 6
d)5
e) 4
05. Dividindo-se 427 e 322 pelo maior número possível, acha-se 7
para resto em ambas as divisões. Esse número é igual a:
a) 55
b)105
c) 155
d)205
e) 305
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
104
MATEMÁTICA I
104
Notação
AULA 05: FUNÇÃO
Quando temos uma função de A em B, podemos representá-la da
seguinte forma:
f: A ® B (lê-se: função f de A em B)
· Se a fórmula for y = x + 5, podemos escrever também
f(x)
= x + 5.
Definição de função
A função pode ser definida como um tipo especial de relação:
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B.
Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x
do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do
conjunto B.
Domínio, contra domínio e imagem de uma função
Numa função, o domínio é constituído por todos os valores que
podem ser atribuídos à variável independente. Já a imagem da
função é formada por todos os valores correspondentes da variável
dependente.
Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:
A definição acima nos diz que para uma relação f de A em B ser
considerada uma função, é preciso satisfazer duas condições:
· Todo elemento de A deve estar associado a algum elemento de
B.
· A um dado elemento de A deve estar associado um único
elemento de B.
f: A ® B (função que associa valores do conjunto A a valores do
conjunto B)
O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos
por D. O conjunto B é denominado contradomínio da função, que
indicaremos por CD. Cada elemento x do domínio tem um
correspondente y no contradomínio. A esse valor de y damos o
nome de imagem de x pela função f: O conjunto de todos os valores
de y que são imagens de valores de x forma o conjunto imagem da
função, que indicaremos por Im.
Vamos agora observar algumas relações e verificar quais delas são
funções.
· Dados os conjuntos A = {0, 5, 15} e B = {0, 5, 10, 15, 20, 25}, seja
a relação de A em B expressa pela fórmula y = x + 5, com x Î A e y
Î B.
Por exemplo, na função f: A ® B definida por f(x) = x + 5, com
= {-4, 0, 1, 2} e B = {-2, 1,3,5,6, 7, 9}, temos:
A
D = {-4, 0, 1, 2}, CD = {-2, 1, 3, 5, 6, 7, 9}
e
IM = {1, 5, 6, 7}
Observamos que:
· Todos os elementos de A estão associados a elementos de B.
· A um dado elemento de A está associado um único elemento de
R.
INJETIVA, SOBREJETIVA E BIJETIVA
Uma função f : A ® B será chamada injetiva, se dois elementos
distintos quaisquer de A corres- ponderem sempre a duas imagens
distintas em B, isto é: X1 ¹ x2 implica que f (x1) ¹ f (x2) ou f (x1) = f
(x2) implica que x1 = x2
Nesse caso, a relação de A em B expressa pela fórmula
y = x + 5 é uma função de A em B.
· Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5} e B = {0, 2, 5, 10, 20}, seja a
relação de A em B expressa pela fórmula y = x, com
x
Î A e y Î B.
Uma função f: A ® B será sobrejetora, se todo elemento de B for a
imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar
que a imagem da função deve ser exatamente igual ao
contradomínio da função (B), ou seja, para todo y em B existe x em
A tal que y = f(x).
Esse exemplo não expressa uma função de A em B, pois o
elemento - 2 do conjunto A não tem correspondente em B.
· Dados os conjuntos A = {-3, -1,1, 3} e B = {I, 3, 6, 9}, seja a
relação de A em B expressa pela fórmula
y = x2, com x Î A e y Î B.
Uma função f : A ® B será bijetora, se ela for, ao mesmo tempo,
injetora e sobrejetora.
A relação expressa pela fórmula y = X2, nesse caso, representa uma
função de A em B, pois:
· A todos os elementos de A estão associados elementos de B.
· A um dado elemento de A está associado um único elemento de
B.
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
105
MATEMÁTICA I
105
EXERCÍCIO DE CASA
EXERCÍCIO DE SALA
01. Considere a relação
diagrama abaixo.
de
em
b) apagar as setas 1 e 4 e retirar o elemento
e
.
e) apagar a seta 2 e retirar o elemento
.
=
.
3) Uma função real é tal que f(x). f(y) = f(x + y) , f(1) = 3 e
3) = 4. O valor de f(2 + 3) é:
a) 18
b) 24
c) 36
d) 42
e) 48
.
d) apagar a seta 4 e retirar o elemento
02. A função
2) Seja a função definida por f(x) = (2x - 3) / 5x. O elemento do
domínio de f que tem -2/5 como imagem é:
a) 0
b) 2/5
c) -3
d) 3/4
e) 4/3
.
a) apagar a seta 1 e retirar o elementos
c) retirar os elementos
1) A imagem da função f(x) = (4x + 2) / 3 é (- , 5] , para todo x
pertencente a R tal que:
a) x 13/4
b) x < 3/4
c) x 3/4
d) x < 17/4
e) x < 11
, representada no
está definida no conjunto dos inteiros positivos por
/2 se
é par, e
de soluções da equação
a) zero
b) um
c) dois
d) quatro
e) infinito
=3
+ 1 se
é impar. O número
= 25 é:
4) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos
B(4,2). Podemos então afirmar que:
a)
= -2
= -2
b)
c)
106
f(
A(1,-2) e
d)
03. O gráfico abaixo representa um função definida em
por
e)
=
.
O valor de
a) -2
c) 0
e) 2
5) Uma função :
é tal que (5 ) = 5
para todo número
real . Se (25) = 75, então o valor de (2+ ) é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
(2) +
(
(-5)) é igual a:
b) -1
d) 0
04. Assinale a alternativa que indica o domínio da função real
:
a)
b)
c)
d)
e)
05. É dada a função f(x)= a . 3bx, onde a e b são constantes.
Sabendo-se que f(0)=5 e f(1)=45, obtemos para f(1/2) o valor:
a) 0
b) 9
c) 15Ö5
d) 15
e) 40
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
106
MATEMÁTICA I
H: A ® C: a cada x Î A associa-se um único z Î C, tal que
y2 = (2x)2 = 4x2
AULA 06: FUNÇÃO
FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
z=
Essa função h, de A em C, dada por h(x) = 4x2, é denominada
função composta de g e f.
De um modo geral, para indicar como o elemento z Î C é
determinado de modo único pelo elemento x Î A, escrevemos:
Uma função real f é par, se qualquer que seja x Î Dom(f) tem-se
que f(x) = f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em
relação ao eixo vertical OV.
Z = g(y) = g[f(x)]
Notação:
A
função
composta
de
g
e
g o f (lê-se: g círculo f). (g o f)(x) = g[f(x)]
Uma função real f é ímpar, se qualquer que seja x Î Dom(f) tem-se
que f (-x) = -f (x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em
relação à origem do sistema cartesiano.
será
indicada
por
107
FUNÇÃO INVERSA
Observe as funções ( e g de domínio real dadas por
f(x) = 3x e g(x) = x/3
Vamos inicialmente dar alguns valores para x e determinar suas
imagens pela função t; formando pares ordenados
(x, f(x)):
x = -5 ® f(-5) = -15 (-5, -15)
x = 0 ® f(0) = 0 (0, 0)
x = 1 ® f(l) = 3 (1, 3)
x = Ö2 ® f(Ö2) = 3Ö2 (Ö2, 3Ö2)
FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
Uma função f é crescente, se quaisquer que forem x1 e X2 no
domínio de f, com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2). Isto é, conforme o
valor de x aumenta, o valor da imagem de x pela função também
aumenta.
Agora vamos tomar os valores obtidos como imagens pela função e
determinar as suas imagens pela função g:
x = -15 ® g( -15) = -5 (-15, -5)
x = 0 ® g(O) = 0 (0, 0)
x = 3 ® g(3) = 1 (3, 1)
x = 3Ö2 ® g( 3Ö2) = -12 (3Ö2, Ö2)
Uma função f é decrescente, se para quaisquer x1 e x2 do Domínio
de f, com X1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2). Isto é, conforme o valores de
x aumentam, os valores da imagem de x pela função f diminuem.
FUNÇÃO COMPOSTA
Você pode notar que podemos obter os pares da função g
invertendo-se a ordem dos elementos nos pares obtidos pela função
f:
Observe a seguinte situação:
Uma fábrica que produz sapatos calcula o seu lucro por meio da
equação L = 0,4C, em que L é o lucro e C o preço de venda desse
sapato para o comércio. Por sua vez, o preço C de venda é
calculado fazendo-se C = 20 + 2P, em que P é o valor gasto com a
matéria-prima para a fabricação desse sapato. Vemos, então, que o
lucro L é dado em função do preço C, e este é dado em função do
gasto P.
Seria possível determinar o lucro diretamente do gasto P com a
matéria-prima? Para isso, podemos fazer uma composição entre as
duas funções:
L = 0,4C
C = 20 + 2P
Observe o esquema;
Nesse caso, dizemos que g é a função inversa da função f e
representamos por g(x) = f-l(x).
L = 0,4(20 + 2P) ® L = 8 + 0,8P,
que relaciona diretamente L e P.
Então, se f(x) = 3x, f-l (x) = x/3
Agora faremos um procedimento análogo para as funções
f: A ® B, definida por f(x) = 2x, e g: B ® C, definida por g(x) = x2.
Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da
função g.
f: A ® B: a cada x E A associa-se um único y E B, tal que
y = 2x
g: B ® C: a cada y E B associa-se um único z E C, tal que
z = y2
Nesse caso, podemos considerar uma terceira função,
h: A ® C, que faz a composição entre as funções f e g:
Na função f considerada, podemos destacar duas características
importantes:
· O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo
elemento do contradomínio é correspondente de algum elemento do
domínio.
· Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único
elemento do domínio.
É necessário que a função satisfaça essas duas condições para que
ela seja invertível, ou seja, possua inversa. As funções que
satisfazem essas duas condições são denominadas funções
bijetivas. Portanto, apenas as funções bijetivas possuem inversa.
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
107
MATEMÁTICA I
EXERCÍCIO DE SALA
EXERCÍCIO DE CASA
1)Considere a função Y = 8X3 . A sua função inversa é:
3
01. Para
=
e
=1
temos que
X
2
3
X
b) Y =
8
3
c) Y = 2 X
X3
d) Y =
8
8
e) Y = 3X
é:
a) Y =
a)
b)
c)
d)
e) n.d.a
02. A função inversa da função
=
é:
a)
108
2)Considere
três
funções
f,
g
e
h,
tais
que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A
função
g
atribui
a cada
país,
a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas
b)
c)
d)
e)
3) Dentre as funções abaixo qual não é par e nem ímpar.
a) f(x) = 3x
b) f(x) = x2 + 1
c) f(x) = -x3
d) y = 4x 1
e) y = 7x4
03. Dadas as proposições:
p: Existem funções que não são pares nem ímpares.
q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica em relação ao
eixo dos y.
r: Toda função de A em B é uma relação de A em B.
s: A composição de funções é uma operação comutativa.
t: O gráfico cartesiano da função y = x / x é uma reta.
4) Seja
Podemos afirmar que são falsas:
Então,
a)nenhuma
b) todas
c) p,q e r
d) s e t
e) r, s e t
, bijetora, definida por
, bijetora, definida por
=
-1
(9) +
=
+ 1. Seja
.
vale:
a)
b)
c)
04. Seja f: IR ® IR uma função bijetora tal que f(5) = 2.
Se
g: IR ® IR é a função inversa da função f, então g-1 (5) é igual a:
a) 2
b) 7
c) 5
d) 3
05. A FUNÇÃO
=
d)
e)
5) Se f e g são funções tais que f(x) = 2x
é igual a:
-
x+3
2
1
b)
2x - 3
a) é sempre positiva
b) nunca assume o valor -
a)
c) apresenta gráfico que não intercepta o eixo dos
d) é sempre crescente
e) assume todos os valores reais
c) 3x + 2
d) 2x + 3
e)
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
3 e f(g(x)) = x, então g(x)
108
1
3x - 2
MATEMÁTICA I
De (II), vem:
x = 2k; y = 3k;
AULA 07 : RAZÕES E PROPORÇÃO
Definição
Chama-se razão entre os valores a e b (b ¹ 0) o quociente de a por
b.
Concluímos que cada apostador vai receber
Exemplos
Razão entre
x = 2.12 000 = R$ 24 000,00
y = 3.12 000 = R$ 36 000,00
3 e 4 ® 3/4 ou 3 : 4
a)
z = 5k
Substituindo estes valores em (I), obtemos
2k + 3k + 5k = 120 000 \ k = 12 000
b)
20m e 4s ® 20m 1 4s = 5m/s; razão chamada de
velocidade
z = 5.12 000 = R$ 60 000,00
Regra de três
c)
8g e 10cm3 ® 8g / 10cm3 = 0,8 g/cm3; razão chamada de
densidade
Dizemos que uma regra de três é simples quando envolve apenas
duas grandezas e composta quando envolve mais de duas
grandezas.
Proporções
Problemas de regra de três simples
Definição
1. Para alimentar 10 cachorros, gastam-se 4 kg de ração. Quantos
kg serão necessários para alimentar 4 desses cachorros?
Temos
cachorros (c)
®
ração(r)
10
4 kg
¯
¯
4
x
Proporção é a equivalência entre duas razões. Se os números a, b,
c e d formam, nesta ordem, uma proporção, podemos escrever
a=c
b d
Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos
extremos.
Se
Menos cachorros
proporcional a r. Daí
a = c então a × d = b × c
b d
menos
ração;
c
é
diretamente
10 = 4 Þ 10x = 16 \ x = 1,6 kg
4
x
Exemplo:
Calcular o valor de x, em
®
3 =2
x +1 7
Observação
Grandezas diretamente proporcionais (D.P.) ¯ ¯
Aplicando a propriedade fundamental, temos
2. Uma engrenagem de 36 dentes movimenta uma outra de 48
dentes. Se a segunda engrenagem executar 120 voltas, quantas
voltas executará a primeira?
2(x + 1) = 3.7
2x + 2 = 21
\ x = 19/2
Temos
Grandezas direta ou inversamente proporcionais
Vamos considerar que as variáveis x e y representem as medidas
de duas grandezas, que podem ser relacionadas entre si.
Chamando de k uma constante real diferente de zero, temos
¨
x é diretamente proporcional a y se, e somente se,
= k Þ x = ky
¨
x é inversamente proporcional a y se, e somente se,
®
voltas(v)
x
­
120
Observação
Grandezas inversamente proporcionais (I.P.) ¯ ­
x
y
Mais dentes Þ menos voltas e vice-versa; d é inversamente
proporcional a v. Daí
48 = x Þ 36 x = 48 × 120 \ x = 160 voltas
36 120
xy = k
Þx= x
y
Problema de regra de três composta
EXEMPLO
Em uma indústria, 12 máquinas, trabalhando 8 horas por dia,
produzem 64 camisas, em cada dia de trabalho. Quantas máquinas,
trabalhando 12 horas por dia, serão necessárias para produzir 80
camisas por dia?
Temos
máquinas
tempo(h/d)
camisas
12
8
64
x
12
80
Um prêmio de R$ 120 000,00 de uma loteria deve ser dividido
proporcional a R$ 2,00; R$ 3,00; R$ 5,00, quantias que cada
jogador apostou. Obter o valor a ser recebido por jogador.
Chamando x, y e z
respectivamente, temos
dentes( d)
36
¯
48
o
que
cada
jogador
vai
receber,
ì x + y + z = 120000 (I)
ï
í x = y = z = k (II)
ïî 2 3 5
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Daí,
12 = 12 × 64 Þ x = 12 × 8 × 80
12 × 64
x
8 80
109
MATEMÁTICA I
109
EXERCÍCIO DE SALA
EXERCÍCIO DE CASA
1)Em um mapa cartográfico, 4 cm representam 12 km. Neste
mesmo mapa, 10 cm representam
a) 10 km
b) 20 km
c) 30 km
d) 40 km
e) 50 km
01. Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1:50, as
dimensões de uma sala retangular são 10 cm e 8 cm. Em m2, a
medida da área da sala projetada é
a)20
b)30
c) 40
d) 50
e) 60
2)O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja altura é
3/5 do comprimento. A parte hachurada representa um jardim
retangular cuja largura é também 3/5 do comprimento. A razão entre
a área do jardim e a área total do terreno é
a) 30%
b) 36%
c) 40%
d) 45%
e) 50%
02. (Fuvest) O retângulo abaixo de dimensões a e b está
decomposto em quadrados. O valor da razão a/b é
a) 5/3
b) 2/3
c) 2
d) 3/2
e) 3
3)Na tabela abaixo, y é inversamente proporcional ao quadrado de x
(x > 0). Os valores de p e de m, respectivamente, são
a) p = 1/8 e m = 1/4
b) P = 1/2 e m = 1/2
c) P = 1/2 e m = 1/4
d) P = 3/4 e m = ¾
03. Um automóvel freado no momento em que sua velocidade é 32
km/h percorre ainda 10m até parar. Sabe-se que essa distância
percorrida até parar é proporcional ao quadrado da velocidade do
momento da freagem. A distância que o automóvel percorrerá até
parar, se freado a 80 km/h, é
a) 62,5 m
b) 60 m
c) 54,5 m
d) 50 m
e) 40 m
4)Considere um conto escrito em 10 páginas de 20 linhas cada, com
60 letras cada linha. Para escrevê-lo em
páginas de 30
linhas, com 50 letras cada linha, o número de páginas gasto é
a) 14
b) 12
c) 10
d) 8
e) 6
04. Uma determinada despesa de R$ 280,00, feita em restaurante,
deve ser paga por duas pessoas, A e B.
Sabendo-se que A
consumiu o triplo do que B consumiu, é justo que cada um pague
proporcionalmente ao que consumiu. Assim, proporcionalmente, A e
8 pagaram, respectivamente,
a) R$ 210,00 e R$ 70,00
b) R$ 200,00 e R$ 80,00
c) R$ 180,00 e R$ 100,00
d) R$ 90,00 e R$ 90,00
e) R$ 180,00 e R$ 90,00
5)Se 120 operários constroem 600 m de estrada em 30 dias de
trabalho, o número de operários necessário para construir 300 m de
estrada em 300 dias é
a) 6
b) 24
c) 240
d) 600
e) 800
05. Com 16 máquinas de costura, aprontam-se 720 uniformes em 6
dias. O número de maquinas que serão necessárias para
confeccionar 2 160 uniformes, em 24 dias, é
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 24
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
110
MATEMÁTICA I
110
AULA 08: PORCENTAGEM E JUROS SIMPLES
Montante
É o capital somado com o juros. Indica-se por M.
Conceito
M=C+j
Porcentagem é a razão na qual o denominador é 100, ou seja, p% =
p/100.
É importante que a taxa i e o tempo t estejam numa mesma unidade
de tempo.
A porcentagem de um número a em relação a outro b é dada pela
razão a/b.
EXEMPLOS:
Uma taxa percentual pode ser representada de várias formas:
fração de denominador 100, número decimal ou porcentagem (%).
1. O capital de R$ 600,00, aplicado à taxa de 9,5% ao ano, com
juros simples, produziu R$ 123,50 de juros. O tempo
correspondente à aplicação foi de
a) 1a e10m
b) 1a e 11m
c) 2a e1m
d) 2a e 2m
Exemplos
¨
¨
¨
¨
23 = 0,23 = 23%
100
23 = 0,023 = 2,3%
100
230 = 2,3 = 230%
100
100 = 1 = 100%
100
Temos:
C = 600
i = 9,5% aa
j = 123,50 t = ?
600 × 9,5 × t
j = cit Þ 123,50 =
100
100
123,50 = 6 × 9,5 × t Þ 123,50 = 57 t
Na resolução de problemas envolvendo porcentagem, utilizamos
preferencialmente a forma decimal.
t=
123,50 1235
= 2a e 2m
=
57
570
Cálculos
1235 570
Exemplos
a) Determinar o valor: 32% de 400.
Temos
0,32 ´ 400 = 128
95
2a
95 a = 95 ´ 12 m = 1140 m
1140m : 570 = 2m Þ Resposta: 2a e 2m, letra d
2. Empregando R$ 3.000,00 a 10% ao mês, sistema de juros
compostos, obteve-se, após 4 meses, M reais.
Calcular M.
Temos C = 3 000
b) Numa prova de matemática de 40 questões objetivas, se um
vestibulando errar 12 questões, o percentual de acertos será
a) 70%
b) 52%
c) 26%
d) 12%
Temos
Total de questões = 40
Questões erradas = 12
Questões certas = 28.
Logo
P = 28/40 = 0,7 = 70%
Resposta: a
i = 10% = 0,1 am
t = 4m
M = C(1 + i)t
M = 3 000(1 + 0,1)t
M = 3 000(1,1)4
M = 3 000 ´ 1,4641
M = R$ 4 392,30
1. Um produto comprado por R$ 120,00 deve ser vendido com um
lucro de 20%. Obter o preço de venda.
JUROS SIMPLES
Juros simples
É a gratificação que se obtém por se ter emprestado um capital C
durante um tempo t a uma taxa i. É importante observar que os
juros J produzidos pelo capital não vão render novos juros.
Calculam-se os juros empregando-se a seguinte fórmula:
j = cit
100
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
111
MATEMÁTICA I
111
EXERCÍCIO DE SALA
01. O valor de
EXERCÍCIO DE CASA
1% é
1)Se numa prova de 40 questões objetivas um vestibulando errar 12
questões, o percentual de acertos será:
a) 4,8%
b) 12%
c) 52%
d) 70%
e) 80%
a) 10%
b)10
c) 1
d)1%
e) 1,5
02. (Fuvest) (10%)2 é igual a
a) 100%
b) 20%
c) 10%
d) 5%
e) 1%
03. (PUC-SP) Descontos sucessivos
equivalentes a um único desconto de
a) 25%
b) 26%
c) 40%
d) 44%
e) 45%
de
20%
e
30%
2)Se sobre transações financeiras se cobra uma taxa de 0,3%, o
valor cobrado sobre um cheque de valor R$ 250.000,00 equivale a:
a) R$ 650,00
b) R$ 750,00
c) R$ 850,00
d) R$ 950,00
e) R$ 1.050,00
são
3)Um comerciante aumentou os preços de suas mercadorias em
150%. Como a venda não estava satisfatória, voltou aos preços
praticados antes do aumento. Em relação aos preços aumentados,
o percentual de redução foi de
a) 0%
b) 60%
c) 75%
d) 80%
e) 150%
04. Para comprar um tênis de R$ 70,00, Renato deu um cheque
pré-datado para 30 dias no valor de R$ 74,20. A taxa de juros
cobrada foi de
a) 0,6% ao mês.
b) 4,2% ao mês.
c) 6% ao mês.
d) 42% ao mês.
e) 0,42% ao mês.
4)O preço à vista de um carro usado é R$ 10 000,00. Um
comprador pagou R$ 5 000,00 de entrada e R$ 6 000, 00 após um
mês. A taxa mensal de juros cobrada pela loja é
a) 5%
b) 10%
c) 15%
d) 20%
e) 25%
05. Num grupo de 400 pessoas, 30% são homens e 65% das
mulheres têm mais de 20 anos. Quantas mulheres ainda não
comemoraram seu vigésimo aniversário?
a) 98
b) 105
c) 120
d) 182
e) 190
5) Uma pessoa tem 60% de seu capital aplicado à taxa de 5,5% ao
mês e o restante a 5% ao mês. Se, ao fim de um mês, os juros
produzidos foram de R$ 2 650,00, o capital inicial é de
a) R$ 40 000,00
b) R$ 45 000,00
c) R$ 50 000,00
d) R$ 55 000,00
e) R$ 65 000,00
ANOTAÇÕES
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
112
MATEMÁTICA I
112