O Código Da Vinci
Debate sobre o livro
“O Código Da Vinci”, de Dan Brown
Paços da Cultura - S. João da Madeira
21 de Março de 2006
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O Código Da Vinci
Desafio lançado por ex-alunos:
Falar, na qualidade de professor de Matemática, sobre o livro
O Código Da Vinci, de Dan Brown
Alguns motivos de interesse:
Muito falado e comentado (controverso)
História envolvente e empolgante, cheia de mistério
Episódio-chave passado no Louvre (65.300 obras de arte)
Muitas referências a conceitos matemáticos
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O Código Da Vinci
A sucessão de Fibonacci:
13-3-2-21-1-1-8-5: código lido por Robert Langdon que Jacques Saunière tinha escrito
no soalho do Louvre antes de morrer. O código era-lhe familiar, mas a jovem Sophie
Neveu, especialista em criptografia, descobriu que se tratava dos primeiros termos da
sucessão de Fibonacci, por ordem trocada.
Série infinita de números onde cada número é a soma dos dois anteriores
1
1
2
3
5
8
13
21
34 55
….
Propriedade:
Dividindo dois termos consecutivos da sucessão (o número maior pelo menor) vamos
obter as sucessivas aproximações de um número especial FI - Φ
>>>>>>
3
O Código Da Vinci
O número de ouro (Φ):
Φ com 1.000 casas decimais (Fonte: http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/analysis/phi/):
1,618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448
622705260462818902449707207204189391137484754088075386891752
126633862223536931793180060766726354433389086595939582905638
322661319928290267880675208766892501711696207032221043216269
548626296313614438149758701220340805887954454749246185695364
864449241044320771344947049565846788509874339442212544877066
478091588460749988712400765217057517978834166256249407589069
704000281210427621771117778053153171410117046665991466979873
176135600670874807101317952368942752194843530567830022878569
978297783478458782289110976250030269615617002504643382437764
861028383126833037242926752631165339247316711121158818638513
316203840052221657912866752946549068113171599343235973494985
090409476213222981017261070596116456299098162905552085247903
524060201727997471753427775927786256194320827505131218156285
512224809394712341451702237358057727861600868838295230459264
787801788992199027077690389532196819861514378031499741106926
088674296226757560523172777520353613936
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A sucessão de Fibonacci:
Esta estranha sucessão apareceu em Liber Abaci, publicado em
1202 por Leonardo de Pisa (c. 1170-c. 1240), mais tarde conhecido
como Fibonacci.
No livro aparece um problema curioso: «Um homem colocou um par
de coelhos num local cercado por todos os lados por uma parede.
Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir desse par ao
fim de um ano, sabendo que, por mês, cada par gera um novo par,
que se torna produtivo no segundo mês de vida?»
Ora, no primeiro mês existia apenas o par inicial. No segundo mês,
este atingiu a idade reprodutiva. No terceiro mês, esse par teve já
outro par. No quarto mês, o par inicial teve outro par, enquanto os
seus primeiros filhos cresciam. No quinto mês, tanto o par inicial
como os seus primeiros filhos, entretanto já maduros, tiveram
descendentes. E por aí adiante.
Obtém-se cada termo somando os dois anteriores - sucessão de
Fibonacci.
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O Código Da Vinci
O Homem de Vitrúvio (desenho de Leonardo Da Vinci):
O conservador Sauniére criou com o seu corpo uma réplica em tamanho natural do mais célebre
desenho de Leonardo Da Vinci. À volta, tinha descrito um círculo. No seu próprio estômago, tinha
desenhado a sangue uma estrela de cinco pontas.
A estrela de cinco pontas, também chamada
pentagrama, é fácil de formar com cinco traços simples.
Colocada «de pé» relembra a figura humana. Com duas
pontas para cima, sugere um animal cornudo,
naturalmente demoníaco. É muitas vezes designada
como pentáculo.
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O Código Da Vinci
Triângulo dourado e pentagrama:
Se unirmos uma ponta da estrela com as duas opostas ficamos
com um triângulo isósceles. Esse triângulo tem dois ângulos de 72º
e um terceiro de 36º, portanto metade de cada um dos maiores. A
um polígono destes chama-se triângulo dourado.
Curiosamente, se bissectarmos um dos ângulos maiores dividindo
o triângulo original em dois, o triângulo mais pequeno resultante é
semelhante ao original, ou seja, é de novo um triângulo dourado.
Dividindo este triângulo pelo mesmo processo, pode construir-se
uma sucessão infinita de triângulos dourados encaixados.
Outra sucessão geométrica curiosa pode ser construída notando
que as pontas do pentagrama desenham um pentágono regular
que envolve a estrela. Olhando o seu interior, voltamos a descobrir
um pentágono regular. Isso significa que se pode construir uma
sucessão infinita de pentágonos e pentagramas encaixados.
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O Código Da Vinci
O rectângulo de ouro:
O rectângulo de ouro é um rectângulo que, quando é dividido em duas partes em que uma delas
seja um quadrado, então a parte restante terá que ser um rectângulo com as mesmas proporções
do rectângulo inicial.
Se retirarmos a este rectângulo o quadrado de lado x ( o quadrado a ),
obtém-se o novo rectângulo de ouro (o rectângulo b) de dimensões x e
y – x. Se repetirmos o procedimento, obtemos uma série de rectângulos
de ouro.
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O Código Da Vinci
O rectângulo de ouro:
O processo anterior pode realizar-se de forma inversa. Em vez de se ir dividindo o
rectângulo inicial num rectângulo de ouro e num quadrado, parte-se de um quadrado
de forma a obter sucessivos rectângulos de ouro.
Juntando dois quadrados com lado L=1cm,
teremos um rectângulo, sendo o lado maior igual à
soma dos lados dos quadrados anteriores.
Juntamos agora outro quadrado com lado L=2cm e
teremos um outro rectângulo com lado maior a
medir 3cm. Continuamos a juntar quadrados com
lados iguais ao maior dos comprimentos dos
rectângulos obtidos no passo anterior.
A sucessão das medidas dos lados dos quadrados
é: 1,1,2,3,5,8,13,... que é a sucessão de Fibonacci.
>>>>>>>
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A espiral de ouro:
Usando um compasso, trace um quarto de círculo no quadrado de lado L=13. Depois, trace
quartos de círculos nos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1, de modo a construir
uma espiral.
Matematicamente chama-se espiral
equiangular ou logarítmica, mas é
geralmente conhecida por espiral
dourada.
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Exemplos de duas imprecisões matemáticas no livro:
1. Do original
Dan Brown escreve que
FI = 1.618
o que está errado
Se quisermos escrever FI em notação decimal precisamos de acrescentar reticências,
para mostrar que se trata de uma aproximação. Com dez casas decimais podemos
escrever FI = 1,6180339887... (dízima infinita não periódica)
2. Da tradução
É usado o termo sequência. O termo correcto é sucessão.
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Curiosidades: (Relação existente entre os números de Fibonacci e os triplos pitagóricos)
Charles Raine descobriu que podemos calcular triplos pitagóricos utilizando estes números. Pegando em quatro
termos consecutivos da sucessão de Fibonacci (por exemplo 1,2,3,5), o produto dos números das pontas
(1x5=5), o dobro do produto dos dois números que estão no meio (2x 2x3 =12) e a soma dos quadrados desses
dois números do meio (2²+3²= 13) dá-nos um triplo pitagórico 5, 12, 13 : 5² + 12² =13².
Acontece também que o terceiro nº desse triplo pitagórico (13) é um número de Fibonacci. (Lívio M., 2002,
pág.107).
Vejamos agora o caso de 21, 34, 55, 89
21x89=1869
1869²
2x34x55=3740
+
3740²
34²+55² = 1156+3025 = 4181
= 3493161+13987600 = 17480761
1869; 3740 e 4181 é um triplo pitagórico
4181 também é um nº de Fibonacci >>>>>>
12
=
4181²
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Referências:
Brown, Dan. O Código Da Vinci.
http://www.esec-j-gomes-ferreira.rcts.pt/frmain.htm
http://pascal.iseg.utl.pt/~ncrato/Expresso/FiFibonacci_Expresso_20041009.htm
http://semiramis.weblog.com.pt/arquivo/167934.html
http://www.almanaque.cnt.br/codigodavinci/codigodavinci02.htm
http://www.saindodamatrix.com.br/archives/2004/09/fibonacci_e_o_p.html
http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/indexem21.html
http://www.expoente.com.br/professores/kalinke/projeto/aurea.htm
http://www.mat.puc-rio.br/~inicient/6_phi/index_phi.htm
http://cidadaodomundo.weblog.com.pt/arquivo/040747.html
http://www2.ese.ipvc.pt/~valterretlav/nova_pagina_1.htm
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