Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão
10º B
David nº9
Ricardo Pereira nº15
Sílvia nº19
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Introdução.........................................................................................3
O que é o número de ouro.................................................................4, 5 e 6
Quem foi Leonardo Fibonacci..........................................................7
Leonardo Da Vinci...........................................................................8
O número de ouro na Antiguidade...................................................9 e 10
Trabalhando no Geometer's Sketchpad...........................................11
Bibliografia ....................................................................................12
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Neste trabalho vamos começar por analisar o que é o número de Ouro e em
seguida tentaremos explorar o que existe sobre o número de ouro na
Antiguidade. Dada a importância dos pensadores e estudiosos Fibonacci e
Leonardo Da Vinci, vamos também fazer uma pequena abordagem sobre as
suas obras e vidas e ver o contributo dado para o estudo do número de
ouro.
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O número de ouro é um número irracional que surge em numerosos
elementos da natureza na forma de uma razão.
Este número é designado pela letra Φ , que é a inicial do nome de Fìbias,
um escultor e arquitecto e que foi encarregado de construir em Atenas o
Partenon.
Este número pode ser obtido ao construir um rectângulo cuja razão entre o
lado maior e o lado menor seja aproximadamente de 1, 618.
A um rectângulo deste tipo chama-se rectângulo de ouro ou dourado. Um
rectângulo nestas condições tem a particularidade de se poder dividir num
quadrado e num novo rectângulo de ouro. Este processo pode ser repetido
indefinidamente, mantendo-se a razão entre os lados de cada rectângulo
constantemente igual ao número de ouro.
Podemos depois traçar um quarto de circunferência em cada quadrado de
modo a construir uma espiral. Esta espiral não é uma espiral verdadeira,
uma vez que a sua curvatura não vai variando progressivamente.
Matematicamente chama-se espiral equiângular
ou logarítmica, mas é geralmente
conhecida por espiral dourada . Na
Natureza surge no girassol, nas
pinhas e no nautilus. Esta é a forma
também das garras, as presas e os
chifres da maioria dos animais, a
forma da casca do caracol, do ADN,
dos tornados, das impressões
digitais, do modo como se
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comportam os líquidos e gases com diferentes densidades. Até as galáxias
tem braços de estrelas que se estendem em gigantescas espirais
equiângulares .
Grande parte dos rectângulos que encontramos no nosso dia a dia
(bandeiras, jornais, livros, janelas, fotografias, cartões de crédito, etc) são
rectângulos dourados.
Na Antiguidade entendiam o número de ouro como uma proporção: o
ponto que divide um segmento de recta em duas partes tais que a razão
entre a mais pequena e a maior era exactamente igual à razão entre a maior
e todo o segmento. Se designarmos a parte maior por 1 e a parte menor por
x
1
x , podemos escrever : =
1
, em que x+1 representa o comprimento
x +1
total do segmento de recta. Transformando essa expressão na sua forma
5 −1
= 0, 618033989... .
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quadrática x 2 + x − 1 = 0 obtemos a solução x=
Se considerarmos x como sendo a parte maior e 1 como sendo a menor
temos x=
5 +1
= 1, 618033989... Este número designado actualmente pela
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letra Φ , tem esta propriedade interessante do ponto de vista
matemático: Φ 2 = Φ + 1 .
Outra aproximação geométrica à divina proporção, pode ser feita através
dum pentágono regular:
B
A
O
E
C
D
AC
= Φ ( a proporção entre qualquer dos lados e qualquer diagonal é a razão
AB
de ouro.)
AC AO BD DO
=
=
=
= Φ (A intersecção de quaisquer duas diagonais define
AB CO DO BO
também a razão de ouro.)
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Se desenharmos todas as diagonais,
obteremos uma estrela de cinco pontas
ou pentagrama, símbolo da Escola
Pitagórica. Se colocarmos o pentagrama
num circulo temos o pentáculo.
Com tantas proporções divinas incorporadas, percebe-se agora porque ao
pentagrama e principalmente ao pentáculo, sempre se atribuiu significados
místicos e esotéricos.
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(1170-1250)
Matemático italiano, nasceu em Pisa mas estudou matemática na Argélia.
A sua obra mais conhecida, o Liber Abaci, publicada em 1202, deu a
conhecer na Europa as matemáticas árabes e em particular, o sistema de
numeração que é actualmente o que usamos.
Viajou pela região do Mediterrâneo. No regresso a Pisa, cerca de 1200,
começou a escrever sobre matemática.
Em 1220, publicou Pratica Geometrie, na qual usou métodos algébricos
para resolver muitos problemas aritméticos e geométricos.
Em 1225, venceu um torneio de matemática na presença do imperador
romano do Ocidente, Frederico II, na corte de Pisa.
Liber Abaci foi um documento rigoroso sobre métodos algébricos e
problemas, onde Fibonacci defendeu fortemente a introdução do sistema
numérico indo-árabe, compreendendo os números de 1 a 9 bem como o
número zero. Tratando sistematicamente operações com números inteiros,
propôs igualmente ideia de um traço(solidus) para fracções.
A contribuição de Fabionacci para o número de ouro está relacionada com
a solução do seu problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci.
Surge assim uma sequência de números que têm a particularidade das
sucessivas razões entre um número e o seu antecedente se aproximar do
número de ouro.
A partir de 1960 cresceu o interesse pelos números de Fibonacci que, na
sua forma mais simples, consiste numa sequência em que cada número é a
soma dos seus dois antecedentes( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...). Têm
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características invulgares, com possíveis aplicações na botânica, psicologia
e astronomia.
Uma contribuição que não pode ser deixada de referir foi a de Leonardo Da
Vinci (1452-1519). A excelência dos seus desenhos revela os seus
conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea como
garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas.
É lembrado como matemático apesar da sua mente irrequieta não se
concentrar na aritmética, álgebra ou geometria o tempo suficiente para
fazer uma contribuição significativa . Representa bem o homem tipo da
renascença que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Leonardo era
um génio de pensamento original que usou exaustivamente os seus
conhecimentos de matemática e nomeadamente o número de ouro, nas suas
obras de arte.Um exemplo é a tradicional representação do homem em
forma de estrela de cinco pontas ,
que foi baseada nos pentágonos,
estrelado e regular, inscrito na
circunferência.
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A história deste número tão enigmático perde-se na Antiguidade. Sabe-se
que no Egipto as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a
razão áurea: a razão entre a altura de uma face lateral e metade do lado da
base da grande pirâmide é o número de ouro. O Papiro de Rhind (Egípto)
refere uma razão sagrada que se julga ser o número de ouro. Esta razão ou
secção áurea surge em muitas obras da Antiguidade
.
Construído muitas centenas de anos depois, o Partenon grego, que é um
templo representativo do século de Péricles, contém a razão de ouro no
rectângulo da sua fachada, o que revela a preocupação de realizar uma obra
com beleza e graciosidade. O escultor e arquitecto encarregado da
construção do templo chamava-se Fídias e a designação adoptada para o
número de ouro é a inicial do nome deste homem. Os gregos designavam
este número por proporção divina.
Os Pitagóricos usaram também a secção de ouro na construção da estrela
pentagonal . Não conseguiram exprimir como quociente entre dois números
inteiros a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado e o
lado do pentágono regular inscrito numa circunferência.Quando chegaram
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a esta conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isto era contrário a
toda a lógica que conheciam e defendiam, pelo que o designaram por
irracional.
Foi o primeiro número irracional de que se teve consciência que o era.
Posteriormente, ainda os gregos consideraram que o rectângulo cujos lados
apresentavam esta relação apresentava uma especial harmonia estética que
lhe chamaram rectângulo áureo ou rectângulo de ouro, considerando esta
harmonia como uma virtude excepcional.
Endoxus foi um matemático grego que se tornou conhecido devido à sua
teoria das proporções e ao método da exaustão. Criou uma série de
teoremas gerais de geometria e aplicou o método de análise para estudar a
secção que se acredita ser a secção de ouro.
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No laboratório de Matemática da nossa escola o nosso grupo de trabalho
pesquisou, construiu e analisou a seguinte construção :
C
DE
(m DC)
= 1,618
OE
= 1,618
OD
OE
= 1,618
PE
O
P
E
D
OD
= 1,618
OP
A
B
Escondendo
o
pentágono
maior da figura obtivemos estas
duas estrelas de cinco pontas
ou pentagramas.
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http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htm
http://cidadaodomundo.weblog.com.pt/arquivo/040747
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