LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB
21 de Novembro de 2013, às 22:55
Exercı́cios Resolvidos de Fı́sica Básica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica,
Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal da Paraı́ba (João Pessoa, Brasil)
Departamento de Fı́sica
Baseados na SEXTA edição do “Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas
Contents
7
Trabalho e Energia Cinética
7.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Trabalho: movimento 1D com força constante
7.2.2 Trabalho executado por força variável . . . . .
7.2.3 Trabalho realizado por uma mola . . . . . . .
7.2.4 Energia Cinética . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.5 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.6 Energia Cinética a Velocidades Elevadas . . .
Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para
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jasongallas @ yahoo.com
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3
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(sem “br” no final...)
(listaq3.tex)
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7
7.1
Trabalho e Energia Cinética
Questões
21 de Novembro de 2013, às 22:55
I (a) A força aplicada é constante e o trabalho feito por
ela é
WF = F · d = F d cos φ,
onde F é a força, d é o deslocamento do caixote, e φ é
o ângulo entre a força F e o deslocamento d. Portanto,
WF = (210)(3) cos 20o = 590 J.
(b) A força da gravidade aponta para baixo, perpendicular ao deslocamento do caixote. O ângulo entre esta
o
o
As molas A e B são idênticas, exceto pelo fato de que A força e o deslocamento é 90 e, como cos 90 = 0, o
é mais rı́gida do que B, isto é kA > kB . Qual das duas trabalho feito pela força gravitacional é ZERO.
molas realiza um trabalho maior (a) quando elas sofrem (c) A força normal exercida pelo piso também atua pero mesmo deslocamento e (b) quando elas são distendi- pendicularmente ao deslocamento, de modo que o trabalho por ela realizado também é ZERO.
das por forças iguais.
(d) As três forças acima mencionadas são as únicas que
I (a) Temos WA = kA x2 /2 e WB = kB x2 /2, onde x atuam no caixote. Portanto o trabalho total é dado pela
representa o deslocamento comum a ambas molas. Por- soma dos trabalhos individuais realizados por cada uma
tanto,
das três forças, ou seja, o trabalho total é 590 J.
WA
kA
=
> 1,
WB
kB
P 7-9 (???/6a )
ou seja, WA > WB .
A Fig. 7-27 mostra um conjunto de polias usado para
(b) Agora temos WA = kA x2A /2 e WB = kB x2B /2, facilitar o levantamento de um peso L. Suponha que o
onde xA e xB representam os delocamentos provocados atrito seja desprezı́vel e que as duas polias de baixo, às
pela força idêntica que atua sobre ambas as molas e que quais está presa a carga, pesem juntas 20 N. Uma carga
implica ter-se, em magnitude,
de 840 N deve ser levantada 12 m. (a) Qual a força
Q 7-13
F = kA xA = kB xB ,
donte tiramos xB = kA xA /kB . Portanto
WA
kB
kA x2A
=
=
< 1,
WB
kB (kA xA /kB )2
kA
mı́nima F necessária para levantar a carga? (b) Qual o
trabalho executado para levantar a carga de 12 m? (c)
Qual o deslocamento da extremidade livre da corda? (d)
Qual o trabalho executado pela força F para realizar esta
tarefa?
I (a) Supondo que o peso da corda é desprezı́vel (isto é,
que a massa da corda seja nula), a tensão nela é a mesma
ou seja, WA < WB .
ao longo de todo seu comprimento. Considerando as
duas polias móveis (as duas que estão ligadas ao peso
L) vemos que tais polias puxam o peso para cima com
uma força F aplicada em quatro pontos, de modo que a
força total para cima aplicada nas polias móveis é 4F .
Se F for a força mı́nima para levantar a carga (com ve7.2 Problemas e Exercı́cios
locidade constante, i.e. sem acelera-la), então a segunda
7.2.1 Trabalho: movimento 1D com força con- lei de Newton nos diz que devemos ter
stante
4F − M g = 0,
onde M g representa o peso total da carga mais polias
móveis, ou seja, M g = (840 + 20) N. Assim, enconPara empurrar um caixote de 50 kg num piso sem atrito, tramos que
860
um operário aplica uma força de 210 N, dirigida 20o
F =
= 215 N.
4
acima da horizontal. Se o caixote se desloca de 3 m, qual
(b) O trabalho feito pela corda é W = 4F d = M gd,
o trabalho executado sobre o caixote (a) pelo operário,
onde d é a distância de levantamento da carga. Portanto,
(b) pelo peso do caixote e (c) pela força normal exero trabalho feito pela corda é
cida pelo piso sobre o caixote? (d) Qual o trabalho total
executado sobre o caixote?
W = (860)(12) = 10320 J.
E 7-2 (7-7/6a edição)
http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas
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(A resposta na tradução do livro está incorreta.)
(c) A cada metro que a carga sobe, cada segmento
da corda entre o conjunto superior e inferior de polias
diminui de um metro. Ou seja, a extremidade livre da
corda abaixo de 4 metros. Portanto, no total a extremidade livre da corda move-se (4)(12) = 48 m para baixo.
(d) O trabalho feito pela pessoa que puxa a corda pela
extremidade livre é W = F d = M gd/4, onde d é a
distância que a extremidade livre se move. Portanto,
W = (860)
48
= 10320 J.
4
Observe que os valores encontrados nos itens (b) e (d)
devem coincidir, o que não ocorre com as respostas
fornecidas no livro.
P 7-12 (???/6a )
Um bloco de 3.75 kg é puxado com velocidade constante por uma distância de 4.06 m em um piso horizontal por uma corda que exerce uma força de 7.68 N
fazendo um ângulo de 15o acima da horizontal. Calcule
(a) o trabalho executado pela corda sobre o bloco e (b)
o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e o piso.
I (a) A força na corda é constante, de modo que o trabalho é dado por W = F · d = F d cos φ, onde F é
a força exercida pela corda, d é a distância do deslocamento, e φ é o ângulo entre a força e o deslocamento.
Portanto
W = (7.68)(4.06) cos 15o = 30.1 J.
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onde o valor de N foi obtido da segunda equação acima.
Substituindo o valor de f na primeira das equações
acima e resolvendo-a para µk encontramos sem problemas que
µk
=
=
7.2.2
F cos φ
mg − F sen φ
(7.68) cos 15o
= 0.22.
(3.57)(9.8) − (7.68) sen 15o
Trabalho executado por força variável
P 7-16 (???/6a )
A força exercida num objeto é F (x) = F0 (x/x0 − 1).
Calcule o trabalho realizado para deslocar o objeto de
x = 0 até x = 2x0 (a) fazendo um gráfico de F (x) e
determinando a área sob a curva e (b) calculando a integral analiticamente.
I (a) A expressão de F (x) diz-nos que a força varia
linearmente com x. Supondo x0 > 0, escolhemos dois
pontos convenientes para, através deles, desenhar uma
linha reta.
Para x = 0 temos F = −F0 enquanto que para x = 2x0
temos F = F0 , ou seja devemos desenhar uma linha
reta que passe pelos pontos (0, −F0 ) e (2x0 , F0 ). Faça
a figura!
Olhando para a figura vemos que o trabalho total é dado
pela soma da área de dois triângulos: um que vai de
x = 0 até x = x0 , o outro indo de x = x0 até x = 2x0 .
Como os dois triângulos tem a mesma área, sendo uma
positiva, a outra negativa, vemos que o trabalho total é
ZERO.
(b) Analiticamente, a integral nos diz que
Z 2x0 x
W =
F0
− 1 dx
xo
0
x2
2x0
= F0
−x = 0.
2x0
0
(b) A resposta pode ser obtida facilmente fazendo-se um
diagrama de corpo livre onde constem todas as (quatro)
forças aplicadas.
Desenhe um ponto P representando o bloco. Em P , desenhe a força normal N apontando para cima, a força
peso mg apontando para baixo. Apontando horizontalmente para a esquerda desenhe a força f de atrito. Desenhe a força F que puxa o bloco apontando para a direita e para cima, fazendo um ângulo φ com a horizontal,
Com isto tudo, a segundo lei de Newton nos diz que para
7.2.3 Trabalho realizado por uma mola
que o bloco se mova sem acelerar devemos ter equilı́brio
tanto na horizontal quanto na vertical, o que nos fornece
as equações, respectivamente,
E 7-18 (7-21/6a )
F cos φ − f
N + F sen φ − mg
= 0,
= 0.
A magnitude da força de atrito é dada por
f = µk N = µk (mg − F sen φ),
http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas
Uma mola com uma constante de mola de 15 N/cm está
presa a uma gaiola, como na Fig. 7-31. (a) Qual o trabalho executado pela mola sobre a gaiola se a mola é
distendida de 7.6 mm em relação ao seu estado relaxado? (b) Qual o trabalho adicional executado pela mola
se ela é distendida por mais 7.6 mm?
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I (a) Quando a gaiola move-se de x = x1 para x = x2
o trabalho feito pela mola é dado por
Z x2
x2
1
W =
(−kx) dx = − kx2 2
x1
x1
1
= − k(x22 − x21 ),
2
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E 7-29 (???/6a )
Um carro de 1000 kg está viajando a 60 km/h numa
estrada plana. Os freios são aplicados por um tempo
suficiente para reduzir a energia cinética do carro de
50 kJ. (a) Qual a velocidade final do carro? (b) Qual
onde k é a constante de força da mola. Substituindo a redução adicional de energia cinética necessária para
fazê-lo parar?
x1 = 0 m e x2 = 7.6 × 10−3 m encontramos
I (a) A energia cinética inicial do carro é Ki = mvi2 /2,
1
W = − (1500)(7.6 × 10−3 )2 = −0.043 J.
onde m é a massa do carro e
2
60 × 103
(b) Agora basta substituir-se x1 = 7.6 × 10−3 m e
= 16.7 m/s
vi = 60 km/h =
3600
x2 = 15.2 × 10−3 m na expressão para o trabalho:
é a sua velocidade inicial. Isto nos fornece
h
i
1
2
2
−3 2
W = − (1500) (15.2) − (7.6) × (10 )
Ki = (1000)(16.7)2 /2 = 1.39 × 105 J.
2
= −0.13 J.
Após reduzir em 50 kJ a energia cinética teremos
Perceba que durante o segundo intervalo o trabalho reKf = 1.39 × 105 − 50 × 103 = 8.9 × 104 J.
alizado é mais do que o dobro do trabalho feito no
primeiro intervalo. Embora o deslocamento tenha sido Com isto, a velocidade final do carro será
r
r
idêntico em ambos intervalos, a força é maior durante o
2Kf
2(8.9 × 104 )
segundo intervalo.
=
= 13.3 m/s
vf =
m
1000
= 47.8 km/h.
7.2.4
Energia Cinética
E 7-21 (7-???/6a )
(b) Como ao parar a energia cinética final do carro será
ZERO, teremos que ainda remover 8.9×104 J para fazelo parar.
Se um foguete Saturno V com uma espaçonave Apolo P 7-35 (7-17/6a )
acoplada tem uma massa total de 2.9 × 105 kg e atinge
uma velocidade de 11.2 km/s, qual a sua energia cinética Um helicóptero levanta verticalmente um astronauta de
72 kg até 15 m de altura acima do oceano com o
neste instante?
auxı́lio de um cabo. A aceleração do astronauta é g/10.
I Usando a definição de energia cinética temos que
Qual o trabalho realizado sobre o astronauta (a) pelo
helicóptero e (b) pelo seu próprio peso? Quais são (c)
1
1
K = mv 2 =
(2.9 × 105 )(11.2 × 103 )2
a energia cinética e (d) a velocidade do astronauta no
2
2
momento em que chega ao helicóptero?
= 1.75 × 1013 J.
I (a) Chame de F a magnitude da força exercida pelo
cabo no astronauta. A força do cabo aponta para cima e
o peso mg do astronauta aponta para baixo. Além disto,
a
E 7-22 (7-1/6 )
a aceleração do astronauta é g/10, para cima. De acordo
Um elétron de condução (massa m = 9.11 × 10−31 kg) com a segunda lei de Newton,
do cobre, numa temperatura próxima do zero absoluto,
F − mg = mg/10,
tem uma energia cinética de 6.7 × 10−19 J. Qual a velocidade do elétron?
de modo que F = 11mg/10. Como a força F e o desloI A energia cinética é dada por K = mv 2 /2, onde m é camento d estão na mesma direção, o trabalho feito pela
a massa do elétron e v a sua velocidade. Portanto
força F é
r
r
−19
2K
2(6.7 × 10 )
11mg
11(72)(9.8)(15)
v=
=
= 1.2 × 106 m/s.
WF = F d =
d =
m
9.11 × 10−31
10
10
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7.2.5
=
Potência
1.16 × 104 J.
(b) O peso tem magnitude mg e aponta na direção
oposta do deslocamento. Ele executa um trabalho
Wg = −mgd = −(72)(9.8)(15) = −1.06 × 104 J.
(c) O trabalho total feito é
WT = 11600 − 10600 = 1000 J.
Como o astronauta partiu do repouso, o teorema do
Trabalho-Energia diz-nos que sua energia cinética final
deverá ser igual a WT
(d) Como K = mv 2 /2, a velocidade final do astronauta
será
r
r
2K
2(1000)
=
= 5.27 m/s = 18.9 km/h.
v=
m
72
P 7-43 (???/6a )
Um bloco de granito de 1400 kg é puxado por um guindaste a vapor ao longo de uma rampa com velocidade
constante de 1.34 m/s (Fig. 7-38). O coeficiente de atrito
dinâmico entre o bloco e a rampa é 0.4. Qual a potência
do guindaste?
I Para determinar a magnitude F da força com que
o guindaste puxa o granito usaremos um diagrama de
corpo livre.
Chamemos de f a força de atrito, no sentido oposto ao
de F . A normal N aponta perpendicularmente à rampa,
enquanto que a magnitude mg da força da gravidade
aponta verticalmente para baixo.
P 7-36 (7-19/6a )
Da figura dada vemos que ângulo θ do plano inclinado
Uma corda é usada para fazer descer verticalmente um vale
30 bloco, inicialmente em repouso, de massa M com uma
θ = tan−1
= 37o .
aceleração constante g/4. Depois que o bloco desceu
40
uma distância d, calcule (a) o trabalho realizado pela
Tomemos o eixo x na direção do plano inclinado, aponcorda sobre o bloco, (b) o trabalho realizado sobre o
tando para cima e o eixo y apontando no mesmo sentido
bloco pelo seu peso, (c) a energia cinética do bloco e (d)
da normal N.
a velocidade do bloco.
Como a aceleração é zero, as componentes x e y da seI (a) Chame de F a magnitude da força da corda so- gunda lei de Newton são, respectivamente,
bre o bloco. A força F aponta para cima, enquanto que
a força da gravidade, de magnitude M g, aponta para
F − f − mg sen θ = 0,
baixo. A aceleração é g/4, para baixo. Considere o
N − mg cos θ = 0.
sentido para baixo como sendo o sentido positivo. A segunda lei de Newton diz-nos que M g − F = M g/4, Da segunda equação obtemos que N = mg cos θ, de
de modo que F = 3M g/4. A força está direcionada no modo que f = µ N = µ mg cos θ. Substiutindo este
k
k
sentido oposto ao deslocamento de modo que o trabalho resultado na primeira equação e resolvendo-a para F
que ela faz é
obtemos
3
WF = −F d = − M gd.
F = mg sen θ + µk cos θ .
4
(b) A força da gravidade aponta no mesmo sentido
que o deslocamento de modo que ela faz um trabalho A força do guindaste aponta no mesmo sentido que a veWg = M gd.
locidade do bloco, de modo que a potência do guindaste
(c) O trabalho total feito sobre o bloco é
é
3
1
WT = − M gd + M gd = M gd.
P = Fv
4
4
Como o bloco parte do repouso, o valor acima coincide
= mgv sen θ + µk cos θ
com sua energia cinética K após haver baixado uma
distância d.
o
o
=
(1400)(9.8)(1.34)
sen
37
+
0.4
cos
37
(d) A velocidade após haver baixado uma distância d é
r
r
2K
gd
= 17 kW.
v=
=
.
M
2
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P 7-47 (???/6a )
o sistema: WT = We + Wc + Wm . Como o elevador
move-se com velocidade constante, sua energia cinética
Uma força de 5 N age sobre um corpo de 1.5 kg inicialnão muda e, de acordo com o teorema do Trabalhomente em repouso. Determine (a) o trabalho executado
Energia, o trabalho total feito é zero. Isto significa que
pela força no primeiro, segundo e terceiro segundos e
We + Wc + Wm = 0.
(b) a potência instantânea aplicada pela força no final
O elevador move-se 54 m para cima, de modo que o trado terceiro segundo.
balho feito pela gravidade sobre ele é
I (a) A potência é dada por P = F v e o trabalho feito
We = −me gd = −(1200)(9.8)(54) = −6.35 × 105 J.
por F entre o instante t1 e t2 é
Z t2
Z t2
O contrapeso move-se para baixo pela mesma distância,
W =
P dt =
F v dt.
de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele é
t1
t1
Como F é a força total, a magnitude da aceleração é
a = f /m e a velocidade em função do tempo é dada
por v = at = F t/m. Portanto
Z t2 2
1 F2 2
F t
dt =
t2 − t21 .
W =
m
2 m
t1
Para t1 = 0s e t2 = 1s temos
1 52 [(1)2 − (0)2 ] = 0.83 J.
W1 =
2 15
Wc = mc gd = (950)(9.8)(54) = 5.03 × 105 J.
Como WT = 0, o trabalho feito pelo motor é
Wm = −We − Wc
W2 =
2 15
P =
[(2)2 − (1)2 ] = 2.5 J.
W3 =
2 15
=
1.32 × 105 J.
1.32 × 105
Wm
=
= 735 W.
∆t
180
Este valor corresponde a
Para t1 = 2s e t2 = 3s temos
1 52 (6.35 − 5.03) × 105
Este trabalho é feito num intervalo de tempo ∆t =
3 min = 180 s e, portanto, a potência fornecida pelo
motor para levantar o elevador é
Para t1 = 1s e t2 = 2s temos
1 52 =
[(3)2 − (2)2 ] = 4.2 J.
735 W
= 0.99 hp.
746 W/hp
(b) Substitua v = F t/m em P = F v obtendo então
a
P = F 2 t/m para a potência num instante t qualquer. P 7-49 (???/6 )
Ao final do terceiro segundo temos
A força (mas não a potência) necessária para rebocar um
barco com velocidade constante é proporcional à veloci2
(5) (3)
dade. Se são necessários 10 hp para manter uma velociP =
= 5 W.
15
dade de 4 km/h, quantos cavalos-vapor são necessários
para manter uma velocidade de 12 km/h?
P 7-48 (7-35/6a )
I Como o problema afirma que a força é proporcional
à velocidade, podemos escrever que a força é dada por
F = αv, onde v é a velocidade e α é uma constante de
proporcionalidade. A potência necessária é
Um elevador de carga totalmente cheio tem uma massa
total de 1200 kg e deve subir 54 m em 3 min. O contrapeso do elevador tem uma massa de 950 kg. Calcule a potência (em cavalos-vapor) que o motor do elP = F v = αv 2 .
evador deve desenvolver. Ignore o trabalho necessário
para colocar o elevador em movimento e para freá-lo, Esta fórmula nos diz que a potência associada a uma
isto é, suponha que se mova o tempo todo com veloci- velocidade v1 é P1 = αv12 e a uma velocidade v2 é
P2 = αv22 . Portanto, dividindo-se P2 por P1 podemos
dade constante.
nos livrar da constante α desconhecida, obtendo que
I O trabalho total é a soma dos trabalhos feitos pela
v 2
gravidade sobre o elevador, o trabalho feito pela gravi2
P2 =
P1 .
dade no contrapeso, e o trabalho feito pelo motor sobre
v1
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21 de Novembro de 2013, às 22:55
Para P1 = 10 hp e v2 = 3v1 , vemos sem problemas que
P2 =
12 2
4
(10) = (3)2 (10) = 90 hp.
Observe que é possı́vel determinar-se explicitamente o
valor de α a partir dos dados do problema. Porém, tal
solução é menos elegante que a acima apresentada, onde
determinamos α implicitamente, chegando ao resultado
final mais rapidamente.
(b) Como a velocidade do elétron é próxima da velocidade da luz,devemos usar expressão relativı́stica para a
energia cinética:
= mc2 p
K
=
1 − v 2 /c2
−1
(9.11 × 1031 )(2.998 × 108 )×
=
7.2.6
1
1
p
−1
1 − (0.68)2
3.0 × 10−14 J.
Energia Cinética a Velocidades Elevadas
Este valor é equivalente a
K=
E 7-50 (???/6a )
3.0 × 10−14
= 1.90 × 105 = 190 keV.
1.60 × 10−19
Um elétron se desloca de 5.1 cm em 0.25 ns. (a) Qual é
a relação entre a velocidade do elétron e a velocidade da
luz? (b) Qual é a energia do elétron em elétrons-volt?
(c) Qual o erro percentual que você cometeria se usasse
a fórmula clássica para calcular a energia cinética do
elétron?
(c) Classicamente a energia cinética é dada por
I (a) A velocidade do elétron é
Portanto, o erro percentual é, simplificando já a potência
comum 10−14 que aparece no numerador e denominador,
v=
d
5.1 × 10−2
=
= 2.04 × 108 m/s.
t
0.25 × 10−9
8
Como a velocidade da luz é c = 2.998 × 10 m/s, temos
v=
2.04
c = 0.68 c.
2.998
http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas
K=
1
mv 2
2
=
1
(9.11 × 10−31 )(2.04 × 108 )2
2
=
1.90 × 10−14 J.
erro percentual =
3.0 − 1.9
= 0.37,
3.0
ou seja, 37%. Perceba que não usar a fórmula relativı́stica produz um grande erro!!
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