Universidade do Estado de Santa Catarina
Centro de Ciências Tecnológicas - CCT
Departamento de Matemática
Lista de Exercícios de Álgebra
1. Calcular o valor de k para que a parábola x = ky 2 tenha foco no ponto (3, 0).
2. Calcular os pontos de interseção da parábola y 2 = 4x com a reta r : 4x − 2y − 3 = 0.
3. Escreva as equações reduzidas das parábolas com vértice na origem, dados
(a) o foco (8, 0);
(b) dois pontos da parábola (6, 18) e (−6, 18);
(c) um ponto da diretriz (4, 7) e o eixo de simetria Ox.
4. Ache o vértice, o foco, uma equação do eixo e uma equação da diretriz da parábola dada. Faça
um esboço do gráco.
(a) y 2 + 6x + 10y + 19 = 0
(b) y = 3x2 − 3x − 3
(c) 2y 2 = 4y − 3x
5. Escreva a equação reduzida da elipse, dados
(a) os focos (±5, 0) e dois vértices (±13, 0);
(b) dois vértices (±5, 0) e a excentricidade e = 35 . Os focos estão no eixo Ox;
√
√
(c) o centro (0, 0), um dos focos (0, − 40) e um ponto ( 5, 143 ).
6. Ache o centro, os vértices, focos e excentricidade da elipse dada. Faça um esboço da curva
mostrando os focos.
(a) 3x2 + 5y 2 − 6x − 12 = 0
(b) 3x2 + 2y 2 + 12x − 4y + 2 = 0
7. Ache o centro, os vértices, os focos e as equações das assíntotas da hipérbole dada. Faça um
esboço da curva e de suas assíntotas e mostre os focos.
(a) 9x2 − 4y 2 = 36
(b) x2 − y 2 + 8x − 2y − 21 = 0
(c) y 2 − x2 + 2y − 2x − 1 = 0
8. Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
(a) os vértices (±2, 0) e os focos (±3, 0);
(b) b = 4, as assíntotas 2y = ±3x (focos no eixo Oy );
(c) as assíntotas y = ±x e um ponto da hipérbole (5, 9).
9. Um esguicho, posicionado na origem, lança água e esta descreve uma parábola de vértice V (1, 5).
Calcular a altura h do lete de água, a uma distância de 1, 5 metros da origem, sobre uma
horizontal Ox.
2
10. Qual a equação do conjunto de pontos P (x, y) que são eqüidistantes da reta y = 3 e do ponto
F (0, 0) ?
11. A parábola abaixo congurada tem equação x2 − 5x − y + 6 = 0. Achar as coordenadas dos
pontos A, B e C .
y6
C◦
-
◦ ◦
A B
x
12. A parábola y = x2 + bx + c passa pelo ponto P (1, 3) e a abscissa do foco é igual a 2. Calcular
c.
13. Obtenha os pontos de interseção das parábolas y = x2 + 1 e y = −x2 + 3. Além disso, calcule
os pontos de interseção de cada parábola com os eixos coordenados.
14. Determine a equação da circunferência cujo centro é o ponto (−4, −1) e que é tangente à reta
3x + 2y − 12 = 0.
15. Determinar a equação da circunferência cujo centro está sobre a reta 4x + 7y + 5 = 0 e que
passa pelos dois pontos (−1, −4) e (2, −1).
16. Um arco é uma semi-elipse e o eixo maior é o vão. Se este tiver 40 m e o semi-eixo menor 10
m, calcular a altura do arco há 10 metros do centro da base.
10
20
17. Determinar os pontos de interseção da elipse
x2
4
+
y2
9
= 1 com a reta y = 2x + 3.
18. Dois dos vértices de um polígono regular de 4 lados coincidem com os focos da elipse
9x2 + 5y 2 = 1 e os outros dois com os vértices do eixo menor da elipse. Calcular a área do
polígono.
19. Determinar a área do quadrado inscrito na elipse 9x2 + 16y 2 = 625.
20. Qual a equação do conjunto de ponto P (x, y) cuja soma das distâncias a F1 (1, 0) e a F2 (3, 0) é
igual a 5 ?
3
21. O ponto B(3, −11) é um dos extremos do eixo menor de uma elipse cujos focos estão sobre a
reta y + 6 = 0. Pede-se a equação da elipse conhecendo-se ainda a sua excentricidade igual a
√1 .
2
22. A trajetória dos planetas ao redor do Sol não é circular e sim uma elipse (não considerando
o deslocamento do sistema solar). Foi Kepler (1721-1630) quem desenvolveu esta teoria. A
órbita da Terra é uma elipse e o Sol ocupa um de seus focos. Sabendo que o semi-eixo maior
tem 153493000 km e que a excentricidade é de 0.0167, calcular a menor e a maior distância da
Terra ao Sol.
Já um cometa, dependendo de sua velocidade, tem trajetória elíptica, parabólica ou hiperbólica
(o foco coincide com o Sol). Supor que a trajetória descrita por um cometa seja uma parábola
com o foco no Sol e com o vértice em uma posição 1.2 vezes mais distante do Sol do que a Terra
em sua maior aproximação, como ilustrado na gura abaixo. Obter a equação da trajetória do
cometa.
y6
-
S
x
23. A elipse 2x2 + 3y 2 = 24 e a hipérbole x2 − y 2 = 5 se interceptam em 4 pontos A, B , C e D.
Determinar a área do retângulo ABCD.
24. Provar que a elipse 2x2 + y 2 = 10 e a hipérbole y 2 −
mesmos focos.
x2
4
= 1 são homofocais, ou seja, têm os
25. Achar a distância do foco superior da hipérbole 9y 2 −16x2 = 144 a cada uma de suas assíntotas.
26. Uma hipérbole tem excentricidade igual a 2. Calcular o ângulo entre as assíntotas.
27. Calcular os pontos de interseção da parábola y 2 = 3x e a hipérbole
y2
5
−
x2
20
= 1.
28. Calcular as equações das assíntotas da hipérbole y 2 − x2 + 4y + 4x − 1 = 0.
29. Um ponto P (x, y) se move de tal forma que a sua distância ao ponto A(3, 2) mantém-se sempre
igual a quatro vezes a sua distância à reta r : y + 1 = 0. Pede-se a equação do lugar geométrico
descrito por P .
4
30. Achar a equação do lugar geométrico dos pontos do <3 cujas distâncias ao ponto A(2, 1, −3)
equivale ao triplo da distância ao eixo y .
31. Obter os pontos de interseção da quádrica x2 + y 2 + z 2 − 5x + 6y + z + 6 = 0 (esfera) com o
eixo das abscissas.
{
32. Identicar a curva
z = x2 + y 2
.
z=4
33. Calcular a equação do lugar geométrico gerado por um ponto que se desloca no <2 de tal modo
que a soma das distâncias aos pontos A(0, 1, 0) e B(1, 3, 0) é 5.
34. Achar os traços da superfície quádrica x2 + y 2 = 8z .
35. Representar a superfície cilíndrica (x − 2)2 + (y − 2)2 = 9.
36. Esboce o gráco da superfície cilíndrica y = 2x2 .
37. Esboce o gráco da superfície cilíndrica y 2 − x2 = 9.
38. Esboce o gráco da superfície cilíndrica (y − 2)2 − (x − 2)2 = 1.
39. Esboce o gráco da superfície cilíndrica y 2 = 5 − z . Ache os pontos de interseção com os eixos
cartesianos.
40. Representar a superfície cônica de vértice V (0, 0, 5) e cuja diretriz é a interseção das superfícies
x2 + y 2 = 16 e z = 0.
41. Representar a superfície cônica de vértice V (4, 3, 0) e cuja diretriz é a interseção das superfícies
z 2 = 2y e x = 0.