Lista 4: Cônicas- Engenharia Civil
Professora Elisandra Bär de Figueiredo
1. Calcular o valor de k para que a parábola x = ky 2 tenha foco no ponto (3, 0).
2. Escreva as equações reduzidas das parábolas com vértice na origem, dados:
(a) o foco (8, 0);
(b) dois pontos da parábola (6, 18) e (−6, 18).
3. Determine a equação de uma parábola de vértice na origem, que passa por P (−3, 2) e cujo eixo de simetria
é o eixo x.
4. Determine a equação da parábola y = x2 + bx + c que passa pelo ponto P (1, 3) e tem abscissa do foco
igual a 2. Represente-a geometricamente.
5. Determine a equação do conjunto de pontos P (x, y) que são equidistantes da reta y = 3 e do ponto F (0, 0).
Represente geometricamente.
6. Determine a equação da parábola que passa pelos pontos P (0, −6), Q(3, 0) e R(4, 10).
7. Determine a equação da parábola que passa pelos pontos P (−2, 3), Q(−5, −3) e R(0, −1).
8. Determine a equação do conjunto de pontos P (x, y) cuja soma das distâncias a F1 (1, 0) e a F2 (3, 0) é igual
a 5. Represente geometricamente.
9. Os vértices de uma elipse são os pontos (4, 0) e (−4, 0) e seus focos são os pontos (3, 0) e (−3, 0).
Determine a equação dessa elipse.
10. Determine a equação da circunferência C com centro C(4, −1) passa pelo foco da parábola x2 + 16y = 0.
Mostre que C é tangente à diretriz da parábola.
11. Esboce a região do plano dada pela inequação: 4x2 + 9y 2 − 40x − 54y + 145 < 0.
12. Determine a equação do √
conjunto de pontos P (x, y) cujo módulo da diferença das distâncias a F1 (−1, −5)
e a F2 (5, −5) é igual a 3 2. Represente geometricamente.
13. Escreva a equação reduzida das curvas abaixo, identique-as e represente-as geometricamente.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
2y 2 + 5x + 8y − 7 = 0
x2 + 4y 2 + 2x − 12y + 6 = 0.
x2 − 20x + y + 100 = 0
x2 − y 2 − 6x = 0
x2 + 16y 2 − 6x − 7 = 0
x2 + y 2 + 2x + 10y + 26 = 0
−x2 + y 2 − 6x − 2y − 8 = 0
2x2 + 2y 2 − 2x + 6y + 3 = 0
14. A elipse 2x2 +3y 2 = 24 e a hipérbole x2 −y 2 = 5 interceptam-se em quatro pontos A, B, C e D. Determine
a área e o perímetro do retângulo ABCD.
2
15. Determine a equação da parábola que contém os vértices da hipérbole x2 − 4y 2 + 24y − 40 = 0 e que passa
pelo ponto P (−1, 43 ).
16. Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados:
(a) os vértices (±2, 0) e os focos (±3, 0);
(b) as retas assíntotas y = ±x e um ponto da hipérbole (5, 9).
17. Determine a equação da circunferência cujo centro está sobre a reta 4x + 7y + 5 = 0 e que passa pelos
pontos (−1, −4) e (2, −1).
18. Considere os pontos A = (4, 1) e B = (3, 2). Determine as equações e os principais elementos das duas
hipérboles que possuem B como vértice imaginário, A como vértice e reta focal paralela a um dos eixos
coordenados.
√
√
19. Determine a equação da hipérbole equilátera com focos nos pontos (− 8, 0) e ( 8, 0)
20. Determine as equações das retas assíntotas das hipérboles abaixo.
(a) y 2 − x2 + 4y + 4x − 1 = 0
(b) 5x2 − 4y 2 − 30x − 16y + 9 = 0
21. O centro de uma hipérbole H é a origem, sua reta focal é um dos eixos coordenados e uma de suas
assíntotas é a reta r : 2x − 5y = 0. Determine a equação de H sabendo que (4, 6) ∈ H
22. As retas r : 2x + y = 3 e s : 2x − y = 1 são as assíntotas de uma hipérbole que passa pelo ponto (6, 2).
Determine sua equação.
23. Determine a equação reduzida da cônica em que um dos vértices é o foco da parábola de equação y 2 +
2y − 8x + 25 = 0, um dos focos é o vértice desta mesma parábola e além disso o centro da cônica está
sobre a diretriz dessa parábola.
√
24. A excentricidade de uma elipse é denida como a razão a a−b . Se a permanece xo e b varia, descreva a
forma geral da elipse quando a excentricidade tende para 1 e quando tende para zero.
2
2
25. Mostre que as assíntotas de uma hipérbole não a interceptam.
Respostas:
1. k =
1
12
2. (a) y 2 = 32x
(b) x2 = 2y
3. 3y 2 + 4x = 0
4. y = x2 − 4x + 6
(
5. x2 = 6 y −
3
2
)
6. y = 2x2 − 4x − 6
3
7. y 2 + 2x − y − 2 = 0
8.
9.
(x − 2)2
y2
+ 21 = 1
25
4
4
x2
16
y2
7
+
=1
10. (x − 4)2 + (y + 1)2 = 25
11.
12.
(x − 5)2 (y − 3)2
+
=1
9
4
(x − 2)2
9
2
−
(y + 5)2
9
2
=1
13. .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Parábola com V (3, −2)
(
)
Elipse com C −1, 32
Parábola com V (10, 0)
Hipérbole com C(3, 0)
Elipse com C(3, 0)
Ponto P (−1, −5)
Hipérbole degenerada - Duas retas: y = 4 + x e y = −2 − x
)
(
Circunferência com C 12 , − 23
√
√
√
4 546
4( 14 + 39)
√
14. A =
u.a. e p =
u.c.
5
5
15. y =
3x2
4
x2 y 2
−
=1
4
5
y2
x2
(b)
−
=1
56 56
16. (a)
17. (x + 3)2 + (y − 1)2 = 29
18. H1 : (x − 3)2 − (y − 1)2 = 1 e H2 :: (y − 2)2 − (x − 4)2 = 1
19.
x2 −y 2
4
=1
20. (a) y = x e y = −x + 4
√
(b) y =
21.
y2
856
25
−
√
5(x − 3)
5(x − 3)
−2 e y =−
−2
2
2
x2
=1
209
22. : 4(x − 1)2 − (y − 1)2 = 99
23.
(x − 1)2 (y + 1)2
+
=1
16
12