Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2005/2006 1 1 Cónicas As cónicas são curvas planas obtidas por intersecção de um cone circular recto com um plano. • Se o plano intersecta todas as geratrizes do cone, a curva obtida é uma elipse. • Se o plano é paralelo apenas a uma geratriz, a curva obtida é uma parábola. • Se o plano é paralelo a duas geratrizes, a curva obtida é uma hipérbole. Elipse Parábola Hipérbole Equação Geral das Cónicas (eq. de 2o grau em x e y): Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, com A, B, C, D, E, F ∈ IR, sendo A, B e C não simultaneamente nulos. • Se B 2 − 4AC < 0, (1) é a equação de uma elipse. • Se B 2 − 4AC = 0, (1) é a equação de uma parábola. • Se B 2 − 4AC > 0, (1) é a equação de uma hipérbole. (1) Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2005/2006 1.1 2 Elipse Elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante e maior que a distância entre eles. Equação Reduzida 2 x2 + yb2 = 1 (a > b) a2 Equação Reduzida 2 x2 + yb2 = 1 (b > a) a2 y 1.5 y 1 1 0.5 0.5 -1 -0.5 -1.5 -1 -0.5 1 0.5 1.5 x 0.5 1 x -0.5 -0.5 -1 -1.5 -1 Focos : (±c, 0) , sendo c2 = a2 − b2 Eixo maior = 2a Eixo menor = 2b Distância focal =2c Vértices : (±a, 0) , (0, ±b) Focos : (0, ±c) , sendo c2 = b2 − a2 Eixo maior = 2b Eixo menor = 2a Distância focal =2c Vértices : (±a, 0) , (0, ±b) Equação Reduzida da Elipse centrada em (α, β): (x − α)2 (y − β)2 + = 1. a2 b2 y 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 0 1 2 3 4 x Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2005/2006 1.2 3 Parábola Parábola é o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma recta (directriz), que não contém o ponto. Equação Reduzida y 2 = 2px (p > 0) Equação Reduzida y 2 = −2px (p > 0) y y 4 4 2 2 1 2 3 4 x -4 -3 -2 -2 -2 -4 -4 ¡ ¢ Foco : F p2 , 0 Directriz : x = − p2 Vértice : V (0, 0) ¡ ¢ Foco : F 0, − p2 Directriz : x = p2 Vértice : V (0, 0) Equação Reduzida x2 = −2py (p > 0) Equação Reduzida x2 = 2py (p > 0) y y 10 -7.5 x -1 -7.5 -5 -2.5 2.5 8 -2 6 -4 4 -6 2 -8 -5 -2.5 ¡ ¢ Foco : F 0, p2 Directriz : y = − p2 Vértice : V (0, 0) 2.5 5 7.5 x 5 7.5 -10 ¡ ¢ Foco : F 0, − p2 Directriz : y = p2 Vértice : V (0, 0) x Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2005/2006 Equação Reduzida da Parábola com vértice em (α, β): (y − β)2 = 2p (x − α) (x − β)2 = 2p (y − α) y 20 4 15 3 2 10 1 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 x -4 -2 2 4 6 8 4 Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2005/2006 1.3 5 Hipérbole Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante e menor que a distância entre eles. Equação Reduzida 2 x2 − yb2 = 1 a2 Equação Reduzida 2 y2 − xa2 = 1 b2 3 2 1 1 0.5 -2 -2 -1 1 -1 1 2 -1 -0.5 -2 -1 -3 Focos : (±c, 0) , sendo c2 = a2 + b2 Eixo transverso = 2a Eixo não transverso = 2b Distância focal = 2c Vértices : (±a, 0) Assimptotas: y = ± ab x Focos : (0, ±c) , sendo c2 = a2 + b2 Eixo transverso = 2b Eixo não transverso = 2a Distância focal = 2c Vértices : (0, ±b) Assimptotas: y = ± ab x Equação Reduzida da Hipérbole centrada em (α, β): (x − α)2 (y − β)2 − = 1. a2 b2 y 6 4 2 -4 -2 2 -2 4 6 8 x 2