Ensino Superior
Lógica Matemática e Computacional
4 – Argumento, Validade e Tautologia
Amintas Paiva Afonso
Argumento
• Um argumento é uma seqüência de proposições na qual
uma delas é a conclusão e as demais são premissas. As
premissas justificam a conclusão.
 Proposições:
sentenças afirmativas que podem ser
verdadeiras ou falsas.
 Premissas: afirmações disponíveis.
Exemplo:
Todo aluno de Computação precisa estudar Lógica. (premissa)
José é aluno de Computação.
(premissa)
Logo, José precisa estudar Lógica.
(conclusão)
Argumento
• O objetivo de um argumento é justificar uma
afirmação que se faz, ou dar as razões para uma
certa conclusão obtida.
Exemplo:
Você me traiu. Pois, disse que ia estudar e meu
irmão lhe viu na boate.
Um argumento demonstra/prova como a partir dos
dados de um problema chegou-se a uma
conclusão.
Argumento:
Raciocínio e Inferência
• Exercício 1:
Um turista está andando pela terra dos honestos e
mentirosos. Lá, as pessoas são radicais, umas só falam a
verdade e outras só falam mentiras. Chegou a hora do
almoço e o turista encontra-se numa estrada com uma
bifurcação. O turista sabe que um dos caminhos é para um
restaurante e o outro para um abismo, mas não sabe
distingui-los. Nesta bifurcação ele encontra um homem
nativo. Naturalmente o turista não sabe se ele é honesto ou
mentiroso. Como o turista descobre o caminho para o
restaurante fazendo uma única pergunta a esse nativo?
Argumento:
Raciocínio e Inferência
• Exercício 2:
Um rei resolveu dar a liberdade a um de seus três
prisioneiros. Mandou trazer três chapéus brancos e dois
vermelhos. Vendou os olhos dos prisioneiros, colocou um
chapéu em cada um e depois foi retirando a venda dos
olhos deles. Ganharia a liberdade aquele que soubesse
dizer, de forma convincente, a cor do seu próprio chapéu
olhando para os outros prisioneiros. Os dois primeiros não
souberam dizer. O terceiro, antes que o rei lhe tirasse a
venda dos olhos, afirmou com toda certeza a cor do seu
chapéu.
Qual a cor do chapéu do terceiro prisioneiro? Justifique.
Argumento: Raciocínio e Inferência
• Para convencer que você sabe a resposta (que não é um
chute) você tem de expor as razões que o levaram a
conclusão (justificar).
Pontos de Partida
Raciocínio ou
Caminhos Seguidos
Processo de Inferência
Conclusão
• Um argumento poderia ser considerado uma reconstrução
explícita do raciocínio efetuado.
Argumento:
Raciocínio e Inferência
• Inferência é a relação que permite passar
das premissas para a conclusão (um
“encadeamento lógico”).
• A palavra inferência vem do latim, Inferre,
e significa “conduzir para”.
Argumento
• O objeto de estudo da lógica
é determinar se a conclusão
de um argumento é ou não
decorrente das premissas
(uma inferência).
Validade de um Argumento
• Em um argumento válido, as premissas são
consideradas provas evidentes da verdade
da conclusão, caso contrário não é válido.
• Quando é válido, podemos dizer que a
conclusão é uma conseqüência lógica das
premissas, ou ainda que a conclusão é uma
inferência decorrente das premissas.
Validade de um Argumento
• Exemplo 1: O argumento que segue é válido?
Se eu ganhar na Loteria, serei rico.
Eu ganhei na Loteria.
Logo, sou rico.
 É Válido
(a conclusão é uma decorrência
lógica das duas premissas).
Validade de um Argumento
• Exemplo 2: O argumento que segue é válido?
Se eu ganhar na Loteria, serei rico
Eu não ganhei na Loteria
Logo, não sou rico
 Não é Válido
(a conclusão não é uma decorrência
lógica das duas premissas).
Validade de um Argumento
• A lógica se preocupa com o relacionamento entre
as premissas e a conclusão, ou seja, com a
estrutura e a forma do raciocínio. A verdade do
conteúdo de cada premissa e da conclusão é
estudo das demais ciências.
• A validade do argumento está diretamente ligada à
forma pela qual ele se apresenta.
(Lógica Formal – estuda a forma dos argumentos).
Dedução e Indução
• A Lógica dispõe de duas ferramentas que
podem ser utilizadas pelo pensamento na
busca de novos conhecimentos: a
dedução e a indução, que dão origem a
dois tipos de argumentos: Dedutivos e
Indutivos.
Argumentos Dedutivos
• Os Argumentos Dedutivos pretendem que suas
premissas forneçam uma prova conclusiva da
veracidade da conclusão.
Podem ser:
 Válidos:
quando
suas
premissas,
se
verdadeiras, fornecem provas convincentes
para a conclusão. Isto é, se as premissas forem
verdadeiras, é impossível que a conclusão seja
falsa;
 Inválidos: não se verifica a característica
anterior.
Argumentos Dedutivos
• Exemplos de argumentos dedutivos:
Ela toca piano ou violão.
Ela toca piano.
Logo, ela não toca violão.
Argumento Inválido
Todo homem é mortal.
Sócrates é um homem.
Logo, Sócrates é mortal.
Argumento Válido
Argumentos Indutivos
• Os Argumentos Indutivos não pretendem que suas
premissas forneçam provas cabais da veracidade da
conclusão, mas apenas que forneçam indicações dessa
veracidade (possibilidade, probabilidade).
Seguem do Raciocínio Indutivo, isto é, obtém conclusões
baseada em observações/experiências. Enquanto que um
Raciocínio Dedutivo exige uma prova formal sobre a
validade do argumento.
• Os termos válidos e inválidos não se aplicam para os
argumentos indutivos. Eles são avaliados de acordo com a
maior ou a menor probabilidade com que suas conclusões
sejam estabelecidas.
Argumentos Indutivos
Exemplo 1:
Joguei uma pedra no lago, e ela afundou;
Joguei outra pedra no lago e ela também afundou;
Joguei mais uma pedra no lago, e ela também afundou;
Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar.
Argumentos Indutivos
• Exemplo 2:
A vacina funcionou bem nos ratos.
A vacina funcionou bem nos macacos.
Logo, vai funcionar bem nos humanos.
• Exemplo 3:
80% dos entrevistados vão votar no candidato X.
Logo, o candidato X vai vencer as eleições.
Argumentos Dedutivos
A Lógica Formal Clássica só
estuda Argumentos Dedutivos,
verificando se são ou não
válidos.
Validade e Verdade
• Verdade e Falsidade: são propriedades
das proposições, nunca dos argumentos.
• Validade ou Invalidade: são propriedades
dos argumentos dedutivos que dizem
respeito a inferência ser ou não válida
(raciocínio ser ou não correto).
Validade e Verdade
• Exemplo 1
Toda baleia é um mamífero.
( V)
Todo mamífero tem pulmões.
( V)
Logo, toda baleia tem pulmões. ( V )
 Argumento válido e a conclusão verdadeira.
Validade e Verdade
• Exemplo 2
Toda aranha tem seis pernas.
( F)
Todo ser de seis pernas tem asas. ( F )
Logo, toda aranha tem asas.
( F)
 Argumento válido e a conclusão falsa
Validade e Verdade
• Os conceitos de argumento válido ou inválido são
independentes da verdade ou falsidade de suas
premissas e conclusão.
• Qualquer combinação de valores verdade entre as
premissas e a conclusão é possível, exceto que
nenhum argumento dedutivo válido tenha as
premissas verdadeiras e a conclusão falsa.
• Um argumento dedutivo no qual todas as
premissas são verdadeiras é dito Argumento
Correto, evidentemente sua conclusão também é
verdadeira.
Lógica Clássica e Lógica Simbólica
• A Lógica Informal formula os argumentos em
linguagem natural, mas enfrenta problemas de
ambigüidade e de construções confusas.
• A Lógica Simbólica ou Lógica Matemática utiliza
símbolos de origem matemática para formular os
argumentos.
Tabalho iniciado pelo matemático inglês George
Boole (1815 – 1864) – Algebra Booleana. e
consolidado pelo filósofo e matemático alemão
Goottlob Frege (1848 – 1895) – Regras de
Demonstração Matemática.
Lógica Clássica e Lógica Simbólica
• Uma vez que , a Lógica Simbólica tem sua própria
linguagem técnica, é um instrumento poderoso para
a análise e a dedução dos argumentos,
especialmente com o uso do computador (Prova
Automática de Teoremas).
• Tradicionalmente a Lógica tem sido estudada para
orientações filosóficas e matemáticas. Na
computação, ela é utilizada para representar
problemas e para obter suas soluções.
A disciplina lhe dará base para...
•
•
•
•
•
Argumentos (estrutura, formalização e validade).
Sistemas Lógicos (Lógica Proposicional e Lógica
de 1ª ordem) e provas de suas propriedades
básicas (teoremas).
Métodos Algorítmicos para testar se uma fórmula
de um sistema lógico é verdadeira ou não (Prova
Automática de Teoremas).
Aplicações de Prova Automática de Teoremas na
resolução de problemas em áreas da computação.
Um pouco de Programação em Lógica.
Argumento - Definição
• Chama-se de Argumento toda afirmação de uma
dada sequência finita P1, P2, P3 … Pn (n  1) de
proposições que tem como consequência ou
acarreta uma proposição final Q.
• As proposições P1, P2, P3 … Pn (n  1) dizem-se
as premissas do argumento, e a proposição final Q
diz-se a conclusão do argumento.
Argumento - Definição
• Um argumento de premissas P1, P2, P3 … Pn e de
conclusão Q indica-se por:
P1, P2, P3 … Pn ‫ ─׀‬Q
• E se lê de uma das seguintes maneiras:
 “P1, P2, P3 … Pn acarretam Q”
 “Q decorre de P1, P2, P3 … Pn”
 “Q se deduz de P1, P2, P3 … Pn”
 “Q se infere de P1, P2, P3 … Pn”
Validade de um Argumento
• Um argumento é uma série de sentenças (premissas) que
podem ser simbolizadas por P1, P2,..., Pn seguidas de uma
conclusão Q.
Notação: P1  P2 ...,  Pn  Q.
Um argumento P1  P2 ...,  Pn  Q diz-se um argumento
válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as
vezes que as premissas P1  P2 ...,  Pn são TODAS
verdadeiras.
• Portanto, todo argumento válido goza da seguinte
propriedade: “A verdade das premissas é incompatível com
a falsidade da conclusão.”
• Um argumento não válido é chamado de sofisma.
Validade Mediante Tabelas-Verdade
• Página 99, Edgard de Alencar Filho
Validade de um Argumento
• Deste modo, todo argumento tem um valor lógico, digamos V
se é válido (correto, legítimo) ou F se é um sofisma
(incorreto, ilegítimo).
• As premissas dos argumentos são verdadeiras ou, pelo menos
admitidas como tal. Aliás, a lógica só se preocupa com a
validade dos argumentos e não com a verdade ou falsidade
das premissas e das conclusões.
• A validade de um argumento depende exclusivamente da
relação existente entre as premissas e a conclusão. Portanto,
afirmar que um dado argumento é válido significa afirmar que
as premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão
que não é possível ter a conclusão falsa se as premissas são
verdadeiras.
Critérios de Validade de um Argumento
• Teorema – Um argumento P1, P2, …, Pn ‫ ─׀‬Q é válido se e
somente se a condicional:
(P1 ^ P2 ^…^ Pn)  Q
(1)
é tautológica.
• Exemplificando, do argumento válido p ‫ ─׀‬p V q (1) segue-se a
validade dos argumentos:
(~p ^ r) ‫~( ─׀‬p ^ r) V (~s  r)
(p  r v s) ‫( ─׀‬p  r v s) V (~r  s)
pois ambos têm a mesma forma de (1).
• Portanto, a validade ou não de um argumento depende apenas
da sua forma e não do seu conteúdo ou da verdade ou falsidade
das proposições que o integram.
Argumentos Válidos Fundamentais
•
Os argumentos válidos
argumentos fundamentais:
(a) Adição (AD)
(i) p  p ν q
(b) Simplificação (SIMP)
(i) p Λ q  p
(c) Conjunção (CONJ)
(i) p, q  p Λ q
(d) Absorção (ABS)
p → q  p → (p Λ q);
(e) Modus ponens (MP)
p → q , p  q;
(f) Modus tollens (MT)
p → q , ~q  ~p;
abaixo,
são
conhecidos
(ii) p  q ν p;
(ii) p Λ q  q;
(ii) p, q  q Λ p;
como
Argumentos Válidos Fundamentais
(g) Silogismo disjuntivo (SD)
(i) p ν q, ~p  q
(ii) p ν q, ~q  p;
(h) Silogismo hipotético (SH)
p → q, q → r  p → r;
(i) Dilema construtivo (DC)
p → q, r → s, p ν r  q ν s;
(j) Dilema destrutivo (DD)
p → q, r → s, ~q ν ~s  ~p ν ~r;
A validade dos dez argumentos pode ser verificada (faça isso)
através da construção das tabelas-verdade de cada argumento. Os
dez argumentos válidos fundamentais acima são também chamados
de “regras de inferência”.
Podemos mostrar a validade de um argumento através
da Construção de tabelas-verdade ou utilizando as
regras de inferência.
Exemplo: Mostre que os argumentos abaixo são válidos, utilizando
tabela-verdade e as regras de inferência:
(a)
• Se o programa é eficiente, ele executará rapidamente.
• O programa é eficiente ou tem um erro.
• O programa não executa rapidamente.
Portanto o programa tem um erro;
- Inicialmente, vamos traduzir o argumento para linguagem simbólica.
Consideremos as proposições simples p: O programa é eficiente,
q: O programa executa rápido e r: O programa tem um erro.
- Temos então, na linguagem simbólica, as premissas p → q, p  r, ~q
e a conclusão r, ou seja,
(p → q)  (p ν r)  (~q)  r
Validade mediante tabela-verdade
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
(p → q)  (p ν r)  (~q)  r
p→q pr
~q
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
V
F
V
r
V
F
V
F
V
F
V
F
Validade mediante regras de inferência
As premissas são
(1) p → q
(2) p  r
(3) ~q
(4) ~p 1,3 (MT), ou seja, modus tollens nas premissas (1) e (3)
(5) r
2,4 (SD), ou seja, silogismo disjuntivo nas premissas
(2) e (4);
Portanto, podemos concluir a proposição “r” das premissas
(1), (2) e (3), ou seja, o argumento é válido.
(b)
• Se Graham está no campo de golfe, então Harvey está
de serviço no hospital e Ives deve ter mudado sua
política.
• Harvey não está de serviço no hospital.
Portanto, Graham não está no campo de golfe;
Inicialmente, vamos traduzir o argumento para linguagem simbólica.
Consideremos as proposições simples
p: Graham está no campo de golfe, q: Harvey está de serviço no
hospital, e r: Ives mudou sua política.
Temos então, na linguagem simbólica, as premissas p → (q Λ r), ~q e
a conclusão ~p, ou seja,
(p → (q Λ r)  ~q  ~p
Validade mediante tabela-verdade
p q
r
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
(p → (q Λ r)  ~q  ~p
qΛr
p → (q Λ r)
~q
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
~p
F
F
F
F
V
V
V
V
Validade mediante regras de inferência
As premissas são
(1) p → q Λ R
(2) ~q
(3) ~q ν ~r
2 (AD), ou seja, adição na premissa (2);
(4) ~( q Λ r)
3 (De Morgan), ou seja, lei de De Morgan da
disjunção na premissa (3);
1,4 (MT), ou seja, modus tollens nas premissas
(1) e (4)
(5) ~p
Portanto podemos concluir a proposição “~p” das premissas
(1) e (2), ou seja, o argumento é válido
Exercícios
• Mostre que os argumentos abaixo são válidos, utilizando
tabela-verdade e as regras de inferência:
(a)
• Se as leis são boas e seu cumprimento é rigoroso então a
criminalidade diminuirá.
• Se o cumprimento rigoroso da lei faz a criminalidade
diminuir então o nosso problema é de caráter prático.
• As leis são boas.
Portanto, nosso problema é de caráter prático;
(b)
• Se Vera estudar então a prova será fácil e ela vai tirar uma
boa nota.
• Se ela não estudar, então ela não fez uma boa escolha.
Portanto, se ela fizer uma boa escolha ela vai tirar uma boa
nota.
Exercícios
(c)
• Se o avião chegar atrasado e não houver táxis no aeroporto,
então Antônio Roberto chegará atrasado para sua reunião.
• Antônio Roberto não chegou atrasado à reunião, mas seu
avião chegou atrasado.
Portanto, havia táxis no aeroporto.
(d)
• Ela não está em casa e não está falando ao telefone.
• Se ela não está em casa, então ela foi seqüestrada.
• E se ela não está falando ao telefone, ela está correndo
algum outro perigo.
Portanto, ela foi seqüestrada ou ela está correndo algum
outro perigo.
Validade de um Argumento
• Para julgar a validade ou não de um argumento, é
necessário que a sentença que os constituem não
tenham mais de um sentido. Segundo Aristóteles,
isso é possível se enunciarmos as sentenças na
forma categórica. Exemplos:
 Todos os brasileiros são técnicos de futebol.
 Nenhum gato sabe latir.
 Algumas pessoas gostam de comer fígado.
 Existem caubóis que não sabem andar a cavalo.
Tipos de raciocínio ou argumentação
• Dedutivo
 Toda mulher gosta de chocolate
 Regina é mulher
 Logo, Regina gosta de chocolate.
• Indutivo
 O cobre é condutor de calor
 O cobre é um metal
 Todo metal é condutor de calor
• Falacioso (falácia, sofisma, paralogismo)
 Sofisma- intenção de enganar o interlocutor,
paralogismo-erro, equívoco.)
Raciocínios inválidos
• Todos cães são vegetarianos.
• Dálmatas são cães.
• Logo, dálmatas são vegetarianos.
• Todos cães comem carne.
• Nenhum cão é peixe.
• Logo, nenhum peixe come carne.
Tipos de argumentação
• Analógico
 Comparação
• Vagner é aluno da FPT e é inteligente.
• X é aluno do FPT então...
• Tautológico – o que alguns alunos fazem provas.
 Encher lingüiça
• Repetir o enunciado da pergunta
• O triângulo tem três ângulos.
Argumento
• Aristóteles tentou sistematizar as regras lógicas e dedicou atenção
especial a um tipo de argumento, com duas proposições iniciais e
uma conclusão. Exemplos:
 Premissas:
• Alguns alemães são loiros.
• Todos os alemães são europeus.
 Conclusão:
• Alguns europeus são loiros.
 Premissas:
• Alguns médicos são poliglotas.
• Alguns professores são poliglotas.
 Conclusão:
• Alguns médicos são professores.
Argumento
 Premissas:
• Alguns atleticanos não são chatos.
• Todos os atleticanos são fanáticos.
 Conclusão:
• Alguns fanáticos não são chatos.
• Aristóteles classificou os silogismos entre os que são válidos e os
que não são válidos. Exemplo de silogismo que não é válido,
portanto, é um sofisma:
• Premissas:
• Todos os alemães são europeus.
• Alguns alemães são loiros.
• Conclusão:
• Nenhum europeu é loiro.
Lógica Matemática e
Computacional
Falácias: Conceitos, Tipos e Exemplos
Argumento Falacioso ou Sofisma
• Aristóteles fez um estudo minucioso de certos tipos
básicos de argumentos, estabelecendo regras para
distinguir os que são válidos daqueles que não o
são. Estes últimos são chamados de “falácias” ou
“sofismas”. Exemplos:
 Parar de fumar é uma bobagem, meu avô fumou
a vida inteira e morreu com 87 anos.
 Todas as pessoas que morreram de câncer nos
últimos 50 anos bebiam água, logo…
A Lógica de Aristóteles
• Aristóteles procurou eliminar as frases ambíguas,
trabalhando apenas com as que não deixassem
dúvida quanto ao seu significado. Exemplos:
 “Pássaros comem insetos”, por “Todos os
pássaros comem insetos” ou “Alguns pássaros
comem insetos”.
 “Índios não são carecas”, por “Nenhum índio é
careca” ou “Alguns índios não são carecas”