INTRODUÇÃO À ANÁLISE
COMBINATÓRIA
O QUE É A ANÁLISE
COMBINATÓRIA?

A análise combinatória corresponde ao
ramo da matemática que procura elaborar
métodos que nos permitam encontrar o
número de possibilidades que um evento
pode ocorrer, sem a obrigatoriedade de
descrevermos todos os eventos possíveis.


Trata-se de uma parte da matemática
extremamente prática, onde a teoria é
apenas uma pequena fração do
conhecimento exigido.
Isso significa que, mais que fórmulas e
conceitos, devemos ter muita criatividade
e uma boa dose de interpretação na hora
de resolver os problema.
POR QUE É IMPORTANTE CONHECER UM
PROCESO DE CONTAGEM?

É importante conhecermos tais métodos,
pois nem sempre temos condições de
descrever todas as formas sob as quais
uma situação pode ocorrer, principalmente
em situações onde a resposta é um
número muito elevado.
O PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM


Corresponde ao mais importante princípio da análise
combinatória. Uma boa parte dos exercícios de
contagem podem ser resolvidos usando-se esse
princípio simples.
Tal princípio procura estabelecer qual o número
de maneira que um determinado evento pode
ocorrer, quando a ordem de seus elementos é
importante e quando este evento é segmentado
em diversas etapas.
PODEMOS ENUNCIAR O PFC DA SEGUINTE
MANEIRA:
Se um evento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e
independentes, de tal modo que:
P1 é o número de possibilidades da etapa 1;
P2 é o número de possibilidades da etapa 2;

Pn é o número de possibilidades da etapa n.
O número de maneiras que o evento pode
ocorrer é dado por: p1.p2.p3...pn.
EXEMPLO 1
Uma fábrica produz automóveis, cujos modelos podem
ser escolhidos de acordo com alguns opcionais. Os
clientes podem decidir entre as seguintes opções:


Modelo: conversível ou não conversível
Combustível: gasolina, bicombustível ou gás.
De quantas formas se pode escolher um carro com essas
opções?
RESOLUÇÃO
Sabemos que existem duas opções quanto ao modelo
(conversível ou não conversível) e três opções para o
combustível (gasolina, bicombustível ou gás).
De acordo com o princípio fundamental da contagem, o
número de possibilidades que temos ao todo é dado pelo
produto das possibilidades de cada evento individual.
Dessa forma, o número de possibilidades é igual a 2.3 = 6
possibilidades.
Observe que esse resultado condiz com a realidade.
Observe o diagrama abaixo.
De acordo com o diagrama as opções são: {conversível e
gasolina; conversível e gás; conversível e bicombustível;
não conversível e gasolina; não conversível e gás; não
conversível e bicombustível}

EXEMPLO 2
Uma secretária devia enviar cinco cartas a cada
um dos clientes de uma empresa. Apesar de
saber os endereços dos clientes, ela não sabia
qual deveria ser o destino de cada carta. Se os
conteúdos das cartas são distintos e cada cliente
receberá uma cata diferente, de quantas
maneiras ela poderá enviar as cinco cartas?
RESOLUÇÃO
Vamos chamar os clientes de A, B, C, D e E. Dessa forma,
o cliente A poderá receber qualquer uma das cinco
cartas. Escolhida a carta de A, o cliente B poderá receber
qualquer uma das quatro cartas que sobraram. Seguindo
esse raciocínio temos que o cliente C pode receber 3
cartas, o D duas e o E apenas uma.
Pelo princípio fundamental da contagem, o número total de
possibilidades é: 5.4.3.2.1 = 120 possibilidades
EXEMPLO 3
Um determinado site utiliza uma senha de acesso
composta por cinco caracteres, sendo os dois primeiros
alfabéticos (26 letras) e os três últimos numéricos (10
algarismos). Para tornar ainda mais seguro ao acesso ao
site, a direção resolveu instituir uma nova senha
composta por seis caracteres, sendo os três primeiros
alfabéticos e os três últimos numéricos. Com essa nova
decisão, quantas senhas adicionais e distintas poderão
ser cadastradas?
RESOLUÇÃO
A quantidade de senhas que o site oferecia antes do
aumento era dada por:
26.26.10.10.10 = 676000
Após o aumento, o número de senhas passou a ser:
26.26.26.10.10.10 = 17576000
O aumento no número de senhas é dado pela diferença
entre esses dois valores.
n= 17576000 – 676000 = 16900000 novas senhas
O PRINCÍPIO ADITIVO
Tal princípio trabalha com eventos independentes. Em
outras palavras quanto temos a opção de escolher uma
coisa ou outra.
De maneira geral temos que: Se existem x maneiras de se
tomar uma decisão A e y maneiras de se tomar uma
decisão B, o número de opções de se tomar a decisão A
ou a B será dada por x + y.
Observe que quanto usamos o termo “ou”
em Análise Combinatória, devemos somar
as possibilidades dos eventos e quando
usamos o termo “e”, devemos multiplicar
o número de possibilidades.
EXEMPLO:

José quer instalar a internet em sua casa.
Após uma análise de possíveis provedores,
verificou que existem 10 opções de acesso
à internet do tipo banda-larga e duas
opções de acesso do tipo discada. Se ele
escolher uma delas, quantas opções de
escolha são possíveis?
RESOLUÇÃO
José escolherá apenas uma das opções de
internet, ou seja, uma das opções de banda
larga ou uma das opções de internet discada.
Seu assim, o número de opções de José será 10 +
2 = 12 opções de escolha.

EXEMPLO 2

Um certo tipo de código usa apenas dois
símbolos, o número zero (0) e o número um (1)
e, considerando esses símbolos como letras,
podem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01,
00, 001 e 110 são algumas palavras de uma,
duas e três letras desse código. Qual o número
máximo de palavras, com três letras ou menos,
que podem ser formadas com esse código?
RESOLUÇÃO
As palavras formadas podem possuir uma, duas ou até
três letras. Logo para achar o total de possibilidades
devemos considerar as palavras que possuem uma ou
duas ou três letras.
 Palavras com uma letra: 2 possibilidades
 Palavras com duas letras: são duas possibilidades para a
primeira letra e duas para segunda, ao todo são 2.2 = 4
possibilidades.
 Palavras com três letras: temos duas possibilidades para
a primeira letra, duas para a segunda e duas para a
terceira, totalizando 2.2.2 = 8 possibilidades.
Ao todo temos 2 + 4 + 8 = 14 possibilidades

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

Muitos problemas de análise combinatória
apresentam algum tipo de restrição, ou
seja, uma condição prévia que deve ser
satisfeita para a resolução do problema.
Nos problemas em que tais restrições
aparecem, devemos iniciar a resolução do
problema por tal restrição e depois
resolvemos o resto do problema.
EXEMPLO

(Unicamp-SP) Sabendo que os números
de telefone não começam com 0 nem com
1, calcule quantos diferentes números de
telefone podem ser formados com 7
algarismos.
RESOLUÇÃO
Se o número de telefone não pode ter o primeiro
algarismo igual a zero ou um, sobram 8 algarismos que
podem ocupar essa primeira posição. As demais
posições podem ser ocupadas por quaisquer algarismos.
Isso quer dizer que para o segundo algarismo temos 10
possibilidades, para o terceiro 10, para o quarto 10, para
o quinto 10, para o sexto 10 e para o sétimo 10.
Logo, o total de possibilidades será:
8.10.10.10.10.10.10 = 8 000 000 de possibilidades
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