Coordenadas
Definição: Diz-se que uma base é
ordenada se a ordem dos vetores é
fixada.
Proposição: Dada uma base ordenada
para o espaço vetorial, cada vetor dele
é escrito de maneira única como
combinação linear dos elementos dessa
base.
Coordenadas
Definição: Dados uma base ordenada
para um subespaço vetorial real e um
vetor do subespaço, chamamos de
coordenadas do vetor com relação à
base, aos escalares únicos da
combinação linear.
Notação:
 v B
 1 
 
2


 .... 
 
 n 
Exercícios
Exercício 05: Dados os vetores abaixo,
determine as coordenadas de cada um
deles em relação às bases dadas em
cada caso:
3
2
v   2,3, 1  R
v  t   2  4t  t  P3  R 
B  1,1,1 , 1,1,0  ,  1,1,0 
B  1, 1  t , 1  t
2

Mudança de Base
Sejam B  u1, u2 ,..., un =e D  w1, w2 ,..., wn =
duas bases ordenadas de um mesmo
espaço vetorial .
Dado um vetor v  V, ele pode ser escrito
das seguintes formas:
v  1u1  2u2  ...  nun
1
v  1w1  2 w2  ...  n wn
 2
Mudança de Base
B  u1, u2 ,..., un =
D  w1, w2 ,..., wn =
 1 
 
  2
 ... 
 
n 
 1 
 
  2
 ... 
 
 n 
 v B
1
 v D
 2
Mudança de Base
Como B é base, cada vetor da base D pode
ser escrito como combinação linear dos
vetores da base B, ou seja:
 w1  11u1   21u2  ...   n1un
 w   u   u  ...   u
 2
12 1
22 2
n2 n

 ...........................................
 wn  1nu1   2 nu2  ...   nnun
(3)
 w1  11u1   21u2  ...   n1un
 w   u   u  ...   u
 2
12 1
22 2
n2 n

 ...........................................
 wn  1nu1   2 nu2  ...   nnun
B  u1, u2 ,..., un =
(3)
D  w1, w2 ,..., wn =
v  1w1  2 w2  ...  n wn
Substituindo (3) em (2) temos:
v  1 11u1   21u2  ...   n1un  
 2 12u1   22u2  ...   n 2un   ... 
 ...  n 1nu1   2 nu2  ...   nnun 
 2
v  1u1  2u2  ...  nun
1
v  1 11u1   21u2  ...   n1un  
B  u1, u2 ,..., un =
D  w1, w2 ,..., wn =
 2 12u1   22u2  ...   n 2un   ... 
(4)
 ...  n 1nu1   2 nu2  ...   nnun 
Reagrupando (4) de modo a compará-lo com (1)
temos:
v   111  212  ...  n1n  u1 
  1 21  2 22  ...  n 2 n  u2  ... 
 ...   1 n1  2 n 2  ...  n nn  un
(5)
v  1u1  2u2  ...  nun
1
v   111  212  ...  n1n  u1 
B  u1, u2 ,..., un =
D  w1, w2 ,..., wn =
  1 21  2 22  ...  n 2 n  u2  ... 
 4
 ...   1 n1  2 n 2  ...  n nn  un
Comparando os vetores de (1) e (4) temos:
 1   11
  
  2     21
 ...   .....
  
  n    n1
12 ..... 1n   1 
 
 22 .....  2 n   2 
.
(6)
..... ..... ..... 

 n 2 .....  nn 
 ... 
 
 n 
B  u1, u2 ,..., un =
Assim de (6) temos:
 1   11
  
  2     21
 ...   .....
  
  n    n1
D  w1, w2 ,..., wn =
12 ..... 1n   1 
 
 22 .....  2 n   2 
Coordenadas
.
(6)
..... ..... ..... 

 n 2 .....  nn 
 ... 
 
 n 
Matriz Mudança de Base
de D para B
Coordenadas
do vetor na
Base B
 MB
D
do vetor na
Base D
  ij 
1i , j  n
 11

  21
  .....

  n1
12
 22
.....
.....
.....
n2
 1n 

.....  2 n 
..... 

.....  nn 
Exercício
01: Considere as bases ordenadas B e
C, determine as três matrizes abaixo:
 M C
B
Base
Canônica
do Plano
Cartesiano
,
 M B
C
e
B  2, 1 ,  3,4 
C  1,0  ,  0,1
 M C . M B
B
C
Bases
Ordenadas
Proposição: Se a matriz de mudança
da base B u1 , u2 ,..., un   V para a base
ordenada D w1 , w2 ,..., wn   V é a matriz
B
dada por  M D e a matriz de mudança
da base D w1 , w2 ,..., wn   V para a base
D
G v1 , v2 ,..., vn   V é a matriz dada por  M G
Então temos:
B
B
D
 M G   M D  M G
Observações
1)
 M B  I n
2)
 M B   M D  M B
3)
MD  MB 
B
B
B
B
D
D 1
Exercício
Exerc. 02: Determine a matriz mudança
da base B para a base canônica C do
espaço vetorial dado, e sua inversa, em
cada caso:
 A) B  1,1,1 , 1,1,0  ,  1,1,0 


B) B  1, 1  t , 1  t
2

1 1  0 1  1 1  1 0  
,
,
,
 C) B  





1 1  1 0   0 0   0 0  