CE-003: Estatı́stica II, turma H
1a Prova - 2o semestre 2005 (22 Setembro de 2005)
1. (3,0 pontos) Assume-se que a durabilidade de um certo tipo de estrutura tem distribuição normal de
média 50 anos e desvio padrão de 10 anos.
X : durabilidade da estrutura (em anos)
X ∼ N (50, 102 )
(a) Qual a porcentagem esperada de estruturas com durabilidade inferior a 45 anos?
P [X < 45] = P [Z <
45 − 50
] = 0.3085
10
Portanto 30.9% das estruturas devem durar menos que 45 anos.
(b) Qual a porcentagem esperada de estruturas com durabilidade entre 37 e 65 anos?
P [37 < X < 45] = P [
37 − 50
65 − 50
<Z<
] = 0.8364
10
10
Portanto 93.2% das estruturas devem durar entre 37 e 65 anos.
(c) O que acontecerá com a porcentagem do ı́tem anterior se os materiais forem trocados de modo
que a durabilidade média passe a ser de 55 anos e o desvio padrão de 15 anos?
P [37 < X < 45] = P [
65 − 55
37 − 55
<Z<
] = 0.6324
15
15
Portanto, com esta média e este desvio padrão, 74.6% das estruturas devem durar entre 37 e 65
anos.
(d) Mantendo o desvio padrão de 10 anos, de quanto deveria ser a durabilidade média para garantir
que 90% ou mais das estruturas tenham durabilidade superior a 50 anos?
P [X > 50]
50 − µ
P [Z >
]
10
z
50 − µ
10
µ
= 0.90
= 0.90
= −1.282
= −1.282
= 62.82
(e) Mantendo a média de 50 anos quanto deveria ser o desvio padrão para garantir que 95% das
estruturas tenham durabilidade entre 46 e 54 anos?
P [46 < X < 54]
P [50 < X < 54]
54 − 50
P [Z >
]
σ
z
54 − 50
σ
σ
= 0.95
= 0.475
= 0.475
= 1.96
= 1.96
= 2.04
2. (2,5 pontos) O tempo de vida em anos de um componente eletrônico tem função de distribuição de
probabilidade:
 2
se 0 < x < 1
 3x
1 − x3 se 1 ≤ x < 3
f (x) =

0
caso contrário
Solução:
Seja a v.a. X: tempo de vida do componente
Vamos primeiro definir a função de distribuição
> fx <- function(x) {
+
y <- rep(0, length(x))
+
y[(x > 0 & x < 1)] <- (2/3) * x[(x > 0 & x < 1)]
+
y[(x >= 1 & x < 3)] <- 1 - (x[(x >= 1 & x < 3)]/3)
+
return(y)
+ }
(a) justifique porque f (x) é uma f.d.p. válida
Para ser f.d.p. válida vamos checar 2 condições:
(i) f (x) ≥ 0
> x <- seq(0, 3, l = 101)
> all(fx(x) >= 0)
[1] TRUE
R
(ii) f (x)dx = 1
> integrate(fx, 0, 3)$value
[1] 1
(b) qual a probabilidade Rde um componente durar entre 6 e 18 meses?
1,5
P [0, 5 < X < 1, 5] = 0,5 f (x)dx
> integrate(fx, 0.5, 1.5)$value
[1] 0.5416667
(c) qual o tempo mediano de vida?
R md
Tempo mediano: P [X < md] = 0, 5 ou seja, 0 f (x)dx = 0.5
> qfx <- function(x, quantil = 0.5) (quantil - integrate(fx, 0, x)$value)^2
> optimise(qfx, c(0, 3))$min
[1] 1.267940
(d) qual o tempo médio de vida?
R
Tempo médio: µ = E[X] = xf (x)dx
> efx <- function(x) x * fx(x)
> integrate(efx, 0, 3)$value
[1] 1.333333
3. (2,5 pontos) O quadro abaixo mostra os resultados da duração de válvulas usadas em uma indústria
fornecidas por 3 diferentes companhias. Baseado nesta tabela responda as perguntas a seguir.
Duração da válvula
Fornecedor menos que 4 meses 4 a 8 meses mais que 8 meses
X
64
120
16
Y
104
175
21
Z
27
48
5
> mat <- as.table(matrix(c(64, 104, 27, 120, 175, 48, 16, 21, 5), nc = 3))
> dimnames(mat) <- list(c("X", "Y", "Z"), c("<4", "4-8", ">8"))
> mat
<4 4-8
X 64 120
Y 104 175
Z 27 48
>8
16
21
5
> total <- sum(mat)
> total
[1] 580
> for.tot <- rowSums(mat)
> for.tot
X
Y
200 300
Z
80
> tem.tot <- colSums(mat)
> tem.tot
<4 4-8
195 343
>8
42
Seja a notação:
• X, Y ou Z : peça vir do fornecedor X, Y ou Z
• T1: peça durar menos que 4 meses
• T2: peça durar de 4 meses a 8 meses
• T3: peça durar mais que 8 meses
(a) Sorteando-se uma válvula qual a probabilidade de ter vindo do fornecedor X?
P [X] = 200/580 = 0.345
(b) Qual a probabilidade de uma válvula do fornecedor Z durar menos que 4 meses?
P [T 1|X] = 27/80 = 0.338
(c) Qual a probabilidade do uma válvula que durou mais de 8 meses ser do fornecedor Y ?
P [Y |T 3] = 21/42 = 0.5
(d) Você diria que o tempo de duração independe do fornecedor? Justifique sua resposta.
> prop.table(mat, mar = 1)
<4
4-8
>8
X 0.3200000 0.6000000 0.0800000
Y 0.3466667 0.5833333 0.0700000
Z 0.3375000 0.6000000 0.0625000
Sim porque as proporções de tempos de duração são bastante parecidas entre os 3 fornecedores,
conforma mostra a tabela acima.
(e) Baseando-se nestes dados, comprando um lote de 10 peças do fornecedor Y qual a probabilidade
de que todas durem menos que 8 meses?
Solução:
D : número de peças de Y que duram menos de 8 meses
D ∼ Bin(n = 10, p = P [T 3|Y ])
p = P [T 3|Y ] = 48/300 = 0.16
µ ¶
10 10
P [D = 10] =
p (1 − p)10−10
10
= 1.1e − 08
(f) Inspeciona-se as peças que duraram 4 meses uma a uma até encontrar uma que veio do fornecedor
X. Qual a probabilidade de que sejam inspecionadas mais que 3 peças até que se encontre a
primeira vinda deste fornecedor? Solução:
E : número de peças inspecionadas (que duraram 4 meses) até encontrar a primeira vinda de
E ∼ Geo(p = P [X|T 1]) e = 1, 2, . . .
p = P [X|T 1] = 64/195 = 0.328
P [E > 3] = 1 − P [E ≤ 3] = 1 − P [E = 1] − P [E = 2] − P [E = 3]
= 1 − (p(1 − p)1−1 ) − (p(1 − p)2−1 ) − (p(1 − p)3−1 ) = 0.303
0
5
10
15
20
25
30
4. (2,0 pontos) Foram coletados dados do ı́ndice de desempenho de 3 grupos de operários em 30 tarefas.
O gráfico abaixo resume os dados obtidos. Suponha que você tem que escolher um grupo para
trabalhar num determinado projeto. Compare os grupos baseando-se nos gráficos, comentando sobre
os desempenho mostrados cada grupo e apontando possı́veis vantagens e desvantagens de cada um
deles.
1
2
3
Solução:
O primeiro grupo apresenta a maior mediana, a menor variabilidade, distribuição simétrica e 3 dados
claramente atı́picos, todos com valores baixos.
O segundo grupo apresenta mediana bem inferior ao primeiro, com o 3o quartil inferior ao primeiro
quartil do primeiro grupo. A distribuição é simétrica e há um ponto discrepante com valor elevado.
A variabilidade deste grupo é ligeiramente maior do que a do primeiro grupo.
O terceiro grupo apresenta mediana próxima à do primeiro, porém variabilidade bem maior que os
demais grupos. A distribuição é assimétrica à direita com um dado atı́pico bem superior aos meais.
Em função desta descrição deve-se discutir as vantagens e/ou desvantagens de cada grupo.