Ângulos de Euler
Considere um corpo rígido e seus três eixos principais, ê1 , ê2 e ê3 , que são
ortonormais. Vamos definir o sistema de coordenadas fixo ao corpo rígido, S ∗ ,
com os eixos x1 , x2 e x3 ao longo dos versores ê1 , ê2 e ê3 , respectivamente.
Quando o corpo rígido gira em torno de algum ponto que permanece fixo no
espaço, tomamos a origem de S ∗ como sendo esse ponto fixo. No caso em que
o corpo rígido não tem um ponto que fica fixo no espaço, tomamos a origem
de S ∗ no centro de massa. Quando dois dos momentos de inércia principais do
corpo rígido são iguais, sempre tomamos seus respectivos eixos principais como
sendo ê1 e ê2 , por convenção. Também considere um sistema de coordenadas
cartesianas, S, com eixos x, y e z, e seus três versores respectivos, x̂, ŷ e ẑ. A
origem de S, tomamos como sendo a mesma origem de S ∗ , de forma que S não
é necessariamente fixo no espaço, já que o corpo rígido pode ter seu centro de
massa em movimento, o que implicaria em uma origem de S ∗ móvel. No entanto,
as direções x̂, ŷ e ẑ são tomadas como fixas no espaço. Logo, são necessários
três ângulos para determinar a orientação de S ∗ com relação a S. Esses ângulos
podem ser tomado como os chamados ângulos de Euler, que descrevo a seguir.
O primeiro ângulo de Euler chamamos de φ, que consiste de uma rotação
dos eixos x, y e z em torno do eixo z, de um ângulo φ. A transformação de
coordenadas para essa primeira rotação é descrita matricialmente como


 0 
x
x
 y 0  = Rφ  y  ,
(1)
z
z0
onde

Rφ
cos φ
=  −senφ
0

senφ 0
cos φ 0  .
0
1
(2)
Para entender as Eqs. (1) e (2), basta tomar um ponto no plano xy dado por
(x0 , y 0 ) , nas coordenadas rodadas, e também dado por (x, y) nas coordenadas
cartesianas originais. Em coordenadas polares, escrevemos
(x0 , y 0 )
=
(r cos ϕ, rsenϕ) .
(3)
Como os eixos x0 e y 0 estão rodados de um ângulo φ com relação aos eixos x e
y, segue que
(x, y)
=
(r cos (ϕ + φ) , rsen (ϕ + φ)) .
(4)
Mas, da Eq. (4) segue que
x
= r cos (ϕ + φ) = r cos ϕ cos φ − rsenϕsenφ,
isto é,
x
= x0 cos φ − y 0 senφ,
1
(5)
onde usei a Eq. (3), e
y
= rsen (ϕ + φ) = rsenϕ cos φ + r cos ϕsenφ,
ou seja,
y
= x0 senφ + y 0 cos φ,
(6)
onde também usei a Eq. (3). Podemos colocar as Eqs. (5) e (6) em forma
matricial assim:
0 x
cos φ −senφ
x
=
.
(7)
y
senφ cos φ
y0
Como
cos φ senφ
−senφ cos φ
cos φ
senφ
−senφ
cos φ
=
1
0
0
1
,
(8)
podemos multiplicar ambos os membros da Eq. (7) por
cos φ senφ
−senφ cos φ
e obter
x0
y0
=
cos φ
−senφ
senφ
cos φ
x
y
.
(9)
No caso de três coordenadas, mas mantendo os eixos z e z 0 coincidentes, podemos
também escrever, com o auxílio da Eq. (9),
 0 



x
x
cos φ senφ 0
 y 0  =  −senφ cos φ 0   y  ,
z
z0
0
0
1
que explica as Eqs. (1) e (2). O novo eixo x0 também é convencionalmente
chamado de eixo ξ, ou linha nodal.
O segundo ângulo de Euler é chamado θ e consiste de uma rotação dos eixos
x0 , y 0 e z 0 em torno do eixo x0 , de um ângulo θ. As novas coordenadas, depois
dessa segunda rotação de Euler, são dadas por
 00 
 0 
x
x
 y 00  = Rθ  y 0  ,
(10)
z 00
z0
onde

Rθ
1
=  0
0
0
cos θ
−senθ
2

0
senθ  .
cos θ
(11)
Note que a substituição da Eq. (1) na Eq. (10) resulta em
 00 


x
x
 y 00  = Rθ Rφ  y  .
(12)
z 00
z
Finalmente, o terceiro ângulo de Euler chamamos de ψ, que consiste de
uma rotação dos eixos x00 , y 00 e z 00 em torno do eixo z 00 , de um ângulo ψ. As
novas coordenadas, denotadas x1 , x2 e x3 , são as coordenadas do sistema S ∗
mencionado acima. Então,


 00 
x1
x
 x2  = Rψ  y 00  ,
(13)
x3
z 00
onde

cos ψ
=  −senψ
0
Rψ
senψ
cos ψ
0

0
0 .
1
(14)
Substituindo a Eq. (12) na Eq. (13), obtemos




x1
x
 x2  = Rψ Rθ Rφ  y  .
x3
z
Das Eqs. (2) e (11), obtemos

1
0
Rθ Rφ =  0 cos θ
0 −senθ
(15)

cos φ
0
senθ   −senφ
0
cos θ

senφ 0
cos φ 0  ,
0
1
isto é,

Rθ Rφ
cos φ
=  − cos θsenφ
senθsenφ
Das Eqs. (14) e (16), obtemos

cos ψ senψ
R = Rψ Rθ Rφ =  −senψ cos ψ
0
0
senφ
cos θ cos φ
−senθ cos φ

0
senθ  .
cos θ

0
cos φ
0   − cos θsenφ
1
senθsenφ
(16)
senφ
cos θ cos φ
−senθ cos φ

0
senθ  ,
cos θ
isto é,

R
=
cos ψ cos φ − senψ cos θsenφ
 −senψ cos φ − cos ψ cos θsenφ
senθsenφ
3
cos ψsenφ + senψ cos θ cos φ
−senψsenφ + cos ψ cos θ cos φ
−senθ cos φ

senψsenθ
cos ψsenθ  .
cos θ
(17)
Como cada uma das matrizes Rφ , Rθ e Rψ é ortogonal, a inversa de cada
uma é sua transposta e obtemos, para o produto das três,
R−1
=
−1
(Rψ Rθ Rφ )
t
−1
t
= Rφ−1 Rθ−1 Rψ
= Rφt Rθt Rψ
= (Rψ Rθ Rφ ) = Rt .
Das Eqs. (17) e (18) segue, portanto, que

cos ψ cos φ − senψ cos θsenφ −senψ cos φ − cos ψ cos θsenφ
R−1 =  cos ψsenφ + senψ cos θ cos φ −senψsenφ + cos ψ cos θ cos φ
senψsenθ
cos ψsenθ
(18)

senθsenφ
−senθ cos φ  .
cos θ
Não esqueça que os ângulos φ, θ e ψ são funções do tempo.
Agora vamos escrever, em termos dos ângulos de Euler e suas derivadas
temporais, o vetor ω. Para isso, em termos dos eixos principais, que giram
juntamente com o corpo rígido, podemos escrever
dê1
dt
=
a1 ê1 + b1 ê2 + c1 ê3 ,
(20)
dê2
dt
= a2 ê1 + b2 ê2 + c2 ê3
(21)
dê3
dt
=
(22)
e
a3 ê1 + b3 ê2 + c3 ê3 .
Seguindo o raciocínio da postagem Sistemas de coordenadas em movimento,
vemos que o vetor ω é definido como
ω
= c2 ê1 + a3 ê2 + b1 ê3 .
(23)
Das Eqs. (20), (21) e (22), obtemos
b1
=
ê2 ·
dê1
,
dt
(24)
c2
=
ê3 ·
dê2
dt
(25)
a3
= ê1 ·
dê3
.
dt
(26)
e
Assim, precisamos calcular, explicitamente, ê1 , ê2 e ê3 e suas derivadas temporais.
Da Eq. (15) segue que




x
x1
 y  = (Rψ Rθ Rφ )−1  x2  .
(27)
z
x3
4
(19)
Como as coordenadas de ê1 no referencial S ∗ são dadas por




x1
1
 x2  =  0  ,
x3
0
segue que, em S, suas coordenadas são dadas por




x
1
 y  = (Rψ Rθ Rφ )−1  0  .
z
0
Logo, usando a Eq. (19), podemos escrever
ê1
=
x̂ (cos ψ cos φ − senψ cos θsenφ) + ŷ (cos ψsenφ + senψ cos θ cos φ) + ẑsenψsenθ.
(28)
De maneira completamente análoga, também obtemos
ê2
= x̂ (−senψ cos φ − cos ψ cos θsenφ) + ŷ (−senψsenφ + cos ψ cos θ cos φ) + ẑ cos ψsenθ
(29)
e
ê3
=
x̂senθsenφ − ŷsenθ cos φ + ẑ cos θ.
(30)
Tomando as derivadas temporais das Eqs. (28), (29) e (30), obtemos
h
i
dê1
= x̂ ψ̇ (−senψ cos φ − cos ψ cos θsenφ) + φ̇ (− cos ψsenφ − senψ cos θ cos φ) + θ̇senψsenθsenφ
dt
h
i
+ ŷ ψ̇ (−senψsenφ + cos ψ cos θ cos φ) + φ̇ (cos ψ cos φ − senψ cos θsenφ) − θ̇senψsenθ cos φ
+ ẑ ψ̇ cos ψsenθ + θ̇senψ cos θ ,
(31)
dê2
dt
h
i
= x̂ ψ̇ (− cos ψ cos φ + senψ cos θsenφ) + φ̇ (senψsenφ − cos ψ cos θ cos φ) + θ̇ cos ψsenθsenφ
h
i
+ ŷ ψ̇ (− cos ψsenφ − senψ cos θ cos φ) + φ̇ (−senψ cos φ − cos ψ cos θsenφ) − θ̇ cos ψsenθ cos φ
+ ẑ −ψ̇senψsenθ + θ̇ cos ψ cos θ
(32)
e
dê3
dt
= x̂ φ̇senθ cos φ + θ̇ cos θsenφ + ŷ φ̇senθsenφ − θ̇ cos θ cos φ − ẑθ̇senθ.
(33)
Substituindo as Eqs. (29) e (31) na Eq. (24), obtemos
h
i
2
2
b1 = ψ̇ (−senψ cos φ − cos ψ cos θsenφ) + (−senψsenφ + cos ψ cos θ cos φ) + cos2 ψsen2 θ
+ φ̇ [(cos ψ cos φ − senψ cos θsenφ) (−senψsenφ + cos ψ cos θ cos φ)
+
(− cos ψsenφ − senψ cos θ cos φ) (−senψ cos φ − cos ψ cos θsenφ)]
+ θ̇ [−senψsenθ cos φ (−senψsenφ + cos ψ cos θ cos φ)
+
senψsenθsenφ (−senψ cos φ − cos ψ cos θsenφ) + senψ cos θ cos ψsenθ] ,
5
isto é,
b1
= ψ̇ sen2 ψ + cos2 ψ cos2 θ + cos2 ψsen2 θ
+ φ̇ cos2 ψ cos2 φ cos θ + sen2 ψ cos θsen2 φ + cos2 ψsen2 φ cos θ + sen2 ψ cos2 φ cos θ
+ θ̇ − cos2 φsenψ cos ψsenθ cos θ − sen2 φsenψ cos ψsenθ cos θ + senψ cos ψsenθ cos θ ,
ou seja,
b1
= ψ̇ + φ̇ cos θ.
(34)
Substituindo as Eqs. (30) e (32) na Eq. (25), obtemos
c2
= ψ̇senθsenφ (− cos ψ cos φ + senψ cos θsenφ) + φ̇senθsenφ (senψsenφ − cos ψ cos θ cos φ)
+ θ̇senθsenφ cos ψsenθsenφ − ψ̇senθ cos φ (− cos ψsenφ − senψ cos θ cos φ)
− φ̇senθ cos φ (−senψ cos φ − cos ψ cos θsenφ) + θ̇senθ cos φ cos ψsenθ cos φ
− ψ̇ cos θsenψsenθ + θ̇ cos θ cos ψ cos θ,
isto é,
c2
= ψ̇ [−senθsenφ cos ψ cos φ + senθ cos φ cos ψsenφ + senθsenψ cos θ − senψsenθ cos θ]
+ φ̇ senθsen2 φsenψ − senθsenφ cos ψ cos θ cos φ + senθ cos2 φsenψ + senθ cos φ cos ψ cos θsenφ
+ θ̇ sen2 θsen2 φ cos ψ + sen2 θ cos2 φ cos ψ + cos ψ cos2 θ ,
ou seja,
c2
=
φ̇senθsenψ + θ̇ cos ψ.
(35)
Substituindo as Eqs. (28) e (33) na Eq. (26), obtemos
a3 = (cos ψ cos φ − senψ cos θsenφ) φ̇senθ cos φ + θ̇ cos θsenφ
+ (cos ψsenφ + senψ cos θ cos φ) φ̇senθsenφ − θ̇ cos θ cos φ − θ̇senψsenθsenθ,
isto é,
a3
= φ̇ [senθ cos φ (cos ψ cos φ − senψ cos θsenφ) + senθsenφ (cos ψsenφ + senψ cos θ cos φ)]
+ θ̇ [cos θsenφ (cos ψ cos φ − senψ cos θsenφ) − cos θ cos φ (cos ψsenφ + senψ cos θ cos φ)
−
senψsenθsenθ] ,
ou seja,
a3
=
φ̇senθ cos ψ + θ̇ − cos2 θsen2 φsenψ − cos2 θ cos2 φsenψ − senψsen2 θ ,
ou ainda,
a3
= φ̇senθ cos ψ − θ̇senψ.
6
(36)
Substituindo as Eqs. (34), (35) e (36) na Eq. (23), obtemos
ω =
φ̇senθsenψ + θ̇ cos ψ ê1 + φ̇senθ cos ψ − θ̇senψ ê2 + ψ̇ + φ̇ cos θ ê3 .
(37)
De acordo com a postagem Rotação de um corpo rígido e as equações de
Euler, a energia cinética do corpo rígido, no sistema S ∗ , é dada por
T
=
←
→
1
ω · I · ω,
2
(38)
onde
←
→
I
= I1 ê1 ê1 + I2 ê2 ê2 + I3 ê3 ê3 .
(39)
Substituindo as Eqs. (37) e (39) na Eq. (38), obtemos
T
=
1
1
1
I1 ω · ê1 ê1 · ω + I2 ω · ê2 ê2 · ω + I3 ω · ê3 ê3 · ω,
2
2
2
isto é,
T
=
2 1 2 1 2
1 I1 φ̇senθsenψ + θ̇ cos ψ + I2 φ̇senθ cos ψ − θ̇senψ + I3 ψ̇ + φ̇ cos θ .
2
2
2
No caso de um corpo com tensor de inércia tal que dois de seus momentos de
inércia principais são iguais, digamos, I1 = I2 , obtemos
T
=
2 1 2 1 2
1 I1 φ̇senθsenψ + θ̇ cos ψ + I1 φ̇senθ cos ψ − θ̇senψ + I3 ψ̇ + φ̇ cos θ ,
2
2
2
isto é,
T
=
1 2
1 2 2
I1 φ̇ sen θsen2 ψ + θ̇2 cos2 ψ + φ̇2 sen2 θ cos2 ψ + θ̇2 sen2 ψ + I3 ψ̇ + φ̇ cos θ ,
2
2
ou seja,
T
=
1 2
1 2 2
I1 φ̇ sen θ + θ̇2 + I3 ψ̇ + φ̇ cos θ .
2
2
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Bibliografia
[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).
7
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