TRAJETÓRIA DAS TRIGONOMETRIAS: uma incursão histórica
Rosana dos Passos Correa*1
Rúbia Soraia Barata Monteiro*
Pedro Franco de Sá **
RESUMO
O presente artigo versa sobre o contexto histórico das Trigonometrias desde antiguidade à
contemporaneidade. Fomentar os princípios históricos da Trigonometria, a partir da pesquisa
bibliográfica, conhecer e se aprofundar na história para melhor entender o presente, além disso,
perceber sua importância para o ensino da matemática na educação básica, pois a busca pelo
conhecimento é constante e de fato, precisa ser “degustado” como um banquete de informações
para assim subsidiar aquilo que outrora apenas era visto como hipótese das ideias.
PALAVRAS-CHAVE: História das Trigonometrias. Origens Trigonométricas. Funções
Trigonométricas.
1. Introdução
Para considerar, historicamente a Trigonometria, faz-se necessário entender sua
origem, perpassando pelos campos da matemática desde o inicio do século II a.C.
Mesmo que sua história possa ser narrada por fatos que ocorrera em épocas de
difícil acesso às informações e às tecnologias, vale ressaltar que ainda assim obteve-se
muitas informações sobre seu “surgimento”.
Limitaremos este artigo ao desenvolvimento da pesquisa bibliográfico dos
teóricos que possuem como suporte de investigação os estudos sobre a origem histórica da
trigonometria, suas concepções, importância e reflexo no ensino da matemática para
educação.
* Discentes do Curso de Pós Graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará - UEPA.
** Professor do Curso de Pós Graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará - UEPA.
Destaca-se as concepções dos grandes teóricos da humanidade que se destacaram
pela sua persistência e dedicação à Ciência, em especial, à Matemática e seus estudos com
a Trigonometria, seus princípios em razão e dinâmica, as quais envolve inúmeras leis
trigonométricas, que supostamente atribui-se um desinteresse por parte de muitos na
atualidade.
1.1. As Origens da Trigonometria
Para início de conversa, pode-se afirmar que o surgimento da trigonometria é
incerto, pois para relatar sua origem é necessário que se adote um sentido científico para
citá-la no contexto histórico, por exemplo, se for considerada como ciência analítica atual,
sua origem se dará provavelmente por volta do século XVII, no entanto, se for ligada aos
estudos da Astronomia, significada geometricamente, sua origem estará ligada às
descobertas ou obras de Hiparco, em meados do século II a. C.
Mas é importante que se esclareça que há relatos de estudos anteriores. Porém, se
for analisada tendo como referência os estudos sobre medidas do triângulo, acredita-se que
seu surgimento se dá por volta do segundo ou terceiro milênios a. C.
Contudo, o que se pode afirmar, com base nos documentos históricos, é que a
trigonometria surgiu em torno dos séculos IV ou V a. C., com as inquietações dos povos
egípcios e babilônicos por meio dos problemas ligados à astronomia, agrimensura e
navegação. Porém, deve-se principalmente, às necessidades da astronomia o surgimento da
trigonometria, através da criação das primeiras tabelas trigonométricas, sendo que, naquele
tempo, a trigonometria era parte da astronomia, vindo a se tornar parte da matemática,
tempos depois.
1.2. TRIGONOMETRIA NA MESOPOTÂMIA OU BABILÔNIA
De acordo com Morey (2001), a Mesopotâmia Antiga é uma região que fica
situada entre dois rios, denominados Tigre e Eufrates, que corresponde aproximadamente
ao Iraque Moderno e, também é conhecida como Babilônia. Nesta região e em diferentes
períodos da Antiguidade, habitaram diversos povos, dentre eles os babilônios.
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Os babilônios realizaram vários escritos de caracteres em formato de cunha, daí o
nome recebido de “escrita cuneiforme”. Para realizarem a escrita desses caracteres, os
babilônios costumavam utilizar barro para moldar tabletes, e com o barro ainda fresco, eles
escreviam nestes usando estilete, depois disto colocavam os tabletes ao sol ou no forno
para secar.
Neugebauer (1969 apud MOREY, 2001) afirma que cerca de 500.000 tabletes
devem ter chegado aos museus, sendo que 400 destes tabletes e fragmentos matemáticos
foram copiados, traduzidos e explicados.
Dentre estes tabletes, destaca-se o Plimpton 322, que recebe este nome devido à
ordem (322) que ocupa na coleção Plimpton da Universidade de Columbia em Nova
Iorque. Trata-se de um texto cuneiforme referente ao período babilônico antigo, escrito por
volta de 1800 a. C.
Pode-se dizer em relação às características físicas, que o Plimpton 322 é uma
tableta de argila parcialmente quebrada medindo cerca de 13 centímetros de largura, 9
centímetros de altura, e 2 centímetros de espessura. Na parte do tablete que restou existe
uma tabela que possue 4 colunas e 15 linhas, não estando totalmente legível. O sistema de
numeração é sexagesimal (base 60) e a escrita é cuneiforme. Neugebauer utilizou uma
dada interpretação do texto e pôde com isso restaurar as informações ilegíveis. Os números
que aparecem neste documento são mostrados na Erro! Fonte de referência não
encontrada..
Contudo, relata-se que os babilônios não introduziram uma medida de ângulos no
sentido moderno, fazendo surgir algumas indagações, uma delas refere-se a: Que tipo de
conhecimento astronômico se pode atingir e/ou transmitir sem ter noção de medida de
ângulos?
Porém, Morey (2001, p.16), afirma que a astronomia babilônica até o período
selêucida não incluía conhecimentos que tornasse forçosa a idéia de grau como medida de
ângulo. No caso da ausência de uma verdadeira medida de ângulo, o astrônomo babilônio
poderia recorrer ao seguinte artifício: em vez de dizer, por exemplo, que Vênus, num
determinado momento t, estava aproximadamente a 48º abaixo da estrela X, ele poderia
dizer que, num determinado momento t, Vênus e a estrela X estavam separados pelo
ângulo agudo maior do triângulo.
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Destaca-se ainda o fato de que somente os eclipses e as ocultações eram
observados sob condições favoráveis, sendo, talvez, este motivo que levou Ptolomeu a
desenvolver uma lista de eclipses, que foram relatados desde o reino Nabonassar (747 a.
C.), enquanto não dispunha de observações confiáveis sobre os planetas (NEUGEBAUER,
1969, p. 98 apud MOREY, 2001, p.17).
Morey (2001, p.19) afirma que no caso dos triângulos, os babilônios (e egípcios)
tinham conhecimento dos teoremas que relacionavam os lados de triângulos semelhantes, o
que pode ser exemplificado pelo Tablete Plimpton 322, mas não há nada neste ou em
outros documentos deixados pelos babilônios que destaque algum indício de que possuíam
uma medida para ângulos.
De fato, Boyer (1974, p.116 apud Morey, p.19), ao falar dos estudos dos egípcios
e babilônicos sobre triângulos, afirma que, devido a falta do conceito de medida de ângulo,
no período pré-helênico, este estudo seria melhor denominado de “trilaterometria” ou
medida de polígonos de três lados (triláteros), e não trigonometria (medida das partes de
um triângulo).
1.3. TRIGONOMETRIA NO EGITO
Afirma-se que os primeiros indícios de utilização da trigonometria apareceram no
Egito, através do surgimento do Papiro Ahmes, também conhecido por Papiro Rhind,
datado aproximadamente de 1650 a.C.
Acredita-se que este papiro continha 84 problemas, sendo cinco, relacionados às
medidas de pirâmides, dos quais quatro citam o seqt de um ângulo a partir dos problemas
56 a 60, escritos nas pranchas 78 a 82 do Papiro. O seqt representava a razão entre o
afastamento horizontal e a elevação vertical que se dava pela inclinação das faces da
pirâmide, o que para os egípcios era fator fundamental no processo de sua construção.
Segundo Morey (2001, p.50), o problema 56 do Papiro de Rhind contém
rudimentos de Trigonometria. Na construção de pirâmides era essencial manter uma
inclinação constante das faces e pode ter sido esta preocupação que levou os egípcios a
introduzir um conceito equivalente ao de cotangente de um ângulo.
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Além disso, vale ressaltar que por volta de aproximadamente 1500 a. C. também
no Egito, a iniciativa de associar sombras projetadas por uma vara vertical à sequências
numéricas e seus comprimentos à horas do dia (relógios de sol), estaria prevendo o
surgimento das funções tangente e cotangente, após alguns séculos, porém, tal fato se deu
pela necessidades de medir alturas e distâncias.
1.4. TRIGONOMETRIA NA CHINA
Uma trigonometria primitiva foi encontrada no Oriente. Na China, no reinado de
Chóu-pei Suan-king, aproximadamente 1110 a. C., os triângulos retângulos eram
freqüentemente usados para medir distâncias, comprimentos e profundidades.
Existem evidências tanto do conhecimento das relações trigonométricas quanto do
conceito de ângulo e a forma de medi-lo, mas, infelizmente não temos registro de como
eram feitas às medições e quais as unidades de medida usadas.
Há, aparentemente, indicações no Chou Pei do Teorema de Pitágoras, um teorema
que os chineses tratavam algebricamente. (BOYER, 1997, p. 133).
Na literatura chinesa, segundo Costa (1997) descobrimos uma certa passagem que
podemos exprimir por: "O conhecimento vem da sombra, e a sombra vem do gnômon", o
que comprova que a trigonometria plana primitiva já era conhecida na China no segundo
milênio a.C. O gnômon é a parte triangular do relógio de sol.
Também na China, em 152 a. C., há indícios de que Chuan Tsanom sistematizou
todo o conhecimento matemático conhecido na coleção "A Matemática em Nove Livros".
Por volta do século XVII, em uma das ilustrações sobre provas matemáticas,
realizadas por Guo, há uma narrativa de Needham, que diz: Guo usou uma pirâmide
quadrangular esférica, cujo quadrilátero de base consistia em um arco equatorial e outro
elíptico, juntos com dois arcos meridianos, um dos quais passava pelo ponto do solstício de
verão.
Contudo, apesar das descobertas de Shen e Guo no ramo da trigonometria, outra
obra substancial sobre este assunto não seria publicada até 1607 a. C., com a dupla
publicação de Os Elementos de Euclides, pelo oficial e astrônomo chinês Xu Guangqi
(1562–1633 a. C.) e pelo jesuíta italiano Matteo Ricci (1552–1610 a. C.).
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1.5. TRIGONOMETRIA NA GRÉCIA
Boyer (1974 apud MOREY, p.21) afirma que é com os gregos que se inicia um
estudo sistemático das relações entre ângulos (ou arcos) num círculo e os comprimentos
das cordas que os subtendem.
De acordo com Morey (p.21) nas obras de Euclides não existe trigonometria no
sentido real da palavra, mas sim teoremas que equivalem às leis ou fórmulas
trigonométricas específicas. Por exemplo, considerando as proposições 12 e 13 do livro II
de Os Elementos de Euclides temos que:
Num triângulo obtusângulo (acutângulo) o quadrado do lado oposto ao ângulo
obtuso (agudo) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, acrescida (ou
diminuída) do dobro do produto de um desses lados pela projeção do outro sobre ele.
Com este enunciado, Euclides ressalta o que é conhecida atualmente como lei dos
cossenos para ângulos agudos e obtusos, utilizando uma linguagem geométrica e não uma
linguagem trigonométrica, usando em sua demonstração, alguns métodos que se
assemelham aos usados demonstrar o Teorema de Pitágoras.
De acordo com Morey (p.23), trabalhando com estes dados, Aristarco concluiu
que o Sol está entre 18 e 20 vezes mais distante da Terra do que a Lua. Este valor se
distancia muito do que hoje é aceito, mas o método usado por Aristarco era impecável. O
resultado foi prejudicado pelo erro de observação ao medir o ângulo LTS (Lua-Terra-Sol),
que calculou 87º, o que na verdade fica em torno de 89 graus e meio. Porém, ao determinar
as distâncias relativas da Terra ao Sol e da Terra à Lua, Aristarco pôde posteriormente
determinar os tamanhos aparentes do Sol e da Lua e finalmente, os tamanhos do Sol e da
Lua comparando-os com o tamanho da terra.
Quanto à avaliação do raio da Terra, o nome que mais se destaca é o de
Eratóstenes de Cirene, bibliotecário na universidade de Alexandria, pois seu método foi
considerado o de mais sucesso.
1.6. A TABELA DE CORDAS NO ALMAGESTO
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Segundo Morey (2001, 29) o tratado é composto de treze livros nos quais é
descrito o programa completo de Ptolomeu para o cálculo da posição dos planetas e a
ordem de tratamento dos tópicos é completamente lógica. Ele começa com a matemática
básica que será usada e mostra como obter as entradas na sua tabela trigonométrica.
Começa com instruções para calcular a função trigonométrica da corda e daí a aplica a uma
longa série de demonstrações, construções e derivações dos parâmetros numéricos de seu
material observacional.
Ao todo são treze livros que compõem o Almagesto, que discutem os mais
diversos tópicos da matemática, dos quais se destacam alguns referentes a tópicos de
Trigonometria - o Livro I, em que depois de discorrer brevemente sobre a natureza do
universo, Ptolomeu desenvolve sua teoria trigonométrica necessária para o restante do
trabalho e o Livro II, que discute aqueles aspectos da astronomia esférica do ponto de vista
do observador na Terra (alvorecer, comprimento do dia claro, etc.).
Ptolomeu, por motivos que considera supérfluos em entrar em detalhes, não
discute certos tópicos, como Geometria e Logística. Porém, lançando mão da
Trigonometria, Ptolomeu usa uma única função trigonométrica, a corda, para a qual ele
detalhadamente constrói uma tabela na seção 10 do Livro I do Almagesto, denominada
tábua ou tabela de cordas.
De acordo com Morey (2001, p.30) acredita-se que a Tabela de Cordas de
Ptolomeu baseia-se em sua maioria, num trabalho de Hiparco de Nicéia, seu predecessor.
Segundo Morey (2001, p.49), no século XVI o matemático George Joachim
Rheticus calculou, no decurso de doze anos, os valores de todas as seis funções
trigonométricas com até dez casa decimais, com exceção do seno que foi calculado com
quinze casas decimais, com intervalos de dez segundos.
Quanto à tangente e à cotangente, pode-se dizer que chegaram até nós através de
uma abordagem distinta da corda do seno. Elas se desenvolveram ao mesmo tempo e não
eram inicialmente associadas a ângulos, mas tornaram-se importantes para calcular altura a
partir do comprimento da sombra lançada por objetos, que também estava relacionada à
construção do relógio de sol.
1.7. A TRIGONOMETRIA ISLÂMICA
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Sabe-se que a relação dos matemáticos islâmicos com os textos astronômicos
gregos e hindus ocorreu bem cedo. Em seus estudos no Almagesto de Ptolomeu,
encontraram o conceito de corda de um arco de circunferência e em suas investigações nos
textos hindus, o conceito de seno de um arco.
Dessa forma, os trabalhos dos matemáticos hindus foram expandidos no mundo
islâmico por matemáticos árabes e persas. Por volta do século IX, Al-Khwarizmi produziu
tabelas precisas de senos e cossenos e a primeira tabela de tangentes.
Por volta do século XI, Omar Khayyam (1048–1131) resolveu equações cúbicas
usando soluções numéricas aproximadas encontradas por interpolações em tabelas
trigonométricas.
Quanto ao método da triangulação, pode-se afirmar que foi primeiramente
desenvolvido por matemáticos muçulmanos, a partir de aplicações práticas, como na
cartografia.
1.8. TRIGONOMETRIA INDIANA
Por volta do século IV da nossa era, aconteceu que os bárbaros germânicos
invadiram a Europa Ocidental, ao mesmo tempo, com a queda do Império Romano,
ocasionou-se uma grande crise, o que contribui para que o centro da cultura se deslocasse
para a Índia. Com isso, uma variedade de textos denominados Siddhanta (sistemas de
Astronomia) foi responsável por uma evolução no campo da Trigonometria.
Um dos mais famosos denomina-se Surya Siddhanta (Sistemas do Sol), um texto
épico, de aproximadamente 400 d.C, escrito em versos e em sânscrito, tido pelos hindus,
como uma obra escrita por Surya (Deus do Sol). Boyer (1974) afirma que a mesma contém
poucas explicações e nenhuma prova, pois afinal, tendo sido escrita por um Deus, seria
muita pretensão exigir provas.
Aryabhata (476–550 d. C), na sua obra Aryabhata-Siddhanta, primeiro definiu o
seno como a relação moderna entre a metade de um ângulo e a metade de uma corda e
então definiu o cosseno, verseno e o seno inverso. Em seus trabalhos, se encontram as
tabelas de valores de seno e verseno (1 −cosseno) mais antigas que sobreviveram até nós,
em intervalos de 3.75° de 0° até 90°, com uma precisão de 4 casas decimais. Ele usou as
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palavras jya para seno, kojya para cosseno, ukramajya para verseno e otkram jya para seno
inverso.
Enfim, pode-se afirmar que dos hindus a matemática herdou as principais funções
trigonométricas e com eles se aperfeiçoaram os métodos de tabulação, como os de
interpolação quadrática e linear.
1.8.1. TRIGONOMETRIA MEDIEVAL
Acredita-se que na Europa, Regiomontanus foi talvez o primeiro matemático a
tratar a trigonometria como uma disciplina matemática distinta, a partir de sua obra De
triangulis omnimodus, escrita em 1464, e posteriormente em seu Tabulae directionum, em
que incluíu a função tangente, mesmo sem denominá-la como tal.
Quanto ao aparecimento das funções trigonométricas, provavelmente a obra A
Opus palatinum de triangulis, de Georg Joachim Rhaeticus, aluno de Nicolau Copérnico,
foi a que primeiramente definiu funções trigonométricas, mas relacionadas à triângulos
retângulos e não a círculos. Nesta obra, encontram-se tabelas para todas as seis funções
trigonométricas, porém quem a concluiu foi Valentin Otho, aluno de Rhaeticus, em 1596.
Por volta do século XVII, Isaac Newton e James Stirling foram responsáveis pelo
desenvolvimento da fórmula de interpolação geral para funções trigonométricas.
Cabe a Madhava de Sangamagrama (c. 1400) as contribuições dadas à análise das
funções trigonométricas e de suas expansões em séries infinitas. Foi ele quem desenvolveu
os conceitos de série de potências e de série de Taylor, produzindo as expansões em séries
trigonométricas do seno, cosseno, tangente e arco-tangente.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Baseados nos autores citados que muito buscaram a historicidade da Trigonometria,
observou-se que o inicio do desenvolvimento da trigonometria perde-se na pré-história.
Pois identificou-se nas primeiras sequências numéricas relacionando com comprimentos,
além disso, há uma grande lacuna entre estas sequências e as técnicas utilizadas por
Hiparco que as utilizou para fins de solução de figuras planas.
Ainda há de se comentar que a trigonometria foi baseada numa única função, a corda
de um arco de circulo arbitrário.
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Contudo, a trigonometria teve um avanço, pois segundo Kenndy, 1992 (apud Morey)
ela é uma ilustração de que o conhecimento tende a se acumular de acordo com a
quantidade e que seu crescimento é exponencial em relação ao tempo.
Diante desses fatos, é certo que o conhecimento de trigonometria não floresceu da
noite para o dia, foi através de “saltos”.
Podemos dizer ainda que muitas vezes feitos lentamente, e que alguns momentos da
história desapareceram para assim novamente vir à tona com força total e que hoje está em
vistas de muitos estudos.
REFERÊNCIAS
BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução Elza F. Gomide. São Paulo: Edgar
Blücher, 1974.
___________. História da matemática. Tradução de E.F.GOMIDE. 2. ed. São Paulo:
Edgard Blücher, 1996.
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução Hygino H. Domingues.
Campinas:UNICAMP, 1997.
GALVÃO, Maria Elisa Esteves Lopes. História da matemática: dos números à
geometria. Editora: EDIFIEO, 2008.
MOREY, Bernadete Barbosa. Tópicos de História da Trigonometria. Natal: SBHMAT,
2001.
ESTRADA, Maria Fernanda; SÁ, Carlos Correia de; QUEIRÓ, João Filipe; SILVA, Maria
do Céu; COSTA, Maria José. História da Matemática. Lisboa: Universidade Aberta,
2000.
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