Matemática II
AULA
Prof. Sérgio Tambellini
14
Estudo do cosseno na circunferência trigonométrica
Sinais dos valores do cosseno de um ângulo:
Para arcos no 1o e no 4o quadrantes o cosseno destes arcos
tem sinal positivo, por se localizarem no semi eixo da
direita (valores positivos), e para arcos no 2o e no 3o
quadrantes o cosseno tem sinal negativo, por localizarem
no semi eixo da esquerda (valores negativos).
Tópicos da aula
 Eixo dos valores do cosseno de um ângulo
 Valores do cosseno dos arcos simétricos
 Limites dos valores do cosseno de um ângulo
 Sinais dos valores do cosseno de um ângulo
Resumo teórico
Eixo dos valores do cosseno de um ângulo:
O eixo horizontal é o eixo dos valores do cosseno de um
arco da circunferência. O valor do cosseno é obtido pela
projeção perpendicular da extremidade do arco no eixo
horizontal.
60
2o quadrante
-1
0

1
2
1o quadrante
Exercícios de aula
1) Calcule os valores de
1
cos 45o =
4o quadrante
cos 135o =
1
(valor conhecido da tabela de valores exatos)
2
cos 225o =
cos 315o =
Valores do cosseno dos arcos simétricos:
Os valores do cosseno dos arcos simétricos nos quatro
quadrantes são iguais, diferenciando apenas o sinal.
2o quad.
-1
120o
-1/2
60o
cos 60o = ½
1o quad.
1/2
3o quad.
cos 120o = - ½
cos 240o = - ½
1
cos 300o = ½
4o quad.
240o
300o
2) Calcule os valores de
cos 30o =
Limites dos valores do cosseno de um ângulo:
O cosseno da medida de um ângulo é um valor real
LIMITADO entre -1 e 1, ou seja, -1  cos x  1 , sendo x
a medida de um ângulo qualquer da circunferência
trigonométrica.
cos 150o =
cos 210o =
cos 330o =
x
-1
 
 
3o quadrante
o
3o quadrante
cos 60o =
2o quadrante
1
32
1o quadrante
4o quadrante
3) Calcule os valores do cosseno dos arcos de 0o, 90o,
180o, 270o e 360o.
8) Resolva a equação cos x = 
1
, para 0  x < 2, e dê o
2
conjunto solução.
cos 0o =
cos 90o =
cos 180o =
cos 270o =
cos 360o =
4) Calcule os valores do cosseno dos arcos, dados em
radianos, abaixo:
a) cos

=
4

=
6
f) cos
9) Resolva, em graus, a equação cos x =

b) cos =
3
g) cos  =
c) cos
5
=
6
h) cos
5
=
3
d) cos
5
=
4
i) cos
11
=
6
e) cos
2
=
3
j) cos
3
=
2
3
, em R, e dê
2
o conjunto solução.
5) Calcule o valor da expressão
E = cos 60o + cos2135o – cos 180o
6) Calcule o valor da expressão
4 
11 
  cos

3 
6 

cos 3   cos
2
2
cos
E
7) Resolva a equação cos x =
10) Resolva, em radianos, a equação cos x = 
e dê o conjunto solução.
2
, para 0  x < 360o, e dê
2
o conjunto solução.
33
2
, em R,
2
11) Resolva a equação cos2x – 1 = 0, para 0  x < 2, e dê
o conjunto solução.
Tarefa de casa
1) Para x = 20o, calcule o valor da expressão:
E = cos(3x) – cos(6x) + cos(12x)


4
2
2) Calcule S = cos 0  cos  cos  cos
 cos
3
5
5
3
3) Assinale a afirmação FALSA.


a) cos  cos
d) cos 2  cos 
3
2


4
2
b) cos  cos
e) cos
 cos
3
3
4
3
2
5
c) cos
 cos
3
6
4) Resolva, no intervalo 0  x < 2, as equações:
1
a) cos x =
d) cos2x = 1
2
b) cos x = – 1
e) 2.cos2x = 1
12) Resolva a equação 4.cos2x – 3 = 0, em R, e dê a
solução em radianos.
c) cos x = 
3
2
f) 2.cos2x – 1 = 0
5) Resolva, em R, as equações e dê a solução em radianos.
1
a) cos x =
d) cos2x = 1
2
b) cos x = – 1
e) 2.cos2x = 1
c) cos x = 
3
2
f) 2.cos2x – 1 = 0
6) Resolva, no intervalo 0  x < 2, a equação
cos2x = cosx.
7) Resolva, no intervalo 0  x < 2, a equação
cos2x – cosx – 2 = 0.
8) Resolva, em R, a equação 2.cos2x – cosx – 1 = 0 e dê a
solução em radianos.
9) A solução da equação 4.cos2x – 1 = 0 para x  [0 , ], é
13) Considerando as medidas dos arcos em radianos,
coloque em ordem crescente os valores de cos1, cos2,
cos3, cos4, cos5 e cos6.

a) S    .
3
 2 4 
d) S   ,  .
3 3
  2 
b) S   ,  .
3 3 
  2 4 5 
e) S   ,
,
, .
3 3 3 3 
  5 
c) S   ,  .
3 3 
10) Resolva a equação cosx.(cos2x – 1).(2.cos2x – 1) = 0 ,
em R, e dê a solução em radianos.
Questão de raciocínio lógico
Se um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo, então quanto
pesa um tijolo e meio?
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