ANÁLISE QUASI-ESTÁTICA DE PROBLEMAS VISCOELÁSTICOS USANDO O
MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO VIA GALERKIN
Carlos Gouveia Riobom Neto
Dissertação
de
Mestrado
apresentada
ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos necessários
à obtenção do título de Mestre em Engenharia
Civil.
Orientador: José Antonio Fontes Santiago
Rio de Janeiro
Agosto de 2013
ANÁLISE QUASI-ESTÁTICA DE PROBLEMAS VISCOELÁSTICOS USANDO O
MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO VIA GALERKIN
Carlos Gouveia Riobom Neto
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO
LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA
(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.
Examinada por:
________________________________________________
Prof. José Antonio Fontes Santiago, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Webe João Mansur, Ph.D.
________________________________________________
Prof. José Antonio Marques Carrer, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Flavio Cezario, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
AGOSTO DE 2013
Riobom Neto, Carlos Gouveia
Análise Quasi-Estática de Problemas Viscoelásticos
Usando o Método dos Elementos de Contorno Via
Galerkin/ Carlos Gouveia Riobom Neto. – Rio de Janeiro:
UFRJ/COPPE, 2013.
IX, 203 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: José Antonio Fontes Santiago
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Civil, 2013.
Referências Bibliográficas: p. 170-172.
1. Método dos Elementos de Contorno Via Galerkin.
2. Viscoelasticidade Linear. 3. Análise Quasi-Estática. I.
Santiago, José Antonio Fontes. II. Universidade Federal
do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil.
III. Título.
iii
Agradecimentos
Aos meus pais, Riobom e Ciça, à minha irmã Mariana e a toda a minha família
pelo constante apoio e incentivo aos meus estudos.
Ao professor Santiago pela orientação, dedicação, paciência e contribuição para
a minha formação acadêmica.
Ao professor Flavio Cezario pelo auxílio a esta pesquisa.
Ao professor Otto Rotunno pela minha iniciação na vida acadêmica.
A todos os meus amigos que me apoiaram ao longo do desenvolvimento deste
trabalho.
iv
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
ANÁLISE QUASI-ESTÁTICA DE PROBLEMAS VISCOELÁSTICOS USANDO O
MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO VIA GALERKIN
Carlos Gouveia Riobom Neto
Agosto/2013
Orientador: José Antonio Fontes Santiago
Programa: Engenharia Civil
Neste trabalho, foi desenvolvida a formulação clássica do Método dos
Elementos de Contorno, baseada no Método de Galerkin, para a solução de problemas
viscoelásticos quasi-estáticos bidimensionais, com a adoção de elementos de contorno
com geometria linear e funções de interpolação quadráticas. Adicionalmente, foi
determinada a solução fundamental viscoelástica para o domínio semiplano.
Utilizando o Teorema da Reciprocidade Viscoelástica, foi construída uma
formulação no domínio do tempo baseada em convoluções de Stieltjes com
comportamento viscoelástico do material modelado por suas funções de relaxação.
Com a aquisição das soluções fundamentais viscoelásticas e a implementação de
métodos aproximados de integração no tempo para a avaliação das convoluções de
Stieltjes, foram obtidas soluções numéricas para problemas viscoelásticos em domínios
finitos, infinitos e semi-infinitos. Apesar da adoção de uma formulação no domínio do
tempo, o Princípio da Correspondência foi utilizado para a produção de diversas
soluções analíticas de problemas viscoelásticos, a partir das soluções dos problemas
elásticos correspondentes, usadas para aferir os resultados das análises numéricas.
v
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
QUASI-STATIC ANALYSIS OF VISCOELASTIC PROBLEMS USING THE
GALERKIN BOUNDARY ELEMENTS METHOD
Carlos Gouveia Riobom Neto
August/2013
Advisor: José Antonio Fontes Santiago
Department: Civil Engineering
In this work, a classical formulation of the Boundary Elements Method, based
on the Galerkin Method, was developed for the solution of two-dimensional quasiestatic viscoelastic problems, adopting boundary elements with linear geometry and
quadratic interpolation functions. In addition, the half-plane viscoelastic fundamental
solution was determined.
A time domain formulation was built by using the Viscoelastic Reciprocal
Theorem, based on Stieltjes convolutions with viscoelastic behavior of the material
modeled by means of its relaxation functions.
Numerical solutions for viscoelastic problems in finite, infinite and semi-infinite
domains were obtained with the viscoelastic fundamental solutions and the
implementation of approach methods of the time integration for the evaluation of
Stieltjes convolutions. In spite of adopted time domain formulation, the Correspondence
Principle was used in order to produce several analytic solutions of viscoelastic
problems, from the corresponding elastic problems, employed to assess the results of
the numeric analyses.
vi
Índice
Capítulo 1 - Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 - Observações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2 - Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Capítulo 2 - Conceitos Básicos da Teoria da Elasticidade . . . . . . .
10
2.1 - Equações de Equilíbrio e Geométricas . . . . . . . . . . .
10
2.2 - Equações Constitutivas Elásticas . . . . . . . . . . . . . .
12
Capítulo 3 - Viscoelasticidade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.1 - O Sólido de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2 - Modelo de Boltzmann – Sólido de Três Parâmetros . . . .
21
3.3 - Modelo Viscoelástico Generalizado – Formulação
Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.4 - Integrais Hereditárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.5 - Viscoelasticidade
em
Problemas
Tridimensionais
–
Formulação Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 - Princípio da Correspondência . . . . . . . . . . . . . . . .
26
27
3.7 - Viscoelasticidade em Problemas Tridimensionais –
Formulação Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.8 - Integrais de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.9 - Estado Viscoelástico de Tensões e Deformações . . . . . .
35
Capítulo 4 - Método dos Elementos de Contorno para Problemas
Viscoelásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.1 - Formulação em Integrais no Contorno . . . . . . . . . . . .
42
4.2 - Soluções Fundamentais Viscoelásticas . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 – Solução Segundo Syngellakis . . . . . . . . . . . .
46
4.2.2 – Solução Segundo Sternberg e Al-Khozaie . . . . . . 51
4.3 - Formulação Integral com Ponto Fonte no Contorno . . . .
53
4.4 - Descrição do MEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
vii
4.5 - Cálculo das Integrais Espaciais . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.5.1 – Integrais Espaciais – Caso 1: Elementos NãoAdjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5.2 – Integrais Espaciais – Caso 2: Elementos Adjacentes
64
4.5.3 – Integrais Espaciais – Caso 3: Elementos Coincidentes 67
4.6 - Avaliação das Convoluções Temporais . . . . . . . . . . .
68
4.6.1 – Método da Interpolação Linear no Tempo . . . . . . 69
4.6.2 – Método Incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.6.3 – Metodologia Numérica para Marcha no Tempo . . . 71
4.7 - Deslocamentos e Tensões em Pontos Internos . . . . . . .
72
4.8 - Estado de Tensões no Contorno . . . . . . . . . . . . . . .
80
4.9 - Domínios Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.10 - Domínios Semiplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Capítulo 5 - Exemplos de Estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
5.1 - Tubo Submetido à Pressão Interna . . . . . . . . . . . . . .
98
5.2 - Tubo Submetido a Deslocamento Radial . . . . . . . . . . .
110
5.3 - Chapa Tracionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
5.4 - Chapa com Deslocamento Prescrito . . . . . . . . . . . . .
118
5.5 - Viga Engastada com Carga Concentrada . . . . . . . . . . . 120
5.6 - Cavidade Cilíndrica em Sólido Infinito . . . . . . . . . . .
128
5.7 - Carga Linearmente Distribuída em Domínio Semiplano . . . 130
5.8 - Tubo Próximo à Superfície em Domínio Semiplano . . . . . 146
5.9 - Comparação Entre os Métodos da Colocação e Galerkin . . . 156
5.10 - Comparação Entre os Métodos da Interpolação Linear no
Tempo e Incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
Capítulo 6 - Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
Apêndice A - Integrais Espaciais para MEC via Galerkin . . . . . . .
173
A.1 - Caso 1 – Elementos Não-Adjacentes . . . . . . . . . . . . . 173
A.2 - Caso 2 – Elementos Adjacentes . . . . . . . . . . . . . . .
174
A.3 - Caso 3 – Elementos Coincidentes . . . . . . . . . . . . . .
177
Apêndice B - Método para a Obtenção da Função de Fluência J a
partir da Função de Relaxação Y . . . . . . . . . . . . .
viii
179
B.1 - Casos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
B.2 - Exemplos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Apêndice C - Parcela
Complementar
da
Solução
188
Fundamental
Viscoelástica para o Cálculo de Tensões em Pontos
Internos de Problemas Semiplanos . . . . . . . . . . . . .
ix
197
Capítulo 1 – Introdução
Com a utilização cada vez mais extensiva de materiais poliméricos na indústria,
o estudo da Viscoelasticidade vem ganhando importância na análise de corpos
deformáveis. O concreto, material amplamente utilizado em estruturas de edificações,
apresenta propriedades viscoelásticas que não podem ser ignoradas em projetos de
estruturas. Conhecer o comportamento das estruturas ao receberem os mais diversos
carregamentos ao longo do tempo é fundamental para garantir a segurança e a
adequação ao uso das mesmas. Para cada solução de engenharia proposta deve-se
escolher, portanto, o modelo matemático adequado apara descrever o comportamento
dos materiais usados, de acordo com teorias, ensaios e prescrições normativas.
Para os cálculos do campo de deslocamentos e estado de deformações e de
tensões de corpos deformáveis, costuma-se utilizar a Teoria da Elasticidade em
materiais que tenham demonstrado esse comportamento em ensaios de laboratório e de
campo. A característica principal dos materiais elásticos é a deformação como resposta
à ação de um carregamento qualquer, com o retorno imediato da configuração original,
ou seja, anterior à ação da carga, quando a mesma cessa. Efeito semelhante pode ser
observado quando são impostas deformações a estes materiais. Em resposta à mudança
de configuração geométrica do corpo, surgem tensões por toda a extensão do mesmo de
maneira a manter a relação constitutiva do material.
A Lei de Hooke, modelo elástico amplamente utilizado pela sua compatibilidade
com materiais empregados na prática da engenharia, descreve uma relação entre tensão
e deformação constante com relação ao tempo. A Teoria da Elasticidade, porém, possui
algumas limitações, uma vez que alguns materiais apresentam deformações variáveis
com relação ao tempo quando são submetidos a tensões constantes. Para estes casos,
alguns modelos mais complexos são necessários para a correta descrição do
comportamento do material.
1 Os materiais viscoelásticos, por sua vez, apresentam propriedades físicas
variáveis com o tempo. Quando um corpo é constituído de material viscoelástico, a
aplicação de um carregamento produzirá estado de tensões e deformações transientes,
pelo menos durante um intervalo de tempo a partir da aplicação da carga. Esta resposta
transiente depende essencialmente da forma como o carregamento varia no tempo e do
modelo viscoelástico considerado para o material. Existem diversos modelos de
materiais viscoelásticos para fluidos e sólidos e a escolha do modelo adotado como
relação constitutiva dependerá de hipóteses e de ensaios realizados com os materiais de
uso para as soluções de engenharia.
Dois fenômenos viscoelásticos particularmente interessantes são a deformação
lenta e a relaxação. A deformação lenta ou fluência se caracteriza pela aplicação de um
estado de tensões constante ao longo do tempo, obtendo uma resposta transiente para o
estado de deformações. A relaxação consiste em impor um estado de deformações
constantes ao corpo, obtendo uma variação do estado de tensões ao longo do tempo. É
evidente que a variação temporal da deformação no caso do fenômeno da deformação
lenta e do estado de tensões para o caso da relaxação depende do modelo viscoelástico
adotado, onde as respostas são completamente diferentes para modelos de sólidos ou de
fluidos (FLÜGGE [1]). Em sólidos submetidos à deformação lenta, por exemplo, podese observar uma deformação inicial que cresce assintoticamente ao longo do tempo para
um estado elástico de deformações. Estes fenômenos serão estudados com mais detalhes
neste trabalho para diversos modelos viscoelásticos de sólidos.
Pode-se observar o fenômeno da deformação lenta na figura 1.1, onde uma
tensão constante  0 é aplicada em um sistema regido por um modelo viscoelástico
simples como o de Boltzmann (FLÜGGE [1]). Com a aplicação desta tensão, surge
instantaneamente a resposta elástica inicial  0 (trecho AB). Logo em seguida, aparece
gradativamente a resposta viscoelástica que, neste caso, consiste em um aumento da
deformação ao longo do tempo (trecho BC). Ao cessar a tensão, a parcela elástica da
deformação é instantaneamente recuperada (trecho CD) e, após isto, a parcela de
deformação viscoelástica diminui gradativamente tendendo assintoticamente para zero
(trecho após o ponto D).
2 Figura 1.1
1 – Fenômeenos Viscoeelásticos – Deformação
D
o Lenta
Na práticca de Engen
nharia, o feenômeno dee deformaçãão lenta podde ser obserrvado
no cooncreto arm
mado. Dessaa forma, a vverificação de
d compatib
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estruuturas de cooncreto dev
ve ser feita consideran
ndo a deforrmação iniccial gerada pelos
carreegamentos somada
s
à deformação
d
o ao longo do tempo devido às ccargas aplicadas
durannte a vida útil da ediificação. Essta necessid
dade de con
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carreegamentos está
e explicittada nas inttegrais hereeditárias, qu
ue são formuulações inteegrais
para as relaçõess constitutiv
vas dos matteriais visco
oelásticos. Além
A
disso,, está previssto na
norm
ma brasileirra NBR6118/2003 o ccálculo dass deformaçções por fluuência para um
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prim
meira carga aplicada. O comportam
mento visco
oelástico dee alguns maateriais (co
omo o
próprrio concretoo) torna-se mais evideente com o aumento de
d temperattura, o que pode
tornaar a análisee viscoelástica da esttrutura necessária para o caso dde incêndio
os ou
estruuturas cujo uso
u prevê alltas temperaaturas.
3 Os materiais viscoelásticos estudados neste trabalho serão considerados
homogêneos, isotrópicos e deformáveis em sua constituição. As grandezas tensoriais
estudadas nos problemas viscoelásticos são divididas em tensores de primeira ordem
(vetores) e de segunda ordem. As grandezas vetoriais são os deslocamentos em cada
ponto do corpo de estudo e as forças aplicadas em uma área do contorno (forças de
superfície) ou ao longo do volume do corpo (forças de massa). As grandezas tensoriais
de segunda ordem são as tensões atuantes em uma determinada seção do corpo e as
deformações. É importante destacar que as hipóteses de meio contínuo, deformável e
homogêneo sugerem que as tensões, deformações e deslocamentos sejam representados
por funções contínuas e deriváveis ao longo do domínio do corpo de estudo.
Para descrever matematicamente o comportamento do material viscoelástico do
ponto de vista das grandezas de estudo, se faz necessário relacionar as mesmas através
das equações de equilíbrio, as equações constitutivas, as equações geométricas e as
equações de compatibilidade. Especial atenção será dada às equações constitutivas, que
relacionam tensões e deformações, pois são nestas equações onde se observam as
diferenças entre o problema elástico e viscoelástico. Enquanto as equações geométricas
e de equilíbrio permanecerão inalteradas, as equações constitutivas elásticas serão
substituídas pelos modelos viscoelásticos de variação temporal da relação entre tensão e
deformação. O Princípio da Correspondência se apoia neste fato para obter soluções
viscoelásticas através das soluções elásticas dos problemas de estudo. Este princípio
também se mostrou eficaz na obtenção de soluções fundamentais para problemas
viscoelásticos formulados por equações integrais no contorno a partir das soluções
fundamentais elásticas dos problemas correspondentes.
Em meio à necessidade de solucionar problemas viscoelásticos, o Método dos
Elementos de Contorno surge como uma alternativa viável e eficiente, principalmente
em alguns problemas onde o método se apresenta como alternativa mais adequada
perante outras soluções numéricas. Através do Teorema da Reciprocidade Viscoelástica,
é possível obter uma formulação com integrais espaciais no contorno e com integrais de
convolução de Stieltjes ao longo do tempo, o que possibilita o passo no tempo
utilizando diversos métodos a serem estudados.
4 Neste trabalho, será utilizado o Método dos Elementos de Contorno (MEC) com
a formulação baseada no Método de Galerkin e com elementos de geometria linear com
funções de interpolação quadráticas (com eventuais aplicações de funções de
interpolação lineares). A escolha do Método de Galerkin é um ponto crucial desta
pesquisa, uma vez que o Método da Colocação vem sendo amplamente utilizado em
soluções numéricas via MEC com resultados satisfatórios. Um dos empecilhos para a
aplicação do Método de Galerkin é seu maior esforço computacional, o que já não
constitui um problema nos dias atuais. Deste modo, como é razoável esperar resultados
melhores utilizando metodologias numéricas via MEC com o Método de Galerkin, este
trabalho se destinará a realizar testes para o caso de problemas viscoelásticos, com o
objetivo de verificar se o aumento de qualidade dos resultados compensa o esforço
computacional.
No capítulo 2 deste trabalho, serão apresentados alguns conceitos fundamentais,
tais como as equações geométricas e de equilíbrio que regem os problemas elásticos e
viscoelásticos, além das equações constitutivas elásticas. No capítulo 3, serão descritos
os modelos viscoelásticos básicos e os demais conceitos e formulações necessários para
as soluções de problemas desta natureza. O capítulo 4 mostrará a formulação do Método
dos Elementos de Contorno para problemas viscoelásticos quasi-estáticos com o
Método de Galerkin. No capítulo 5, serão expostos os principais problemas
viscoelásticos estudados, com suas respectivas soluções analíticas e numéricas e as
comparações entre elas para teste da metodologia discutida na pesquisa. O capítulo 6
dissertará sobre as conclusões do trabalho e apresentará sugestões de pesquisas futuras.
1.1– Observações Gerais
Ao longo do texto deste trabalho, serão utilizadas as notações tensorial e
indicial, cada qual onde for mais conveniente. Na notação tensorial, os tensores serão
representados em negrito.
Na notação indicial, os tensores serão representados sem o negrito com índice
subscrito indicando a componente. A derivada espacial de uma função fi será escrita da
seguinte forma:
5 fi
 fi , j
x j
(1.1)
A derivada com relação ao tempo de uma função fi será mencionada no texto
com a simbologia a seguir:
fi 
 fi
t
(1.2)
O delta de Kronecker  ij representa a transformação identidade, sendo definido
como:
1 , se i  j
0 , se i  j
 ij  
(1.3)
A função de Heaviside (ou degrau) h(t) com descontinuidade localizada no
ponto t=0 é definida como:
0 , x  (,0)
h(t )  
1 , x  [0,)
(1.4)
Uma função f, definida no intervalo  ,  , é de Classe Heaviside H N
quando
 f  0 , em (,0)

N
 f  C , em [0,)
(1.5)
A função Delta de Dirac (ξ, x) , que caracteriza um impulso aplicado em um
ponto x  ξ localizado em um domínio  , possui as seguintes propriedades:
(ξ, x)  0, x  ξ
 (ξ, x)dx  1
(1.6)

 f x(ξ, x)dx  f ξ 

onde x e ξ são posições de pontos do domínio  e f é uma função contínua definida
em  .
6 1.2 – Revisão Bibliográfica
O objetivo deste item não é apresentar detalhes sobre o histórico dos estudos na
área de viscoelasticidade, tão pouco descrever o panorama atual das pesquisas sobre o
tema em todas as suas vertentes. Este texto se limitará a apresentar os trabalhos mais
relevantes para o desenvolvimento desta pesquisa, os quais foram efetivamente
utilizados como referências bibliográficas para as especificidades do tema desta
dissertação. Trabalhos mais completos sobre o histórico e o estado da arte do estudo do
comportamento reológico dos materiais podem ser encontrados em MARKOVITZ [2] e
CEZARIO [3].
Esta pesquisa origina-se do projeto final de graduação de RIOBOM NETO [4],
onde foi desenvolvida uma formulação numérica através do Método dos Elementos
Finitos
(MEF)
para
a
solução
de
problemas
viscoelásticos
quasi-estáticos
bidimensionais.
A Teoria da Viscoelasticidade é apresentada na literatura através de duas óticas
diferentes. A primeira possui enfoque no fenômeno físico da viscoelasticidade, sendo
baseada nos trabalhos de BOLTZMANN e VOLTERRA apud CEZARIO [3].
Combinando as relações constitutivas de sólido elástico e fluido viscoso, foram obtidos
os primeiros modelos viscoelásticos com suas respectivas equações diferenciais
constitutivas e suas funções de fluência e relaxação que conduzem o raciocínio para as
Integrais Hereditárias. O livro de FLÜGGE [1] apresenta a Teoria da Viscoelasticidade
através deste enfoque físico estudando o comportamento dos modelos de Kelvin e
Boltzmann e aplicando os conceitos de Integrais Hereditárias e o Princípio da
Correspondência para a obtenção dos efeitos reológicos de históricos de carregamentos
em materiais viscoelásticos. Neste livro, as funções de Heaviside e Delta de Dirac
(impulso) bem como o Princípio da Correspondência são utilizados através de seus
respectivos significados físicos, sem maiores preocupações com o rigor matemático da
formulação.
O trabalho de GURTIN e STERNBERG [5] apresenta a Teoria da
Viscoelasticidade com um enfoque matemático, admitindo premissas para as funções
que regem os modelos reológicos e definindo o estado viscoelástico de tensões e
deformações. As Integrais Hereditárias são tratadas com mais rigor através das Integrais
7 de Stieltjes e, a partir de todas as definições propostas e suas propriedades, a Teoria da
Viscoelasticidade é solidificada através do Teorema da Reciprocidade Viscoelástica e
do Estado Viscoelástico de Kelvin. Tal enfoque serve de base para a apresentação da
Viscoelasticidade no livro de CHRISTENSEN [6]. A definição do Estado Viscoelástico
de Kelvin serviu de base para a obtenção da solução fundamental viscoelástica de
STERNBERG e AL-KHOZAIE [7] e o Teorema da Reciprocidade Viscoelástica foi
utilizado como ponto de partida para o desenvolvimento da formulação via MEC no
domínio do tempo que será apresentada ao longo da pesquisa.
Para o Método dos Elementos de Contorno (MEC), é tomado como ponto de
partida a formulação elástica de BREBBIA et. al [8] e TELLES [9], que foi adaptada
através do Teorema da Reciprocidade Viscoelástica para se obter a formulação de
interesse desta pesquisa. As soluções fundamentais viscoelásticas empregadas no
trabalho tomam como referência as metodologias propostas por SYNGELLAKIS [10] e
STERNBERG e AL-KHOZAIE [7], o primeiro utilizando o Princípio da
Correspondência e o segundo o Estado Viscoelástico de Kelvin.
Tendo em vista os dois enfoques propostos para o estudo teórico da
Viscoelasticidade, diversas soluções numéricas via MEC para problemas viscoelásticos
foram propostas. Em RIZZO e SHIPPY [11], por exemplo, tal solução numérica é
obtida no domínio de Laplace através da aplicação do Princípio da Correspondência na
formulação via MEC para problemas elásticos. Para a obtenção da solução final no
domínio do tempo, foi aplicado o Método de SCHAPERY apud [11] para a inversão
numérica da transformada de Laplace. NEVES [12] aplicou o mesmo expediente para a
obtenção da solução no domínio de Laplace, obtendo a solução final no domínio do
tempo realizando a inversão numérica da transformada de Laplace através do Método de
Durbin com algoritmo de Fast Fourier Transform (FFT). Em PÉREZ e GAVILÁN [13],
uma formulação simétrica do MEC via Método de Galerkin para problemas dinâmicos é
proposta no domínio da frequência. Nestes casos, são dispensadas investigações acerca
da solução fundamental, o que concentra os esforços na conversão dos domínios de
Laplace ou frequência em domínios temporais. Como o enfoque desta dissertação reside
em uma metodologia no domínio do tempo, a citação destes trabalhos tem por objetivo
ilustrar as diversas alternativas numéricas para a solução do problema proposto no
trabalho.
8 Em consonância com o que já foi apresentado anteriormente, soluções numéricas
via MEC de problemas viscoelásticos lineares no domínio do tempo podem ser
formuladas através do Teorema da Reciprocidade Viscoelástica, tal como é feito em
SIM e KWAK [14] e CEZARIO [3]. No primeiro caso, a Solução Fundamental
Viscoelástica foi obtida através da solução elástica e do Princípio da Correspondência,
de maneira similar ao processo de SYNGELLAKIS [10]. Posteriormente, CEZARIO
[3] expandiu a formulação no domínio do tempo catalogando novas formulações de
soluções fundamentais e métodos de marcha no tempo presentes na literatura.
Formulações alternativas via MEC para problemas viscoelásticos no domínio do
tempo podem ser encontradas nos trabalhos de SCHANZ [15] e SCHANZ e ANTES
[16], onde as convoluções temporais são avaliadas através do Método da Quadratura
Operacional, proposto por LUBICH apud [15,16]. Neste método, não é necessária a
obtenção da solução fundamental viscoelástica no domínio do tempo, uma vez que a
convolução temporal é realizada com a solução fundamental no domínio de Laplace.
Deste modo, esta metodologia poderia ser utilizada em problemas cujas soluções
fundamentais explícitas no domínio do tempo ainda não foram determinadas.
Apesar da ampla utilização do Método da Colocação em soluções via MEC,
alguns trabalhos prestaram contribuições ao estudo da aplicabilidade do Método de
Galerkin. PAULA [17] desenvolveu um método para o acoplamento de malhas de
elementos finitos e de contorno utilizando o MEC através dos Métodos da Colocação e
de Galerkin. Os resultados da pesquisa sugeriram uma melhor eficiência do Método de
Galerkin para este acoplamento. PÉREZ e GAVILÁN [13] comprovaram o melhor
rendimento do Método de Galerkin para este fim, propondo ainda uma formulação
simétrica (para problemas dinâmicos) que beneficia o acoplamento. Porém, este último
trabalho ressalta a não-unicidade da solução decorrente da formulação simétrica do
MEC via Galerkin para problemas estáticos (ou dinâmicos com frequências
suficientemente baixas).
9 Capítulo 2 – Conceitos Básicos da Teoria
da Elasticidade
Este trabalho se destina ao estudo dos corpos deformáveis e toma como ponto de
partida a formulação da Teoria da Elasticidade. São admitidas as condições da
Mecânica do Contínuo com distribuição de tensões, deformações e campo de
deslocamentos contínuos ao longo do corpo, utilizando a formulação para pequenos
deslocamentos. Desta forma, tanto a configuração indeformada quanto a deformada
serão associadas ao sistema de coordenadas da configuração indeformada.
A formulação para a análise de tensões e deformações em corpos deformáveis
pode ser descrita através das equações de equilíbrio, geométricas e constitutivas.
Considerando as hipóteses propostas anteriormente, as equações de equilíbrio e
geométricas serão consideradas lineares e as equações constitutivas serão as únicas a
serem alteradas posteriormente para a consideração dos efeitos viscoelásticos.
2.1 – Equações de Equilíbrio e Geométricas
O corpo deformável estudado está representado pelo domínio  e a sua
superfície externa pelo contorno  , conforme a figura 2.1. Todas as grandezas em
estudo variam de acordo com o vetor posição x, relativo ao sistema de coordenadas da
configuração indeformada, e o tempo t. O campo de deslocamentos é denotado por
u(x,t), não sendo admitidas descontinuidades ao longo do domínio  .
10 Figura 2.1 – Corpo deformável dee estudo
Seguindoo com a formulação dda Teoria daa Elasticidaade Linear aapresentadaas em
TIMO
OSHENKO
O e GOODIER [18], ass equações de
d equilíbrio, que relaccionam tenssões e
carreegamentos, são apresen
ntadas a seguuir.
brio assumem
m a forma
Para o doomínio  , as equaçõess de equilíb
Ti j , j (x, t )  bi (x, t )  0 em 
(2.1)
ondee T é o tenssor de tensõ
ões de Caucchy e b rep
presenta a força
f
de maassa ao long
go do
volum
me do corppo. A equaçção de equiilíbrio sugeere a ausênccia de forçaas resultanttes no
sistem
ma além da
d inexistên
ncia de movvimento dee corpo rígido. Porém
m, em probllemas
viscooelásticos, as
a tensões e deformaações são trransientes, o que nãoo caracteriza um
sistem
ma estáticoo. Desta form
ma, a form
mulação de problemas
p
viscoelástic
v
cos em equiilíbrio
estátiico recebe o nome de formulaçãoo quasi-estáática. Para situações
s
dee movimento, as
equaações (2.1) recebem o acréscimoo das forças de inérccia, geranddo a formu
ulação
dinâm
mica
Ti j , j (x, t )  bi (x, t )  ui (x, t ) em 
ondee  é a masssa específica do corpo.
11 (2.2)
Para o contorno  , as equações de equilíbrio relacionam as forças p aplicadas
na superfície com o estado de tensões T de acordo com a equação de Cauchy
Tij (x, t )n j (x)  pi (x, t ) em 
(2.3)
onde n é o vetor normal à superfície  .
As equações geométricas, que associam deformações e deslocamentos, são
apresentadas neste trabalho em sua forma linear, considerando a hipótese de pequenos
deslocamentos.
Desta forma, as equações geométricas são escritas como
Eij (x, t ) 
1
ui, j (x, t )  u j ,i (x, t )
2
(2.4)
onde E é o tensor de deformações específicas de Green-Lagrange. A partir deste ponto,
o termo “específicas” será omitido.
Para a obtenção de uma solução única para o estado de tensões, deformações e
campo de deslocamentos para o corpo, são necessárias não apenas as equações de
governo no domínio  , mas também as condições de contorno e iniciais. As condições
prescritas no contorno   1  2 podem ser escritas como:
- Essenciais (deslocamentos prescritos):
u(x, t )  u (x, t ) em 1
(2.5)
- Naturais (forças de superfície prescritas):
p(x, t )  p (x, t ) em 2
(2.6)
2.2 – Equações Constitutivas Elásticas
As equações constitutivas relacionam as tensões e deformações, ou seja,
caracterizam a resposta em deformações provocada por carregamentos aplicados no
corpo deformável. Estas equações compõem o principal tema de estudo deste trabalho,
12 uma vez que o comportamento viscoelástico do material é descrito justamente pelas
equações constitutivas.
De um modo geral, as relações constitutivas são definidas através de modelos
cujos parâmetros são obtidos em ensaios de laboratório ou no campo. Para cada tipo de
material é confeccionado um modelo matemático compatível com seu comportamento.
Os materiais elásticos podem apresentar comportamento regido pela lei de
Hooke que supõe deformação proporcional à tensão:
  E
(2.7)
onde E é o módulo de elasticidade longitudinal do material, 
e 
são,
respectivamente, a tensão e deformação longitudinal do material.
Adotando a hipótese de material isotrópico e homogêneo, as equações
constitutivas para materiais elásticos lineares são
Tij (x, t )   ij Ekk (x, t )  2GEij (x, t )
(2.8)
onde  e G são as constantes de Lamé e G é chamado de módulo de elasticidade
transversal (VILLAÇA e GARCIA [19]). A variação temporal das tensões e
deformações na equação anterior sugere uma variação dos carregamentos ao longo do
tempo. Estas constantes se relacionam com o módulo de elasticidade longitudinal E e o
coeficiente de Poisson  de acordo com as relações:

E
(1   )(1  2 )
G
E
2(1   )
(2.9)
(2.10)
Os tensores de tensão e deformação podem ser divididos nas parcelas esférica e
desviadora. A parcela esférica do tensor de deformações é responsável pela variação de
volume do corpo. Já a parcela desviadora é responsável pela mudança de forma do
corpo (sem mudança de volume). Esta divisão pode ser necessária para o estudo de
materiais viscoelásticos tendo em vista que, geralmente, se observa comportamentos
13 diferenciados nas equações constitutivas viscoelásticas para cada parcela (FLÜGGE
[1]).
Sendo σ o tensor de tensões esférico e T’ o desviador, estes se relacionam com
o tensor de tensões T da seguinte forma:
1
3
 ij   ijTkk
(2.11)
1
T 'ij  Tij   ijTkk
3
(2.12)
Sendo θ o tensor de deformações esférico e E’ o desviador, estes se relacionam
com o tensor de deformações E da seguinte forma:
1
3
ij   ij Ekk
(2.13)
1
E 'ij  Eij   ij Ekk
3
(2.14)
As relações constitutivas elásticas separadas para os efeitos esféricos e
desviadores são escritas como
 ij (x, t )  3Kij (x, t )
(2.15)
e
T 'ij (x, t )  2GE 'ij (x, t )
(2.16)
onde K é o módulo de dilatação volumétrica, que se relaciona com o módulo de
elasticidade longitudinal e o coeficiente de Poisson de acordo com a relação
K
E
3(1  2 )
(2.17)
Combinando as equações de equilíbrio (2.2), as equações geométricas (2.4) e as
equações constitutivas (2.8), obtém-se uma equação de governo que relaciona o campo
de deslocamentos diretamente com as forças de massa, tendo como parâmetros as
14 constantes que definem as propriedades elásticas do corpo em estudo. O resultado das
operações é expresso a seguir:
Gui , jj (x, t )  (  G)u j , ji (x, t )  bi (x, t )  0
(2.18)
A sentença anterior é chamada de Equação de Navier e sua importância para o
estudo do Método dos Elementos de Contorno será vista posteriormente.
A equação constitutiva elástica (2.8), que foi utilizada para a obtenção da
equação de Navier, está apresentada na sua forma mais geral para problemas
tridimensionais. Para problemas bidimensionais, não são necessárias adaptações para o
caso de estado plano de deformações. Para o estado plano de tensões, no entanto, a
equação constitutiva elástica (2.8) pode ser escrita como


  
 ij Ekk (x, t )  2GEij (x, t )
Tij (x, t )  
1  


2G 

(2.19)
Como se pode observar, o parâmetro G não sofreu alteração, e a mudança no
parâmetro  pode ser computada através de uma adaptação do coeficiente de Poisson:
 

(2.20)
1 
Para as equações constitutivas separadas para as parcelas esférica e desviadora,
obtém-se o seguinte resultado:
Tij (x, t )  3K ij (x, t )  2GE 'ij (x, t )
K
4G6 K  G 
33K  4G 
(2.21)
A equação constitutiva elástica anterior se difere das originais (2.15) e (2.16)
(válidas para estado plano de deformações) apenas pelo parâmetro K .
15 Nos problemas viscoelásticos, as equações constitutivas elásticas apresentadas
anteriormente são substituídas pelas relações que regem os modelos viscoelásticos. No
capítulo 3, serão apresentadas as formulações matemáticas de alguns modelos de
sólidos viscoelásticos. É importante ainda destacar que as únicas diferenças entre a
formulação elástica e viscoelástica presente neste trabalho residem nas equações
constitutivas, ou seja, as equações de equilíbrio e geométricas apresentadas neste
capítulo serão mantidas.
16 Capítulo 3 – Viscoelasticidade Linear
Este capítulo se encarregará de apresentar os principais conceitos acerca da
Teoria da Viscoelasticidade Linear. Em um primeiro momento, o texto se concentrará
nos aspectos físicos do problema viscoelástico, sem preocupações especiais com o rigor
matemático das formulações, tomando como base o livro de FLÜGGE [1], onde se
encontram sintetizados os conceitos de funções de fluência e relaxação, integrais
hereditárias e Princípio da Correspondência. Em um segundo momento, os aspectos
físicos serão ratificados com o enfoque matemático proposto no artigo de GURTIN e
STERNBERG [5] e no livro de CHRISTENSEN [6], com a definição das integrais de
Stieltjes e o desenvolvimento do Teorema da Reciprocidade Viscoelástica e do Estado
Viscoelástico de Kelvin.
Para a confecção de modelos viscoelásticos, é necessário utilizar o modelo de
fluido viscoso, onde a tensão é proporcional à variação da deformação ao longo do
tempo (FLÜGGE [1]). Logo, a equação constitutiva do fluido viscoso pode ser escrita
como:
  F
(3.1)
onde F é uma constante de proporcionalidade que pode ser definida como módulo de
viscosidade. Tal relação constitutiva pode ser observada na prática através do
amortecimento provocado pelo fluxo de fluido ao redor de um pistão dentro de um
cilindro onde a força necessária para mover o pistão é proporcional à derivada do
deslocamento (FLÜGGE [1]).
Os modelos viscoelásticos são obtidos através do arranjo dos elementos de
sólido elástico regido pela Lei de Hooke (2.7) e do elemento de fluido viscoso. Estes
elementos podem ser agrupados em série, em paralelo ou em combinações diversas de
17 maneeira a aum
mentar os parâmetros
p
que defin
nem a com
mplexidade do modello do
compportamento resultante do
d material..
A figura 3.1 mostra os elementtos básicos da formação do modello viscoelástico e
a figgura 3.2 moostra os modelos de Flluido de Maxwell
M
e Sólido de K
Kelvin (FLÜ
ÜGGE
[1]), ambos com
m dois parâm
metros.
Figuraa 3.1 – Elem
mentos básiccos da visco
oelasticidad
de: (a) Sóliddo elástico; (b)
F
Fluido viscoso
Figuraa 3.2 – Mod
delos viscoeelásticos de dois parâmetros: Fluiddo de Maxw
well
(série) e Sóllido de Kelv
vin (paralelo
o)
18 3.1 – O Sólido de Kelv
vin
Figura 3.3 – Modelo do
d sólido dee Kelvin
A figuraa 3.3 mostraa o modelo dde Kelvin, que consiste no arranjoo em paraleelo do
compportamento de sólido elástico coom o com
mportamento
o de fluido viscoso. Dessa
D
form
ma, as equaçõões constitu
utivas destess comportam
mentos são::
 1  E 1
(3..2a)
 2  F2
(3.2b)
(
Para obter a equaçãão constitutiiva global do
d sólido de Kelvin, oou seja, a reelação
entree a tensão  e a defo
ormação  , deve-se primeiramen
nte escreverr as equaçõ
ões da
assocciação em paralelo:
p
1   2  
(3.3)
1   2  
(3.4)
Logo, a equação co
onstitutiva ddo sólido dee Kelvin é obtida
o
somaando as equações
(3.2aa) e (3.2b):
  E  F
(3.5)
O fenôm
meno de defformação leenta pode ser observad
do de formaa simples com
c
a
apliccação de um
ma tensão  0 constante ao longo do tempo a partir
p
do insstante t = 0+, com
tensõões e deform
mações nulaas para t<0. A equação (3.5) é escrrita da seguiinte forma:
E  F   0
t 0
(3.6)
19 A equaçção (3.6) prrecisa aindaa de uma condição
c
iniicial. Integrrando a equ
uação
(3.5)) com relaçãão a t, obtém
m-se:










  dt   E dt   F dt    dt   E dt  F  ( )   ( )
(3.7)
Admite-sse que as tensões e deformaçõ
ões sejam representaddas por fun
nções
secciionalmente contínuas. Consideranndo que, parra o tempo t = 0-, não hhavia a apliccação
de teensão (figuura 3.4) e não
n havia ddeformação
o e fazendo
o   0 naa equação (3.7),
obtém
m-se a conddição iniciall do problem
ma:


0  0  F  (0  )   (0  )   (0  )  0
(3.8)
A soluçãão da equaçção (3.6) coom a condição de contorno (3.8) pode ser escrita
e
comoo:
 (t ) 
0
1  e
E
 ( E / F )t
,
t0
(3.9)
Figura 3.4
3 – Tensãão aplicada e deformaçãão em funçãão do tempoo para o mo
odelo
de Kelvin
Na figurra 3.4 e naa equação ((3.9), pode--se observar que a defformação cresce
c
assinntoticamentee para o resu
ultado elásttico, ou sejaa, para t   ,  
20 0
E
.
3.2 – Modelo de Boltzm
mann – S
Sólido de Três
T
Parâ
âmetros
O modello de Boltzm
mann pode ser obtido combinando
c
o em série o comportam
mento
de sóólido elásticco com o co
omportamennto do sólid
do de Kelvin, conforme
me ilustra a figura
f
3.5.
Figura 33.5 – Modello de Boltzm
mann
As equaações constiitutivas parra cada elem
mento podeem ser escrritas da seg
guinte
ma:
form
 1  E11
(3
3.10)
 2  E2 2
(3.11)
 3  F3
(3.12)
(
Os arranj
njos em sériee e em parallelo conduzzem às relaçções a seguiir:
1   2   3  
(3.13)
(
1   2  1   3  
(3.14)
(
Combinaando as equ
uações (3.110) a (3.14)), a equação constitutiiva do sólid
do de
Boltzzmann se appresenta da seguinte foorma:
21 
F
EE
EF
  1 2   1 
E1  E2
E1  E2
E1  E2
(3.15)
Simplificando a expressão (3.15) para facilitar os cálculos posteriores, as
constantes das relações constitutivas são renomeadas:
  p1  q0  q1
(3.16)
O exemplo de deformação lenta, expresso nos gráficos de tensões e deformações
em função do tempo da figura 3.4 para o modelo de Kelvin, é repetido para este modelo.
A equação (3.16), para a ação de tensão constante, passa a ter o seguinte aspecto:
 0  q0  q1
(3.17)
A condição inicial é obtida integrando a equação (3.16) em t:








  dt  p1   dt   q0 dt   q1 dt


  dt  p  ( )   ( )   q  dt  q  ( )   ( )
1

0
(3.18)
1

Fazendo   0 para a equação (3.18) e admitindo tensões e deformações
seccionalmente contínuas, a condição inicial é obtida:
0 
p1 0  0

q1
E1
(3.19)
Esta condição sugere que inicialmente toda a deformação do modelo
corresponde à deformação do elemento elástico com a deformação do modelo de Kelvin
sendo nula. Com a condição inicial (3.19), a equação (3.17) possui a solução a seguir:
 (t ) 
0 

 p1q0

 1e  ( q0 / q1 ) t , t  0
1  
q0   q1


(3.20)
Observando a expressão (3.20), é necessário definir o sinal da constante que
multiplica a função exponencial para o estudo o comportamento da deformação ao
longo do tempo. Correlacionando os coeficientes das equações (3.15) e (3.16), pode-se
22 estabelecer uma relação que resulta em garantir um coeficiente negativo multiplicando a
função exponencial:
q1  p1q0
(3.21)
Fazendo t   na equação (3.20),  
0
q0
, ou seja, a deformação cresce
assintoticamente para um comportamento elástico com módulo de elasticidade q0.
O fenômeno de relaxação pode ser observado no modelo de Boltzmann como a
redução de tensão ao longo do tempo mesmo com uma deformação constante.
Considerando o fenômeno de deformação lenta até um tempo t’ onde, a partir deste
instante, a deformação  ' até então obtida é mantida constante e a variação de tensão é
estudada, a formulação do problema deriva da equação (3.16):
  p1  q0 '
 (t ' )   0
(3.22)
A solução da equação (3.22) pode ser representada por:
 (t )  ( 0  q0 ' )e  (t  t ') / p  q0 ' , t  t '
1
(3.23)
Fazendo t   na equação (3.23),   q0 ' , o que sugere um decaimento
assintótico para um comportamento elástico com o mesmo módulo de elasticidade do
problema de deformação lenta discutido anteriormente.
23 Figura 3.6
3 – Tensão
o aplicada e deformaçãão para o mo
odelo de Booltzmann paara os
fenôm
menos de ddeformação lenta e relax
xação
Em ambbos os modelos apressentados atté o momeento, para o fenômen
no da
deforrmação lentta, pode serr observado um crescim
mento assinttótico da deeformação para
p o
compportamento elástico. No
N modelo de Kelvin, a deformaçção inicial é nula enquanto
que, no modeloo de Boltzm
mann, a deeformação inicial
i
corrresponde à contribuiçãão do
mento de sóliido elástico em série.
elem
3.3 – Modelo Viscoelástico Gen
neralizado
o – Formu
ulação Differencial
Outros modelos viscoelástic
v
os mais elaborados
e
podem seer usados para
reprooduzir com mais fidellidade o co mportamen
nto de sólid
dos viscoeláásticos. Arrranjos
com elementos elásticos e viscosos em série e paralelo podem seer produzid
dos e,
e
co
onstitutivas dos modelo
os de Kelviin e de Bolltzmann, po
ode-se
obserrvando as equações
definnir um equacionamento
o generalizaado para os possíveis
p
modelos
m
visccoelásticos:
ni
 pi
i 0
nj
d i
d j

q
 jdj
dtt i j 0 dt
(3.24)
(
Por convenção aprresentada eem FLÜGG
GE [1], ado
ota-se p0 = 1, fazend
do as
adaptações neceessárias.
24 3.4 – Integraiis Hereditárias
A configguração defformada fin al de um material
m
visccoelástico eem um temp
po t é
definnida atravéss do históricco de tensõees, ou seja, os registross de todos oos carregam
mentos
apliccados desdee o tempo t0 até o refeerido tempo
o t. A equaçção constituutiva do maaterial
para o problemaa de tensão constante a partir do teempo t = 0 pode ser esscrita da seg
guinte
ma:
form
 (t )   0 J (t )
(3
3.25)
A funçãoo J(t) é chaamada de fuunção de flu
uência ou deformação
d
lenta e dep
pende
do tippo de modeelo de comp
portamento viscoelásticco do materrial empreggado. Para o caso
do sóólido de Kellvin, por ex
xemplo, a fuunção pode ser obtida conforme
c
a eequação (3..9):
J (t ) 


1
1  e  ( E / F )t , t  0
E
(3
3.26)
Considerrando um problema m
mais geral onde iniciialmente fooi aplicada uma
tensãão constantee  0 e, a paartir de um tempo t’, passa
p
a ocorrrer um acrééscimo de teensão
 (t ' ) , a deform
mação no teempo t podde ser obtid
da realizand
do a soma dos efeitos dos
acrésscimos infinnitesimais de
d tensão ao longo de t > t’:
t
 (t )   0 J (t )   J (t  t ' )
0
d (t ' )
dt '
dt '
3.27)
(3
Figura 33.7 – Integrrais Hereditáárias
25 A integral da equação (3.27) é chamada de integral hereditária. A figura 3.7
ilustra bem o conceito de integral hereditária onde o carregamento variável no tempo é
dividido em várias fatias infinitesimais de tensão constante iniciando no tempo t’. A
superposição dos estados de tensão e deformação proposta é garantida para modelos
viscoelásticos lineares (tais como os apresentados anteriormente). É importante observar
que a função J(t) é nula para valores de t < 0, o que torna a função da integral nula para
0 < t < t’.
Raciocínio similar pode ser feito para o caso do fenômeno de relaxação. A
função de relaxação Y(t) pode ser obtida através da seguinte relação:
 (t )   0Y (t )
(3.28)
A integral hereditária correspondente é obtida da mesma forma:
t
 (t )   0Y (t )   Y (t  t ' )
0
d (t ' )
dt '
dt '
(3.29)
3.5 – Viscoelasticidade em Problemas Tridimensionais – Formulação
Diferencial
Para problemas tridimensionais, as equações constitutivas seguem o padrão
apresentado pela equação (3.24), agora aplicada nos tensores de tensão e deformação:
d i T(x, t ) nj
d j E(x, t )
 qj
pi

dt i
dt j
i 0
j 0
ni
(3.30)
Conforme comentário no capítulo 2, o comportamento viscoelástico costuma ser
diferenciado para os efeitos esférico e desviador. Desta forma, as equações
constitutivas, com seus modelos viscoelásticos, são divididas para cada parcela:
 piK
d i σ (x, t ) njk K d j θ(x, t )
 qj
dt i
dt j
j 0
(3.31a)
nig
d i T' (x, t ) njg G d j E' (x, t )
 qj
dt i
dt j
j 0
(3.31b)
nik
i 0
 piG
i 0
26 O Problema de Valor Inicial obtido através destas equações diferenciais,
seguindo metodologia aplicada anteriormente nos modelos de Kelvin e Boltzmann, gera
como solução um grupo de funções de fluência e relaxação que se caracterizam por
combinações lineares de funções exponenciais com expoentes negativos (decaimentos).
m
J t   J 0   J i e i t
(3.32a)
i 1
n
Y t   Y0   Yi e  t
(3.32b)
i
i 1
Tal predicado sugere a aplicabilidade do Princípio da Correspondência, cuja
metodologia será apresentada no item a seguir. Estas características são válidas para
modelos viscoelásticos de sólidos com deformação elástica inicial. Para modelos que
não permitem deformações iniciais, a função de relaxação apresenta função impulso
(Delta de Dirac) como uma de suas parcelas. Este caso particular não será estudado
nesta instância por não se tratar de uma situação usual na Engenharia Civil. Uma análise
um pouco mais elaborada sobre estas funções será realizada no item 3.9 e no apêndice
B.
3.6 – Princípio da Correspondência
Tomando como ponto de partida um modelo mais geral de material viscoelástico
com equações constitutivas separadas para a parcela esférica e desviadora, pode-se
escrever:
- Para a parcela esférica:
P K σ ( x, t )  Q K θ ( x, t )
(3.33)
- Para a parcela desviadora:
P G T' (x, t )  Q G E' (x, t )
(3.34)
Os Operadores Diferenciais Lineares nas equações (3.33) e (3.34) são definidos
a seguir:
27 nik
P K   piK
i 0
di
dt i
(3.35)
dj
Q  q
dt j
j 0
njk
K
K
j
di
P p
dt i
i 0
nig
G
G
i
(3.36)
dj
Q  q
dt j
j 0
njg
G
G
j
Aplicando a transformada de Laplace nas equações (3.33) e (3.34), obtém-se:
- Para a parcela esférica:
P K ( s ) Lσ (x, s )  Q K ( s ) Lθ( x, s )
(3.37)
- Para a parcela desviadora:
P G ( s ) LT'( x, s )  Q G ( s ) LE'( x, s )
(3.38)
Neste caso, por exemplo, P K (s ) representa a transformada de Laplace do
operador P K , sendo, portanto, um polinômio em s. L f (s ) representa a transformada
de Laplace de uma função f (que atende os requisitos para esta transformação) onde o
domínio do tempo t é transformado para o domínio de Laplace na variável s.
O Princípio da Correspondência se apoia no fato de que apenas as equações
constitutivas são modificadas nos problemas viscoelásticos, ou seja, as equações
geométricas e de equilíbrio permanecem inalteradas. Comparando as equações (3.37) e
(3.38) com as transformadas de Laplace das equações constitutivas elásticas (2.15) e
(2.16), pode-se concluir que as transformadas de Laplace dos operadores de derivação
substituem as constantes elásticas. Dessa forma, a correspondência no domínio de
Laplace é feita da seguinte maneira:
Q K ( s)
P K ( s)
(3.39)
Q G (s)
2G  G
P (s)
(3.40)
3K 
28 Observando as equações (2.10) e (2.17), pode-se ainda fazer a correspondência
com os parâmetros mais usuais para os problemas de elasticidade:
3Q K ( s)Q G ( s)
2 P G ( s)Q K ( s)  P K ( s)Q G ( s)
(3.41)
P G ( s)Q K ( s)  P K ( s)Q G ( s)
 G
2 P ( s)Q K ( s)  P K ( s)Q G ( s)
(3.42)
E
Levando as equações de equilíbrio e geométricas bem como as condições de
contorno para o domínio de Laplace, o problema pode ser resolvido normalmente pelos
mesmos procedimentos adotados na solução de problemas elásticos, uma vez que as
derivadas no tempo das equações constitutivas viscoelásticas foram transformadas em
polinômio em s, o que não influencia os procedimentos de derivação e integração
espaciais necessários para a obtenção de soluções de problemas elásticos. Finalmente, a
solução analítica no domínio de Laplace é obtida e a transformada inversa é realizada de
modo a obter a solução viscoelástica no domínio do tempo.
É possível ainda utilizar procedimento mais elegante tomando como ponto de
partida a solução elástica final. Aplicando a transformada de Laplace na solução
elástica, os parâmetros elásticos podem ser substituídos pelas transformadas de Laplace
dos operadores diferenciais e, com a realização da transformada inversa da expressão
resultante, está caracterizada a solução final viscoelástica no domínio do tempo. Tal
procedimento é utilizado em FLÜGGE [1] para a solução de problemas viscoelásticos
bidimensionais.
Os procedimentos descritos anteriormente sugerem uma separação de variáveis
para problemas viscoelásticos, ou seja, as soluções viscoelásticas são formadas pelo
produto entre uma função espacial e outra temporal. Este conceito serviu de base para o
desenvolvimento do Princípio da Correspondência e será usado posteriormente na
metodologia do Método dos Elementos de Contorno.
Em resumo, os passos para a obtenção da solução de um problema viscoelástico
pelo Princípio da Correspondência são os seguintes:

Obter a solução elástica do problema;
29 
Aplicar a transformada de Laplace na solução elástica (neste caso, as
constantes elásticas não variam com relação ao tempo, ou seja, apenas o
histórico de carregamentos sofre a transformação);

Substituir os parâmetros elásticos pelas transformadas de Laplace dos
operadores diferenciais, conforme (3.39) e (3.40) ou (3.41) e (3.42);

Realizar a transformada inversa na expressão resultante para a obtenção
da solução final em função do tempo t.
Ao longo deste trabalho, algumas soluções analíticas viscoelásticas serão obtidas
empregando o Princípio da Correspondência nas soluções elásticas dos problemas
propostos. O procedimento será utilizando também na obtenção de soluções
fundamentais viscoelásticas, necessárias para a aplicação da formulação do Método de
Elementos de Contorno que será proposta.
Um detalhe até agora ignorado deve ser apontado na discussão da validade das
expressões (3.37) e (3.38) e das supervenientes. A transformada de Laplace da derivada
de uma função f(t) (que atende aos requisitos para esta transformação) é calculada pela
expressão (KREIDER et al. [20]):
n 1
 d n f (t )  n


L

s
L
f
(
t
)
(
s
)

s k f ( n 1 k ) (0)


n
k 0
 dt 
(3.43)
Logo, as transformadas de Laplace dos operadores diferenciais só poderão ser
tomadas como apresentado nas equações (3.37) e (3.38) se as seguintes relações forem
obedecidas:
nik i 1
 piK s m
i 1 m  0
nig i 1
 piG s m
i 1 m  0
j 1 n
njk j 1
d i 1 m σ
θ
K n d
q
s
(
x
,
0
)

(x,0)

j
j 1 n
i 1 m
dt
dt
j 1 n  0
(3.44)
j 1 n
njg j 1
d i 1 m T'
E'
G n d
q
s
(
x
,
0
)

(x,0)

j
j 1 n
i 1 m
dt
dt
j 1 n  0
(3.45)
As expressões (3.44) e (3.45) fazem referência às condições iniciais do
problema, ou seja, representam justamente as condições iniciais para o modelo
viscoelástico proposto. Estas equações podem ser obtidas integrando a equação
30 constitutiva diferencial do material nas proximidades de t = 0, como já foi realizado
anteriormente em (3.8) e (3.18) para os modelos de Kelvin e Boltzmann,
respectivamente.
Outro detalhe omitido até o momento é o atendimento dos requisitos para
garantir a existência da Transformada de Laplace das funções temporais da formulação
viscoelástica. Inicialmente será admitido que as funções temporais agregadas às
grandezas de estudo são seccionalmente contínuas e de ordem exponencial. De acordo
com os resultados mostrados até aqui, estas funções temporais se caracterizam por
combinações lineares de funções exponenciais, o que viabiliza a transformação para o
domínio de Laplace. Posteriormente será visto que esta característica é observada nas
soluções analíticas e fundamentais viscoelásticas.
3.7 – Viscoelasticidade em Problemas Tridimensionais – Formulação
Integral
No item 3.5, o comportamento viscoelástico foi diferenciado para as parcelas
esférica e desviadora através das equações (3.31). As mesmas relações podem ser
escritas utilizando funções de fluência e relaxação.
Para a deformação lenta, adotando um tensor de tensões constante com o tempo
T0 e suas parcelas σ0 e T’0, temos as funções de fluência JK(t) e JG(t):
σ0 (x)  3K (t )θ(x, t ) 
1
θ(x, t )
J K (t )
T'0 (x)  2G (t )E' (x, t ) 
(3.46)
1
E' (x, t )
J G (t )
(3.47)
Para a relaxação, adotando um tensor de deformações constante com o tempo E0
e suas parcelas θ0 e E’0 , temos as funções de relaxação YK(t) e YG(t):
σ ( x, t )  3K (t )θ 0 ( x)  YK (t )θ 0 (x)
(3.48)
T' ( x, t )  2G (t )E'0 ( x)  YG (t )E'0 ( x )
(3.49)
31 A formulação integral das relações constitutivas para as parcelas esférica e
desviadora é construída através das funções de fluência e relaxação e do raciocínio
apresentado no item 3.4:
t
θ(x, t )  J k (t )σ0 (x)   J K (t  t ' )
0
d σ (x, t ' )
dt '
dt '
t
E' (x, t )  J G (t )T'0 (x)   J G (t  t ' )
0
t
σ (x, t )  Yk (t )θ0 (x)   YK (t  t ' )
0
dT' (x, t ' )
dt '
dt '
dθ(x, t ' )
dt '
dt '
t
T' (x, t )  YG (t )E'0 (x)   YG (t  t ' )
0
dE' (x, t ' )
dt '
dt '
(3.50)
(3.51)
(3.52)
(3.53)
Aplicando as relações (2.11) a (2.14), as integrais hereditárias anteriores podem
ser transformadas para a forma mais geral como a seguir:
t
Eij (x, t )  J ijkl (t )T0 kl (x)   J ijkl (t  t ' )
0
dTkl (x, t ' )
dt '
dt '
(3.54)
Na expressão (3.54), J é o tensor de fluência para o modelo viscoelástico
proposto e é obtido a partir da expressão
J ijkl (t ) 
J G (t )
 ik jl  il jk   J k (t )  J G (t ) ij kl
2
3
(3.55)
O mesmo pode ser feito para as funções de relaxação, obtendo assim o tensor de
relaxação Y, conforme as expressões a seguir:
t
Tij (x, t )  Yijkl (t )E0 kl (x)   Yijkl (t  t ' )
0
Yijkl (t ) 
dEkl (x, t ' )
dt '
dt '
YG (t )
 ik jl   il jk   Yk (t )  YG (t )  ij kl
2
3
32 (3.56)
(3.57)
3.8 – Integrais de Stieltjes
Até este ponto, a Teoria da Viscoelasticidade foi apresentada tendo como ponto
de partida o fenômeno físico em questão, não havendo maiores cuidados com os
aspectos matemáticos tais como a garantia de existência e unicidade de soluções. A
partir deste item, uma maior atenção será concedida aos aspectos matemáticos,
conforme GURTIN e STERNBERG [5] e CHRISTENSEN [6].
As integrais hereditárias anteriormente apresentadas, que se caracterizam por
convoluções de Riemann, podem ser reescritas por meio de integrais de Stieltjes. Nestas
integrais, os intervalos de tempo onde os estados de tensão e deformação são funções
seccionalmente contínuas (representadas por funções de Heaviside) podem ser
considerados na própria integral, dispensando parcelas adicionais.
Fazendo as transformações matemáticas necessárias, a integral hereditária (3.54)
pode ser reescrita como
t
t
dT (x, t ' )
Eij (x, t )  J ijkl (t )T0 kl (x)   J ijkl (t  t ' ) kl
dt '   Tkl (x, t  t ' )dJ ijkl (t ' ) (3.58)
dt '
0

Desta forma, a relação constitutiva viscoelástica é escrita através da integral de
Stieltjes:
t
Eij (x, t )   Tkl (x, t  t ' )dJ ijkl (t ' )  Tkl (x, t ) * dJ ijkl (t )
(3.59)

O mesmo é realizado para a formulação para o tensor de relaxação:
Tij (x, t )  Ekl (x, t ) * dYijkl (t )
(3.60)
Segundo GURTIN e STERNBERG [5], as integrais de Stieltjes possuem as
seguintes propriedades para as funções  em H 0 e  ,  em H 1 , com o tempo t sendo
a variável independente:
 * d  H 0 ;  * d  H 1
(3.61a)
 * d   * d
(3.61b)
(Comutatividade)
33  * d  * d    * d  * d   * d * d
 * d       * d   * d
(Associatividade)
(Distributividade)
(3.61c)
(3.61d)
 * d  0    0 ou   0
(3.61e)
 * dh  
(3.61f)
 (t ) * d (t )   (t ) (0)   (t ) * (t ), t [0,)
(3.61g)
A propriedade (3.61g) transforma a Integral de Stieltjes em convolução de
Riemann, caracterizando a sentença das Integrais Hereditárias da equação (3.58).
Pode-se definir ainda, segundo [5], a função  1 , inversa à função  segundo a
Integral de Stieltjes. A existência e unicidade desta inversa é garantida se   H 2 e
 (0)  0 , embora seja possível para   H 1 . Desta forma, tem-se a seguinte
propriedade:
 (t ) * d 1 (t )  h(t )
(3.62)
No domínio de Laplace, a equação (3.62) é escrita como:
 
L ( s ) L  1 ( s) 
1
s2
(3.63)
É possível demonstrar, de acordo com [5] e [6], que as funções de fluência e
relaxação de um determinado modelo viscoelástico são inversas entre si com relação à
integral de Stieltjes, desde que estas funções atendam aos requisitos para a aplicação da
Transformada de Laplace. Deste modo, tem-se:
J (t ) * dY (t )  h(t )
LJ ( s) LY ( s) 
(3.64)
1
s2
(3.65)
Outra propriedade interessante sobre as integrais de Stieltjes pode ser obtida para
funções que possuam inversa de Stieltjes:
34  (t ) * d (t ) 1   1 (t ) * d 1 (t )
(3.65)
Considerando que
 (t ) * d (t ) 1 * d  (t ) * d (t )   h(t )
(3.66)
e que as propriedades comutativa e associativa da integral de Stieltjes garantem que
 1 (t ) * d 1 (t ) * d (t ) * d (t )  h(t )
(3.67)
para funções  e  invertíveis no sentido da convolução de Stieltjes, a unicidade da
inversa de Stieltjes valida a expressão (3.65), desde que  (t ) * d (t ) atenda às
condições que garantam a unicidade.
Será muito conveniente, para os estudos deste trabalho, escrever as equações
constitutivas viscoelásticas para as parcelas esférica e desviadora por meio de integrais
de Stieltjes. Deste modo, considerando as funções de relaxação K(t) e G(t) para as
parcelas esférica e desviadora, respectivamente, tem-se:
Tij (x, t )  3K t * d ij (x, t )  2G t * dE 'ij (x, t )
(3.68)
A equação anterior é válida para problemas tridimensionais. Para problemas de
estado plano de deformações, nenhuma adaptação é necessária. Para o estado plano de
tensões, no entanto, a função K(t) precisa ser substituída por K t  da seguinte forma:
8
1
K t   G t   32G t * d 2G t * d 3K  4G  t 
3
(3.69)
3.9 – Estado Viscoelástico de Tensões e Deformações
As definições e teoremas apresentados aqui são válidos para problemas
viscoelásticos
tridimensionais.
As
adaptações
necessárias
para
problemas
bidimensionais serão feitas em momento oportuno. Todo o conteúdo deste item tem
como referência os artigos de GURTIN e STERNBERG [5] e STERNBERG e ALKHOZAIE [7].
Continuando com o enfoque matemático mais rigoroso da Teoria da
Viscoelasticidade, a definição de função de Classe Heaviside (apresentada no capítulo
35 1) é extrapolada para funções dependentes do espaço e do tempo. Para uma região  no
espaço Euclidiano tridimensional E, uma função de classe HM,N (Heaviside) possui a
seguinte definição:
 f  0 , em   (,0)
f x, t   H M , N    ,    
M ,N
 f  C   [0,) 
(3.70)
Na equação anterior, M se refere à ordem de derivação espacial e N à ordem de
derivação no tempo.
O Estado Viscoelástico  em    ,   é definido em uma região  através
do estado de tensões T(x,t), o estado de deformações E(x,t) e o campo de
deslocamentos u(x,t). Pode ser definido em correspondência às funções de relaxação
K(t) e G(t) relativas, respectivamente, às relações constitutivas esférica e desviadora e a
partir
das
forças
de
massa
b(x,t).
Deste
modo,
pode-se
escrever
  u, E, T , K , G, b  . Devem ser observadas as seguintes propriedades:

E, T, u e b são funções contínuas em    ,0 e   0,   . K e G
 H 1 , K(0)>0 e G(0)>0.

u  H 2, 0 , T, E  H 1, 0 e b  H 0, 0 em    ,   .

T, E, b, u, K e G atendem às equações de equilíbrio (2.1), às equações
geométricas (2.4) e às equações constitutivas viscoelásticas:
 ij (x, t )   ij (x, t ) * d 3K (t )
(3.71)
T 'ij (x, t )  E 'ij (x, t ) * d 2G (t )
(3.72)
As equações anteriores podem ser resumidas através das expressões (3.60) ou
(3.68). O Estado Elástico é um caso particular da definição apresentada acima, onde as
funções de relaxação são substituídas pelas constantes elásticas K e G, eliminando as
integrais de Stieltjes. Alternativamente, o Estado Viscoelástico pode ser definido em
correspondência com as funções de fluência, alterando as equações constitutivas (3.71)
e (3.72). O Estado Viscoelástico descrito acima pode ainda ser definido através das
relações constitutivas diferenciais (discutidas no item 3.5), o que suscita considerações
36 adicionais. No entanto, esta abordagem foge ao escopo deste trabalho, considerando a
metodologia numérica a ser apresentada.
Para uma região  infinita, têm-se ainda as condições para x  x   , válidas
uniformemente em um intervalo de tempo 0, t , t  0,   :

u x,  Ox
Tx,  Ox
bx,  Ox
ux,  O x 1
1




(3.73)
2
3
Tendo em vista o comportamento linear da teoria apresentada, pode-se assumir a
superposição dos Estados Viscoelásticos   u, E, T e  ' '  u' ' , E' ' , T' ' para
constantes 1 e 2 .
1  2 ' '  1u  2u' ' , 1E  2 E' ' , 1T  2 T' '
(3.74)
Um Estado Viscoelástico final pode, portanto, ser determinado pela
superposição de diversos Estados Viscoelásticos relativos a diversas forças de massa e
de superfície diferentes atuantes no corpo de estudo ao longo do tempo.
Considerando os Estados Viscoelásticos  e  ' ' , definidos em um domínio 
com contorno  , com as seguintes características:
  u, E, T , K , G, b 
 ' '  u' ' , E' ' , T' ' , K , G, b 
(3.75)
Admitindo ainda as condições de contorno:
u(x, t )  u'' (x, t )  u (x, t ) em 1   , 
p(x, t )  p'' (x, t )  p (x, t ) em 2   , 
(3.76)
Através do Teorema da Unicidade, pode-se verificar a equivalência dos estados
exceto por deslocamento de corpo rígido definido pela translação a(t) e rotação ω (t ) .
u, E, T  u'' , E'' , T''  a(t )  ω(t )  x ,0,0
37 (3.77)
Adotando agora os Estados Viscoelásticos  e  ' ' com as seguintes
características:
  u, E, T , K , G, b 
 ' '  u' ' , E' ' , T' ' , K , G, b' '
(3.78)
Resumindo as equações constitutivas viscoelásticas (3.71) e (3.72) na expressão
(3.60), observa-se a simetria do tensor de relaxação Y em decorrência da isotropia
assumida para a teoria apresentada. Como consequência, surge uma importante equação
integral que relaciona os estados definidos em (3.78):
 T (x, t ) * dE' '
ij
ij

(x, t )d   Eij (x, t ) * dT ' 'ij (x, t )d
(3.79)

A equação anterior constitui o Teorema da Reciprocidade Viscoelástica, que será
o ponto de partida para a formulação em MEC deste trabalho, e pode ser interpretada
como a versão viscoelástica para o Teorema de Betti, que é válido para problemas
elásticos e é utilizado como ponto de partida para a solução de problemas elásticos via
MEC.
Combinando as equações de equilíbrio (2.1), as equações geométricas (2.4) e as
equações constitutivas viscoelásticas (3.68), obtém-se a equação de Navier generalizada
para problemas viscoelásticos:
G

G(t ) * dui , jj (x, t )   K  (t ) * du j , ji (x, t )  bi (x, t )  0
3

(3.80)
A solução desta equação é uma generalização da solução elástica de Papkovich
(obtida também por Neuber) e caracteriza o Estado Viscoelástico de Papkovich-Neuber,
que possui a seguinte definição para uma região  no espaço Euclidiano
tridimensional:

As funções de relaxação K(t) e G(t) e as forças de massa b atendem às
condições especificadas na definição de Estados Viscoelásticos. As
funções 2G(t) e (3K+4G)(t) possuem inversas no sentido da integração
de Stieltjes.
38 
São definidas as funções   H 3, 0 e Ψ  H 3,0 em    ,   através das
seguintes relações:
1
 2 x, t    x  f x, t  em    ,  
2
(3.81)
1
 2 Ψx, t   f x, t  em    ,  
2
(3.82)
f x, t   bx, t * d 2G  t * d 3K  4G  t 
1

1
(3.83)
É definido então o Estado Viscoelástico   u, E, T , K , G, b  com
as equações de equilíbrio (2.1), as equações constitutivas viscoelásticas
(3.71) e (3.72) e o seguinte campo de deslocamentos:
ux, t     x  Ψ x, t  * d 6 K  2G t   4Ψx, t  * d 3K  4G t 
(3.84)
O Estado Viscoelástico anterior pode ser interpretado como uma solução geral
para problemas viscoelásticos tridimensionais para um determinado corpo de estudo
com propriedades reológicas, forças de massa e condições de contorno definidas. A
solução final para o campo de deslocamentos pode ser obtida através de uma família de
potenciais Newtonianos conforme [5].
Para encerrar a apresentação do ferramental matemático necessário para o
prosseguimento do trabalho, resta obter o Estado Viscoelástico para uma força de massa
concentrada. Pode-se definir uma carga concentrada através da função Delta de Dirac
(equação (1.6)), o que propicia uma solução imediata para o estado através da família de
potenciais Newtonianos proposta em [5]. Adotando uma abordagem mais rigorosa,
conforme [7], segue a definição de carga concentrada em um espaço Euclidiano
tridimensional E:

b 
n
é uma sequência de forças de massa que tende a uma carga
concentrada L no ponto ξ se Lt   H 1 e ξ  E .



b n x, t   H 2,1 em, E   ,  , b n  0 em E   n   ,   , para todo n
natural onde  n  é uma sequência de regiões de carga definidas como:
39  n   n ξ  onde  n ξ  é uma esfera de raio  n e centro ξ e  n  0
para n   .

 b x, t d  Lt 
n

para n   , uniformemente em um intervalo de
n
tempo 0, t , t  0,   .

A
sequência
Φ n t  
de
funções
 b x, t  d em  ,   ,
n

temporais
Φ ,
n
definida
como
é uniformemente limitada em um
n
intervalo de tempo 0, t , t  0,   .
Utilizando diretamente as propriedades da função Delta de Dirac ou a definição
mais rigorosa apresentada anteriormente juntamente com o Estado Viscoelástico de
Papkovich-Neuber, obtém-se o Estado Viscoelástico para forças de massa concentradas.
Deste modo, dada uma sequência b n  de forças de massa que tende ao carregamento
concentrado L aplicado em ξ , considerando ainda o domínio  com contorno  e as
funções de relaxação K(t) e G(t) tais que K e G  H 1 , K(0)>0 e G(0)>0, tem-se:

Existe uma única sequência de estados viscoelásticos  n  definidos
como  n  u n , E n , T n  E , K , G , b n  para n natural.

 n Converge para um estado limite  para n   , uniformemente em
   , t  para qualquer domínio  em que ξ   e em qualquer
tempo t   ,   .

O estado limite   u, E, T independe da escolha particular da
sequência b n  e pode ser obtido através das funções de tensão  e Ψ ,
definidas como
 x, t   0
Ψx, t   
f t 
8 x  ξ
(3.85)
para todo x  ξ e t   ,   , onde
f t   Lt * d 2G  t * d 3K  4G  t  em  ,  
1
1
40 (3.86)
O estado  é chamado de Estado Viscoelástico de Kelvin correspondente a uma
carga concentrada L aplicada em ξ e às funções de relaxação K e G. Este resultado
serve como base para a obtenção da Solução Fundamental Viscoelástica no domínio do
tempo proposta por STERNBERG e AL-KHOZAIE [7], onde as funções de tensão
(3.85) são aplicadas no campo de deslocamentos (3.84). A utilidade deste resultado será
entendida no próximo capítulo.
O Estado Elástico de Kelvin é um caso particular da formulação apresentada e
tem como consequência a Solução Fundamental para problemas elásticos, que pode ser
encontrada em BREBBIA et al. [8] e TELLES [9].
O Estado Viscoelástico de Kelvin poderia ser obtido de maneira mais elementar
e intuitiva através da aplicação do Princípio da Correspondência no Estado Elástico de
Kelvin, conforme realização de SYNGELLAKIS [10]. Todavia, o trabalho de
STERNBERG e AL-KHOZAIE [7] alerta que este expediente não assegura a validade
das proposições do Estado Viscoelástico de Kelvin apresentadas anteriormente. De
qualquer modo, será visto a seguir que os Estados obtidos pelos processos [7] e [10] são
equivalentes.
41 Capítulo 4 – Método dos Elementos de
Contorno para Problemas Viscoelásticos
O Método dos Elementos de Contorno (MEC) consiste na discretização do
contorno do problema em elementos onde as grandezas a serem encontradas são
aproximadas por funções de interpolação. O método usa como ponto de partida a
formulação do problema em integrais no contorno que, no caso de problemas
viscoelásticos, é obtida através do Teorema da Reciprocidade Viscoelástica. Aplicando
o Método dos Resíduos Ponderados na formulação integral no contorno, as grandezas
desconhecidas são calculadas solucionando o sistema de equações resultante.
4.1 – Formulação em Integrais no Contorno
Inicialmente, são definidos dois sistemas viscoelásticos: o primeiro é um corpo
formado pelo domínio  e contorno  , com comportamento definido pelas grandezas
u, p e b, já definidas no capítulo 2 deste trabalho; o segundo é um corpo formado pelo
domínio  * e contorno  * , com comportamento definido pelas grandezas u*, p* e
b*, sabendo ainda que o domínio  * contém o domínio  . Ambos os sistemas são
homogêneos, isotrópicos e isotérmicos, representados pelo campo de deslocamentos e
forças de superfície e massa aplicadas. O domínio  * é definido como uma esfera de
raio infinito com centro no ponto ξ , chamado de ponto fonte, para o caso de problemas
tridimensionais. Para problemas bidimensionais, a esfera é substituída pelo cilindro de
seção de raio infinito e centro no ponto fonte ξ . Um ponto x pertencente ao corpo de
estudo (domínio  ) é chamado de ponto campo, já definido pelas coordenadas da
configuração indeformada no capítulo 2.
Aplicando a equação constitutiva viscoelástica na forma integral (3.59), a
seguinte expressão pode ser desenvolvida:
42 
Tij (x, t ) * dEij* (x, t )  Tij (x, t ) * d J ijkl (t ) * dTkl* (x, t )

(4.1)
Usando as propriedades de comutatividade e associatividade da integral de
Stieltjes e a simetria do tensor J garantida pela isotropia assumida, o segundo membro
da expressão (4.1) é manipulado:


Tij (x, t ) * d J ijkl (t ) * dTkl* (x, t )  J klij (t ) * d Tij (x, t ) * dTkl* (x, t )
(4.2)
Desta forma, a expressão do Teorema da Reciprocidade Viscoelástica é obtida
integrando ambos os membros no domínio  , sem maiores detalhamentos acerca do
rigor matemático:
 T (x, t ) * dE (x, t )d   E
*
ij
ij

ij
(x, t ) * dTij* (x, t )d
(4.3)

Substituindo as equações geométricas (2.4) na expressão (4.3) e aplicando a
propriedade distributiva da integral de Stieltjes, o resultado possui o seguinte aspecto:
 T (x, t ) * du
ij
*
i, j

(x, t )d   Tij (x, t ) * du*j ,i (x, t )d 

  u i, j (x, t ) * dTij* (x, t )d   u j ,i (x, t ) * dTij* (x, t )d

(4.4)

Aplicando o Teorema da Divergência de Gauss, as equações de equilíbrio (2.1) e
(2.3) e a propriedade comutativa da integral de Stieltjes, a equação integral (4.4) passa a
conter integrais no contorno:
 p (x, t ) * du (x, t )d   b (x, t ) * du (x, t )d 
i
*
i
i

*
i

  pi* (x, t ) * dui (x, t )d   bi* (x, t ) * dui (x, t )d

(4.5)

O objetivo da formulação é obter o campo de deslocamentos e o estado de
tensões e deformações no domínio  , o que significa estudar o sistema (u, p, b). Para o
sistema (u*, p*, b*), no domínio  * , serão atribuídas condições específicas de
maneira a obter uma solução analítica para o campo de deslocamentos u* e as tensões
de superfície p*. Estas soluções u* e p* são válidas em  * (e consequentemente em
 ) e são chamadas de soluções fundamentais.
43 Para a obtenção das soluções fundamentais, serão definidos diversos casos de
forças de massa b* como forças concentradas em cada uma das direções ortogonais da
base canônica do sistema de coordenadas onde os domínios estão inseridos:
b*j  Fje j
(4.6)
Na equação anterior, Fj é a magnitude da força na direção do vetor unitário ej
correspondente à direção xj do sistema de coordenadas. Esta força Fj pode ser definida
como uma carga concentrada unitária aplicada no ponto fonte ξ a partir de um tempo
t=0. Desta forma, cada vetor b*j de cada caso pode ser escrito de acordo com a
expressão
bij* (ξ, x, t )  (ξ, x)h(t ) ij
(4.7)
onde (ξ, x) é a função Delta de Dirac com impulso aplicado no ponto fonte ξ e h(t) é
a função de Heaviside (ou degrau) com a descontinuidade no ponto t = 0. Para cada
vetor de forças de massa, serão geradas funções u *j e p *j no domínio  * , sendo estas
funções dependentes não somente das coordenadas x (ponto campo) e tempo t, mas
também do ponto fonte ξ . A equação (4.5) é então reescrita:
 p (x, t ) * du
j
*
ij

(ξ, x, t )d(x)   b j (x, t ) * duij* (ξ, x, t )d(x) 

  pij* (ξ, x, t ) * du j (x, t )d(x)   (ξ, x)h(t ) ij * du j (x, t )d(x)

(4.8)

A última integral do segundo membro da equação (4.8) pode ser desenvolvida
considerando as propriedades das funções Delta de Dirac (equações (1.6)), função de
Heaviside e integral de Stieltjes (equações (3.61)):
 (ξ, x)h(t )

ij
* du j (x, t )d(x)   ij  (ξ, x)h(t ) * du j (x, t )d(x) 

  ij  (ξ, x)u j (x, t )d(x)   iju j (ξ , t )  ui (ξ , t )
(4.9)

Utilizando ainda a comutatividade da integral de Stieltjes (equação (3.61b)), a
equação (4.8) apresenta o seguinte aspecto:
44 ui (ξ , t )   p j (x, t ) * duij* (ξ, x, t )d(x)   u j (x, t ) * dpij* (ξ, x, t )d(x) 


  b j (x, t ) * duij* (ξ, x, t )d(x)
(4.10)

A equação (4.10) representa a formulação do problema viscoelástico na forma
de integrais no contorno e esta será a base para o desenvolvimento do Método dos
Elementos de Contorno. Nesta formulação, a única integral no domínio envolve as
forças de massa e a solução fundamental para o campo de deslocamentos, ou seja, a
integral possui apenas funções conhecidas já na concepção do problema de estudo. Esta
integral poderá ser resolvida através da discretização do domínio em células ou através
de técnicas para transformar a integral de domínio em integral de contorno, tais como as
apresentadas em BREBBIA et al. [8].
4.2 – Soluções Fundamentais Viscoelásticas
Ao longo dos estudos sobre o Método dos Elementos de Contorno em problemas
viscoelásticos, foram desenvolvidas diversas técnicas para a obtenção das soluções
fundamentais. Este trabalho se concentrará no estudo de duas técnicas apresentadas em
[7] e [10]. Um estudo mais completo e detalhado sobre o universo das soluções
fundamentais viscoelásticas pode ser encontrado em CEZARIO [3].
Uma das principais características das soluções fundamentais viscoelásticas
estudadas neste trabalho é a separação das variáveis temporal e espacial, ou seja, ao
contrário do que geralmente ocorre em problemas de propagação de ondas, as soluções
fundamentais viscoelásticas podem ser representadas como uma soma de produtos de
funções temporais e espaciais:
uij* (ξ, x, t )  UX ij*k (ξ, x)UTij*k (t )
k
(4.11)
p (ξ, x, t )   PX ij*k (ξ, x)PTij*k (t )
*
ij
k
onde UT*k (t ) e PT*k (t ) são as funções temporais e UX*k (ξ, x) e PX*k (ξ, x) as
espaciais.
45 Esta característica facilita a execução das integrais da equação (4.10), uma vez
que as integrais espaciais (no contorno) e temporais (Stieltjes) podem ser realizadas
separadamente, conforme será visto mais adiante neste capítulo.
4.2.1 – Solução segundo Syngellakis
Na solução fundamental segundo SYNGELLAKIS [10], é tomada como ponto
de partida a solução fundamental para problemas elásticos. Através do Princípio da
Correspondência, os parâmetros elásticos são substituídos por polinômios no domínio
de Laplace, segundo as transformações descritas em (3.39) a (3.42). Sobre a expressão
final é aplicada a transformada inversa de Laplace para a obtenção da solução
fundamental viscoelástica.
As soluções fundamentais elásticas de problemas tridimensionais são obtidas
solucionando o problema elástico em um domínio  * que consiste em uma esfera de
raio tendendo ao infinito com centro no ponto fonte ξ onde são aplicadas forças de
massa concentradas conforme (4.7) (omitindo-se apenas a função de Heaviside h(t)).
Para problemas bidimensionais, a esfera é substituída por um cilindro de seção com raio
tendendo ao infinito e centro no ponto fonte ξ . A solução da equação de Navier (2.18)
para o problema correspondente tem como resposta a solução fundamental elástica
(BREBBIA et al. [8] e TELLES [9]). Define-se ainda o raio r como sendo a distância
entre o ponto fonte ξ e um ponto campo x.
r (ξ, x)  x  ξ
rr
r,i 
(4.12)
ri
r
De acordo com BREBBIA et al. [8] e TELLES [9], as soluções fundamentais
para problemas elásticos podem ser escritas como
uij* (ξ, x) 
1
(3  4 )ij  r,ir, j 
16 (1  )Gr
para problemas tridimensionais e
46 (4.13)
uij* (ξ, x) 
1
(3  4 ) ln(r )ij  r,i r, j 
8 (1  )G
(4.14)
para problemas bidimensionais em estado plano de deformações e ainda
pij* (ξ, x) 


1
r


(1  2 ) ij   r,i r, j
 (1  2 )r,i n j  r, j ni 
 
4 (1  )r 
n

(4.15)
onde   2 e   3 para problemas tridimensionais e   1 e   2 para problemas
bidimensionais no estado plano de deformações (EPD). Para a consideração do estado
plano de tensões (EPT) em (4.14) e (4.15), deve-se manter o módulo de elasticidade
transversal G e alterar o coeficiente de Poisson para
 

(4.16)
1 
Estas soluções são conhecidas como Soluções de Kelvin e compõem o Estado
Elástico de Kelvin. Este estado é obtido a partir da aplicação de uma carga concentrada
no domínio, o que viola a hipótese do contínuo no ponto de aplicação da carga e
justifica, portanto, a singularidade da solução neste ponto.
Na solução fundamental segundo Syngellakis, a transformada de Laplace é
aplicada nas expressões (4.13) a (4.15) e os parâmetros elásticos G e  são substituídos
pelas transformadas dos operadores diferenciais dos modelos viscoelásticos de acordo
com as expressões (3.40) e (3.42). Realizando a transformada inversa, a solução
fundamental no domínio do tempo é então obtida:
uij* (ξ, x, t ) 
fu1 (t )
fu (t )
 ij  2 r,i r, j
16r
16r
(4.17)
para problemas tridimensionais e
 ln(r ) ij 
r r 
  fu2 (t ) ,i , j 
uij* (ξ, x, t )  fu1 (t ) 
8 

 8 
para problemas bidimensionais, além de
47 (4.18)
 1
pij* (ξ, x, t )  fp1 (t )

 4r
 r,i r, j r 
r


 
 (4.19)



(
)




r
n
r
n
fp
t

ij
,
i
j
,
j
i
2




4

n
r
n



Nas expressões (4.17) a (4.19), fui (t ) e fpi (t ) são funções dependentes do
tempo e variam de acordo com o modelo viscoelástico e a dimensão do problema.
Conforme observações no capítulo 3 deste trabalho, o comportamento
viscoelástico usualmente é diferenciado para as parcelas esférica e desviadora da
relação constitutiva do material. Desta forma, torna-se mais conveniente a apresentação
das soluções fundamentais elásticas em função dos parâmetros elásticos K e G, que
representam, respectivamente, as relações constitutivas volumétrica e desviadora. São
apresentadas a seguir as expressões das soluções fundamentais elásticas bidimensionais,
que caracterizam o escopo deste trabalho:
 ln(r ) ij 
r r 
  C2u  ,i , j 
uij* (ξ, x)  C1u  
8 

 8 
(4.20)
 r r r 
 1 
r


 r,i n j  r, j ni    C2 p   ,i , j
  ij
pij* (ξ, x)  C1 p 

n

 4r 
 2r n 
(4.21)
Os coeficientes Ciu e Cip das equações anteriores, em função de K e G, são
apresentados na tabela a seguir:
Tabela 4.1 – Coeficientes dos parâmetros elásticos das soluções fundamentais
Coeficientes Elásticos
C1u
C2 u
C1 p
C2 p
EPD
EPT
2
6

G 3K  4G
2
6

G 3K  4G
6G
3K  4G
6G
2
3K  4G
5
3

2G 2(3K  G )
3
3

2G 2(3K  G )
1
3G

2 2(3K  G )
3
3G

2 2(3K  G )
Posteriormente, serão estudados exemplos de sólidos com parcela esférica regida
pela equação constitutiva elástica (2.15) e com a parcela desviadora viscoelástica regida
48 pela relação constitutiva do modelo de Boltzmann (item 3.2), conforme sugestão de
FLÜGGE [1].
Para utilizar o Princípio da Correspondência nas expressões (4.20) e (4.21),
aplica-se a Transformada de Laplace na solução fundamental elástica e a parcela
desviadora recebe os parâmetros viscoelásticos de Boltzmann, de acordo com a equação
(3.40):
2G( s) 
q0  q1s
1  p1s
(4.22)
Os coeficientes pi e qi podem ser obtidos no item 3.2, comparando as equações
(3.15) e (3.16). Substituindo (4.22) nas equações (4.20) e (4.21) no domínio de Laplace,
calcula-se a transformada inversa de Laplace nas expressões resultantes para a obtenção
da solução viscoelástica final.
As expressões finais para as soluções fundamentais viscoelásticas para o modelo
de Boltzmann regendo a parcela desviadora e parcela esférica elástica são apresentadas
a seguir:
 ln(r ) ij 
r r 
  c21 fu1 (t )  c22 fu2 (t )  ,i , j  (4.23)
uij* (ξ, x, t )  c11 fu1 (t )  c12 fu2 (t )  
8 

 8 
 r,i r, j r 
 1 
r

 




(
)

pij* (ξ, x, t )  fp1 (t )


r
n

r
n
fp
t

,
,
2
ij
i
j
j
i


n

 4r 
 2r n 
(4.24)
As funções fui (t ) e fpi (t ) são definidas da seguinte forma:


(4.25)


(4.26)
fui (t )  h(t ) bi1  bi 2 e bi 3t
fpi (t )  h(t ) ai1  ai 2 e ai 3t
Os coeficientes presentes nas equações (4.23) a (4.26) são apresentadas na tabela
a seguir.
49 Tabela 4.2 – Coeficientes da solução fundamental viscoelástica para o modelo de
Boltzmann regendo a parcela desviadora
Coeficientes Viscoelásticos EPD
a11
a12
a13
a21
a22
a23
b11
b12
b13
b21
b22
b23
c11
c12
c21
c22
EPT
3q0
3K  2q0
9 K (q1  p1q0 )
(3K  2q0 )(3Kp1  2q1 )
(3K  2q0 )

(3Kp1  2q1 )
6 K  q0
3K  2q0
9 K ( p1q0  q1 )
(3K  2q0 )(3Kp1  2q1 )
(3K  2q0 )

(3Kp1  2q1 )
4
q0
4( p1q0  q1 )
q0 q1
q
 0
q1
6
3K  2q0
12( p1q0  q1 )
(3K  2q0 )(3Kp1  2q1 )
(3K  2q0 )

(3Kp1  2q1 )
3K  2q0
6 K  q0
9 K (q1  p1q0 )
(6 K  q0 )(6 Kp1  q1 )
(6 K  q0 )

(6 Kp1  q1 )
9K
6 K  q0
9 K ( p1q0  q1 )
(6 K  q0 )(6 Kp1  q1 )
(6 K  q0 )

(6 Kp1  q1 )
1
q0
( p1q0  q1 )
q0 q1
q
 0
q1
3
6 K  q0
3( p1q0  q1 )
(6 K  q0 )(6 Kp1  q1 )
(6 K  q0 )

(6 Kp1  q1 )
1
1
1
1
5
1
3
1
Como se pode observar, a obtenção da solução fundamental viscoelástica usando
o processo descrito por Syngellakis pode ser dispendiosa dependendo do modelo
viscoelástico utilizado. Uma metodologia para a obtenção de soluções fundamentais
para modelos viscoelásticos mais gerais pode ser encontrada no apêndice B.
50 4.2.2 – Solução Segundo Sternberg e Al-Khozaie
Ao contrário da solução exposta no item anterior, a solução segundo
STERNBERG e AL-KHOZAIE [7] não utiliza o Princípio da Correspondência e não
toma como ponto de partida a solução fundamental elástica. A solução fundamental
viscoelástica é obtida pelo mesmo processo de obtenção da solução elástica, com a
adoção do mesmo domínio  * descrito anteriormente e as forças de massa
concentradas descritas em (4.7). Considerando que a formulação geral do problema
viscoelástico em questão se difere da formulação elástica apenas nas relações
constitutivas, a equação de governo para o problema viscoelástico pode ser obtida pelo
mesmo procedimento descrito no capítulo 2, sendo mais conveniente utilizar a relação
constitutiva viscoelástica integral descrita na equação (3.68), que é baseada no tensor de
relaxação Y(t). A equação de Navier generalizada para problemas viscoelásticos pode
então ser definida como
G

G(t ) * dui , jj (x, t )   K  (t ) * du j , ji (x, t )  bi (x, t )  0
3

(4.27)
onde K(t) e G(t) representam, respectivamente, as parcelas esférica e desviadora do
tensor de relaxação Y(t), conforme relações (3.48), (3.49) e (3.57).
A solução única do sistema de equações diferenciais de valor de contorno e
inicial singular definida em (4.27) para problemas tridimensionais, de acordo com [7], é
mostrada a seguir:
 
r r 
uij* (ξ, x, t )  2 J1 (t )  3Q1 (t )  ij   2 J1 (t )  3Q1 (t )  ,i , j 
 8r 
 8r 
(4.28)
  3r,i r, j r, k 
 
Tikj* (ξ, x, t )  2h(t )  3Q2 (t ) 
2
 8r 
  3 ij r, k   jk r,i   ik r, j  

 Q2 (t )
8r 2


(4.29)
As funções temporais das soluções anteriores são expressas como:
J1 (t )  2G  (t )
1
(4.30a)
51 Q1 (t )  3K  4G  (t )
(4.30b)
Q2 (t )  2Q1 (t ) * dG(t )
(4.30c)
1
Nas equações (4.30), f
-1
(t) é a inversa da função f(t) no sentido da integral de
Stieltjes (item 3.8). Para obter as soluções bidimensionais a partir das tridimensionais, é
utilizada a mesma técnica apresentada em BREBBIA et al. [8], o que gera os mesmos
resultados da formulação elástica bidimensional para as funções espaciais. É escrita a
seguir a solução fundamental viscoelástica do campo de deslocamentos para problemas
bidimensionais:
  ln(r ) ij 
r r 
  2 J1 (t )  3Q1 (t )  ,i , j 
uij* (ξ, x, t )  2 J1 (t )  3Q1 (t ) 
 4 
 4 
(4.31)
Através da equação geométrica (2.4), da equação constitutiva integral (3.68) e da
equação de Cauchy (2.3), a expressão (4.31) resulta na solução fundamental das forças
de superfície:
 1 
r

 r,i n j  r, j ni   
pij* (ξ, x, t )  3Q2 (t )
  ij

n

 4r 
 r r r 

 2h(t )  3Q2 (t )   ,i , j
 2r n 
(4.32)
Todas as expressões apresentadas até o momento neste subitem se referem ao
estado plano de deformações, já que a solução é obtida originalmente para problemas
tridimensionais e as equações constitutivas viscoelásticas para o estado plano de
deformações são similares às tridimensionais. Para o estado plano de tensões, a função
G(t) não sofre alterações, o que não se verifica para a função K(t), que deve ser
substituída de acordo com a equação (3.69). Desta forma, a função Q1(t) deve ser
modificada considerando as propriedades (3.62) e (3.65) das inversas no sentido da
integração de Stieltjes:
Q1 t   12G  92G * dQ2  t  
1
Q2 t   2G t * dQ1 t  
J1 t  P1 t 

6
2
ht  P2 t 

6
2
52 (4.33a)
(4.33b)
P1 t   6 K  2G  t 
(4.33c)
P2 t   2G t * dP1 t 
(4.33d)
1
Para comparar os resultados deste item com as soluções segundo Syngellakis,
são escritas a seguir as formas do estado plano de tensões para as soluções fundamentais
viscoelásticas bidimensionais segundo o método de Sternberg e Al-Khozaie.
3
3
5
  ln(r ) ij   3
 r r 
   J1 (t )  P1 (t )  ,i , j 
uij* (ξ, x, t )   J1 (t )  P1 (t ) 
2
2
2
 4   2
 4 
r

 ht  3
 1 
  ij
 r,i n j  r, j ni   
pij* (ξ, x, t )  
 P2 (t ) 

n

 2 2
 4r 
3
3
 r r r 

  h(t )  P2 (t )   ,i , j
2
2
 2r n 
(4.34a)
(4.34b)
Observando o Princípio da Correspondência e as propriedades da integral de
Stieltjes, conclui-se que as duas soluções [7] e [10] apresentadas são equivalentes
através da comparação entre os coeficientes elásticos da tabela 4.1 e as funções
temporais das soluções fundamentais (4.31), (4.32) e (4.34). De uma maneira geral, o
que diferencia as duas formulações descritas é o processo de obtenção da solução e não
o resultado final. A solução de Sternberg e Al-Khozaie é tão compacta e geral quanto a
solução de Syngellakis. Esta última, porém, possui processo de obtenção mais intuitivo
enquanto que a primeira preza pelo rigor matemático apresentado em [5].
4.3 – Formulação Integral com Ponto Fonte no Contorno
Uma das principais características das soluções fundamentais é a singularidade
no ponto fonte. De acordo com o item 4.2 deste trabalho, as soluções fundamentais são
   
O r 2 , O r 1 ou Oln(r )  , o que gera singularidade quando os pontos campo x e fonte
ξ coincidem. Se a formulação integral (4.10) for aplicada em um ponto fonte ξ no
contorno  , haverá singularidade da solução fundamental ao longo das integrais no
contorno  e no domínio  . Em BREBBIA et al. [8] e TELLES [9], pode-se constatar
que estas integrais impróprias convergem no sentido do Valor Principal de Cauchy.
Posteriormente será visto que o contorno será subdividido em elementos e as
singularidades se restringirão a algumas integrais ao longo de elementos de contorno
53 especcíficos, ondde a integraçção será anaalítica. Nos demais elem
mentos, serrá possível usar
u a
integgração numéérica.
Para a avvaliação dass integrais iimpróprias, uma parte  do conttorno  pró
óxima
ao ponto fonte ξ (onde ocorre a singgularidade)) é excluídaa e a fronteeira do corp
po de
estuddo é então fechada
f
com
m um contorrno  , que consiste em
m um arco dde circunferrência
centrrado no ponnto fonte ξ com raio  . Desta forrma, o ponto fonte ξ , qque é o pon
nto de
singuularidade da
d solução fundamenttal, é exclu
uído do do
omínio  , como se pode
obserrvar na figuura 4.1.
d
Figuraa 4.1 – Excllusão do poonto fonte ξ do domínio  para a avaliação das
integgrais impróprias
Fazendo   0 , a in
ntegração im
mprópria no
o sentido do
o Valor Prinncipal de Caauchy
ao loongo do conntorno fica evidente e pode-se ob
bservar a co
onvergênciaa das integraais da
equaação (4.10) em
e BREBB
BIA et al. [88] e TELLES [9] por meio
m de expaansões do campo
de deeslocamentos em Sériee de Taylorr e a consid
deração da continuidadde da funçãão do
camppo de desloocamentos. Apenas um
ma alteração
o se faz neccessária parra que a equ
uação
integgral no contoorno possa ser aplicadaa em pontoss fonte no co
ontorno:
u j (ξ , t ) * dCij (ξ , t )   p j (x, t ) * duij* (ξ, x , t )d(x)   u j (x, t ) * dp
pij* (ξ, x, t )d (x) 


  b j (x, t ) * du
d ij* (ξ, x, t )d (x)

54 (4
4.35)
Cij (ξ , t )  lim  pij* (ξ, x, t )d(x)h(t )
 0
(4.36)

Na equação (4.36),  é o arco de circunferência centrado no ponto fonte ξ no
contorno  com raio  . Vale destacar que Cij (ξ , t )   ij h(t ) para pontos fonte internos
e Cij (ξ , t )   ij h(t ) / 2 para pontos fonte em contornos suaves.
4.4 – Descrição do MEC
Conforme o texto apresentado no início deste capítulo, o Método dos Elementos
de Contorno consiste na discretização do contorno do corpo de estudo em elementos de
geometria definida por pontos no contorno e pelas funções de forma. Através de funções
de interpolação definidas ao longo destes elementos, a aproximação das grandezas a
serem determinadas é constituída. Neste sentido, faz-se necessária a definição de dois
tipos de nós a serem alocados ao longo do contorno.
Os nós geométricos definem a geometria dos elementos. Como exemplo, um
elemento de geometria linear (segmento de reta) é definido por dois nós geométricos
nas extremidades dos elementos. Os nós funcionais definem pontos do elemento onde as
grandezas desconhecidas são calculadas numericamente. Os valores destas grandezas ao
longo de um elemento são obtidos através da interpolação dos valores das grandezas nos
nós funcionais do elemento correspondente. Os nós geométricos não necessariamente
coincidem com os nós funcionais. Ao longo deste trabalho, NG será o número de nós
geométricos, NF o número de nós funcionais e NE representa o número de elementos da
discretização do contorno.
Nos problemas de estudo deste trabalho, o contorno  é discretizado em
elementos de geometria linear e as funções de interpolação adotadas serão quadráticas.
Cada elemento tem, portanto, dois nós geométricos (um em cada extremidade) e três
nós funcionais, sendo dois coincidindo com os nós geométricos e um último localizado
no ponto médio do elemento.
55 Figuraa 4.2 – Disccretização do
o Contorno em elemenntos
Figura 44.3 – Elemeento de conttorno
Para faccilitar a deefinição daas funções de interpo
olação e oos processo
os de
integgração numéérica, é adottado um sisstema de coo
ordenadas local para caada elementto em
coorddenadas naaturais  . Logicament
L
te,  crescce no sentiido de inteegração em cada
contoorno. As cooordenadas x(m) de um pponto ao longo do elem
mento m sãoo obtidas attravés
56 das coordenadas dos nós geométricos x(m1) e x(m2) e das funções lineares de forma
 (1) ( ) e  ( 2) ( ) fazendo:
2
x(m) ( )   (i ) ( )x(mi)
(4.37)
i 1
As funções de forma lineares são definidas como:
1
1   
2
1
 ( 2) ( )  1   
2
 (1) ( ) 
(4.38)
O campo de deslocamentos u e as tensões de superfície p são aproximadas ao
longo de cada elemento através das funções de interpolação  (i ) ( ) , i  1,2,3 e dos
valores das grandezas nos nós funcionais x(mi), i=1,2,3, para cada elemento m.
3
~ (m) ( , t )   (i ) ( )u(mi) (t )
u

i 1
(4.39)
3
~ (m) ( , t )   (i ) ( )p(mi) (t )
p

i 1
As funções de interpolação quadráticas possuem o seguinte aspecto:
1
2
1
 ( 2) ( )   1   
2
( 3)
 ( )  1   1   
 (1) ( )     1
(4.40)
A transformação de coordenadas proposta altera as integrais de contorno através
da introdução do Jacobiano Jc:
d(x)  J c ( ) d
(4.41)
J c ( )i  xi
(4.42)

57 No caso de elementos lineares, o módulo do Jacobiano é constante ao longo de
cada elemento de contorno e pode ser escrito como
J c ( ) m 
Lm
2
(4.43)
onde Lm é comprimento do elemento de contorno m.
Aplicando o Método dos Resíduos Ponderados ao longo do contorno na
formulação integral (4.35), a expressão resultante é:


(ξ , t )k (ξ )d(ξ )     p j (x, t ) * duij* (ξ, x, t )d(x)k (ξ )d(ξ ) 

 



    u j (x, t ) * dpij* (ξ, x, t )d(x)   b j (x, t ) * duij* (ξ, x, t )d(x)k (ξ )d(ξ )
 


 u (ξ , t ) * dC
j
ij
(4.44)
Com a aplicação da solução aproximada (4.39), o sistema de equações (4.44)
possui inicialmente 2NF incógnitas, que são os deslocamentos e forças de superfície nos
nós funcionais. As condições de contorno naturais e essenciais prescrevem os valores
dos deslocamentos e forças de superfície em alguns nós funcionais, reduzindo o número
de incógnitas para NF. O sistema possui ainda NF equações, ou seja, as funções de
ponderação k (ξ) são tais que 1  k  NF , garantindo um sistema de equações com
matriz de coeficientes quadrada. A definição destas funções de ponderação depende do
método utilizado. Dentre os Métodos de Resíduos Ponderados, o mais utilizando no
MEC é o Método da Colocação onde as funções de ponderação possuem o seguinte
aspecto:
k (ξ)  (ξ k , ξ)
(4.45)
Desta forma, no Método da Colocação, as funções de ponderação são impulsos
aplicados nos pontos fonte ξ k . Logo, observando as integrais da equação (4.44), o
método consiste na aplicação da formulação integral (4.35) em pontos fonte específicos
ξ k , conforme ilustra a equação a seguir:
58 u j (ξ k , t ) * dCij (ξ k , t )   p j (x, t ) * duij* (ξ k , x, t )d(x)   u j (x, t ) * dpij* (ξ k , x, t )d(x) 


  b j (x, t ) * duij* (ξ k , x, t )d(x)
(4.46)

Os pontos fonte ξ k escolhidos são os próprios nós funcionais da malha de
elementos de contorno. O sistema de equações final contém integrais simples no
contorno e integrais duplas no domínio que independem das variáveis do problema e,
por isso, contribuem para o vetor independente do sistema. Contribuem também para o
vetor independente as parcelas referentes às condições de contorno naturais e essenciais.
Outro possível Método dos Resíduos Ponderados é o Método de Galerkin,
amplamente utilizado em formulações do Método dos Elementos Finitos. Neste caso, as
funções de ponderação são definidas como
k (ξ)  k (ξ)
(4.47)
onde k (ξ) é a função de interpolação (já definida) relativa a um determinado nó
funcional k ao longo do contorno  . Neste trabalho, será utilizado o Método de
Galerkin com funções de ponderação quadráticas, acompanhando as funções de
interpolação de mesma natureza. A equação (4.44) é então reescrita como


*
(
,
)
*
(
,
)
(
)

(
)

(
,
)
*
(
,
,
)

(
)
u
ξ
t
dC
ξ
t

ξ
d
ξ
p
x
t
du
ξ
x
t
d
x

k (ξ )d(ξ ) 
j
ij
k
j
ij

 



    u j (x, t ) * dpij* (ξ, x, t )d(x)   b j (x, t ) * duij* (ξ, x, t )d(x)k (ξ )d(ξ )
 


(4.48)
Assim, ao contrário do Método da Colocação, o Método de Galerkin não elimina
as integrais ao longo do contorno (ξ) , o que gera integração dupla ao longo do
contorno.
59 Figura
F
4.4 – Integração
o dupla no contorno
c
Desta foorma, são deefinidas as coordenadaas naturais  x e  ξ parra as integrações
dos eelementos nos
n contorno
os (x) e (ξ) , respecctivamente.
Após a discretizaçãão do contoorno em elementos e a introduçãão do camp
po de
desloocamentos e forças dee superfíciee aproximad
das, a equaação (4.48) , para forças de
masssa nulas, aprresenta o seeguinte aspeecto:
3
NE
  

n 1 n (
p 1
ξ)
( p)
(ξ )u j
(np)
(t ) * dCij (ξ , t )k (ξ ) J c (ξ ) dξ 
n
3


(mp)
*
( p)
(
p
t
du
(
ξ
,
x
,
t
)


)
(
)
*

k (ξ ) J c ( x ) m J c (ξ ) n d x dξ 
j
x
ij
  ( ) 
p

1
n 1 m 1 n (ξ ) 

m x
3
NE NE


(mp)
*
( p)


(

)
u
(
t
)
*
dp
(
ξ
,
x
,
t
)

k (ξ ) J c ( x ) m J c (ξ ) nn d x dξ

j
x
ij
  ( ) 
p

1
n 1 m 1 n (ξ ) 

m x
NE NE


(4.49)
(
60 De maneira mais compacta, o sistema de equações final desta formulação do
Método de Elementos de Contorno para problemas viscoelásticos pode ser escrito da
seguinte forma:
H(t ) * du(t )  G(t ) * dp(t )
(4.50)
Os vetores u(t) e p(t) representam os deslocamentos e forças de superfície nos
nós funcionais da malha de elementos de contorno ao longo do tempo, ou seja,
representam o histórico de grandezas calculadas numericamente. As matrizes H(t) e
G(t) englobam as integrais espaciais de (4.49) com as funções temporais das soluções
fundamentais viscoelásticas, que realizam convolução de Stieltjes com o histórico de
deslocamentos e forças de superfície.
4.5 – Cálculo das Integrais Espaciais
No item 4.2, as soluções fundamentais viscoelásticas foram apresentadas como
um produto de funções espaciais e temporais desacopladas, o que viabiliza a separação
das integrais espaciais e de Stieltjes da formulação (4.48). Ao contrário do que ocorre
no Método da Colocação, o Método de Galerkin exige a avaliação de integrais duplas ao
longo do contorno, o que gera uma série de singularidades.
As integrais espaciais a serem avaliadas na equação (4.49) são listadas a seguir:
1 1
 1 
   4r  
He1ijmnpq 
1 1
ij
r

 r,i n j  r, j ni   ( p )  x  ( q )   J c (x ) m J c (ξ ) dx dξ
n
n

(4.51)
1 1
 r r r 
    2r n     J ( )
J c (ξ ) dx dξ
(4.52)
 ln(r ) ij  ( p )
  x  ( q )   J c (x ) m J c (ξ ) dx dξ
n
8


1 1
(4.53)
He2ijmnpq 
,i , j
( p)
(q)
x
c
1 1
x
m
n
1 1
Ge1ijmnpq 
   
1 1
Ge2ijmnpq 
 r,i r, j  ( p )
(q)
11 8   x   J c (x ) m J c (ξ ) n dxdξ
61 (4.54)
As matrizes He1 e He2 apresentam as integrais espaciais de H(t), Ge1 e Ge2
englobam as integrais espaciais de G(t). Os índices que aparecem em (4.51) a (4.54)
variam da seguinte forma:
1  i, j  2
1  m, n  NE
(4.55)
1  p, q  3
Todas as integrais apresentadas possuem um produto de funções de interpolação
quadráticas de acordo com as equações (4.40). Por questões de conveniência na
execução das integrações, estas funções serão escritas de maneira generalizada:
 ( i )      1i   2i 3i
(4.56)
Ao percorrer os contornos (x) e (ξ) para a execução das integrais, o ponto
campo x estará situado no elemento m e o ponto fonte ξ estará no elemento n .
Dependendo de quais forem estes elementos, a distância r entre o ponto campo e o fonte
pode se anular, caracterizando a singularidade do integrando. Deste modo, serão
definidos 3 casos de integração:

Caso 1: Elementos Não-Adjacentes – como estes elementos não
possuem pontos em comum, não existe singularidade, viabilizando a
integração dupla numérica;

Caso 2: Elementos Adjacentes – neste caso, existe um ponto em comum
entre os elementos, o que exige um tratamento especial para a
consideração de singularidade na integral dupla;

Caso 3: Elementos Coincidentes – neste caso, a singularidade se
caracteriza por uma reta no domínio retangular [-1,1]x[-1,1] de
integração em coordenadas naturais, o que exige uma integração
analítica.
A seguir serão estudados os casos de integração espacial com seus respectivos
tipos de singularidade.
62 4.5.11 – Integrrais Espacciais - Caaso 1: Elem
mentos Não-Adjaccentes
Figura 4.5 – Caso 1 dee integração
o – Elementos Não-Adjjacentes
Neste caaso, os eleementos nãão possuem
m ponto em
m comum, o que excclui a
possiibilidade dee singularid
dades. O dom
mínio de in
ntegração em
m coordenaadas naturais está
apressentado na figura
f
4.6.
63 Figura 4.6
4 - Domínio de integrração dupla em coorden
nadas naturaais para o caso 1
Com a ausência
a
dee singulariddades, as in
ntegrais em (4.51) a (44.54) podem
m ser
realizzadas numeericamente. Neste trabbalho, foi utilizada
u
a Quadraturaa Gaussiana nas
duas direções. Deve-se reessaltar, no entanto, que
q a ausên
ncia de sinngularidadess não
ue singulariidades com
mplexas e quaseq
elimiina a necesssidade de cuidados, uuma vez qu
singuularidades podem
p
ser causa de inneficiência de metodollogias numééricas via MEC.
M
Para um par dee elementos suficienteemente próximos, a vizinhança
v
dda singularridade
m maior refiinamento nno método de
d integração numéricca utilizado
o para
podee exigir um
mantter a precisãão dos resulltados. Nestta pesquisa é utilizado o mesmo nú
número de pontos
p
de G
Gauss para toodas as integrações num
méricas. En
ntretanto, co
omo forma dde otimização do
proceesso, seria interessantee elaborar um critério
o para defin
nir o númer
ero de pontos de
Gausss utilizadoos em funçãão da proxximidade en
ntre o pontto fonte e o ponto caampo,
confo
forme apresentado na rotina
r
em F
FORTRAN para elasticcidade lineaar em elem
mentos
de coontorno via Método da Colocação em BREBB
BIA et al. [8
8].
4.5.22 – Integrrais Espacciais - Caaso 2: Elem
mentos Adjacentess
Neste caaso, os eleementos po ssuem um ponto em comum, o que gera uma
singuularidade poontual na in
ntegração duupla.
64 Figura 4.7 – Caso 2 de integraçção – Elemeentos Adjaccentes
Figura 4.8
4 - Domínio de integrração dupla em coorden
nadas naturaais para o caso 2
Neste caaso, a integração num
mérica não é possívell em virtudde do pontto de
singuularidade onnde r  0 . Para avaliiar de maneeira satisfattória as inteegrais destee tipo,
foi aadotada umaa estratégiaa semelhantee ao proced
dimento utilizado paraa a avaliaçãão das
integgrais no doomínio (céllulas). Estaa estratégia consiste em
e transforrmar o dom
mínio
retanngular da figura 4.8 para o siistema de coordenadaas polares.. Para torn
nar a
transsformação mais
m conven
niente, é feitta primeiram
mente uma translação:
t
N x   x 1
(4
4.57)
N  1  
A transfoormação em
m coordenaddas polares é então reallizada:
65 N x  R ccos
(4.58)
(
N  Rssen
Figura 4.9
4 – Caso 2 de Integraação – Coordenadas Poolares
A figura 4.9 sugere a divisão daas integraçõ
ões em dois intervalos:
2 2
1 1
I
  F  , d d   F N , N dN dN
x
ξ
x
1 1

ξ
x
ξ
x
ξ

0 0
1 R1  2 / cos 
 2 R 2  2 / sen
  R  F R, dRd   R  F R, dRd
0
0
1
(4
4.59)
0
A distância r é calcu
ulada pela eexpressão
2
2
 1
L
 L
r   x N x     N   Lx N x L N cos
c 
 2
  2
 2
(4.60)
(
que, em coordennadas polarees, fica com
m o seguintee aspecto:
2
2
 1
L
 L
r   x R cos     Rsen   Lx L R 2 cos seen cos  Rr
 2
  2
 2
(4
4.61)
Observa--se ainda que,
q
em cooordenadas polares, as
a expressõees r,i dependem
n
caso.
unicaamente de  , não ocorrrendo singuularidades neste
66 O proceddimento de avaliação ddas integraiss (4.51) a (4
4.54) consisste na integ
gração
analíítica em R e numéricca em  . Consideran
ndo que o integrando possui fun
nções
n
n R (n natuural), as inttegrais em R são
polinnomiais em R além dee funções doo tipo R ln
calcuuladas sem maiores
m
difficuldades. A integral resultante
r
em
m  não appresenta quaalquer
tipo de singularridade, o qu
ue viabiliza a integraçãão numéricaa por Quadrratura Gausssiana
4.59).
para cada um doos intervaloss de  definnidos em (4
4.5.33 – Integrrais Espacciais - Caaso 3: Elem
mentos Coincidenttes
ξ) são realizzadas no mesmo
Neste caaso, as integ
grações nos contornos (x) e (ξ
m
elem
mento, o quee gera singu
ularidade reppresentada por
p uma retta no domínnio de integ
gração
em ccoordenadass naturais.
Figura 4.10 – Caso 3 de Integraçção – Elemeentos Coinciidentes
67 Fiigura 4.11 – Domínio de
d integraçãão dupla em
m coordenad
das naturais para o caso
o3
As caraccterísticas de
d singulariidade apreseentadas exigem a integ
egração analítica.
As iintegrais dee (4.51) a (4.54) sãoo imprópriaas convergiindo no seentido do Valor
V
Princcipal de Cauuchy.
Neste caaso de integrração, é neccessário ain
nda computaar a integrall unidimenssional
no contorno preesente no primeiro
p
m
membro da equação
e
(4.49), que eenvolve o tensor
t
Cij (ξ ,t ) . Sabe-sse que, paraa contornos suaves, Cij (ξ , t )   ijh(t ) / 2 , o quue se verificca nos
pontoos ao longgo do elem
mento, excceto pelos pontos em
m comum entre elem
mentos
desallinhados. Paara estes po
ontos especííficos, o ten
nsor Cij (ξ , t) assume vaalores difereentes.
Destee modo, paara realizar a integraçãão unidimen
nsional ao longo
l
do ellemento, po
ode-se
consiiderar Cij (ξ , t )   ij h(t ) / 2 constannte no integ
grando. Vale destacar qque esta inttegral
gera contribuiçãão fora da diagonal prinncipal da matriz
m
H(t) da
d equação ((4.50), o qu
ue não
ocorrre no Métoddo da Coloccação.
No apêndice A, estãão apresentaados os resu
ultados de integração dde todos os casos
de m
maneira maiss detalhada.
4.6 – Avaliaçção das Co
onvoluçõees Tempo
orais
Em conssenso com o que já foii explicitado
o, as integraações espacciais no con
ntorno
podeem ser reallizadas sep
paradamentee das integ
grais tempo
orais de Sttieltjes deviido à
68 natureza das soluções fundamentais viscoelásticas. Nesta pesquisa serão apresentadas
duas metodologias numéricas para a avaliação destas integrais temporais. Um estudo
mais detalhado de diversas técnicas de avaliação das convoluções da viscoelasticidade
pode ser encontrado em CEZARIO [3].
O cálculo das integrações temporais por convolução constitui o ponto mais
importante deste trabalho. É neste momento que os conceitos viscoelásticos de integrais
hereditárias, que consideram os efeitos de todo o histórico de deformações e tensões,
são aplicados, caracterizando a diferença principal entre a formulação elástica e
viscoelástica via MEC.
Ao longo deste item, serão estudados dois métodos de avaliação das
convoluções de Stieltjes. Em ambos os métodos, todo o histórico de deslocamentos e
carregamentos precisa ser considerado (e, consequentemente, armazenado na memória
do computador) para a obtenção de resultados satisfatórios.
4.6.1 - Método da Interpolação Linear no Tempo
Este método consiste na discretização do campo de deslocamentos u e das forças
de superfície p ao longo do tempo em n intervalos iguais t tal que t  t / n , sendo t o
tempo final. O cálculo das grandezas de estudo ao longo de um intervalo i  1t , it 
com 1  i  n é feito por meio da interpolação linear
u(x, t )   (1) (t )ui 1Δt (x)   ( 2) (t )ui Δt (x)
, t  i  1t , it , 1  i  n

p(x, t )   (1) (t )pi 1Δt (x)   ( 2) (t )p i Δt (x)
(4.62)
onde as funções de interpolação lineares  (i ) (t ) possuem o mesmo aspecto das funções
de forma lineares (4.38).
Para possibilitar a aplicação das expressões (4.62), as integrais de Stieltjes da
equação (4.35) são transformadas de acordo com a propriedade (3.61g):
t
p j (x, t ) * du (ξ, x, t )  p j (x, t )u (ξ, x,0)   p j (x,t   )
*
ij
*
ij
0
t
u j (x, t ) * dp (ξ, x, t )  u j (x, t ) p (ξ, x,0)   u j (x,t   )
*
ij
*
ij
0
69 duij* (ξ, x, )
d
dpij* (ξ, x, )
d
d
(4.63)
d
Desta forma, as convoluções de Stieltjes são transformadas em convoluções de
Riemann, de acordo com a formulação de integrais hereditárias (item 3.4). Substituindo
a solução aproximada na forma (4.62) e transformando a variável de integração da
convolução para as coordenadas naturais t , obtém-se a expressão final do método:
p j (x, t ) * duij* (ξ, x, t )  p j
nt
( x)uij* (ξ, x,0 ) 

(  1)  

duij*  ξ, x, t  k  t

2 

( n  k 1) t
(1)

dt 
  pj
( x)  (t )
d

k 1
t
1
1
n

(  1)  

duij*  ξ, x, t  k  t

2 

( n  k ) t
( 2)

dt
  pj
( x)  (t )
dt
k 1
1
n
u j (x, t ) * dpij* (ξ, x, t )  u j
nt
1
( x) pij* (ξ, x,0 ) 

(  1)  

dpij*  ξ, x, t  k  t

2 

( n  k 1) t
(1)

dt 
 u j
( x)  (t )
d

k 1
t
1
1
n

(  1)  

dpij*  ξ, x, t  k  t

2 

( n  k ) t
( 2)

dt
 u j
( x)  (t )
dt
k 1
1
n
1
(4.64)
As integrações das equações anteriores podem ser realizadas numericamente por
Quadratura Gaussiana ou até mesmo analiticamente para modelos reológicos mais
simples (como o modelo de Boltzmann para a parcela desviadora, por exemplo). Para
cada passo no tempo, tem-se os vetores unΔt e pnΔt do tempo atual como incógnitas, e
os vetores uiΔt e p iΔt para 0  i  n  1 representam todo o histórico de forças de
superfície e deslocamentos anteriores ao tempo atual para os nós funcionais do
contorno.
4.6.2 – Método Incremental
O Método incremental toma como ponto de partida a mesma formulação de
integrais hereditárias utilizadas no método anterior (equações (4.63)). Neste caso, as
convoluções de Riemann são computadas numericamente através da superposição de
incrementos das variáveis u e p a intervalos de tempos constantes t (CEZARIO [3]).
70 Utilizando a propriedade comutativa das convoluções de Stieltjes e de Riemann,
a expressão geral do Método Incremental pode então ser escrita:
n
uij* (ξ, x, t ) * dp j (x, t )  uij* (ξ, x, t ) p j (x)   uij* ξ, x, t n  k p j (x)
0
kt
k 1
n
p (ξ, x, t ) * du j (x, t )  p (ξ, x, t )u j (x)   p ξ, x, t n  k u j (x)
*
ij
*
ij
0
k 1
*
ij
(4.65)
kt
Esta metodologia difere da apresentada no item 4.6.1 devido ao fato de
aproximar as grandezas desconhecidas por funções constantes em cada intervalo de
tempo. A formulação do item anterior interpola estas grandezas através de funções
lineares, o que gera esperança de resultados melhores para um mesmo passo no tempo.
No Método Incremental, porém, o esforço computacional pode ser menor para modelos
reológicos mais complexos (se comparado ao método do item anterior), já que
integrações numéricas ou analíticas não são necessárias.
4.6.3 – Metodologia Numérica para Marcha no Tempo
Considerando as metodologias apresentadas anteriormente, a expressão (4.50)
para a solução aproximada nos nós funcionais pode ser reescrita como:
n
n
k 1
k 1
H0unΔt   Hk unk Δt  G 0pnΔt   G k pnk Δt
(4.66)
Logo, as forças de superfície e deslocamentos no tempo atual unΔt e pnΔt são
calculados em função do histórico das referidas grandezas em passos de tempo
anteriores. A cada novo passo no tempo, repete-se a integração numérica temporal ao
longo de todo o histórico para a obtenção da solução para o passo no tempo posterior.
O cálculo das convoluções temporais não faz sentido para o tempo inicial (t=0),
ponto de partida da marcha no tempo. As forças de superfície e deslocamentos iniciais
são calculados através da solução do problema elástico utilizando os parâmetros
elásticos iniciais dos modelos viscoelásticos, seguindo o mesmo princípio desenvolvido
nas apresentações dos modelos de Kelvin e Boltzmann (itens 3.1 e 3.2). A partir de
t  t , as convoluções temporais são então calculadas utilizando todo o histórico de
carregamentos de tempos anteriores.
71 Os históricos u e p apresentam valores prescritos ao longo do tempo para os nós
funcionais regidos pelas condições de contorno essenciais (histórico de deslocamentos u
prescrito) e naturais (histórico de carregamentos p prescrito), de acordo com as
equações (2.5) e (2.6), respectivamente. Após a aplicação destas condições de contorno
na expressão aproximada (4.66), chega-se ao sistema de equações final para a
formulação estudada:
n 1
AxnΔt   bkΔt
(4.67)
k 0
As componentes do vetor xnΔt são as forças de superfície e os deslocamentos
desconhecidos nos nós funcionais no contorno enquanto que os vetores bkΔt são
formados a partir do histórico das grandezas de estudo, tanto por condições de contorno
quanto por valores calculados em tempos anteriores.
Assim como ocorre no Método da Colocação, o Método de Galerkin para
problemas viscoelásticos pelo Método de Elementos de Contorno não gera matriz A dos
coeficientes simétrica. Porém, estudos realizados por PAULA [17] e PÉREZ e
GAVILÁN [13] comprovam a melhor eficiência do Método de Galerkin no
acoplamento de malhas de elementos finitos e de contorno, tirando proveito das
vantagens de cada método na solução de diversos problemas.
4.7 – Deslocamentos e Tensões em Pontos Internos
Para pontos internos ao domínio  , a formulação integral no contorno não
apresenta singularidades nas soluções fundamentais, o que possibilita a utilização da
equação (4.10) para forças de massa nulas:
ui (ξ , t )   p j ( x, t ) * duij* (ξ, x, t )d(x)   u j (x, t ) * dpij* (ξ, x, t )d(x)

(4.68)

Para cada ponto interno ξ definido na malha de elementos de contorno, os
deslocamentos podem ser obtidos para um tempo t utilizando todo o histórico de
deslocamentos e forças de superfície calculado via MEC ou prescrito pelas condições de
contorno. As integrais espaciais unidimensionais são calculadas numericamente por
meio de Quadratura Gaussiana, já que a ausência de singularidades dispensa maiores
72 cuidados. Apesar disto, precauções adicionais poderiam ser tomadas para pontos fonte
próximos ao contorno. As convoluções de Stieltjes são calculadas usando as mesmas
metodologias descritas no item 4.6.
Utilizando coordenadas naturais nas integrais espaciais no contorno e aplicando
as soluções aproximadas no contorno obtidas anteriormente, obtém-se a expressão geral
para o cálculo de deslocamentos em pontos internos, restando apenas detalhar o
tratamento das convoluções temporais:
3


(mp)
ui (ξ , t )       ( p ) ( x ) p j (t ) * duij* (ξ, x, t ) J c ( x ) m d x 
m 1 
m ( x ) p 1

NE
3


(mp)
      ( p ) ( x )u j (t ) * dpij* (ξ, x, t ) J c ( x ) m d x
m 1 
m ( x ) p 1

(4.69)
NE
O método para calcular as tensões em pontos internos depende da solução
viscoelástica empregada. Para a solução segundo Syngellakis [10], é tomado como
ponto de partida o cálculo das tensões em pontos internos para problemas elásticos.
Seguindo a metodologia descrita em BREBBIA et al. [8] e TELLES [9], combinando as
equações geométricas (2.4), as relações constitutivas elásticas (2.8) e a formulação em
integrais no contorno para o campo de deslocamentos no regime elástico em pontos
internos (sem forças de massa), obtém-se o seguinte resultado:
Tij (ξ , t )   pk (x, t ) ijk* (ξ, x)d(x)   uk (x, t ) ijk* (ξ, x)d(x)

(4.70)

As funções  ijk* (ξ, x) e  ijk* (ξ, x) para problemas bidimensionais são descritas
como:
 r,i jk  r, j ik  r, k ij 
r r r
  C2ui  ,i , j , k
4r


 2r
 ijk* (ξ, x)  C1ui 
73 


(4.71)
 r

 2r,k  ij  r,i jk  r, j ik   2r,i r, j nk  r,i r,k n j  r, j r,k ni  ni jk  n j ik  2nk  ij 
*

 ijk (ξ, x)  C1 pi  n
4r 2






 r

 r,i jk  r, j ik  8r,i r, j r,k   r,i r,k n j  r, j r,k ni  nk  ij 

 C2 pi  n
4r 2






(4.72)
Os coeficientes elásticos das equações (4.71) e (4.72) são definidos de acordo
com a tabela a seguir.
Tabela 4.3 – Coeficientes elásticos para as soluções fundamentais para o cálculo de
tensões internas
Coeficientes Elásticos
C1ui
C2ui
C1 pi
C2 pi
EPD
EPT
6G
3K  4G
6G
2
3K  4G
12G 2
3K  4G
12G 2
4G 
3K  4G
1
3G

2 2(3K  G )
3
3G

2 2(3K  G )
3G 2
3K  G
3G 2
3G 
3K  G
G
Para calcular o tensor de tensões para problemas viscoelásticos, é utilizado o
Princípio da Correspondência, transformando as expressões (4.70) a (4.72) nas
seguintes:
*
*
Tij (ξ , t )   pk ( x, t ) * d ijk
(ξ, x, t )d(x)   uk (x, t ) * d ijk
(ξ, x, t )d(x)

 r,i jk  r, j ik  r, k ij 
r r r 
  fui2 (t ) ,i , j , k 
4r


 2r 
 ijk* (ξ, x, t )  fui1 (t )
74 (4.73)

(4.74)
 r

 2r,k  ij  r,i jk  r, j ik   2r,i r, j nk  r,i r,k n j  r, j r,k ni  ni jk  n j ik  2nk  ij 
*

 ijk (ξ, x, t )  c1m fpim (t ) n
4r 2






 r

 r,i jk  r, j ik  8r,i r, j r,k   r,i r,k n j  r, j r,k ni  nk  ij 

 c2 m fpim (t ) n
4r 2






(4.75)
As funções temporais apresentadas em (4.74) e (4.75), escritas neste trabalho
para o modelo viscoelástico com parte desviadora regida pelo modelo de Boltzmann e
parcela esférica elástica, são apresentadas nas equações e tabela a seguir:


(4.76)


(4.77)
fuii (t )  ht  bi1  bi 2 ebi 3t
fpii (t )  ht  ai1  ai 2 e ai 3t
75 Tabela 4.4 – Coeficientes das soluções fundamentais para o cálculo das tensões em
pontos internos para o modelo de Boltzmann regendo a parcela desviadora
Coeficientes Viscoelásticos EPD
a11
a12
a13
a21
a22
a23
b11
b12
b13
b21
b22
b23
c11
c12
c21
c22
EPT
q0
2
q1  p1q0
2 p1
1

p1
9 Kq0
23K  2q0 
q0
2
q1  p1q0
2 p1
1

p1
9 Kq0
( 6 K  q0 )
27 K 2 (q1  p1q0 )
2(3K  2q0 )(3Kp1  2q1 )
(3K  2q0 )

(3Kp1  2q1 )
3q0
3K  2q0
9 K (q1  p1q0 )
(3K  2q0 )(3Kp1  2q1 )
(3K  2q0 )

(3Kp1  2q1 )
6 K  q0
3K  2q0
9 K ( p1q0  q1 )
(3K  2q0 )(3Kp1  2q1 )
(3K  2q0 )

(3Kp1  2q1 )
54 K 2 (q1  p1q0 )
(6 K  q0 )(6 Kp1  q1 )
(6 K  q0 )

(6 Kp1  q1 )
3K  2q0
6 K  q0
9 K (q1  p1q0 )
(6 K  q0 )(6 Kp1  q1 )
(6 K  q0 )

(6 Kp1  q1 )
9K
6 K  q0
9 K ( p1q0  q1 )
(6 K  q0 )(6 Kp1  q1 )
(6 K  q0 )

(6 Kp1  q1 )
3
1
1
1
4
1
0
1
Para o problema de estado plano de deformações, faz-se necessário ainda o
cálculo da tensão na direção perpendicular ao plano de estudo. A partir da consideração
de deformação E33 nula na equação constitutiva elástica (2.8), obtém-se a expressão
elástica para a tensão T33:
76 T33 (ξ, t )   T11 (ξ, t )  T22 (ξ, t ) 
(4.78)
As tensões T11 e T22 no regime elástico podem ser obtidas através da formulação
integral (4.70). A tensão T33 elástica é então obtida:
T33 (ξ , t )   pk (x, t ) 33* k (ξ, x)d(x)   uk (x, t ) 33* k (ξ, x)d(x)

(4.79)

As soluções fundamentais da expressão anterior são escritas como:
 33* k (ξ, x)   11* k (ξ, x)   22* k (ξ, x)  1  C1ui 
 33* k (ξ, x)    11* k (ξ, x)   22* k (ξ, x) 
1
r, k
2r
(4.80)
2G  C    4r
1 pi
4r
2


,k
r

 2nk 
n

(4.81)
onde os coeficientes C1ui e C1pi são calculados pela tabela 4.3. O Princípio da
Correspondência é novamente aplicado para o cálculo da tensão T33 viscoelástica.
*
*
T33 (ξ , t )   pk (x, t ) * d 33
k (ξ , x, t )d ( x)   uk ( x, t ) * d 33 k (ξ , x, t )d ( x)

(4.82)

*
*
As funções  33
k (ξ, x, t ) e  33k (ξ, x, t ) são obtidas com as constantes elásticas G,
C1ui e C1pi transformadas de acordo com as equações (4.74) a (4.77) e a tabela 4.4. A
função temporal referente à constante G pode ser obtida através da equação (4.22):
2G (t )  q0 
q1  p1q0  e  pt
(4.83)
1
p1
Para o cálculo das tensões em pontos internos através da solução fundamental de
Sternberg e Al-Khozaie [7], são utilizadas as equações geométricas (2.4) e constitutivas
viscoelásticas para converter o campo de deslocamentos no tensor de tensões. Para as
equações constitutivas viscoelásticas, será utilizada a formulação em integrais de
Stieltjes com função de relaxação (equação (3.68)), reescrita para as parcelas esférica e
desviadora para problemas de estado plano de deformações. O resultado destas
operações, para o estado plano de deformações, é a expressão
2G 

Tij (ξ, t )   ij  K 
(t ) * duk,k (ξ, t )  G(t ) * d ui,j (ξ, t )  u j,i (ξ, t ) 
3 

77 (4.84)
onde K(t) e G(t) são as funções de relaxação para as parcelas esférica e desviadora,
respectivamente. Vale destacar que as derivadas apresentadas em (4.84) são relativas às
coordenadas dos pontos fonte ξ , o que não exige nenhum tratamento especial na
derivação das integrais no contorno da formulação integral (que são relativas às
coordenadas dos pontos campo x). Substituindo a equação (4.68) do campo de
deslocamentos em pontos fonte internos, tem-se o resultado
*
*
Tij (ξ , t )   pk (x, t ) * d ijk
(ξ, x, t )d(x)   uk (x, t ) * d ijk
(ξ, x, t )d(x)

(4.85)

*
*
onde as funções  ijk
(ξ, x, t ) e  ijk
(ξ, x, t ) (derivadas das soluções fundamentais)
apresentadas possuem o seguinte aspecto:


2G 

*
*
*
(t ) * dulk ,l (ξ, x, t )  G (t ) * d uik , j (ξ, x, t )  u jk ,i (ξ, x, t )
3 

2G 

*
*
*
 ijk* (ξ, x, t )   ij  K 
(t ) * dplk ,l (ξ, x, t )  G (t ) * d pik , j (ξ, x, t )  p jk ,i (ξ, x, t )
3


 ijk* (ξ, x, t )   ij  K 


(4.86)
Mais uma vez, as soluções fundamentais podem ser escritas como um produto de
funções temporais e espaciais, o que produz as vantagens já discutidas anteriormente. O
resultado do desenvolvimento de (4.86) é apresentado a seguir:
 r, i jk  r, j ik  r, k ij
4r

 ijk* (ξ, x, t )  f1 (t )

 2r r r
  f 2 (t ) ,i , j , k

 4r



(4.87)
 r
 2r, k  ij  r,i jk  r, j ik   2r,i r, j nk  r,i r, k n j  r, j r, k ni  ni jk  n j ik  2nk  ij
*
 ijk
(ξ, x, t )  f 1 (t ) n
4r 2



 r

 r,i jk  r, j ik  8r,i r, j r, k   r,i r, k n j  r, j r, k ni  nk  ij 

 f 2 (t ) n
4r 2






(4.88)
As funções temporais presentes nas soluções anteriores são definidas como:
78 





- Para o estado plano de deformações, o resultado é imediato:
f1 (t )  3Q2 (t )
(4.89a)
f 2 (t )  2h(t )  3Q2 (t )
f 1 (t )  3Q3 (t )
(4.89b)
f 2 (t )  4G (t )  3Q3 (t )
- Para o estado plano de tensões, são feitas as mesmas adaptações descritas no
item 4.2.2:
h(t ) 3
 P2 (t )
2
2
3
3
f 2 (t )  h(t )  P2 (t )
2
2
(4.90a)
3
P3 (t )
2
3
f 2 (t )  3G (t )  P3 (t )
2
(4.90b)
f 1 (t ) 
f  1 (t )  G (t ) 
Nas equações anteriores, tem-se:
Q3 (t )  2G (t ) * dQ2 (t )
(4.91a)
P3 (t )  2G (t ) * dP2 (t )
(4.91b)
As funções temporais Q2(t) e P2(t) são as mesmas utilizadas na solução
fundamental de Sternberg e Al-Khozaie (item 4.2.2 – equações (4.30) e (4.33)). Para o
estado plano de deformações, resta calcular a tensão T33. A equação (4.84), que
relaciona o tensor de tensões com o campo de deslocamentos no regime viscoelástico, é
reescrita considerando o deslocamento nulo na direção perpendicular ao plano de
estudo.
2G 

T33 (ξ, t )   K 
(t ) * duk,k (ξ, t )
3 

(4.92)
A expressão final para o cálculo do histórico de T33 é idêntica à formulação
(4.82). As soluções fundamentais, obtidas a partir de (4.92), são apresentadas a seguir:
79 

2G 
1
*
r, k
(t ) * dulk ,l (ξ, x, t )  h(t )  3Q2 (t ) 
3 
2r


2G (t )  3Q3 (t )   4r r  2n  (4.94)
2G 
*
(t ) * dplk ,l (ξ, x, t ) 

,k
k
3 
4r 2
n


 33* k (ξ, x)   K 
 33* k (ξ, x)   K 
(4.93)
Assim como ocorre no cálculo do campo de deslocamentos, os métodos
apresentados resultam em expressões equivalentes.
4.8 – Estado de Tensões no Contorno
O tensor de tensões em pontos no contorno não pode ser calculado utilizando a
metodologia aplicada para pontos internos (item 4.7) devido às singularidades nas
integrais no contorno. Ao invés de aplicar tratamentos diferenciados para avaliar as
integrais, pode-se utilizar, neste caso, um procedimento mais simples, baseado na
metodologia empregada em BREBBIA et al. [8] e TELLES [9] para problemas
elásticos.
Considerando o sistema de coordenadas local de um elemento de contorno, as
tensões de superfície p’ com relação ao sistema local podem ser calculadas em função
das forças de superfícies p com relação ao sistema de coordenadas global através do
tensor de rotação R.
p' (x, t )  Rp(x, t )
(4.95)
 cos
R  
 sen
(4.96)
sen 

 cos 
80 Figura 4.12 – Coorddenadas locaais do elemento de conntorno
m vista a eq
quação de C
Cauchy (2.3), as compo
onentes T’122 e T’22 do tensor
t
Tendo em
de teensões (nas coordenaadas locais do elemento de con
ntorno) sãoo imediatam
mente
calcuuladas:
T '12 (x, t )  p'1 (x, t )
(4
4.97)
T '22 (x, t )  p'2 (x, t )
(4.98)
(
Para o cálculo
c
da componentee T’11 com
m a metodollogia de Syyngellakis, basta
tomaar como poonto de paartida as eqquações co
onstitutivas elásticas ((2.8), obten
ndo o
seguiinte resultaddo:
 C  C1ui 
T '11 (x, t )   2ui
 p'2 (x, t )  C2 pi E '11 (x, t )
2


(4
4.99)
As consstantes elástticas apreseentadas na equação anterior
a
sãoo as mesmaas da
tabella 4.3. A deeformação E’
E 11 pode sser calculad
da por meio da derivaçção do camp
po de
desloocamentos aproximad
do ao lonngo do elemento dee contornoo. Aplicand
do a
transsformação de
d coorden
nadas descri
rita em (4.9
95) para o campo dee deslocameentos,
obtenndo o camppo u’ em coordenadass locais do elemento, tem-se
t
o seeguinte resu
ultado
para um determiinado elemeento m:
81 (m)
11
E'
2 3  (i )
(m)
(mi)
~
(x, t )  u '1,1 (x, t ) 
( )u'1 (t )

Lm i 1 
(4.100)
Aplicando o Princípio da Correspondência, a tensão T’11 é então calculada:
T '11 (x, t )  p'2 (x, t ) * d  fuc (t )  E '11 (x, t ) * d  fp1c (t )
(4.101)
As funções temporais fuc (t ) e fp1c (t ) podem ser calculadas utilizando as
funções definidas pelas equações (4.74) a (4.77) e pela tabela 4.4, substituindo as
constantes elásticas de acordo com o procedimento segundo Syngellakis para o cálculo
das tensões internas (descrito no item 4.7).
Para obter o tensor de tensões nas coordenadas globais, realiza-se a
transformação inversa através da expressão matricial
T(x, t )  R TT' (x, t )R
(4.102)
Para o estado plano de deformações, o cálculo da tensão T33 toma como ponto de
partida a formulação elástica:
 C2 pi  C1 pi 
 C  C1ui 
 E '11 (x, t ) (4.103)
T33 (x, t )   T '11 (x, t )  T '22 (x, t )    2ui
 p '2 (x, t )  
2
2




É importante notar que, como a rotação de eixos foi realizada no plano de
estudo, T33=T’33. As constantes elásticas apresentadas são as mesmas da tabela 4.3.
Utilizando o Princípio da Correspondência, obtém-se a expressão:
T33 (x, t )  p'2 (x, t ) * d  fuc (t )  E '11 (x, t ) * d  fp2c (t )
A obtenção das funções
fuc (t ) e
fp2c (t )
(4.104)
temporais segue o mesmo
procedimento descrito para equação (4.101).
Para a solução de Sternberg e Al-Khozaie, basta fazer alterações nos cálculos de
T’11 e T33 através das equações constitutivas viscoelásticas (3.68).
T '11 (x, t )  p'2 (x, t ) * d h  3Q2 (t )  E '11 (x, t ) * d 4G  3Q3 (t )
(4.105)
T33 (x, t )  p'2 (x, t ) * d h  3Q2 (t )  E '11 (x, t ) * d 2G  3Q3 (t )
(4.106)
82 4.9 – Domínios Infinitos
Uma das principais vantagens de se utilizar o Método dos Elementos de
Contorno é a praticidade de modelar alguns problemas específicos, tais como os que
possuem domínio infinito, que são de grande importância para a Física e Engenharia.
Um exemplo de problema considerado infinito é o estudo de concentração de tensões
em uma cavidade localizada em um corpo com dimensões muito maiores que as
dimensões da cavidade, assim como acontece em projetos de túneis. No MEC, seria
necessário modelar apenas o contorno da cavidade, estando todo o efeito do domínio
infinito contemplado pela formulação.
Igual expediente não pode ser adotado para modelagens utilizando o Método dos
Elementos Finitos. Neste caso, seria necessário modelar uma grande quantidade do
domínio em torno da cavidade, como uma maior discretização nas regiões próximas à
mesma para a correta produção das concentrações de tensões. A definição do tamanho
do domínio que deve ser modelado para garantir o efeito de domínio infinito é uma
tarefa dispendiosa exigindo, em alguns casos, a confecção de diversas malhas
aumentando gradativamente o tamanho do domínio em torno da cavidade até se obter
uma estabilização nos resultados, concluindo que novos aumentos de domínio não mais
influenciariam a resposta.
Para a modelagem do domínio infinito  via MEC, define-se  como contorno
das cavidades e  é um contorno esférico (para problemas tridimensionais) ou
cilíndrico (para problemas bidimensionais) com centro no ponto fonte ξ e com raio  .
O domínio infinito é modelado fazendo    .
83 Figura 4.13 – Problemas de domíniio infinito
Com os contornos definidos, a formulaçãão integral pode entãoo ser escritaa para
forçaas de massa nulas:
u j (ξ , t ) * dCij (ξ , t )   p j (x, t ) * duij* (ξ, x , t )d(x)   p j (x, t ) * du
d ij* (ξ, x, t )d (x) 


  u j (x, t ) * dpij* (ξ, x, t )d(x)   u j (x, t ) * dp
pij* (ξ, x, t )d (x)

(4.107)

Afortunaadamente, as
a integrais no contorn
no  quan
ndo    não produ
uzirão
influuência sobree a formulaação (4.1077) desde que as soluçõ
ões u e p aatendam a certos
c
requiisitos cham
mados de Co
ondições dee Regularid
dade (BREE
EBIA et al. [8]). Em outras
o
palavvras, se as referidas soluções
s
ateendem às Condições
C
m-se a
de Regularridade, tem
seguiinte identiddade:
lim
 
 p
j

(x, t ) * duij* (ξ, x, t )  u j ( x, t ) * dpij* (ξ, x, t ) d(x)  0

84 (4.108)
De acordo com BREBBIA et al. [8], para que as Condições de Regularidade
sejam satisfeitas, as soluções u e p no infinito devem ter um comportamento no máximo
igual ao das soluções fundamentais. Desta forma, para problemas tridimensionais, será
necessário que u e p sejam no máximo O  1  e O  2  , respectivamente. Para
problemas bidimensionais, tem-se, no máximo,
uij (x, t )  Oln   1, i  j
ou
uij (x, t )  O1, i  j e pij (x, t )  O  1  .
As condições apresentadas anteriormente são validadas de maneiras diferentes
dependendo da dimensão do problema. Na equação (4.108), cada parcela da integral se
anula individualmente no infinito para problemas tridimensionais. Já para problemas
bidimensionais, as parcelas não se anulam individualmente, mas se cancelam no
infinito. A validade das Condições de Regularidade para problemas viscoelásticos se
verifica através da similaridade entre as expressões das soluções fundamentais elásticas
e viscoelásticas, como pode ser observado comparando as constantes elásticas da tabela
4.1 e as soluções segundo Sternberg e Al-Khozaie (equações (4.31) e (4.32)).
Como as integrais no contorno  desaparecem, a malha de elementos de
contorno se restringe às cavidades. Soluções em pontos internos e do contorno podem
ser calculadas executando as integrais apenas nos contornos das cavidades, ou seja, não
existem grandes diferenças na modelagem de problemas infinitos via MEC se
comparados aos problemas finitos. Apenas um detalhe deve ser levado em
consideração: o vetor normal aponta para a região interna do contorno da cavidade.
Deste modo, apenas o sentido de integração no contorno diferencia os problemas finito
e infinito no MEC para as hipóteses da formulação desta pesquisa.
A formulação final via MEC para problemas infinitos e forças de massa nulas
pode então ser apresentada como:
u j (ξ , t ) * dCij (ξ , t )   p j (x, t ) * duij* (ξ, x, t )d(x)   u j (x, t ) * dpij* (ξ, x, t )d(x)


85 (4.109)
MEC
Figura 4.14 – Modeelagem de problemas in
nfinitos via M
4.100 – Domín
nios Semip
planos
Assim como
c
ocorrre em probblemas infi
finitos, os problemas semiplanoss são
avaliiados de maneira
m
mais prática uutilizando o Método de
d Elementoos de Conttorno,
viabiilizando a resolução
r
de
d diversos problemas de engenh
haria tais coomo o efeiito de
carreegamentos em
e solos.
Neste tippo de probleema, o sisteema viscoelástico defin
nido pelas ggrandezas u*
*, p*,
b*, ssendo regiddo, portanto, pelas soluuções fundaamentais, po
ossui domínnio  * deffinido
comoo um semi-eespaço (ou semiplano)). Já o correespondente contorno  * é dividid
do em
uma semiesferaa (ou semiccilindro) coom raio tendendo ao infinito e um plano  que
mente,  *   * contém
m o domínio de
limitta o semi-eespaço (ou semiplano)). Logicam
estuddo    , que
q é um semi-espaço
s
o ou semipllano que po
ossui caviddades, e parrte do
contoorno de estuudo  está contido no plano limite  do sem
mi-espaço, oou seja, send
do '
o conntorno das cavidades,
c
tem-se
t
    ' .
86 Figura 4..15 – O prob
blema semiplano
A mudaança no do
omínio  * sugere uma
u
modifficação geraal nas solu
uções
fundaamentais jáá obtidas, um
ma vez que as hipótesees consideraadas perdem
m sua validaade. A
soluçção fundam
mental para o semi-esspaço foi proposta
p
por Mindlin de duas fo
ormas
diferrentes ([21,,22]). Na primeira,
p
M
MINDLIN [21] obtev
ve o resultaado a parttir da
superrposição dee diversos efeitos, deefinidos atraavés dos seus respecttivos vetorees de
Galerkin, aplicaados no esp
paço de manneira a obteer tensões nulas
n
ao lonngo de um plano
ncluem, incllusive, a apllicação de forças
f
que sseria o limitte do semi-eespaço. Estees efeitos in
concentradas noo espaço, su
ugerindo quee a solução elástica de Kelvin faz parte da so
olução
a Método das Imageens, amplam
mente
final. Este proccedimento é muito seemelhante ao
d propagaação de on
ndas. Posterriormente, MINDLIN [22]
utilizzado em problemas de
obtevve a soluçãão fundameental para o semi-espaaço a partir da soluçãoo da equaçãão de
Naviier elástica (2.18) levaando em c onsideração
o as condiçções de conntorno do semiespaçço.
Desta foorma, a solu
ução fundam
mental paraa problemas semi-espaaciais é forrmada
pela solução dee Kelvin paara o espaçoo acrescida de uma paarcela compplementar obtida
o
f
de su
uperfície nuulas ao long
go do
atravvés da superposição dee efeitos quue garante forças
planoo limite do semi-espaço
o de estudo . Portanto, pode-se
p
escrever:
87 uij* (ξ, x, t )  uijk (ξ, x, t )  uijc (ξ, x, t )
(4..110)
pij* (ξ, x, t )  pijk (ξ, x, t )  pijc (ξ, x, t )
ondee as funçõees com sob
brescrito k são ao soluções fun
ndamentaiss para o espaço
(soluuções de Keelvin – equaações (4.13 ) a (4.15)) e as com sobrescrito c são as parrcelas
compplementaress das soluçõ
ões para o prroblema sem
mi-espacial (ou semipllano).
Como Mindlin
M
obteeve os resulltados descritos anterio
ormente paara problem
mas no
d correspoondentes so
oluções paraa problemass bidimensiionais
semi-espaço, a obtenção das
miplano) seggue o mesmo procedim
mento adotad
do para obteer as soluçõões fundameentais
(sem
bidim
mensionais a partir das
d tridimeensionais, conforme
c
metodologia
m
a detalhadaa em
BRE
EBBIA et all. [8] e descrita resum
midamente no
n item 4.2.2 (solução fundamenttal de
Sternnberg e Al-K
Khozaie).
Deste modo, de aco
ordo com B
BREBBIA et
e al. [8] e TELLES
T
[9]] e considerrando
comoo referênciaa a figura 4.16, as paarcelas com
mplementarees dos desllocamentos para
probllemas bidim
mensionais (semiplanos
(
s) elásticos possuem o seguinte asppecto:
F
Figura
4.16 – Soluçõess fundamenttais para pro
oblemas sem
miplanos
1
u (ξ, x) 
8
c
11
2

 2cx 4cx R12 
 R1 

l R  C '2u    C '3u   2 
C '1u ln
R 4 

R
 R
88 (4.111a)
u12c (ξ, x) 
1
8
4cx R1r2
r1r2


 4C '4u  
C '2u 2  C '3u
4
R
R


(4.111b)
c
(ξ, x) 
u21
1
8
4cx R1r2
r1r2


 4C '4u  
C '2u 2  C '3u
4
R
R


(4.111c)
1
u (ξ, x) 
8
c
22
2

 2cx 4cx r22 
 r2 

C '1u ln R  C '2u    C '3u  2 
R 4 

R
R
(4.111d)
As constantes elásticas das soluções (4.111) são apresentadas na tabela a seguir.
Tabela 4.5 – Coeficientes elásticos para as parcelas complementares das soluções
fundamentais dos deslocamentos para problemas semiplanos
Coeficientes Elásticos
C '1u
C '2 u
C '3u
C '4 u
EPD
2
6
24
 

G 3K  4G 6 K  2G
2
6

G 3K  4G
2
6

G 3K  4G
6
6 K  2G
EPT

17
3
16


6G 6 K  2G 9 K
5
3

2G 6 K  2G
3
3

2G 6 K  2G
1
4

3G 9 K
Para as tensões, tem-se:
c
 111
(ξ, x)  

c
121
1
4



 2 x 2  2cx  c 2 16cx R12  
r2   1 4 x R1 
(ξ, x)  
 4   C2 p 

C1 p 

4   R 2
R 
R4
R6 

c
(ξ, x)  
 221
1    x  3c  4 x r22 
 4 
C1 p 
R 
4   R 2


 2 R r 2  2 R1c 2  2cr22 16cx R1r22  
 C2 p  1 2


R4
R6 

89 
  3 x  c  4 x r22 
 2 R1 R12  2cx 16cx R1r22  
C
C



 1p 
2p 

2
4 
4
R
R
R
R6 


 
(4.112a)
(4.112b)
(4.112c)
c
(ξ, x)  
 112
 2c 2  x 2  6cx  16cx r22  
r2   1 4 x R1 

C1 p  2  4   C2 p 

4   R
R 
R4
R6 

c
(ξ, x)  
 122
1
4
  3x  c  4 x R12 
 2 R1 r22  2cx  16cx R1r22  
C
C



 1p 
2p 

2
4 
4
R
R
R
R6 




c
(ξ, x)  
 222
r2
4
  3 4 x R1 
 2 r22  2c 2  4cx 16cx R12  



C
C
 1p  2
2p 

4 
4
R
R
R
R6 





 21c i (ξ, x)   12c i (ξ, x)

(4.112d)
(4.112e)
(4.112f)
(4.112g)
As constantes elásticas Cip são as mesmas das soluções fundamentais no plano e
estão apresentadas na tabela 4.1. As forças de superfície complementares são obtidas
através da fórmula de Cauchy (2.3):
pijc (ξ, x)   cjki (ξ, x)nk x
(4.113)
Para pontos fonte ξ pertencentes ao plano limite  , ou seja, fazendo c  0 , as
soluções fundamentais elásticas (solução de Kelvin e parcela complementar somadas)
possuem o seguinte aspecto:


u11* (ξ, x)  
1
C '5u 2 ln R  C '6u r,12
2
u12* (ξ, x)  
1
C '4u   C '6u r,1r,2 
2
(4.114b)
*
u21
(ξ, x)  
1
 C '4u   C '6u r,1r,2 
2
(4.114c)
*
u33
(ξ, x)  
1
C '5u 2 ln R  C '6u r, 22
2
pij* (ξ, x)  
2 
r 
r,i r, j 
r 
n 


(4.114a)
(4.114d)
(4.115)
As demais constantes elásticas que aparecem (4.114) são apresentadas na tabela
a seguir.
90 Tabbela 4.6 - Coeficientes
C
elásticos paara as soluçções fundam
mentais dos deslocamen
ntos
ontos fonte no plano lim
mite do sem
miplano
para po
Coefficientes Eláásticos
C '5u
EPD
EPT
E
1
3

2G 6 K  2G
1
G
C '6 u
2
2

3G 9 K
1
G
Vale desstacar que, ao
a longo do contorno  , r / n  0 , o que gaarante tensõ
ões de
superrfície nulas ao longo deeste contornno, de acord
do com a so
olução (4.1115).
Para modelar o sem
miplano, serrá definido o contorno
o  , caraccterizado po
or um
semicilindro (coom seção traansversal innterna ao seemiplano) co
om centro nno ponto fon
nte ξ
em  e raio  . Deste mod
do, a formullação geral em integraiis no contorrno    (com
forçaas de massa nulas) podee ser escritaa como:
u j (ξ , t ) * dCij (ξ , t )   p j (x, t ) * duij* (ξ, x , t )d(x)   p j (x, t ) * du
d ij* (ξ, x, t )d (x) 


  u j (x, t ) * dp (ξ, x , t )d(x)   u j (x, t ) * dp
pij* (ξ, x, t )d (x)
*
ij
'

Figura 4.117 – Contorrno semicilíndrico
91 (4.116)
Fazendo    , a hipótese do atendimento das Condições de Regularidade por
parte das soluções u e p elimina a contribuição das integrais no contorno  ,
produzindo a formulação final para o caso de problemas semiplanos viscoelásticos:
u j (ξ , t ) * dCij (ξ , t )   p j (x, t ) * duij* (ξ, x, t )d(x)   u j (x, t ) * dpij* (ξ, x, t )d(x)

(4.117)
'
É possível observar que a integral envolvendo a solução fundamental das forças
de superfície p* só é realizada nos contornos das cavidades ' , uma vez que esta função
se anula no contorno   ' , que pertence ao limite do semiplano. Já a integral
envolvendo a solução fundamental do campo de deslocamentos u* é realizada em todo
o contorno, ou seja, nas cavidades e no contorno limite do semiplano   ' . Porém,
neste último, a integral só faz sentido onde efetivamente existe carga p aplicada,
tornando a integral finita, mesmo o contorno sendo infinito. Avaliando a equação
(4.115), obtém-se Cij (ξ , t )   ij h(t ) para contornos suaves, valor diferente do obtido para
problemas finitos e infinitos.
Deste modo, a malha de elementos de contorno, com seus elementos e
respectivos nós funcionais, deve ser distribuída nas cavidades e ao longo dos trechos do
contorno   ' onde efetivamente são aplicadas condições de contorno naturais não
nulas, uma vez que elementos fora destes contornos não contribuiriam para as integrais
da formulação (4.117). Como os pontos fonte estão localizados ao longo da malha de
elementos de contorno, pontos fora desta malha são regidos pela formulação para
pontos internos, uma vez que não existem singularidades nas soluções fundamentais.
Logo, pontos no plano limite do semiplano onde não são aplicadas cargas são
considerados pontos internos.
92 Figurra 4.18 – Malha de elem
mentos de contorno
c
parra problemaas semiplanos
Observa--se ainda qu
ue, em probblemas sem cavidades, contendo aapenas um trecho
carreegado no coontorno   ' , tem-se a solução:
u j (ξ , t ) * dCij (ξ , t )   p j (x, t ) * dduij* (ξ, x, t )d(x)
(4.118)

Logo, nãão se faz neccessária a s olução de um
u sistema de
d equaçõess, uma vez que o
camppo de desloocamentos é obtido dee forma im
mediata atrav
vés da integgral do seg
gundo
mem
mbro da equação (4.118
8). Esta inteegral constittui na próprria aplicaçãoo do conceiito da
soluçção fundam
mental u* qu
ue, por sua vvez, consistte no desloccamento proovocado porr uma
cargaa concentraada aplicad
da em um ponto fon
nte do sem
miplano quee, no caso,, está
locallizado no coontorno lim
mite do semiiplano. Paraa calcular o deslocameento causad
do por
uma carga p disstribuída neeste contornno, basta reealizar a som
ma de Riem
mann dos efeitos
das fforças conceentradas inffinitesimais..
A utilizaação do Méétodo de Gaalerkin perd
de o sentido
o neste casoo, uma vez que a
soluçção é exata no contorno limite do semiplano.. Além disso
o, este métoodo exigiriaa uma
integgração duplaa no contorrno que, porr sua vez, é infinito. Mesmo
M
que apenas o trecho
carreegado do coontorno gere contribuiçção à formu
ulação, o Método
M
de G
Galerkin ex
xigiria
uma variação doo ponto fon
nte ξ ao loongo de todo o contorn
no infinito. Portanto, para
p
o
93 caso específico de problemas semiplanos, será utilizado o Método da Colocação, em
problemas sem cavidades. Para problemas semiplanos com cavidades, será adotado um
método híbrido com a aplicação do Método da Colocação em nós funcionais no plano
limite e do Método de Galerkin em nós funcionais na cavidade.
Para concluir a metodologia para o cálculo dos deslocamentos e forças de
superfície nos nós funcionais, faz-se necessária a obtenção das soluções fundamentais
viscoelásticas. Neste caso, será utilizado o processo de Syngellakis [10], uma vez que os
processos apresentados nesta pesquisa são bem similares. Aplicando o Princípio da
Correspondência nas constantes elásticas, adotando o modelo de Boltzmann para a
parcela desviadora e mantendo a parcela esférica com comportamento elástico, as
diversas funções que compõem os fatores temporais das soluções fundamentais
viscoelásticas podem então ser obtidas, conforme tabela a seguir.
Tabela 4.7 – Correspondência entre os coeficientes elásticos e funções temporais para as
soluções fundamentais dos deslocamentos em problemas semiplanos
Coeficientes
Elásticos
1
G
1
3K  4G
1
6 K  2G
Funções Temporais
2 2 p1q0  q1   q1 t
e
2 J1 t   G t   
q0
q0 q1
q0
1
Q1 t   3K  4G 
1
t

2 p1q0  q1 
t   1 
e 3 Kp1  2 q1
3K  2q0 3K  2q0 3Kp1  2q1 
3 K  2 q0
P1 t   6 K  2G 
1
1
3K
t

 p1q0  q1 
t   1 
e 6 Kp1  q1
6 K  q0 6 K  q0 6 Kp1  q1 
1
1
L1 t   3K  t  
3K
6 K  q0
Para o cálculo de deslocamentos em pontos internos, basta aplicar o mesmo
procedimento implementado para problemas finitos. Combinando as equações
geométricas (2.4) com as equações constitutivas viscoelásticas, obtém-se o seguinte
resultado:
*
Tij (ξ , t )   pk (x, t ) * d ijk
(ξ, x, t )d(x)   u k (x, t ) * d '*ijk (ξ, x, t )d(x)

'
94 (4.119)
*
As soluções fundamentais  ijk
(ξ, x, t ) e  '*ijk (ξ, x, t ) são calculadas somando as
parcelas oriundas das soluções de Kelvin (sobrescrito k) com as soluções obtidas
através das parcelas complementares:
*
 ijk
(ξ, x, t )   ijkk (ξ, x, t )   ijkc (ξ, x, t )
c
 '*ijk (ξ, x, t )   ijkk (ξ, x, t )   'ijk
(ξ, x, t )
(4.120)
As parcelas vindas da solução de Kelvin estão apresentadas no item 4.7, onde é
apresentada a metodologia para o cálculo de tensões em pontos internos para domínios
finitos. Para a parcela complementar, o Princípio da Correspondência é aplicado na
correspondente solução elástica que, por sua vez, é obtida aplicando as equações
geométricas (2.4) e constitutivas elásticas (2.8) na parcela complementar da solução
fundamental elástica. Deste modo, as parcelas complementares elásticas possuem o
seguinte aspecto:
 ijkc (ξ, x)  G uikc , j  u cjk ,i  



2G c

ulk ,l ij  (ξ, x)
1  2

c
c
c
 'ijk
(ξ, x)  G kmi
, j   kmj ,i  

2G c
 
 kml ,l ij  nm (ξ, x)
1  2
 
(4.121)
(4.122)
Vale destacar que as derivadas espaciais presentes em (4.121) e (4.122) são
relativas às coordenadas dos pontos fonte ξ . Estas derivadas podem ser encontradas em
TELLES [9] e estão apresentadas no apêndice C deste trabalho. As soluções
viscoelásticas finais são obtidas através da aplicação do Princípio da Correspondência
nos coeficientes elásticos. O resultado desta aplicação está apresentado também no
apêndice C.
Por último, deve-se comentar que a unicidade da solução fundamental elástica e
viscoelástica do campo de deslocamentos para problemas semiplanos não é garantida.
Deste modo, só é possível calcular deslocamentos relativos na direção perpendicular ao
plano limite do semiplano. Para garantir resultados passíveis de interpretação física, é
necessário, portanto, adotar um ponto como referência ao longo da marcha no tempo
para a componente u1 do campo de deslocamentos.
95 Caapítullo 5 – Exem
mplos de Esstudo
Neste caapítulo, a fo
ormulação nnumérica ap
presentada no
n capítulo 4 será disccutida
para alguns prroblemas viscoelástico
v
os quasi-estáticos lin
neares bidiimensionaiss. As
soluçções analíticcas serão ob
btidas por m
meio do Prin
ncípio da Correspondê
C
ência, descriito no
item 3.6, e serãoo comparadaas com as s oluções num
méricas via MEC.
Para os diversos prroblemas viiscoelásticoss, serão ado
otados 3 tippos de histó
óricos
de caarregamentoos, extraídos de RIOBO
OM NETO [4], que serrão listados a seguir.
Figura 5.1 – Histórico de
d Carregam
mentos C1
O históriico C1 é rep
presentado por uma fu
unção de Heeaviside, coom carregam
mento
nulo até o instaante t=0- e carregamennto constan
nte a partir de t=0+. M
Matematicam
mente,
este hhistórico poode ser escriito da seguiinte forma:
pC1 (t )  ph(t )
(5.1)
96 Figura 5.2 – Histórico de
d Carregam
mentos C2
O histórrico C2 se assemelha ao C1, excceto pela in
nterrupção da aplicaçãão da
cargaa no instannte t=t1. Su
ua represenntação mateemática seg
gue o mesm
mo princípiio do
históórico C1:
pC 2 (t )  ph(t )  ph(t  t1 )
(5.2)
Figura 5.3 – Histórico de
d Carregam
mentos C3
O históriico C3 conssiste em um
m aumento liinear de carrga ao longoo do tempo até o
instaante t1 ondee a carga é mantida cconstante atté que, no tempo t2, a carga deccresce
lineaarmente ao longo do
o tempo ppara a disssipação completa no instante t3. A
repreesentação matemática
m
deste
d
históriico é apreseentada a seg
guir:
pC 3 (t ) 
pt
p(t  t2 )
p(t  t3 )
p(t  t1 )
h(t ) 
h(t  t1 ) 
h(t  t2 ) 
h(t  t3 )
t1
t1
t3  t 2
t3  t 2
97 (5.3)
5.1 – Tubo Su
ubmetido
o à Pressãão Interna
a
O probleema, extraíído de VIL
LLAÇA e GARCIA
G
[19],
[
consisste em um tubo
subm
metido à prressão interrna, simulanndo a circu
ulação de um fluido confinado. Para
será estuddado um trecho
realizzar uma modelagem
m
bidimensiional do problema,
p
confi
finado do tubo em uma regiãão suficien
ntemente afastada
a
do
dos apoios.. Tal
confi
finamento gaarante a defformação axxial nula do
o tubo, caraacterizando um estado plano
de deeformações.
Figura 5.4
5 – Tubo ssubmetido à pressões in
nterna e extterna
A figuraa 5.4 mostraa um tubo ggenérico su
ubmetido à pressão
p
inteerna pi e prressão
exterrna pe (quue, neste caso, será nula). As forças de massa serrão desprezadas
consiiderando suua magnitude perante a pressão exercida peelo fluido. Deste mod
do, os
parâm
metros de histórico
h
de carregamenntos do prob
blema estão definidos:
pe  0
pi  p(t )
(5.4)
b0
Como o problema em questãoo é axissim
métrico, o campo de ddeslocamenttos se
restriinge à direçção radial. A solução annalítica parra o deslocamento radiaal ur (extraído de
RIOB
BOM NETO
O [4]) para problemas elásticos é apresentada
a
a a seguir:
98 p (t )b 2  1  
ur ( r , t )  2

a  b2  E
a2 

 1  2 r  
r 

(5.5)
Para obter a solução viscoelástica, aplica-se o Princípio da Correspondência na
solução (5.5), substituindo os parâmetros elásticos pelas expressões (3.41) e (3.42):
Lur ( r , s ) 
Lp( s )b 2  P G ( s )  
a2 
3P K ( s )Q G ( s )


r

a 2  b 2  Q G ( s )   2 P G ( s )Q K ( s )  P K ( s )Q G ( s )
r 
(5.6)
Adotando o modelo de Boltzmann para a parcela desviadora e mantendo a
parcela esférica com comportamento elástico, os polinômios no domínio de Laplace que
caracterizam o modelo viscoelástico presentes em (5.6) são definidos:
P K ( s)  1
Q K ( s )  3K
(5.7)
P G ( s)  1  p1s
Q G ( s )  q0  q1s
Tendo em vista a transformada de Laplace da expressão (5.1) e os polinômios
definidos em (5.7), a solução analítica para o carregamento C1 pode ser obtida
realizando a transformada de Laplace inversa da expressão (5.6):
ur
C1
h(t ) pb 2  q1  p1q0
(r , t )  2
3r
a  b 2  6 K  q0

(6 K  q0 )


t
1
1

e 6 Kp1  q1  

 q1  p1q0 6 Kp1  q1

q0
1
1  q1 t  
a (q1  p1q0 ) 

 e 

q0 r
 q1  p1q0 q1
 
(5.8)
2
Vale destacar que, conforme o esperado, a solução viscoelástica (5.8) apresenta
comportamento similar à elástica com parâmetros elásticos iniciais para t=0 e converge
para um comportamento elástico assintótico quando t   .
Para o carregamento C2, a solução pode ser obtida em função da solução de C1:
C2
C1
C1
ur (r , t )  ur (r , t )  ur (r , t  t1 )
(5.9)
Para o carregamento C3, tem-se a solução
99 C3
ur ( r , t ) 


pb 2   1
1
1
1
3r   (t )   (t  t1 ) 
 (t  t2 ) 
 (t  t3 )  
2
2 
a  b   t1
t1
t3  t 2
t3  t 2


a2  1
1
1
1
  (t )   (t  t1 ) 
 (t  t2 ) 
 (t  t3 ) 
r  t1
t1
t3  t 2
t3  t 2

q  pq
 (t )  h(t ) 1 1 0 2
6 K  q0 
q  pq
 (t )  h(t ) 1 21 0
q0 
( 6 K  q0 )
 6 K  q 

t
0
t  1  e 6 Kp1  q1 

 q1  p1q0

(5.10)
q
 q
 0t
0
t  1  e q1 

 q1  p1q0

De acordo com VILLAÇA e GARCIA [19], as tensões nas direções radiais  r e
tangenciais   para o regime elástico são escritas como:
 r (r , t ) 
p(t )b 2  a 2 
1  
a 2  b 2 
r 
(5.11)
p(t )b 2  a 2 
  (r , t )  2 2 1  
a b 
r 
Como estas tensões independem dos parâmetros elásticos, estas soluções
também são válidas para o problema viscoelástico correspondente. Desta forma, as
tensões do estado plano terão o mesmo comportamento do carregamento p ao longo do
tempo. O mesmo não ocorre para a tensão  z , perpendicular ao plano de estudo. Para o
problema elástico, tem-se:
 z (r , t )    r (r , t )    (r , t )  
2p(t )b 2
a2  b2
(5.12)
Nota-se que a tensão  z é constante ao longo do tubo, variando apenas com
relação ao tempo. Aplica-se novamente o Princípio da Correspondência e o coeficiente
de Poisson é substituído pela expressão (3.42) para a obtenção da solução analítica
viscoelástica. As soluções para cada caso de carregamento estão listadas a seguir:
z
C1
( 6 K  q0 )

2h(t ) pb 2  1
9 K  p1q0  q1   6 Kp1  q1 t  
(t )  2
e
3K  q0  


6 Kp1  q1
a  b 2  6 K  q0 
 


 z C 2 (t )   z C1 (t )   z C1 (t  t1 )
(5.14)
100 (5.13)
 z C 3 (t ) 

2 pb 2  1
1
1
1
  (t )   (t  t1 ) 
 (t  t2 ) 
 (t  t3 ) 
2
2 
a  b  t1
t1
t3  t 2
t3  t 2

(6 K  q0 )

t
9 K q1  p1q0   3K  q0 6 K  q0 
 (t )  h(t )
t  1  e 6 Kp1  q1 

2
6 K  q0   9 K q1  p1q0 

(5.15)
Com a finalidade de comparar a solução numérica com a analítica e poder assim
testar a formulação proposta, foi adotado o modelo viscoelástico de Boltzmann para a
parcela desviadora e o comportamento elástico para a parcela esférica. Para o problema
em questão, foram utilizados os seguintes dados numéricos:
a  1m
b  0,5m
G1  G2  78,85GPa
K  170,83GPa
F  315GPa  s
p  1MPa
Os módulos de elasticidade transversais G1 e G2 representam os comportamentos
elásticos inicial e final (assintótico) do modelo de Boltzmann da parcela desviadora, de
acordo com as definições do item 3.2. Os parâmetros p1, q0 e q1 da parcela desviadora
podem ser obtidos através das expressões (3.15) do mesmo item.
Para todos os carregamentos, o problema foi estudado durante um período de
30s, com 60 passos no tempo de t  0,5s . Para o histórico de carregamentos C2, foi
adotado t1=15s e, para C3, foram adotados t1=8s, t2=15s e t3=23s. Apenas o primeiro
quadrante do domínio do problema foi modelado, com 50 elementos de contorno,
totalizando 104 nós funcionais. Como não foi usado nenhum tratamento especial para
problemas simétricos na formulação do MEC, todo o contorno do quadrante foi
modelado de acordo com a figura a seguir:
101 Figgura 5.5 – Malha
M
de Eleementos de Contorno para
p Problem
ma do Tubo
o
Vale desstacar uma limitação dda formulação de elem
mentos de geeometria lin
near e
interppolação quuadrática qu
ue ocorre nneste probleema específfico. Em caada elemento do
contoorno circular, o nó funcional
fu
doo ponto médio
m
do ellemento poossui localizzação
desloocada com relação
r
ao contorno
c
ciircular real, o que acab
ba reduzindo
do a qualidaade da
soluçção final.
Deslo
ocamentto Radia
al ‐ Carrregamennto C1
1
0.01
ur (mm)
0.008
0.006
Sol. Anaalítica r=1m
0.004
Sol. Anaalítica r=0.5m
m
Sol. MEEC r=1m
0.002
Sol. MEEC r=0.5m
0
0
10
20
30
tt (s)
Figura 5.6 – Probllema do Tubbo Submetiido à Pressãão Interna – Deslocameento
Radial parra o Carregaamento C1
102 Deslocamento Radial ‐ Carregamento C2
0.01
ur (mm)
0.008
0.006
Sol. Analítica r=1m
0.004
Sol. Analítica r=0.5m
Sol. MEC r=1m
0.002
Sol. MEC r=0.5m
0
0
10
20
30
t (s)
Figura 5.7 – Problema do Tubo Submetido à Pressão Interna – Deslocamento
Radial para o Carregamento C2
Deslocamento Radial ‐ Carregamento C3
0.01
ur (mm)
0.008
0.006
Sol. Analítica r=1m
0.004
Sol. Analítica r=0.5m
Sol. MEC r=1m
0.002
Sol. MEC r=0.5m
0
0
10
20
30
t (s)
Figura 5.8 – Problema do Tubo Submetido à Pressão Interna – Deslocamento
Radial para o Carregamento C3
A seguir, são apresentados os resultados da tensão T33 para um ponto interno
r  0,5 2m , lembrando que esta tensão é constante ao longo da seção.
103 Tensão T33 ‐ Carregamento C1
0.3
0.25
T33 (MPa)
0.2
0.15
Sol. Analítica
Sol. MEC
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
t (s)
Figura 5.9 – Problema do Tubo Submetido à Pressão Interna – Tensão T33 para o
Carregamento C1
Tensão T33 ‐ Carregamento C2
0.3
0.25
T33 (MPa)
0.2
0.15
Sol. Analítica
Sol. MEC
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
t (s)
Figura 5.10 – Problema do Tubo Submetido à Pressão Interna – Tensão T33 para
o Carregamento C2
104 Tensão T33 ‐ Carregamento C3
0.3
T33 (MPa)
0.25
0.2
0.15
Sol. Analítica
0.1
Sol. MEC
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
t (s)
Figura 5.11 – Problema do Tubo Submetido à Pressão Interna – Tensão T33 para
o Carregamento C3
Conforme discussão anterior, as tensões no plano de estudo (radiais e
circunferenciais) possuem a mesma variação temporal da pressão interna aplicada.
Neste caso, são esperados resultados numéricos compatíveis com este comportamento.
Com o objetivo de ilustrar o fenômeno, são apresentadas a seguir as variações temporais
da tensão circunferencial de pico   r  b  ao longo da superfície interna do tubo para
os diversos tipos de carregamento, uma vez que esta tensão é obtida numericamente
como uma reação de apoio, conforme modelagem da figura 5.5.
105 Tensão Circunferencial ‐
Carregamento C1
t (s)
σθ (r=0,5m) (MPa)
‐2
‐1.5
Sol. Analítica
‐1
Sol. MEC
‐0.5
0
5
10
15
20
25
30
0
Figura 5.12 – Tensão Circunferencial de Pico na Superfície Interna do Tubo –
Carregamento C1
Tensão Circunferencial ‐
Carregamento C2
t (s)
σθ (r=0,5m) (MPa)
‐2
‐1.5
Sol. Analítica
‐1
Sol. MEC
‐0.5
0
5
10
15
20
25
30
0
Figura 5.13 – Tensão Circunferencial de Pico na Superfície Interna do Tubo –
Carregamento C2
106 Tensão Circunferencial ‐
Carregamento C3
t (s)
σθ (r=0,5m) (MPa)
‐2
‐1.5
Sol. Analítica
‐1
Sol. MEC
‐0.5
0
5
10
15
20
25
30
0
Figura 5.14 – Tensão Circunferencial de Pico na Superfície Interna do Tubo –
Carregamento C3
Uma das principais indagações acerca desta pesquisa reside no motivo para a
utilização do Método de Galerkin na formulação do MEC, uma vez que o Método da
Colocação já vem sendo amplamente utilizado com resultados satisfatórios, como pode
ser visto no trabalho de CEZARIO [3]. Com a utilização do Método de Galerkin, é
razoável esperar resultados mais precisos que o Método da Colocação para uma mesma
quantidade de nós funcionais. Para alcançar esta precisão, observa-se como
contrapartida um maior esforço computacional, uma das razões pelas quais o Método da
Colocação era amplamente utilizado em tempos onde a escassez de processamento e
memória dos computadores limitava até mesmo os cálculos mais simples. Com o
avanço tecnológico contemporâneo, experimentar a formulação do MEC com o Método
de Galerkin tornou-se amplamente viável, despertando o interesse contido neste
trabalho.
Para obter melhores conclusões sobre o impacto do Método de Galerkin na
precisão da solução numérica via MEC, foi feita uma comparação dos resultados deste
exemplo com os equivalentes obtidos através do Método de Colocação com elementos
de funções de interpolação lineares, caracterizando a modelagem adotada em CEZARIO
[3]. A malha confeccionada para a aplicação do Método da Colocação possui a mesma
configuração apresentada na figura 5.5. Deste modo, os 50 elementos de contorno da
malha totalizam 56 nós funcionais ao invés dos 104 nós da formulação quadrática.
107 Considerando a desvantagem dos elementos quadráticos de geometria linear para a
modelagem de contornos circulares, as comparações foram feitas considerando uma
formulação via Galerkin com elementos de funções de interpolação lineares, com uma
malha contendo os mesmos 56 nós funcionais da formulação via Método da Colocação
e com mesma configuração de elementos da figura 5.5.
Foi realizada ainda uma comparação com os resultados da formulação pelo
Método dos Elementos Finitos (MEF), cuja descrição está apresentada em RIOBOM
NETO [4] e cuja malha foi confeccionada com 50 elementos bilineares de 4 nós com
um total de 66 nós.
Deslocamento Radial ‐ Carregamento C1 ‐ Comparação entre Métodos
ur(r=1.0m) (m)
0.0055
0.005
Sol. Analítica
0.0045
Sol. MEC Galerkin
Linear
0.004
0.0035
Sol. MEC Colocação
Linear
0.003
0.0025
0
10
20
t (s)
Figura 5.15 (a)
108 30
Sol. MEF
Deslocamento Radial ‐ Carregamento C1 ‐ Comparação entre Métodos
ur(r=1.0m) (m)
0.00515
Sol. Analítica
Sol. MEC Galerkin
Linear
0.0051
Sol. MEC Colocação
Linear
0.00505
20
22
24
26
28
30
Sol. MEF
t (s)
Figura 5.15 (b)
Figura 5.15 – Problema do Tubo Submetido à Pressão Interna - Comparação entre
Métodos para o Deslocamento Radial em r = 1m para o Carregamento C1: (a) – Visão
Geral e (b) – Detalhe para t>20.
É possível observar que, para este exemplo, os resultados produzidos pelas
diversas formulações são muito próximos entre si e apresentam satisfatória precisão se
comparados à solução analítica. Em outros exemplos, porém, pode-se notar um maior
impacto da adoção do Método de Galerkin, conforme será visto a seguir. Além disso,
deve-se levar em consideração o tempo de processamento de cada metodologia, uma
vez que a melhor precisão do Método de Galerkin vem acompanhada do maior esforço
computacional frente ao Método da Colocação. Maiores discussões sobre a relação entre
o esforço computacional e a precisão destes métodos serão expostas posteriormente,
objetivando a ampliação do acervo de conclusões sobre o tema.
Neste momento, pode-se concluir que, para este exemplo específico e com a
discretização do contorno adotada para o mesmo, a utilização do Método de Galerkin
não se mostra necessária, uma vez que o reduzido ganho em precisão não compensa a
maior complexidade da formulação e o maior esforço computacional demandado para a
execução das integrais espaciais. Esta conclusão, no entanto, não leva em consideração
os benefícios do Método de Galerkin para o acoplamento de malhas de elementos
finitos e de contorno.
109 5.2 – Tubo Submetido a Deslocamento Radial
Neste caso, o mesmo tubo do item anterior é agora submetido a um
deslocamento radial prescrito ur0(t) ao longo da sua superfície externa, sem a existência
da pressão interna. A modelagem em elementos de contorno foi realizada com o
objetivo de observar o fenômeno da relaxação.
O deslocamento ur0 equivale a uma pressão externa pe (apresentada na figura
5.4) que, no regime elástico, possui a seguinte definição:
a2  b2  E
pe (t )  ur 0 (t )

a2  1 
b2 

 1  2 a  
a

1
(5.16)
Aplicando o Princípio da Correspondência, obtém-se a pressão externa
equivalente no regime viscoelástico, que equivale à tensão radial para r=a. Este trabalho
se restringirá à análise específica desta grandeza, uma vez que o objetivo deste exemplo
é avaliar a capacidade da formulação de reproduzir a relaxação viscoelástica. A solução
analítica viscoelástica de interesse é
a 2  b 2  q0 6 K  q0 
a
d 2  p1
 2
a
e 
2
2

3

a
d
a
b
p
0
1

t
 r C1 (r  a, t )  ur 0 h(t )
108a 3b 2 K 2 d 2  d1 t 
e

3a 2  b 2 d 0 d1

d0

d 0  b 2 6 K  q0   3a 2 q0
(5.17)
d1  b 6 Kp1  q1   3a q1
2
2
d 2  q1  p1q0
110  r C 3 (r  a, t )  ur 0





2 a 2  b 2  1
1
1
1
  (t )   (t  t1 ) 
 (t  t2 ) 
 (t  t3 ) 
2
2 
a 3a  b  t1
t1
t3  t 2
t3  t 2

2 d1  q0


t  


2 d1 p1  q1  





2
1
d
d
e
1 2
t

 

 
 q0
d 2 
d


0
q t 
 (t )  ht  t 
1  e p1  


 2d1  q0  0

2
2
2
d
q

1
0












9 Ka 2
d0 
3a 2  b 2


3Kb 2
d1 
3a 2  b 2

d 2  q1  p1q0

(5.18)
Para o carregamento C2, basta utilizar o mesmo raciocínio descrito
anteriormente em função da solução de C1, seguindo o padrão da equação (5.9).
As propriedades geométricas, viscoelásticas e de passo no tempo são as mesmas
utilizadas no item anterior. Também foi utilizada a mesma malha de elementos de
contorno apresentada na figura 5.5. O deslocamento radial prescrito possui valor
numérico ur0=0,01mm (no sentido do centro do tubo para a superfície externa).
A seguir são apresentados os resultados numéricos para a tensão radial na
superfície externa (r=a) provocada pelo deslocamento prescrito.
Trr(r=a) (MPa)
Tensão Radial ‐ Carregamento C1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Sol. Analítica
Sol. MEC
0
5
10
15
20
25
30
t (s)
Figura 5.16 – Problema do Tubo Submetido a deslocamento radial – Tensão
radial Trr para o Carregamento C1
111 Trr(r=a) (MPa)
Tensão Radial ‐ Carregamento C2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
‐0.2 0
‐0.4
‐0.6
Sol. Analítica
Sol. MEC
5
10
15
20
25
30
t (s)
Figura 5.17 – Problema do Tubo Submetido a deslocamento radial – Tensão
radial Trr para o Carregamento C2
Trr(r=a) (MPa)
Tensão Radial ‐ Carregamento C3
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
‐0.2 0
Sol. Analítica
Sol. MEC
5
10
15
t (s)
20
25
30
Figura 5.18 – Problema do Tubo Submetido a deslocamento radial – Tensão
radial Trr para o Carregamento C3
Através dos resultados, observa-se que a formulação empregada se mostrou
satisfatória para problemas de relaxação. Para os casos de carregamento C2 e C3, ocorre
uma inversão na tensão radial, passando de tração para compressão.
112 5.3 – Chapa Tracionad
T
da
Este exeemplo, exttraído de B
BREBBIA et al. [8],, consiste em uma chapa
c
tracioonada em sua direçãão longituddinal e im
mpedida de deslocar eem sua diireção
transsversal, o quue gera com
mo reação um
uma tensão de
d tração paara combateer a tendênccia de
encuurtamento neesta direção
o. O exempllo é linear e demasiadaamente simpples para teestar a
form
mulação destta pesquisaa, sendo appresentado apenas
a
paraa ilustrar o comportam
mento
viscooelástico daa tensão de tração
t
transvversal.
Figuraa 5.19 – Chaapa Tracionada
O probleema será traatado como um estado plano de tensões e as fforças de massas
m
serãoo desprezaddas. As soluções elássticas para o estado de tensões e o camp
po de
desloocamentos na
n direção x estão listaddas a seguirr:
 x (t )  p(t )
 y (t )  p(t )
(5
5.19)
1   p(t) x
u ( x, t ) 
2
x
(5.20)
(
E
A tensãoo de tração longitudinaal varia de acordo
a
com
m o históricoo de tensõess, não
havendo mudannças na sollução viscooelástica. Para
P
as dem
mais grandeezas, segueem as
soluçções analíticcas para os diversos hisstóricos de carregamen
ntos:
113 y
C1
 1
(t )  h(t ) p 
 6 K  q0
(6 K  q0 )

9 K  p1q0  q1   6 Kp1  q1 t  
e
3K  q0  

6 Kp1  q1

 
(5.21)

  qq0 t
(6 K  q0 ) 
1

t 






3
2
3
K
q
p
q
q
e



C1
0
u x ( x, t )  h(t ) px
e 6 Kp1  q1  
 1 0 1 

2
q q 6 K  q0 6 Kp1  q1 
 q0 6 K  q0 
 0 1



(5.22)
 1
1
1
1

 y C 3 (t )  p   (t )   (t  t1 ) 
 (t  t2 ) 
 (t  t3 ) 
t
t
t
t
t
t


1
3
2
3
2

 1
( 6 K  q0 )

t
9 K q1  p1q0   3K  q0 6 K  q0 
6 Kp1  q1
 (t )  h(t )
t
1
e




6 K  q0 2  9 K q1  p1q0 

(5.23)
 1

1
1
1
C3
u x ( x, t )  px   (t )   (t  t1 ) 
 (t  t2 ) 
 (t  t3 ) 
t1
t3  t 2
t3  t 2

 t1
 (t )  h(t )
q1  p1q0   2q0 6 K  q0 3K  2q0  t  36 K 2  12 Kq  4q 2  
0
0
2
2 
q1  p1q0 
2q0 6 K  q0  
 6 K  q0  e
2

q0
t
q1
2
 3q0 e

(6 K  q0 )
t
6 Kp1  q1



(5.24)
Para o carregamento C2, basta utilizar o mesmo raciocínio descrito
anteriormente em função da solução de C1, seguindo o padrão da equação (5.9).
A malha de elementos de contorno é composta por apenas 4 elementos, 1 para
cada lado da chapa. A linearidade do fator espacial da solução do problema dispensa a
adoção de malhas mais refinadas. Os dados numéricos utilizados neste exemplo são
mostrados a seguir:
a  b  2m
G1  G2  1,92GPa
K  4,17GPa
F  8GPa  s
p  2MPa
114 Para todos os carregamentos, o problema foi estudado durante um período de
40s, com 80 passos no tempo de t  0,5s . Para o carregamento C2, foi adotado t1=20s.
Para o histórico C3, foram adotados os tempos t1=10s, t2=20s e t3=30s.
A seguir são apresentados os resultados.
Tensão Transversal ‐ Carregamento C1
1
T22 (MPa)
0.8
0.6
Sol. Analítica
0.4
Sol. MEC
0.2
0
0
10
20
30
40
t (s)
Figura 5.20 – Problema da Chapa Tracionada – Tensão Transversal T22 para o
Carregamento C1
Deslocamento Longitudinal ‐
Carregamento C1
1.4
ux(x=2m) (m)
1.2
1
0.8
0.6
Sol. Analítica x=2m
0.4
Sol. MEC x=2m
0.2
0
0
10
20
30
40
t (s)
Figura 5.21 – Problema da Chapa Tracionada – Deslocamento Longitudinal ux
para o Carregamento C1
115 Tensão Transversal ‐ Carregamento C2
1
T22 (MPa)
0.8
0.6
Sol. Analítica
0.4
Sol. MEC
0.2
0
0
10
20
30
40
t (s)
Figura 5.22 – Problema da Chapa Tracionada – Tensão Transversal T22 para o
Carregamento C2
Deslocamento Longitudinal ‐
Carregamento C2
1.4
ux(x=2m) (m)
1.2
1
0.8
0.6
Sol. Analítica x=2m
0.4
Sol. MEC x=2m
0.2
0
0
10
20
30
40
t (s)
Figura 5.23 – Problema da Chapa Tracionada – Deslocamento Longitudinal ux
para o Carregamento C2
116 Tensão Transversal ‐ Carregamento C3
1
T22 (MPa)
0.8
0.6
Sol. Analítica
0.4
Sol. MEC
0.2
0
0
10
20
30
40
t (s)
Figura 5.24 – Problema da Chapa Tracionada – Tensão Transversal T22 para o
Carregamento C3
Deslocamento Longitudinal ‐
Carregamento C3
1.4
ux(x=2m) (m)
1.2
1
0.8
0.6
Sol. Analítica x=2m
0.4
Sol. MEC x=2m
0.2
0
0
10
20
30
40
t (s)
Figura 5.25 – Problema da Chapa Tracionada – Deslocamento Longitudinal ux
para o Carregamento C3
117 5.4 – Chapa com Deslocamento Prescrito
O exemplo anterior é repetido com a tensão de tração p sendo substituída por um
deslocamento ux0 prescrito na mesma face. O caso foi modelado apenas para o caso de
carregamento C1 com o objetivo de observar o fenômeno de relaxação.
A solução analítica elástica para o estado de tensões pode ser apresentada da
seguinte forma:
 x (t ) 
u x 0 (t ) E
1  2 a

(5.25)
 y (t ) 
u x 0 (t ) E
1  2 a
(5.26)

As soluções analíticas viscoelásticas para o histórico C1 são
(3 K  2 q0 )
t

t
27 K 2 q1  p1q0 
u x 0h(t )  q0 6 K  q0  q1  p1q0   p1

 x (t ) 
e 
e 3 Kp1  2 q1 

2 p1
23Kp1  2q1 3K  2q0 
a  3K  2q0 

(5.27)
(3 K  2 q0 )
t

t
27 K 2 q1  p1q0 
u x 0 h(t )  q0 3K  q0  q1  p1q0   p1

 y (t ) 
e 
e 3 Kp1  2 q1 

2 p1
23Kp1  2q1 3K  2q0 
a  3K  2q0 

(5.28)
Os dados numéricos são os mesmo do exemplo anterior (item 5.3). O
deslocamento prescrito é ux0=-1mm.
118 Tensão Longitudinal ‐ Carregamento C1
0
T11 (MPa)
‐0.5
0
10
20
30
40
‐1
Sol. Analítica
‐1.5
Sol. MEC
‐2
‐2.5
‐3
t (s)
Figura 5.26 – Problema da Chapa com Deslocamento Prescrito – Tensão
Longitudinal T11 para o Carregamento C1
Tensão Transversal ‐ Carregamento C1
0
0
10
20
30
40
T22 (MPa)
‐0.2
‐0.4
Sol. Analítica x=2m
‐0.6
Sol. MEC x=2m
‐0.8
‐1
t (s)
Figura 5.27 – Problema da Chapa com Deslocamento Prescrito – Tensão
Transversal T22 para o Carregamento C1
119 5.5 – Viga En
ngastada com Cargga Concen
ntrada na
a Extremiidade
O probleema, extraíd
do de TIM OSHENKO
O e GOODIIER [18], cconsiste em
m uma
viga com uma extremidad
de engastadda e outra livre com uma carga concentrad
da. O
probllema será analisado
a
como um esstado plano
o de tensões, adotandoo uma espeessura
unitáária para a seção tran
nsversal da viga (paraa simplificaação dos cáálculos). Mesmo
M
havendo variaçãão das tensõ
ões ao long o da direçãão perpendiccular ao plaano de estud
do, as
tensõões nulas nas
n faces ex
xtremas dessta direção aliadas à pequena esspessura daa viga
viabiilizam o estuudo do prob
blema comoo um estado
o plano de teensões.
Figuura 5.28 – Viga
V Engasttada com Carga Conceentrada na E
Extremidadee
Cuidados adicionaiss devem serr tomados no
n tratamentto deste prooblema na Teoria
T
da E
Elasticidade e posterio
or adaptaçãão das equações constitutivas viiscoelásticas. As
conddições de coontorno natturais do prroblema são fracas, seendo necesssário definiir um
estaddo de tensõões que gaaranta o eqquilíbrio. Desprezando
D
as forças de massa,, será
adotaado o estaado de tensões oriunddo do modelo de viiga de Euller-Bernoullli da
Resisstência dos Materiais, apresentado
a
o também em
m TIMOSH
HENKO e G
GOODIER [18]:
[
 P (t )L  x  y

I

T( x, y , t )  
2
P (t )  h
2




y

 2I 4




P (t )  h 2
  y 2  
2I  4



0


120 (5
5.28)
No estaddo plano de tensões deffinido anterriormente, I é o Momennto de Inérccia da
seçãoo transversal da viga com relaçção à linhaa neutra. Paara a obtennção da so
olução
analíítica do probblema, é neecessário deefinir ainda as condiçõees de contorrno essenciaais do
extreemo engastaado, que ficcarão restrittas a um po
onto fixo lo
ocalizado no centro daa face
engaastada (origeem do sisteema de coorrdenadas daa figura 5.2
28). Para esste nó funcional,
serãoo definidas as restriçõ
ões de desloocamentos horizontal e vertical e a restriçãão de
rotaçção, que serrá compatív
vel com as hipóteses adotadas em
m [18] parra a obtençãão da
soluçção elásticaa do campo
o de deslocaamentos. Deste
D
modo, as condiçções de con
ntorno
essennciais para o campo de deslocamenntos (u,v) da
d viga são escritas
e
do sseguinte mo
odo:
u (0,0, t )  v(0,0, t )  0
 u 
 (0,0, t )  0
 y 
(5
5.29)
Fiigura 5.29 – Condiçõess de Contorn
no Essenciaais e Naturai
ais da Viga
Atendendo às condiições apreseentadas, a solução
s
anaalítica elásticca para o campo
de deeslocamentoos (u,v) da viga,
v
extraídda de TIMO
OSHENKO e GOODIE
ER [18], posssui o
seguiinte aspectoo:
 L  x 2 y vy 3
L2 
y3



y 
u(x, y, t)   P(t ) 
EI
EI
EI
GI
I
2
6
6
2


3
2
2
  L  x  y
L  x   L L  x   L 3  h 2 x
v(x, y, t)  P(t )

3EI 8GI
E
6 EI
2 EI
 2 EI
121 



(5.30)
(
As soluções viscoelásticas (extraídas de RIOBOM NETO [4]) para os diversos
históricos são apresentadas a seguir:
q0
2
 6 K  q
2 ( p1q0  q1 )  q1 t  PL  x  y PL 2
0

e
u C1 (x, y, t)  h(t ) 



q0 q1
3
2I
2I
 9 Kq0


y  

 3K  q 1 ( p q  q )  qq0 t  Py 3
 1 ( p q  q )  q0 t  Py 3 
0
1 0
1
e 1 


 2  1 0 1 e q1 
 9 Kq0
 6I
 q0
 6 I 
3 q0 q1
q0 q1




 3K  q 1 ( p q  q )  qq0 t  PL  x  y 2
 1 ( p q  q )  qq0 t  Ph 2 x
0
1 0
1
1 

v (x, y, t)  h(t )
e

 2h(t )  1 0 1 e 1 

 9 Kq0

 q0
 8I
3
q0 q1
2I
q0 q1




 6 K  q 2 ( p q  q )  qq0 t  PL  x 3 PL 2
PL 3 
0
1 0
1


L  x 
e 1 
 h(t )


 9 Kq0

3
q0 q1
6I
2I
3I 


C1
(5.31)
122  1
 PL  x 2 y PL 2
1
1
1

u C3 (x, y, t)     (t )   (t  t1 ) 
 (t  t 2 ) 
 (t  t 3 )  
t1
t3  t 2
t3  t 2
2I
2I
 t1


y  

1
 Py 3
1
1
1
   (t )   (t  t1 ) 

 (t  t 2 ) 
 (t  t3 ) 
t1
t3  t 2
t3  t 2
 t1
 6I
1
 Py 3 
1
1
1
   (t )   (t  t1 ) 
 (t  t 2 ) 
 (t  t3 ) 

t1
t3  t 2
t3  t 2
 t1
 6I 
1
 PL  x  y 2
1
1
1

v C3 (x, y, t)    (t )   (t  t1 ) 
 (t  t 2 ) 
 (t  t 3 ) 
2I
t1
t3  t 2
t3  t 2
 t1

1
 Ph 2 x
1
1
1
   (t )   (t  t1 ) 

 (t  t 2 ) 
 (t  t3 ) 
t1
t3  t 2
t3  t 2
 t1
 8I
3

1
 PL  x 3 PL 2
1
1
1
L  x   PL 
   (t )   (t  t1 ) 

 (t  t 2 ) 
 (t  t 3 ) 
6I
2I
3I 
t1
t3  t 2
t3  t 2
 t1

2


 q



  1 6 Kp  q    q1  6 K  q 
1
1
0
q 
q0 

 q0

t

 0
6 K  q0
2 ( p1q0  q1 ) 
 e q1 
t

 (t )  h(t )
2
 9 Kq0

3 q0 
9 Kq1






2


 q



  1 3Kp  q    q1  3K  q 
1
1
0


q0 

 q0

q
t

 0
3K  q 0
1 ( p1q0  q1 ) 
 e q1 

 (t )  h(t )
t
2
 9 Kq0

3 q0 
9 Kq1






2


 q



  1 p   q1  
1


q0 

 q0

q
 0    q1 t 
t (p q q )
 (t )  2h(t )  1 0 2 1  
e
 q0

q1
q0 






(5.32)
Para o histórico C2, a solução é obtida em função do resultado de C1 usando
raciocínio presente na equação (5.9). O estado de tensões não depende das propriedades
elásticas, o que gera tensões viscoelásticas com a mesma variação temporal do histórico
de carregamentos, conforme descrito em (5.29).
Para a modelagem numérica, foram adotados os seguintes dados:
123 L  100cm
h  10cm
b  1cm
G1  G2  8,75GPa
K  11,67GPa
F  35GPa  s
P  1kN
Para todos os carregamentos, o problema foi estudado durante um período de
40s, com 80 passos no tempo de t  0,5s . Para o carregamento C2, foi adotado t1=20s.
Para o histórico C3, foram adotados os tempos t1=10s, t2=20s e t3=30s. A discretização
do contorno foi realizada com 28 elementos, totalizando 60 nós funcionais.
Para que a solução numérica tenha o mesmo aspecto da solução analítica
apresentada, seja no regime elástico ou viscoelástico, as condições de contorno devem
ser modeladas considerando as mesmas hipóteses utilizadas para a obtenção das
soluções analíticas. A carga concentrada da extremidade livre deve ser modelada com a
distribuição de tensões parabólica ao longo dos nós funcionais da face correspondente,
conforme figura 5.29 e equação (5.28).
A modelagem do engaste pode ser realizada restringindo o deslocamento em
todos os nós funcionais da face correspondente. Este expediente, entretanto, poderá
gerar resultados numéricos distintos da solução analítica tanto na distribuição de tensões
na face engastada (conforme figura 5.29) como no campo de deslocamentos. As
divergências se acentuam quando menor for a relação L/h. Vale destacar que a solução
analítica prevê restrições de deslocamentos e rotações apenas no centro da seção
engastada além de sugerir a existência de deslocamentos horizontais e verticais ao longo
da face engastada. Considerando a relação L/h=10 do exemplo numérico estudado neste
trabalho, não foram tomados cuidados especiais na modelagem da face engastada, sendo
adotada a solução de restrição de deslocamentos em todos os nós funcionais da referida
face.
Os resultados a seguir comprovam a parca influência da modelagem do engaste
na deflexão do extremo livre da viga para este exemplo numérico específico.
124 Deflexão ‐ Carregamento C1
v (x=L,y=0) (mm)
40
30
20
Sol. Analítica
Sol. MEC
10
0
0
10
20
30
40
t (s)
Figura 5.30 – Problema da Viga Engastada com Carga Concentrada na Extremidade
Livre – Deflexão v no Extremo Livre para o Carregamento C1
Deflexão ‐ Carregamento C2
v (x=L,y=0) (mm)
40
30
20
Sol. Analítica
Sol. MEC
10
0
0
10
20
30
40
t (s)
Figura 5.31 – Problema da Viga Engastada com Carga Concentrada na Extremidade
Livre – Deflexão v no Extremo Livre para o Carregamento C2
125 Deflexão ‐ Carregamento C3
v (x=L,y=0) (mm)
40
30
20
Sol. Analítica
Sol. MEC
10
0
0
10
20
30
40
t (s)
Figura 5.32 – Problema da Viga Engastada com Carga Concentrada na Extremidade
Livre – Deflexão v no Extremo Livre para o Carregamento C3
Para este problema, também foi realizada a comparação com a formulação pelo
Método da Colocação e elementos de funções de interpolação lineares. Adotando a
formulação de CEZARIO [3] em uma malha de elementos de contorno com o mesmo
número e posição de nós funcionais adotados nesta pesquisa, foi feita uma comparação
de resultados para o carregamento C1. Ao contrário do que ocorreu no exemplo do item
5.1, não se faz necessária a adoção de elementos lineares na formulação via Galerkin,
uma vez que os elementos quadráticos se adaptam perfeitamente à geometria do
contorno da viga.
A comparação contou ainda com a solução numérica via MEF empregada em
RIOBOM NETO [4], cuja malha foi confeccionada com 160 elementos de 4 nós
bilineares (5cmx1,25cm) com um total de 189 nós.
126 Deflexão ‐ Carregamento C1 ‐
Comparação entre Métodos
v (x=L,y=0) (mm)
35
Sol. Analítica
30
25
Sol. MEC
20
Sol. MEC Colocação
Linear
15
0
10
20
30
40
Sol. MEF
t (s)
Figura 5.33 – Problema da Viga Engastada com Carga Concentrada na Extremidade
Livre – Comparação entre Métodos para o Carregamento C1
Os resultados comprovam a maior precisão da formulação empregada neste
trabalho, conforme o esperado. Este melhor resultado, no entanto, vem acompanhado de
um maior esforço computacional para a execução das integrais espaciais, em
comparação com a formulação empregada por CEZARIO [3]. Desta forma, inicia-se
uma discussão que só conduzirá a conclusões definitivas após exaustivos testes. Em
alguns casos, pode ser mais vantajoso utilizar malhas lineares mais refinadas com o
Método da Colocação, ou seja, com mais nós funcionais, do que aplicar a metodologia
desta pesquisa em malhas dotadas de menor refinamento.
Para uma quantidade reduzida de nós funcionais, a resolução do sistema pouco
influencia no tempo de processamento, ficando a execução das integrais espaciais com o
maior custo computacional. Para malhas com muitos nós funcionais, pode-se verificar
um aumento significativo da participação da solução do sistema de equações no
processamento total do programa. Como o Método de Galerkin exige, de um modo
geral, uma malha menos refinada, a aplicação deste método pode provocar uma redução
no tempo de resolução do sistema que compense o maior custo computacional para o
cálculo das integrais espaciais, em comparação ao Método da Colocação.
A formulação pelo Método de Galerkin não possui a vantagem de gerar uma
matriz de coeficientes simétrica. Porém, diversos estudos, tais como [13] e [17],
127 indiccam que o Método
M
de Galerkin
G
proopicia um acoplamento
a
o mais eficieente com malhas
m
de ellementos finnitos. Posterriormente, m
maiores discussões com
mparativas eentre os méétodos
serãoo apresentaddas.
5.6 – Cavidad
de Cilíndrrica em S
Sólido Infiinito
O exempplo, extraído
o de BREB
BBIA et al. [8], consiste em uma ccavidade cirrcular
em uum sólido innfinito, send
do o probleema tratado como estad
do plano dee deformaçõ
ões. O
objettivo deste exemplo é teestar o com
mportamento
o da formulaação em doomínios infinitos,
consiiderando ass pequenas alterações
a
ap
apresentadass no item 4.9.
Figura 5.34 – Caavidade Cilíndrica em Chapa
C
Infini
nita
O probllema é ax
xissimétricoo, o que restringe o estudo do campo de
desloocamentos à direção raadial. A soluução elásticca do probleema pode seer obtida a partir
da fformulação do probleema do tuubo descrito
o no item 5.1 consiiderando que
q
o
desloocamento radial se an
nula para r   . A solução eláástica do pproblema para o
desloocamento raadial e o esttado de tenssões (para forças
f
de massa
m
nulas)) pode ser escrita
e
comoo:
128 ur ( r , t ) 
p(t )b 2  1   


r  E 
b
 r (r , t )   p(t ) 
r
b
r
(5.33)
2
(5.34)
2
  (r , t )  p(t ) 
Como o objetivo deste exemplo é apenas testar a formulação para problemas
infinitos e considerando a simplicidade do problema, será testado apenas o caso de
carregamento C1, cuja solução analítica viscoelástica pode ser apresentada como:
ur
C1
h(t ) pb 2
(r , t ) 
r
 1 (q  p q )  qq0 t 
1 0
e 1 
  1
q0 q1
 q0

(5.35)
A modelagem via MEC se restringe ao contorno da cavidade, de acordo com as
considerações vistas no item 4.9. Foram utilizados 40 elementos de contorno ao longo
de toda a cavidade, uma vez que não foram adotadas formulações de simetria. Os dados
numéricos utilizados são apresentados a seguir:
b  10m
G1  G2  9,55GPa
K  8,75GPa
F  40GPa  s
p  15MPa
O problema foi estudado durante um período de 40s, com 80 passos no tempo de
t  0,5s . A seguir é apresentado o resultado numérico do deslocamento radial em um
ponto da cavidade (r = b) para o carregamento C1.
129 Deslocamento Radial ‐ Carregamento C1
ur (r=b) (mm)
20
15
10
Sol. Analítica
5
Sol. MEC
0
0
10
20
30
40
t (s)
Figura 5.35 – Problema da Cavidade Cilíndrica em Sólido Infinito – Deslocamento
Radial ur na Cavidade para o Carregamento C1
5.7 – Carga Linearmente Distribuída em Domínio Semiplano
O problema, adaptado de VILLAÇA e GARCIA [19], consiste em um
carregamento linearmente distribuído em domínio semiplano. Trata-se de um exemplo
muito comum em engenharia tal como o estudo dos efeitos das fundações de edificações
apoiadas em solo ou rocha. O problema será modelado como um estado plano de
deformações, ou seja, o estudo será realizado em uma faixa de 1m em um sólido semiinfinito, sendo o carregamento distribuído por uma faixa perpendicular ao plano
estudado.
130 Fiigura 5.36 – Carga lineearmente distribuída em
m domínio ssemiplano
O exem
mplo apreseentado é o mais sim
mples para o universoo de probllemas
semiplanos e o campo de deslocamenntos via ME
EC no contorno limitee do semiplano é
obtiddo diretameente (e analiticamente)) através da
d expressão (4.118), que é a prrópria
apliccação do connceito de so
olução funddamental paara problemaas semiplannos. Deste modo,
m
esperra-se uma solução num
mérica muitoo próxima da
d analítica,, uma vez qque as funçõ
ões de
interppolação sãão quadrátiicas, restanndo apenass os erros oriundos das integrações
espacciais por meeio de Quad
dratura Gauussiana e dass convoluçõ
ões de Stieltjtjes.
A soluçãão analíticaa é, portantoo, obtida attravés do mesmo
m
concceito presen
nte na
soluçção numéricca, ou seja,, o campo dde deslocam
mentos analítico é obttido realizan
ndo a
somaa de Riem
mann (supeerposição) dos efeitoss das diveersas cargaas infinitessimais
concentradas applicadas no plano
p
limitee x1=0, caraacterizando o carregam
mento distrib
buído.
O cam
mpo de desslocamentoss é, portantoo, obtido da seguinte fo
orma:
 p (t )  p1 (t ) ξ  L  * du * 0, ξ , x, t dξ

ui x , t     p1 (t )  2
2
i1
2
2

2L
L
L
(5.36)
(
A soluçãão fundameental de (5.336) é apreseentada nas equações (44.114), ond
de são
levaddos em connsideração os
o efeitos dde uma carrga concenttrada para o contorno x1=0
referrente ao dom
mínio semip
plano. Para ppontos x no
o plano limiite, a integraal (5.36) se torna
imprrópria. Reesscrevendo a coordenadda x2 ao lo
ongo da sup
perfície x1=
=0 simplesm
mente
comoo x, a integrral imprópria (5.36) revvela o segu
uinte resultado para prooblemas elásticos
em ppontos no pllano limite:
131 u1 0, x , t   

1   p1 t   p2 t  
 p t   p1 t  

 f 0 x    2
 f1  x 

2
2L
G 




f 0 x   L  x  ln L  x  L  x  ln L  x  2 L
f1  x  
(5.37)
L2  x 2 L  x
ln
 Lx
2
Lx
u2 0, x , t  
1  2
2G
 p1 t   p2 t  

 p t   p1 t  
 g0 x    2
 g1 x 

2
2L





L, x2   L

g 0  x    x,  L  x2  L
 L, x  L
2

 2
2
 L  x ,  L  x2  L
g1  x    2
0, x2   L ou x2  L

(5.38)

Apesar da existência de funções logarítmicas nas expressões anteriores, não
ocorrem singularidades em nenhum ponto do plano limite x1=0. O campo de
deslocamentos dentro do domínio, onde não ocorrem integrações impróprias, possui o
seguinte aspecto:
u1 x , t   
1  p1 t   p2 t  

21   f 01 x   f 02 x  
2G 
2


 p t   p1 t  
 2
21   f11 x   f12 x 
2L



L  x2  ln L  x 2  x 2  L  x2  ln L  x 2  x 2  2 L 
f 01 x  
2
1
2
1
2
2

 L  x2 
 L  x2 
  tg 1 

 x1 tg 1 
 x1 
 x1 





2
L2  x22  x12  L  x2   x12 
 Lx2 
ln 
2
2
4
 L  x2   x1 

 L  x2 
 L  x2 
  tg 1 

 x1 x2 tg 1 
 x1 
 x1 


 L  x2 
 L  x2 
  tg 1 

f 02 x   x1 tg 1 
x
x



1
1


2
 1  L  x2 

x 2  L  x2   x12 
1  L  x2 






f12 x   1 ln 
tg
x
x
tg


1
2
2
 x 
 x 
2  L  x2   x12 
 1 
 1 

f11 x  
132 (5.39)
u2 x, t   
1  p1 t   p2 t  
 1  2 g 01 x   g 02 x  

2G 
2

 p t   p1 t  
 2
 1  2 g11 x   g12 x 
2L



 L  x2 
 L  x2  x1  L  x2 2  x12 
  tg 1 
  ln 

g 01 x    L  tg 1 
2
2
 x1 
 x1  2  L  x2   x1 

  L  x2 
 L  x2 

  tg 1 
 x2 tg 1 
x
x
1
1





 L  x2 
L2  x22  x12  1  L  x2 
  x1L 
  tg 1 
g11 x  
tg 
2
x
x
 1 
  1 
2
2
x x  L  x2   x1 
 1 2 ln 
2
2
2
 L  x2   x1 
2
x1  L  x2   x12 
g 02 x    ln 

2  L  x2 2  x12 
2

x2  L  x2   x12 
g12 x    x1 2 L  ln 

2  L  x2 2  x12 

(5.40)
  L  x2 
 L  x2  
 
  tg 1 
 x1 tg 1 
x
x
 1  
  1 
Para a solução viscoelástica, o Princípio da correspondência é aplicado para os
diversos casos de carregamentos:
C1
u1
x , t    ht   p1  p2 21 t  f01 x   2 t  f 02 x  
 
2


 p  p1 
 2
21 t  f11 x   2 t  f12 x 
 2L 

1 (t ) 

t
3K  2q0
3 p1q0  q1 

e 6 Kp1  q1 
q0 6 K  q0  26 K  q0 6 Kp1  q1 
6 K  q0
q

p1q0  q1   q t

e
0
1
2q0 q1
1 p q  q   t
 2 (t )   1 0 1 e q1
q0
q0 q1
q0
133 (5.41)
u2
C1
x, t    ht   p1  p2  1 t g01 x   2 t g02 x  
  2 
 p  p1 
 2
 1 t g11 x   2 t g12 x 
 2L 

t
3
3 p1q0  q1 

e 6 Kp1  q1
1 (t ) 
6 K  q0  6 K  q0 6 Kp1  q1 
6 K  q0
(5.42)
1 p q  q   t
2 (t )   1 0 1 e q1
q0
q0 q1
q0
C3
u1
x , t    1  p1  p2 2 1 t  f 01 x    2 t  f 02 x  
 
2


 p  p1 
 2
2 1 t  f11 x    2 t  f12 x 
 2L 

1
1
1
1
 i t   i (t )  i (t  t1 ) 
i (t  t 2 ) 
i (t  t3 )
t1
t1
t3  t 2
t3  t 2


 3K  2q0
2 9 K 2  3Kq0  q02  p1q0  q1 
1 (t )  h(t ) 
t

2
q02 6 K  q0 
 q0 6 K  q0 
q0
6 K  q0

p1q0  q1   q1 t 3 p1q0  q1   6 Kp1  q1 t 
e
e



2
2q02
26 K  q0 

q0
1

p1q0  q1   p1q0  q1   q1 t 
 2 (t )  h(t )  t 
e 

q02
q02
 q0

u2
C3
x , t    1  p1  p2  1 t g 01 x    2 t g 02 x  
 
2

 p  p1 
 2
 1 t g11 x    2 t g12 x 
 2L 
1
1
1
1
i t   i (t )  i (t  t1 ) 
i (t  t 2 ) 
i (t  t3 )
t1
t1
t3  t 2
t3  t 2
6 K  q0

3
3 p1q0  q1  3 p1q0  q1   6 Kp1  q1 t 
1 (t )  h(t ) 
t
e


6 K  q0 2 6 K  q0 2
 6 K  q0 

q0
1

p1q0  q1   p1q0  q1   q1 t 
2 (t )  h(t )  t 
e 

q02
q02
 q0

134 (5.43)
(5.44)
Para o histórico C2, basta proceder como nos outros exemplos. Devido à não
existência de unicidade da solução fundamental para problemas semiplanos, tanto a
solução analítica quanto a numérica para o deslocamento u1 será apresentada tendo
como referência um ponto do plano limite x1=0. Para este exemplo, foi adotado como
referência o ponto x2=-5L do plano limite.
Quanto aos exemplos numéricos, foram modelados dois casos, sendo o primeiro
caracterizado por um carregamento uniformemente distribuído e o segundo por uma
carga triangular. Os seguintes valores foram adotados:
L  5m
G1  G2  11,54GPa
K  25GPa
F  23,1GPa  s
 p1  p
Caso 1 : 
 p2  p
 p1  0
Caso 2 : 
 p2  2 p
p  1MPa
Para todos os carregamentos, o problema foi estudado durante um período de
30s, com 60 passos no tempo de t  0,5s . Para o histórico de carregamentos C2, foi
adotado t1=15s e, para C3, foram adotados t1=8s, t2=15s e t3=23s. Tendo em vista que as
funções de interpolação dos elementos de contorno são quadráticas e que o
carregamento do problema é linear, apenas um elemento modelando o contorno de
aplicação da carga seria necessário para a obtenção de resultados satisfatórios. Foram
utilizados, porém, 5 elementos de contorno, totalizando 11 nós funcionais, com o
objetivo de mapear melhor o campo de deslocamentos da superfície.
A seguir, são apresentados os deslocamentos horizontais e verticais em alguns
pontos do plano limite para os diversos históricos de carregamentos para os dois casos.
Em seguida, são mostrados resultados para um grupo de pontos do plano limite na
região de aplicação da carga distribuída.
135 u1(x2 = 0) ‐ u1(x2 = ‐5L) (mm)
Deslocamento Vertical ‐
Carregamento C1
1
0.8
0.6
Sol. Analítica
0.4
Sol. MEC
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
t (s)
Figura 5.37 – Deslocamento vertical relativo do ponto central x2=0 para o
histórico C1 e caso 1
Deslocamento Horizontal ‐
Carregamento C1
u2(x2 = ‐L) (mm)
0.1
0.08
0.06
Sol. Analítica
0.04
Sol. MEC
0.02
0
0
5
10
15
20
25
30
t (s)
Figura 5.38 – Deslocamento horizontal do ponto x2=-L para o histórico C1 e
caso 1
136 u1(x2 = L) ‐ u1(x2 = ‐5L) (mm)
Deslocamento Vertical ‐
Carregamento C1
1
0.8
0.6
Sol. Analítica
0.4
Sol. MEC
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
t (s)
Figura 5.39 – Deslocamento vertical relativo do ponto x2=L para o histórico C1
e caso 2
u1(x2 = L) ‐ u1(x2 = ‐5L) (mm)
Deslocamento Vertical ‐
Carregamento C3
1
0.8
0.6
Sol. Analítica
0.4
Sol. MEC
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
t (s)
Figura 5.40 – Deslocamento vertical relativo do ponto x2=L para o histórico C3
e caso 2
137 Deslocamento Vertical ‐
Carregamento C1
x2 (m)
‐25
‐15
‐5
5
15
25
u1‐u1(x2 = ‐5L) (mm)
0
Sol. Analítica t=0s
Sol. MEC t=0s
0.2
Sol. Analítica t=2s
0.4
Sol. MEC t=2s
0.6
Sol. Analítica t=20s
0.8
Sol. MEC t=20s
1
Figura 5.41 – Deslocamento vertical relativo do plano limite na região da carga
para o histórico C1 e caso 1
Deslocamento Horizontal ‐
Carregamento C1
0.1
0.075
Sol. Analítica t=0s
u2 (mm)
0.05
‐25
Sol. MEC t=0s
0.025
‐15
0
‐5
‐0.025
Sol. Analítica t=2s
5
15
‐0.05
25
Sol. MEC t=2s
Sol. Analítica t=20s
‐0.075
Sol. MEC t=20s
‐0.1
x2 (m)
Figura 5.42 – Deslocamento horizontal do plano limite na região da carga para o
histórico C1 e caso 1
138 Deslocamento Vertical ‐
Carregamento C1
x2 (m)
‐25
‐15
‐5
5
15
25
u1‐u1(x2 = ‐5L) (mm)
0
Sol. Analítica t=0s
Sol. MEC t=0s
0.2
Sol. Analítica t=2s
0.4
Sol. MEC t=2s
0.6
Sol. Analítica t=20s
0.8
Sol. MEC t=20s
1
1.2
Figura 5.43 – Deslocamento vertical relativo do plano limite na região da carga
para o histórico C1 e caso 2
Deslocamento Horizontal ‐
Carregamento C1
0.1
0.075
Sol. Analítica t=0s
u2 (mm)
0.05
‐25
Sol. MEC t=0s
0.025
‐15
0
‐5
‐0.025
Sol. Analítica t=2s
5
15
‐0.05
25
Sol. MEC t=2s
Sol. Analítica t=20s
‐0.075
Sol. MEC t=20s
‐0.1
x2 (m)
Figura 5.44 – Deslocamento horizontal do plano limite na região da carga para o
histórico C1 e caso 2
Para o estudo do estado de tensões no semiplano provocado pela carga
distribuída, toma-se como ponto de partida o estado de tensões elástico devido a uma
carga concentrada, segundo VILLAÇA e GARCIA [19]:
139 Figgura 5.45 – Tensões noo semiplano devidas a uma
u carga cconcentrada
2P
cos
r
    r  0
r  
(5.45)
(
Para o cáálculo do estado de tennsões devid
do ao carreg
gamento disstribuído, uttilizase o mesmo exppediente ap
plicado no ccálculo do campo
c
de deslocament
d
tos, realizan
ndo a
somaa de Riemaann dos efeitos das forrças concen
ntradas infinitesimais qque compõ
õem o
carreegamento distribuído.
d
Desta form
ma, o estad
do de tensõ
ões elástico produzido pelo
carreegamento linnearmente distribuído
d
ppossui o seg
guinte aspeccto:
Figurra 5.46 – Teensões no seemiplano deevidas ao caarregamentoo linearmen
nte
distribuído
o
140  1 x, t   
1  p1 t   p2 t    p2 t   p1 t   


 x2  1   2  cos1   2 sen 1   2  
 
2
2L
 
 

1  p2 t   p1 t   
 x1  sen 1   2 sen 1   2 

 
2L
 
(5.46)
 2 x, t   
1  p1 t   p2 t    p2 t   p1 t   
 x2  1   2  cos1   2 sen1   2  


 
2
2L
 
 


1  p2 t   p1 t   
cos 2 
 sen1   2 sen1   2 
 x1  2 ln


 
2L
cos1 
 

(5.47)
 12 x, t   

1  p1 t   p2 t    p2 t   p1 t   


 x2  sen 1   2 sen 1   2  
 
2
2L
 
 
1  p2 t   p1 t   

 x1  1   2  cos1   2 sen 1   2 
 
2L
 
(5.48)
As tensões mostradas em (5.46) a (5.48) independem de constantes elásticas, o
que sugere que o estado viscoelástico de tensões terá a mesma configuração do elástico,
ou seja, as tensões viscoelásticas possuem o mesmo comportamento temporal do
carregamento distribuído. Apesar da presença da função logarítmica na expressão da
tensão  2 (equação (5.47)), não existem singularidades.
Como as soluções analíticas para o estado de tensões elástico e viscoelástico são
equivalentes, será apresentado a seguir o estado de tensões devido ao histórico C1, que é
constante ao longo do tempo, sendo esta apresentação motivada pela verificação da
metodologia e formulação para o cálculo de tensões em pontos internos.
Para ilustrar os resultados, foi confeccionada uma malha de pontos internos
(inclusive no contorno x1=0) em complemento aos nós funcionais do trecho carregado
do plano limite. Foi mapeada uma região retangular com  5L  x2  5 L e 0  x1  10 L ,
com espaçamento entre nós de x1  x2  1m . Para melhor apresentação dos
resultados, foi utilizado o programa view3D do professor Fernando Ribeiro do
141 PEC/COPPE/UFRJ. Como o programa consiste em um pós-processador para o MEF,
faz-se necessário produzir uma malha de elementos finitos para o input do programa, o
que não constitui em grandes dificuldades dada a configuração da malha de pontos
internos. A interpolação em cada elemento finito aprimora o aspecto visual dos
resultados numéricos obtidos por MEC. A seguir, segue o estado de tensões numérico,
em MPa, via MEC:
Figura 5.47 – Tensões verticais T11 numéricas no domínio semiplano para o caso 1
142 Figura 5.48 – Tensões horizontais T22 numéricas no domínio semiplano para o caso 1
Figura 5.49 – Tensões cisalhantes T12 numéricas no domínio semiplano para o caso 1
143 Figura 5.50 – Tensões verticais T11 numéricas no domínio semiplano para o caso 2
Figura 5.51 – Tensões horizontais T22 numéricas no domínio semiplano para o caso 2
144 Figura 5.52 – Tensões cisalhantes T12 numéricas no domínio semiplano para o caso 2
Vale destacar que, na metodologia numérica, as soluções fundamentais
viscoelásticas possuem funções temporais não nulas e as convoluções de Stieltjes são
realizadas normalmente, de acordo com a formulação (4.119). No entanto, como era de
se esperar, o estado de tensões numérico não varia para o histórico C1, como vaticina a
solução analítica. Comparando as soluções numéricas e analíticas do estado de tensões,
os resultados podem ser considerados satisfatórios, sendo que os maiores erros são
obtidos nas regiões próximas ao contorno carregado, tendo em vista a proximidade de
singularidade na integração. Já nos nós funcionais do próprio contorno carregado, a
utilização de metodologia própria para cálculo das tensões (item 4.8 – Estado de
Tensões no Contorno), ao invés da formulação integral (4.119), produz resultados mais
satisfatórios.
Mais uma vez, este texto salienta a vantagem do MEC sobre o MEF neste
exemplo. No MEC, o estado de tensões ilustrado é obtido sem a resolução de sistemas
lineares. As tensões em cada ponto interno são obtidas diretamente por meio de
integrais temporais e espaciais, conforme formulação (4.119). Nem mesmo para a
obtenção do campo de deslocamentos nos nós funcionais é necessária a solução de
145 sistemas lineares para este problema particular, uma vez que a formulação direta (4.118)
é utilizada.
Já no MEF, faz-se necessária a solução de um sistema de equações cujas
incógnitas são os deslocamentos em cada nó definido no MEC como interno ou
funcional, e o estado de tensões é obtido através de pós-processamentos dos resultados
dos destes deslocamentos. Além disso, testes são necessários para garantir uma malha
com dimensões suficientes para a satisfatória simulação do domínio semi-infinito.
5.8 – Tubo Próximo à Superfície em Domínio Semiplano
Este problema, extraído originalmente de TELLES [9], consiste em uma
cavidade cilíndrica em domínio semiplano localizada próxima ao plano limite. Foi
adotada uma pressão interna p na cavidade como carregamento, o que caracteriza o
problema como uma tubulação enterrada. Será adotado o modelo de estado plano de
deformações, ou seja, será analisada uma faixa de 1m da interface solo-tubo. O objetivo
principal desta modelagem é avaliar numericamente as concentrações de tensões na
região entre o plano limite e a cavidade, embora estas tensões tenham a mesma variação
temporal do carregamento radial do tubo em regime viscoelástico.
A solução numérica adotada consistiria em um método hibrido, com a adoção do
Método de Colocação no contorno carregado do plano limite e a aplicação do Método
de Galerkin no contorno da cavidade. Como o problema em questão não possui
carregamentos aplicados no plano limite, apenas a cavidade será modelada, o que
viabiliza a adoção do Método de Galerkin puro. Alternativamente, foi realizada uma
modelagem com elementos de contorno no plano limite com carregamento nulo, com o
objetivo de testar a formulação híbrida descrita anteriormente.
146 Figura 5.53
5 – Tuboo enterrado submetido
s
à pressão int
nterna
Para a obbtenção da solução
s
anaalítica elástiica deste exemplo, tom
ma-se como ponto
p
de partida um problema
p
que
q consistee em um tu
ubo cilíndrico com cavvidade cilín
ndrica
excênntrica com relação ao
o centro doo tubo sujeiita a uma pressão
p
inteerna pi e a uma
presssão externa pe. Diferentemente do que ocorre no exemplo 5.1, o usoo de coorden
nadas
polarres não é addequado parra a soluçãoo deste problema, sendo
o mais convveniente o uso
u de
coorddenadas bippolares.
147 F
Figura
5.54 – Tubo cilííndrico com
m cavidade cilíndrica
c
exxcêntrica
Fazendo d 0  r0 e r0   , aléém de pe = 0, obtém-see justamentte o problem
ma do
tubo enterrado em
e domínio
o semiplanoo. O estado de tensões elástico parra o problem
ma do
tubo com orifício excêntricco da figuraa 5.54 podee ser enconttrado em TIIMOSHENKO e
GOO
ODIER [18]] e JEFFER
RY [23] atrravés do usso de coord
denadas bippolares. Em
m [23]
tambbém é apresentado o estado de tensões parra o probleema do tubbo enterrad
do em
domíínio semiplaano.
A soluçãão analítica elástica parra a tensão  2 no plan
no limite x1=
=0 fazendo x2=x
possuui o seguintte aspecto:
 2 0, x , t   4 pt r
2
x2  d 2  r 2
x
2
 d 2  r2

2
148 (5.49)
A solução analítica elástica para a tensão tangencial  tr1 ao longo do contorno
do tubo enterrado é apresentada a seguir, considerando que o ângulo  mapeia dois
pontos distintos do contorno:
 tr1  , t   pt 1  2tg 2 
(5.50)
Como se pode observar, o estado de tensões elástico não depende das
propriedades elásticas, ou seja, as soluções (5.49) e (5.50) são válidas também para o
regime viscoelástico. A tensão tangencial máxima ocorre para  máximo:

 d 2  r2 

1

 trmax
1  max , t   p t 
 d 2  r 2 ,  max  tg 
2
2 


 d r 
r
(5.51)
Para o campo deslocamentos, foi utilizado o procedimento para a solução de
problemas elásticos em coordenadas bipolares descrito em [18]. Os resultados são
apresentados a seguir para o plano limite (x1=0 e x2=x):
pt 1  
2dr 2
u1 0, x , t   
G
x2  d 2  r 2
u2 0, x , t  
pt 1  
2 xr 2
G
x2  d 2  r 2
(5.52)
(5.53)
As soluções viscoelásticas são obtidas através do Princípio da Correspondência:
pdr 2
 t 
x2  d 2  r 2
pxr 2
C1
u2 0, x , t   2
 t 
x  d 2  r2
q0
2
6
2 p1q0  q1   q1 t


e
 t   h(t )  
q0 q1
 q0 6 K  q0
6 K  q0
t

6 p1q0  q1 
6 Kp1  q1
e


6 K  q0 6 Kp1  q1 

C1
u1
0, x , t   
149 (5.54)
pdr 2
 t 
x2  d 2  r 2
pxr 2
C3
u2 0, x , t   2
 t 
x  d 2  r2
1
1
1
1
 t    (t )   (t  t1 ) 
 (t  t2 ) 
 (t  t3 )
t1
t1
t3  t 2
t3  t 2
0, x , t   
C3
u1
 2

 2
6 
6

t   p1q0  q1  2 
 t   h(t )  
2 

 q0 6 K  q0  
 q0 6 K  q0 
(5.55)
2 p1q0  q1   q1 t 6 p1q0  q1   6 Kp1  q1 t 
e
e



q02
6 K  q0 2

6 K  q0
q0
O campo de deslocamentos elástico para o contorno do tubo enterrado é
apresentado a seguir:
 1   r 2

1


u1 x, t    pt 
x22  x12  d 2  r 2 
 G x1 4Gx1

u2 x, t  
pt x2
2G
(5.56)
(5.57)
A correspondente solução viscoelástica é então obtida:
C1
u1
x, t    p  r  t    t  x22  x12  d 2  r 2 


2
2  x1

x1
x, t   px2  t 
 1  p q  q   qq t 
 t   h(t )   1 0 1 e 
u2
C1
(5.58)
0
1
 q0
C3
1
u
u2

q0 q1
x, t    p  r  t    t  x22  x12  d 2  r 2 
C3


2
2  x1

x1
x, t   px2 t 
1
t1
1
t1
 t    (t )   (t  t1 ) 
1
1
 (t  t2 ) 
 (t  t3 )
t3  t 2
t3  t 2
q0
1

p1q0  q1   p1q0  q1   q1 t 

 t   h(t )  t 
e 
q02
q02
 q0

150 (5.59)
Nas equações (5.58) e (5.59), as funções temporais  t  e  t  são as mesmas
das equações (5.54) e (5.55). Para o carregamento C2, o procedimento é o mesmo de
outros exemplos.
Quanto aos dados numéricos, são apresentados os seguintes valores:
r  1m
d  1,5m
G1  G2  11,54GPa
K  25GPa
F  23,1GPa  s
p  1MPa
Para todos os carregamentos, o problema foi estudado durante um período de
30s, com 60 passos no tempo de t  0,5s . Para o histórico de carregamentos C2, foi
adotado t1=15s e, para C3, foram adotados t1=8s, t2=15s e t3=23s. A cavidade circular
foi modelada com 40 elementos de contorno sem formulações de simetria.
Considerando que apenas a cavidade precisa ser modelada neste exemplo, o
problema pode ser resolvido por meio do Método de Galerkin puro e os pontos no plano
limite são calculados como internos. Porém, foi realizada outra modelagem atribuindo
elementos de contorno a uma faixa do plano limite descarregado com o objetivo de
testar a formulação híbrida. Os resultados dos dois modelos são idênticos para este caso
particular, o que já era esperado pela própria formulação apresentada no capítulo 4 desta
dissertação.
Serão apresentados a seguir diversos resultados numéricos acerca do campo de
deslocamentos e estado de tensões. Na figura 5.55, pode-se observar a concentração da
tensão  2 ao longo do plano limite. Na figura 5.56, verifica-se a distribuição de tensões
tangenciais ao longo do contorno no orifício.
151 Tensão T22 ‐ Plano Limite
3.5
3
2.5
T22 (MPa)
2
Sol. Analítica
1.5
Sol. MEC
1
0.5
0
‐4
‐2
0
‐0.5
x2 (m)
2
4
Figura 5.55 – Tensão T22 ao longo do plano limite
Tensão Tangencial no Tubo
2.5
σtr1 (MPa)
2
1.5
Sol. Analítica
1
Sol. MEC
0.5
‐45
‐25
0
‐5
15
35
φ (º)
Figura 5.56 – Tensão tangencial ao longo do contorno do orifício
152 Deslocamento Vertical ‐
Carregamento C1
x2 (m)
‐0.3
Sol. Analítica t=0s
‐0.25
u1 (mm)
‐4
Sol. MEC t=0s
‐0.2
Sol. Analítica t=2s
‐0.15
Sol. MEC t=2s
Sol. Analítica t=20s
‐0.1
‐2
‐0.05
Sol. MEC t=20s
0
2
4
0
Figura 5.57 – Deslocamento u1 ao longo do plano limite para o carregamento C1
u2 (mm)
Deslocamento Horizontal ‐
Carregamento C1
‐4
‐2
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
‐0.02 0
‐0.04
‐0.06
‐0.08
‐0.1
x2 (m)
Sol. Analítica t=0s
Sol. MEC t=0s
Sol. Analítica t=2s
2
4
Sol. MEC t=2s
Sol. Analítica t=20s
Sol. MEC t=20s
Figura 5.58 – Deslocamento u2 ao longo do plano limite para o carregamento C1
153 Deslocamento Vertical ‐
Carregamento C2
‐0.3
u1A (mm)
‐0.25
‐0.2
Sol. Analítica
‐0.15
Sol. MEC
‐0.1
‐0.05
0
5
10
15
20
25
30
0
t (s)
Figura 5.59 – Deslocamento u1 no ponto A do orifício para o carregamento C2
Deslocamento Vertical ‐
Carregamento C3
‐0.3
u1A (mm)
‐0.25
‐0.2
Sol. Analítica
‐0.15
Sol. MEC
‐0.1
‐0.05
0
5
10
15
0
20
25
30
t (s)
Figura 5.60 – Deslocamento u1 no ponto A do orifício para o carregamento C3
154 Deslocamento Vertical ‐
Carregamento C1
0.05
0
u1 (mm)
‐180
‐90
‐0.05 0
90
180
Sol. MEC t=0s
‐0.1
Sol. Analítica t=2s
‐0.15
Sol. MEC t=2s
‐0.2
Sol. Analítica t=20s
‐0.25
‐0.3
Sol. Analítica t=0s
Sol. MEC t=20s
θ (º)
Figura 5.61 – Deslocamento u1 ao longo do contorno do tubo para o
carregamento C1
Deslocamento Horizontal ‐
Carregamento C1
0.1
0.075
Sol. Analítica t=0s
u2 (mm)
0.05
‐180
Sol. MEC t=0s
0.025
0
‐90 ‐0.025 0
Sol. Analítica t=2s
90
‐0.05
Sol. MEC t=2s
Sol. Analítica t=20s
‐0.075
‐0.1
180
Sol. MEC t=20s
θ (º)
Figura 5.62 – Deslocamento u2 ao longo do contorno do tubo para o
carregamento C1
155 5.9 – Comparração Enttre os Méétodos da Colocaçã
ão e Galerrkin
O objetivvo deste item é ampliaar o escopo de conclusõ
ões acerca dda aplicabillidade
dos Métodos da
d Colocaçãão e de G
Galerkin na solução dee problemaas viscoelásticos
lineaares bidimennsionais. In
nicialmente,, o exemplo
o do tubo submetido à pressão in
nterna
foi m
modelado coom diversass malhas, coonforme a figura 5.63 e a tabela 5.1. Nas taabelas
5.2 e 5.3, são appresentados os resultaddos para os deslocamen
d
ntos radiais nnas faces in
nterna
e extterna para as diversass malhas ccom a apliccação do caarregamentoo C1. Os dados
d
numééricos são os mesmoss do item 55.1. Tanto o Método da Colocaçção quanto o de
Galerkin foram modeladoss com elemeentos de fu
unções de in
nterpolação lineares, devido
aos pproblemas explicitados
e
no item 5.11.
F
Figura
5.63 – Malha geenérica paraa o problemaa do item 5..1
Tabela 5.1 – Malhas
M
de Elementos dee Contorno para
p o Problema do Tuubo Submetiido à
Prressão Interrna
156 Tab
abela 5.2 – Resultados
R
de
d Deslocam
mentos Rad
diais (em mm
m) – Compaaração entree os
Métodos da Colocaação e Galerrkin – Problema 5.1
Tabela 5.33 – Erro relaativo percenntual entre a solução an
nalítica e nuumérica dos
deeslocamentoos radiais – Comparaçãão entre os Métodos daa Colocaçãoo e Galerkin
n–
P
Problema 5..1
Neste exxemplo, pod
de-se observvar a consisstência dos métodos daa Colocação
o e de
Galerkin. Para malhas
m
maiss refinadas,, como já see poderia prrever, as differenças enttre os
resulltados numééricos dos métodos nnão justificaam a adoçãão do Métoodo de Gallerkin
enquuanto que, para
p malhas pouco refinnadas, as differenças nos resultadoss tornam-see mais
signiificativas.
mputar o tem
mpo de proocessamento
o das diverssas malhas, foram defiinidos
Para com
os seeguintes tem
mpos: TI é o tempo totaal de cálculo
o das integrrais espaciaais, TC engloba o
temppo de cálcuulo das convoluções teemporais e formação final dos ssistemas, TS
S é o
temppo total de solução
s
dos sistemas paara todos oss passos de tempo e TT
T é o tempo
o total
de prrocessamennto, que pod
de ser descrrito como TT=TI+TC+
T
+TS, uma vvez que os outros
o
proceessos possuuem contrib
buição poucco significaativa se com
mparada aoos três proccessos
consiiderados. Como
C
o temp
po de proceessamento é uma grand
deza extrem
mamente relativa,
pois depende daa configuraação do com
mputador on
nde o progrrama está ssendo execu
utado,
157 serãoo apresentados resultados relativoos, relacion
nando diverrsos custos computaciionais
para os diversoss casos estud
dados.
Na tabella a seguir, o esforço computacio
onal dos métodos
m
é deetalhado paara as
diverrsas malhass através daa razão entrre os tempo
os de processamento T
TI do Métod
do de
Galerkin e da Colocação
C
(TI(Gal.)/T
TI(Col.)) aléém da porccentagem ddo tempo TS
T da
soluçção dos sisstemas com
m relação aao processam
mento total TT. É caalculada ain
nda a
relaçção entre o tempo
t
de prrocessamentto total TT do Método de Galerkinn e da Coloccação
(TT((Gal.)/TT(C
Col.)).
Tabela 5.44 – Comparaação entre teempos de processamen
nto para os M
Métodos daa
Colocação
o (Col.) e dde Galerkin (Gal.) – Pro
oblema 5.1
Pode-se observar um
m maior essforço comp
putacional para
p
o cálcuulo das inteegrais
espacciais no Método
M
de Galerkin, como já era
e esperad
do. Para ass malhas menos
m
refinnadas, o tem
mpo de proceessamento T
TI do Méto
odo de Galerkin foi, dee um modo geral,
da resolução do
4 vezzes superiorr ao do Método da Coolocação, co
om menor participação
p
sistem
ma de equaações no total de operaações. No entanto,
e
o aumento
a
doo refinamen
nto da
malhha provocouu uma elev
vação da rrazão do teempo de prrocessamennto das inteegrais
espacciais para 8,
8 com partticipação beem mais sig
gnificativa da
d resoluçãão do sistem
ma de
equaações. Isto ocorre
o
devid
do ao fato dde que sistem
mas de equ
uações são rresolvidos a cada
passoo no tempo enquanto que
q as integrrais espaciaais são calcu
uladas apenaas uma vez e são
armaazenas na memória
m
parra utilizaçãoo em cada passo no teempo. Este expedientee só é
possíível graças à natureza das soluçõ es fundameentais viscoelásticas (ddiscutida no
o item
4.2).
Na maiooria dos cassos, para obbter uma mesma
m
preccisão na ressposta num
mérica,
podee-se adotar malhas
m
men
nos refinaddas para o Método
M
de Galerkin.
G
SSe o contorn
no do
158 probllema exige a definição de muitoos nós funciionais, a paarticipação da resoluçãão do
sistem
ma no totall de operaçõ
ões é bem ssignificativaa, ou seja, uma
u reduçãoo do refinam
mento
nestee caso podeeria reduzir o custo tottal de processamento sem prejuddicar a quallidade
dos rresultados em relação
o ao Métoddo da Coloccação. Evid
dentemente,, diversos testes
devem ser realizzados para a obtenção dde resultado
os mais concretos acercca deste tem
ma.
A seguirr, será feitaa a mesma análise com
m diversas malhas parra o exemp
plo da
viga engastada com carg
ga concentr
trada aplicaada na exttremidade livre, confforme
descrrição e daddos numériccos do item
m 5.5. As diiversas malhas e seus resultados estão
apressentados naa figura 5.64
4 e tabelas 5.5 a 5.7. Neste
N
caso, o Método dda Colocaçãão foi
modeelado com elementos lineares
l
e o Método de Galerkin com elemeentos quadrááticos
(o qque constituui a formu
ulação origginal da pesquisa), uma
u
vez qque, neste caso,
diferrentemente do exemplo do tubo, não existeem problem
mas quanto à adequaçãão da
malhha à geomeetria real do
o contorno.. Como o número
n
de nós funcioonais deve ser o
mesm
mo para a comparação
c
o entre métoodos, as maalhas para o Método dde Galerkin terão
metaade dos elem
mentos da co
orrespondennte para o Método
M
da Colocação.
C
F
Figura
5.64 – Malha geenética paraa o problemaa do item 5..5
Tabeela 5.5 - Maalhas de Elem
mentos de C
Contorno paara o Probleema da Vigaa Engastadaa com
Carga
C
Conccentrada na Extremidad
E
de
159 Tab
abela 5.6 - Resultados
R
do
d Deslocam
mento Vertical na Extreemidade Livvre (em mm
m) –
Comparração entre os Métodoss da Colocaação e Galerrkin – Probllema 5.5
Tabela 5.77 – Erro relaativo percenntual entre a solução an
nalítica e nuumérica dos
deslocamentoos verticais – Comparaçção entre oss Métodos da
d Colocaçãão e Galerkiin –
P
Problema 5..5
Na tabeela a segu
uir, são appresentadoss os comp
parativos ac
acerca do custo
compputacional.
nto para os M
Métodos daa
Tabela 5.8 – Comparaação entre teempos de processamen
Colocação
o (Col.) e dde Galerkin (Gal.) – Pro
oblema 5.5
O compportamento dos resultaados se asssemelha ao do exempplo do tubo
o. Do
mesm
mo modo, o desempenh
ho do Méto do de Galerrkin é superrior e as dife
ferenças são
o mais
evideentes para as malhas menos refiinadas. O leve aumentto do erro relativo paara as
malhhas mais reffinadas no Método
M
de G
Galerkin po
oderia indicaar uma faltaa de consisttência
da
formulaçãoo
numéricca.
No
eentanto,
160 é
preciso
considerarr
que
ex
xistem
incompatibilidades nas condições de contorno essenciais da face engastada entre a
solução analítica e numérica, conforme exposição do item 5.5. Esta perturbação na
região do apoio tende a distanciar as soluções analítica e numérica à medida que o
refinamento da malha do MEC aumenta, tendo em vista que a solução numérica
converge para uma condição que não representa exatamente as premissas utilizadas para
a obtenção da solução analítica. No entanto, este pequeno desvio não afeta a qualidade
dos resultados, embora sugira uma inconsistência na formulação numérica.
De um modo geral, o tempo de processamento das integrais espaciais do Método
de Galerkin foi 4 vezes superior ao Método da Colocação, o que, para malhas mais
refinadas, representa metade da razão obtida para o problema do tubo. Esta diferença
ocorre porque, no exemplo da viga, foi utilizada para o Método de Galerkin a metade
dos elementos usados no Método da Colocação, em virtude da natureza quadrática das
funções de interpolação dos elementos da formulação via Galerkin.
A relação entre a qualidade dos resultados e o custo computacional é um aspecto
muito importante a ser avaliado no momento da escolha entre os Métodos de Galerkin e
da Colocação. Basicamente, existem três processos na metodologia que influenciariam
efetivamente o custo computacional total: o cálculo das convoluções temporais, cálculo
das integrais espaciais e resolução do sistema de equações lineares. Após diversas
análises, constatou-se que as convoluções temporais possuem pouca influência sobre o
tempo total de processamento. Para problemas com poucos nós funcionais, a maior
parcela do processamento fica a cargo da execução das integrais espaciais.
Com o aumento do número de nós funcionais, espera-se uma contribuição cada
vez maior da solução do sistema no esforço computacional total. Este argumento é
reforçado pelo fato de que o número de operações para a execução das integrais
espaciais é da ordem de NE2, enquanto que a solução do sistema de equações lineares
através do Método de Eliminação de Gauss, procedimento utilizado nesta pesquisa, é da
ordem de NF3. Deste modo, como o Método de Galerkin exige malhas menos refinadas
que no Método da Colocação, pode-se considerar a hipótese de maior aplicabilidade do
Método de Galerkin para problemas que exigem muitos nós funcionais.
Evidentemente, métodos alternativos poderiam ser utilizados para a solução do
sistema, tais como métodos iterativos. Porém, muitos métodos que poderiam ser
161 propostos seriam aplicáveis de maneira satisfatória para matrizes dos coeficientes
simétricas ou com simetrização que não acarreta perda significativa de qualidade na
resposta final.
Outro aspecto que influencia diretamente a comparação de esforço
computacional entre os métodos é o número de pontos de Gauss (npg) utilizado nas
integrações numéricas, considerando que as integrações via Método da Colocação são
simples, ou seja, possuem esforço computacional da ordem de npg enquanto que o
Método de Galerkin possui integrações duplas, com esforço computacional da ordem de
npg2. Em todos os casos estudados, foi adotado npg=8 para cada direção de integração.
A redução de npg obviamente reduziria o custo da execução das integrais espaciais. No
entanto, dependendo do problema estudado, para se adotar tal expediente, deve-se
atentar para possíveis perdas na qualidade das respostas decorrentes das quasesingularidades, tendo como sugestão para a solução deste problema a adoção de
métodos para tratamento especial da integração numérica.
Uma das vantagens de se utilizar o MEC via Galerkin é a melhor adaptabilidade
ao acoplamento com malhas de elementos finitos. No trabalho de PAULA [17], o
acoplamento entre os métodos é realizado de maneira simples através da obtenção de
uma matriz de rigidez equivalente para a malha de elementos de contorno que, por sua
vez, é adicionada à matriz de rigidez da malha de elementos finitos. Como a matriz de
rigidez equivalente do MEC não é simétrica devido à natureza das soluções
fundamentais, a mesma é simetrizada, objetivando uma metodologia de acoplamento
mais eficiente. Os resultados finais de [17] comprovam a maior eficiência e a melhor
qualidade dos resultados do Método de Galerkin neste acoplamento, tendo em vista que,
neste caso, observa-se uma fraca assimetria ou uma “quase simetria” em sua matriz de
rigidez equivalente.
5.10 – Comparação entre os Métodos de Interpolação Linear no
Tempo e Incremental
Com relação ao uso do Método da Interpolação Linear no Tempo e Incremental
para a avaliação das convoluções temporais, pouco se tem a concluir. Quanto ao custo
computacional, não existem grandes diferenças, principalmente porque o custo deste
processo é ínfimo se comparado ao cálculo das integrais espaciais e da resolução dos
162 sistemas lineares, conforme item anterior. Considerando o fato de que as funções de
relaxação são combinações lineares de funções exponenciais (equação (3.32b)), as
integrais para o Método da Interpolação Linear no Tempo foram realizadas
analiticamente com reduzido tempo de processamento. A única inconveniência destes
processos, sob o ponto de vista do custo computacional, é a necessidade de se
armazenar na memória do computador todo o histórico de forças de superfície e campo
de deslocamentos.
Com relação aos resultados numéricos, as conclusões se resumem a constatações
óbvias. De fato, o Método de Interpolação Linear no Tempo se comporta melhor diante
de carregamentos contínuos variáveis com o tempo (como o carregamento C3) enquanto
que, para cargas constantes (carregamento C1), os dois métodos geram respostas muito
próximas. O Método Incremental, no entanto, é mais preciso em históricos de
carregamentos com funções degrau (como o caso do carregamento C2) justamente na
região do salto. Isto ocorre porque o Método da Interpolação Linear modela o salto
como uma reta inclinada ao longo do intervalo t (figura 5.65b). Este problema pode
ser resolvido através de uma extrapolação em função dos valores em tempos anteriores,
conforme figura 5.65c. De qualquer modo, adotando um passo no tempo razoável, este
problema não compromete os resultados finais.
Neste trabalho, todos os resultados apresentados correspondem ao Método de
Interpolação Linear no Tempo, uma vez que as diferenças para o Método Incremental
são diminutas o suficiente para não serem detectadas nos gráficos.
163 Figgura 5.65 – Comparaçãão entre Méttodos de Av
valiação dass Convoluçõões Temporrais:
(a) – Método Inncremental com carreggamentos vaariáveis; (b)) – Método dda Interpolaação
Linear coom carregam
mento conteendo função
o degrau; (c)) – Extrapollação para
c
consideraçã
ão de saltos no Método
o da Interpollação Lineaar
164 Capítulo 6 – Conclusões
Ao longo deste trabalho, foi desenvolvida uma metodologia completa para a
obtenção da solução numérica de problemas viscoelásticos quasi-estáticos através do
Método dos Elementos de Contorno no domínio do tempo. O propósito central desta
pesquisa foi implementar uma rotina baseada no Método de Galerkin com elementos
quadráticos, conferindo mais qualidade aos resultados e tendo como efeito colateral um
maior custo computacional para a execução das integrais espaciais.
Ratificando tudo o que já foi dissertado, a motivação inicial para a utilização do
Método de Galerkin residiu na possibilidade de avaliar o desempenho de uma
metodologia pouco testada no Método de Elementos de Contorno, principalmente para
problemas viscoelásticos, aliada à esperança de melhores resultados que justificassem
inclusive o evidente maior esforço computacional para o cálculo das integrais espaciais.
Talvez a grande popularidade do Método da Colocação no MEC esteja
intimamente associada não apenas à sua simplicidade, mas também às limitações
computacionais da época em que o método foi desenvolvido, somado, evidentemente,
pelos resultados satisfatórios desta metodologia, o que dispensaria maiores
sofisticações. Com o aumento titânico das capacidades de armazenamento de memória e
processamento dos computadores pessoais, um olhar mais criterioso para o uso do
Método de Galerkin no MEC torna-se atraente devido à viabilidade de sua aplicação.
Esta pesquisa concluiu que, para os exemplos numéricos testados, o Método de
Galerkin efetivamente melhorou a qualidade dos resultados numéricos para malhas de
elementos de contorno equivalentes usando o Método da Colocação. Deste modo, o
Método de Galerkin pode exigir menor refinamento da malha em comparação ao
Método da Colocação. A metodologia geral deste trabalho possui três grandes processos
numéricos: cálculo das integrais espaciais, cálculo das convoluções temporais e
165 resolução do sistema de equações. O Método de Galerkin leva clara desvantagem no
primeiro processo. Todavia, o penúltimo item do capitulo 5 concluiu que, à medida que
o número de nós funcionais da malha de elementos de contorno aumenta, a resolução do
sistema de equações contribui de maneira cada vez mais significativa para o total de
processos realizados. Como o Método de Galerkin gera resultados satisfatórios para
malhas menos refinadas, esta pesquisa sugere que problemas que exigem malhas com
muitos nós poderiam ser resolvidos de forma mais eficiente através do uso do Método
de Galerkin.
Evidentemente, estes resultados não constituem em uma conclusão definitiva
sobre este assunto, mesmo considerando a quantidade de verificações realizadas neste
trabalho. Testes exaustivos deveriam ser realizados para comprovar a usabilidade do
Método de Galerkin para casos específicos. Esta dissertação deve ser interpretada como
uma provocação para que mais olhares se voltem com maior cuidado para o estudo da
aplicação das metodologias do MEC via Galerkin.
Auspiciosamente, o Método de Galerkin possui outras vantagens. Este método
não produz matrizes globais simétricas, mas viabiliza o acoplamento dos Métodos dos
Elementos de Contorno com o Método dos Elementos Finitos de forma mais eficiente,
expediente muito importante para simular diversos problemas tomando partido das
vantagens de cada método. Em PAULA [17], a matriz de rigidez equivalente para uma
malha de elementos de contorno possui grau de assimetria reduzido, o que viabiliza a
simetrização da mesma sem comprometer os resultados, tirando vantagem da matriz
simétrica resultante.
Com relação aos problemas viscoelásticos, uma formulação via MEC no
domínio do tempo tornou-se viável a partir da aplicação do Teorema da Reciprocidade
Viscoelástica, baseado na integração de Stieltjes. O grande inconveniente desta
metodologia é a necessidade de armazenar todo o histórico de deslocamentos e forças
de superfície, o que demanda grandes quantidades de memória do computador para
problemas que exigem grandes malhas e muitos passos no tempo.
Um desafio para pesquisas futuras consiste em estudar formas de realizar as
convoluções temporais com a parte do histórico que contribui significativamente para
integração, desprezando parcelas menos impactantes sem comprometer a qualidade dos
166 resultados. Uma alternativa para a solução deste desafio em problemas dinâmicos
elásticos foi proposta por SOARES JR e MANSUR [24], onde uma compressão da
convolução temporal é realizada através do cálculo das contribuições em tempos
específicos, escolhidos de acordo com a metodologia, com efeito final resultante sendo
computado em função destas contribuições através de métodos de interpolação.
Eventualmente, esta formulação poderia ser utilizada para as convoluções de Stieltjes,
podendo ocorrer adaptações no método de compressão para a adequação à natureza do
problema viscoelástico quasi-estático ou dinâmico. Outras metodologias poderiam ser
propostas para burlar a necessidade de convoluções, tais como formulações baseadas em
equações constitutivas viscoelásticas diferenciais.
Cada processo numérico sugerido para computar as convoluções temporais se
mostrou eficiente, apesar da simplicidade, e sua aplicabilidade está associada às
características das soluções fundamentais viscoelásticas. Cada método possui suas
vantagens e desvantagens, tornando a escolha dependente do comportamento esperado
para o histórico das grandezas de estudo, conforme análises do item 5.10.
Outro elemento que viabilizou a utilização do MEC no domínio do tempo foi a
solução fundamental viscoelástica. O desacoplamento das variáveis temporal e espacial
possibilitou uma separação no cálculo das convoluções temporais e integrais espaciais,
reduzindo os esforços computacionais e organizando mais claramente a formulação
numérica. As duas soluções apresentadas neste trabalho partiram de conceitos
diferentes, entretanto, conforme o esperado, estas apresentaram os mesmos resultados
para os modelos reológicos adotados neste trabalho. Mais do que isso, ficou
comprovada a equivalência das duas formulações, não havendo diferenças entre elas no
que diz respeito às dificuldades de se obter as funções temporais para modelos
viscoelásticos simples ou complexos. A diferença entre as metodologias reside apenas
no conceito e rigor matemático utilizado.
Para os problemas numéricos propostos, a metodologia apresentada foi capaz de
produzir resultados precisos e acurados. Testes mais elaborados com variações no passo
no tempo e diversos refinamentos da malha de elementos de contorno poderiam ser
realizados para ampliar a dimensão do espaço de conclusões.
167 Os exemplos estudados neste trabalho, sobretudo os casos em domínio infinitos
e semiplanos, evidenciam as vantagens do uso do MEC perante os diversos métodos
numéricos apresentados na literatura. O especialista em métodos numéricos precisa
conhecer a maior quantidade possível de metodologias, objetivando aplicar o melhor
modelo para cada problema, levando em consideração as especificidades, vantagens e
desvantagens de cada método. Tendo em vista os exemplos numéricos estudados, o
MEC surge como alternativa mais viável e eficiente do que o popular Método dos
Elementos Finitos para a solução de alguns problemas específicos de engenharia.
A Teoria Viscoelástica é mais acessível quando analisada sob o ponto de vista
do fenômeno físico, conforme [1]. Os resultados deste enfoque produzem ferramentas
importantes para a teoria como o Princípio da Correspondência, as Integrais
Hereditárias, as equações constitutivas viscoelásticas diferenciais e as funções de
fluência e relaxação. O rigor matemático apresentado em [5,6] agregam uma nova
dimensão ao estudo da viscoelasticidade, contribuindo para a solidez e a confiabilidade
das formulações e adicionando ferramentas uteis a esta pesquisa tais como o Teorema
da Reciprocidade Viscoelástica, as Integrais de Stieltjes e o Estado Viscoelástico de
Kelvin.
Nos trabalhos de pesquisa, a intenção de provocar novos estudos para o
desenvolvimento da ciência e novas descobertas costuma sobrepor o limitado universo
de conclusões da própria pesquisa. Deste modo, diversas sugestões de pesquisas futuras
para o tema deste trabalho podem ser citadas:

Estudo de problemas viscoelásticos dinâmicos, com a adoção de técnicas
eficientes para computar as integrais no domínio ou, eventualmente, com a
obtenção da solução fundamental viscoelástica dinâmica;

Estudo de propagação de ondas em materiais viscoelásticos;

Estudo do acoplamento entre o Método dos Elementos Finitos e o
Método dos Elementos de Contorno em problemas viscoelásticos, conforme
provocação realizada neste texto acerca do uso do Método de Galerkin;

Estudo do efeito da temperatura sobre as equações constitutivas
viscoelásticas;
168 
Consideração de não-linearidade geométrica e física, com eventuais
alterações nas formulações propostas neste trabalho, uma vez que o mesmo atua
no campo da viscoelasticidade linear;

Utilização de técnicas numéricas avançadas para a avaliação das integrais
espaciais do MEC, tendo em vista as quase-singularidades provocadas pelas
soluções fundamentais;

Estudo de métodos numéricos para computar as convoluções temporais
com otimização de memória, armazenando o histórico estritamente necessário
para a satisfatória execução das integrais temporais, tendo como alternativa a
metodologia apresentada em [24], com eventuais adaptações para o problema
viscoelástico quasi-estático ou dinâmico;

Estudo de formulações em MEC com o uso de equações constitutivas
viscoelásticas diferenciais;

Realização de novos testes comparando a eficiência do Método de
Galerkin na modelagem via MEC e sua viabilidade frente ao tradicional Método
da Colocação.
É indiscutível a importância do estudo do comportamento viscoelástico dos
materiais na Engenharia Civil e na indústria em geral. A própria norma brasileira de
dimensionamento de concreto armado, a NBR6118, prevê a verificação das
deformações nas estruturas incluindo o fenômeno de fluência, limitando seu valor em
prol da adequação ao uso da edificação. O fenômeno de relaxação também está previsto
em normas relativas a diversos materiais e está presente na prática do cálculo estrutural.
A modelagem numérica destes fenômenos é pertinente para a comprovação da solidez
da base normativa vigente.
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[25]
KAPLAN, W., 1972, Cálculo Avançado, v. 2, Edgard Blücher, Editora
da Universidade de São Paulo.
172 Apêndice A – Integrais Espaciais para o
MEC Via Galerkin
Como complemento ao item 4.5 deste trabalho, serão detalhadas as integrais
duplas no contorno presentes na formulação do Método dos Elementos de Contorno via
Galerkin.
A.1 – Caso 1 – Elementos Não-Adjacentes
Neste caso, a integração dupla pode ser realizada numericamente através da
Quadratura Gaussiana com npg pontos de Gauss em cada direção. Desta forma, não há
necessidade de maiores detalhamentos.
npg npg
 1
He1ijmnpq   
r 1 s 1  4r
Lm Ln
r
 ( p)

(q)
  ij n  r,i n j  r, j ni   g xr  gs  4 rs

(A.1)
npg npg
 r,i r, j r  ( p )
L L
 g xr  ( q ) gs  m n rs
He2ijmnpq    
2r n 
4
r 1 s 1 
(A.2)
npg npg
 ln(r ) ij  ( p )
L L
 g xr  ( q ) gs  m n rs
Ge1ijmnpq    
8 
4
r 1 s 1 
(A.3)
npg npg
 r,i r, j  ( p )
L L
 g xr  ( q ) gs  m n rs
Ge2ijmnpq   
4
r 1 s 1  8 
(A.4)
Nas integrais (A.1) a (A.4), r  r g xr ,gs  , r  r , g xr e gs são os pontos
de Gauss nos contornos m e n, respectivamente, e k são os pesos de Gauss.
173 A.2 – Caso 2 - Elemen
ntos Adjaccentes
Figura
F
A.1 – Caso 2 dee integração espacial
Neste caaso, o domín
nio retanguular de integ
gração é transformado em coorden
nadas
polarres após a reealização dee uma trans lação:
N x  1x
(A.5)
N  1  
N x  R ccos
(A.6)
N  Rssen
174 Figgura A.2 – Translação
T
e transformaação do dom
mínio de inttegração em
m
coorrdenadas po
olares
As integrrações são divididas
d
em
m dois interrvalos:
1 1
2 2
1 1
0 0
I    F  x ,ξ d xdξ   F  N x , N ξ dN x dN ξ 


0
(A.7)
(
 / 2 R2  2 / sen 2
 / 4 R1  2 / cos 1
 R  F R, dRd  
1
1
0
 R  F R, dRdd
2
/4
2
0
A distância r é calcu
ulada pela eexpressão
2
2
 1
 L
L
r   x N x     N   Lx N x L N cos
c 
  2
 2
 2
(A.8)
que, em coordennadas polarees, fica com
m o seguintee aspecto:
2
2
 1
L
 L
r   x R cos     Rsen   Lx L R 2 cos seen cos  Rr
 2
  2
 2
(A.9)
Para faccilitar os cáálculos, é ppossível esccrever as funções
f
de interpolaçãão da
seguiinte forma:
 (i )      1i   2i 3i
(A
A.10)
175 As integrais em R são realizadas analiticamente conforme (A.7) e as integrais
em  são calculadas numericamente por meio de Quadratura Gaussiana com npg
pontos de Gauss.

He1ijmnpq

 1 
L L
r r r r i n j  r r j ni   R / cos1r

 

  ij
   pR ( R,1r )dR  m n r 
n
8
r r
r 1  4r r 

 4
  0

npg 
L L
r s r s i n j  r s j ni   R / sen 2 s

 1 
 

  ij
   pR ( R, 2 s )dR  m n s
n
8
r s
s 1  4r s 
  0
 4


npg


(A.11)
npg 
r r i r r j r r  R / cos1r
 Lm Ln 


(
,
)
He2ijmnpq    
p
R

dR
r 
R
r
1
3
 4
 2 r  n  0
8
r 1 
r


npg 
r s i r s j r s  R / sen 2 s
 Lm Ln 



(
,
)
p
R

dR
s 
 
R
s
2
 4
 2 r 3 n  0
8
s 1 
s


R / cos1r
npg
L L
  ij 

Ge1ijmnpq       R lnr r   R ln R pR ( R,1r )dR  m n r

 4
8
r 1  8 
0



R / sen 2 s
L L
  ij 

      R lnr s   R ln R pR ( R, 2 s )dR  m n s

 4
8
s 1  8 
0

npg
(A.12)


 r r i r r j  R / cos1r
 Lm Ln 


(
,
)
 
Rp
R

dR
r 
R
1r
2 

 4

8


8

r
r 1 
0
r



R / sen 2 s
npg  r r
 Lm Ln 
 s i  s j 




(
,
)

Rp
R

dR
s
R
2s
2 

 4

8


8

r
s 1 
0
s



(A.13)
npg
Ge2ijmnpq
(A.14)
Nas integrais (A.11) a (A.14), Rrθi    rR,i  , r i  rθi , 1r e  2 s são os
pontos de Gauss nos intervalos 0  1   / 4 e  / 4   2   / 2 , respectivamente, e k
são os pesos de Gauss. O polinômio em R pR ( R,  ) com coeficientes dependentes de 
é obtido a partir do produto das funções de interpolação  ( p ) R,  ( q ) R,  com as
devidas transformações de coordenadas propostas. Esta função pode ser facilmente
integrada em R, mesmo com a presença da função ln(R) (que gera integração imprópria
convergente).
176 Obviameente, a tran
nslação realiizada em (A
A.5) é válid
da para o aarranjo da figura
f
(A.1)) que, por sua
s vez, não
o é único p ara este casso. A figuraa a seguir aapresenta ass duas
possiibilidades de
d integração
o, dividindoo o caso 2 em
e 2.1 e 2.2:
Figura
F
A.3 – Casos de integração 2.1 e 2.2
A translaação do caso
o 2.1 já estáá apresentad
do em (A.5)). Para o casso 2.2, tem--se:
N x  1  x
(A
A.15)
N  1  
A.3 – Caso 3:: Elementtos Coinciidentes
Neste caso,
c
as in
ntegrais sãoo realizadaas analiticaamente, um
ma vez qu
ue as
singuularidades nas soluçções fundaamentais im
mpedem a obtençãoo de resulltados
satisffatórios em
m integraçõ
ões numériicas. Algum
mas integrais imprópprias conveergem
apennas no sentiddo do Valorr Principal dde Cauchy, sendo que a aplicação deste critérrio de
convvergência é coerente
c
com os mecannismos mateemáticos do
o MEC.
Para faccilitar os cáálculos, serrá feita a seguinte su
ubstituição nas funçõees de
interppolação:
 ( p )  x    x  1 p  x  2 p 3 p  3 p  x2  c1 x  c2 
 ( q )      1q    2 q 3q  3q 2  c3  c4 
(A
A.16)
Os resulltados das integrações
i
duplas anaalíticas no contorno ssão registrados a
seguiir, lembranddo que m=n
n:
He1ijmmpqq  0
(A
A.17)
He2ijmmpqq   j  i Lm3 p3q c1c4  c2c3 
(A
A.18)
177 Ge1ijmmpq
L2m 
L  
  ij3 p3q
 I ln  ln m  I c 
4 
 2  
Ge2ijmmpq  
xi( m) x (jm)
4
3 p3q I c
(A.19)
(A.20)
As integrais Iln e Ic possuem o seguinte aspecto:
4
2
 16 4

I ln  c1c3     ln 2 c2  c4    6  4 ln 2c2c4  ln 2 
9
3
 9 3

Ic 
4
3c2  13c4  1
9
(A.21)
(A.22)
Além disso, tem-se:
Δx(m)  x(m2)  x(m1)
(A.23)
Resta ainda calcular a integral do primeiro membro da formulação integral
(4.49). Para contornos suaves, será adotado Cij (ξ , t )   ij ht  / 2 ao longo de todo o
elemento de contorno, exceto para os pontos extremos, o que não altera o resultado final
da integração.
1
C
ij
(ξ , t ) ( p ) (ξ ) ( q ) (ξ ) J c (ξ ) dξ 
n
1
 ij
2
L 2
 ht  3 p3q m  c2  c4  c1c3   2c2 c4  
2
2 3
5
178 (A.24)
Apêndice B – Método para a Obtenção
da Função de Fluência J a partir da
Função de Relaxação Y
No item 4.2.2 deste trabalho, foi apresentada a solução fundamental
viscoelástica segundo STERNBERG e AL-KHOZAIE [7], cuja formulação contém a
função de Fluência J além de outras funções obtidas a partir da inversa de Stieltjes de
funções de relaxação. Este texto vai se concentrar na confecção de um método para
inverter a função de relaxação Y no sentido da integração de Stieltjes com o objetivo de
obter a função de fluência do material viscoelástico, uma vez que é muito comum
encontrar modelos viscoelásticos descritos pela função de relaxação.
Os conceitos matemáticos utilizados podem ser encontrados em KAPLAN [25].
Outros autores, tais como CHRISTENSEN [6], apresentam estes conceitos como
ferramental auxiliar no estudo da Viscoelasticidade.
No item 3.5 deste trabalho, foi visto que as funções de fluência e relaxação
lineares de sólidos com deformação inicial são caracterizadas por combinações lineares
de decaimentos exponenciais:
m
J t   J 0   J i e i t
(B.1)
i 1
n
Y t   Y0   Yi e  it
(B.2)
i 1
No item (3.8), foi visto que as funções de fluência e relaxação são inversas entre
si no sentido da integração de Stieltjes:
179 J t * dY t   ht 
LJ s LY s  
(B.3)
1
s2
(B.4)
Logo, no domínio de Laplace, tem-se:
LJ s  
1
1
 2

s LY s  s Y ( s)
2
1
(B.5)
n
Y
Y 
s  0   i 
 s i 1 s  i 
2
n
LJ s   J ( s) 
 s   
i 1
i

 n
n
n


s Y0  s  i   s  Yi  s  i 
i 1
j 1

 i 1
j i



N ( s)
D( s)
(B.6)
A expressão final da função de fluência J no domínio de Laplace é uma fração
cujo numerador N(s) e denominador D(s) são polinômios em s. A expressão (B.6)
permite constatar que o numerador e o denominador não possuem raízes em comum. O
polinômio D(s) possui grau n+1, o que garante a existência de n+1 raízes complexas, a
principio não necessariamente distintas, sendo zero uma destas raízes.
De um modo geral, para sólidos regidos pela viscoelasticidade linear, espera-se
que as funções de relaxação sejam sempre limitadas, positivas e com derivada negativa
e crescente a partir de t=0, ou seja, uma deformação constante ao longo do tempo gera
uma tensão inicial que decresce assintoticamente ao longo do tempo para uma
configuração elástica final. Já as funções de fluência devem ser sempre limitadas,
positivas e com derivada positiva e decrescente a partir de t=0, ou seja, uma tensão
constante longo do tempo gera uma deformação inicial que cresce assintoticamente ao
longo do tempo para uma configuração elástica final. Estas condições são compatíveis
com a metodologia de formação dos modelos viscoelásticos lineares através dos
arranjos em paralelo e série de sólidos elásticos e fluidos viscosos (amortecedores),
conforme descrição do capítulo 3 deste trabalho. Logo, não são permitidos coeficientes
 i e i negativos, pois, neste caso, as deformações e tensões não seriam limitadas.
180 Figurra B.1 – Funnções típicaas de relaxaçção e fluênccia
Para preeservar as característiicas dos modelos
m
visscoelásticoss lineares, serão
adotaados valorees positivoss para os pparâmetros Yi e i daas funções de relaxaçãão Y.
Destaa forma, os coeficienttes do poliinómio D(s) são semp
pre positivoos para todos os
grauss exceto o zero,
z
o que garante raízzes estritam
mente negatiivas além ddo zero. Tam
mbém
não ssão esperaddas para D((s) raízes coom parte im
maginária nãão nula, um
ma vez que estas
resulltariam em funções periódicas carracterizando
o a função de fluênciaa no domín
nio do
temppo, o que não constittui em um
m comportaamento esperado paraa este fenômeno
viscooelástico. Desta
D
forma, é razoáveel esperar raaízes reais estritamente
te negativass para
D(s) além da raiiz s0=0.
Outro questioname
q
ento pode ser feito acerca da multipliciddade das raízes
r
negaativas de D((s). Estas raaízes são coomuns à fun
nção Y (s) (da equaçãoo (B.5)), qu
ue é a
próprria transform
mada de Laaplace da fu
função de reelaxação Y. Verifica-see que a derrivada
destaa função em
m s é estrittamente neggativa, exceeto nos pon
ntos de sinngularidade. Esta
funçãão possui ainda
a
n+1 assíntotas
a
vverticais, um
ma para cad
da ponto sinngular  i com
0  i  n e  0  0 . O com
mportamentoo de cada assíntota
a
po
ode ser desccrito da seg
guinte
form
ma:
lim Y ( s)  
s   i
(B.7)
lim Y ( s )  
s   i
Deste modo,
m
a funçção Y (s) é contínua e decrescen
nte ao longgo dos interrvalos
aberttos (  i 1 ,  i ), 0  i  n  1 , entrre as assín
ntotas e o comportam
mento assinttótico
descrrito em (B.77) garante a existência de uma raiiz real em cada um desstes intervallos. A
181 função Y (s) possui ainda assíntota horizontal de ordenada nula em ambos os sentidos
da reta real, o que comprova a inexistência de raízes fora dos intervalos especificados.
Deste modo, Y (s) possui n raízes reais negativas distintas e, consequentemente, o
polinômio D(s) possui n raízes reais negativas de multiplicidade 1.
Para obter a função de fluência J, faz-se necessária a inversão da transformada
de Laplace da função apresentada em (B.6). Para tanto, utiliza-se a própria definição da
transformada inversa de Laplace:
J t   L1J t  
 i
1
lim  e st J s ds

2i   i
(B.8)
Na integral (B.8), si  (,  ) , onde si representa qualquer ponto singular da
função na variável complexa s do integrando. A integração no plano complexo em s
pode ser interpretada como uma integral de linha no contorno especificado.
Complementando o contorno de integração com um arco de circunferência centrado na
origem de equação C R,   Rei com R   , a integral ao longo do contorno fechado
resultante se anula, exceto pelos resíduos provenientes das singularidades internas ao
contorno. Além disso, a integração no contorno C R,  também se anula
individualmente, considerando que, neste contorno, J (s)  cRk , sendo c e k constantes
reais e k>0 (CHRISTENSEN [6]).
182 duos
Figuraa B.2 – Integgração no pllano compleexo - Resídu
Matematticamente, portanto,
p
a integral (B
B.8) equivaale à soma dos resíduo
os do
integgrando no pllano dos nú
úmeros comp
mplexos:
 N s  

e J s ds  2i  rese J s   2i res e



D
s


 
 i
lim
 
stt
st
st
(B.9)
i
Os resíduuos em questão são ob tidos a parttir das raízess sj do polinnômio D(s) cujas
proprriedades já foram disccutidas. Loggo, já se saabe que estaas raízes sãão polos sim
mples
(poloo de primeira ordem, segundo o desenvolv
vimento de Laurent), o que sugere o
seguiinte resultaddo:
 st N s   n
 s t N s 
s  s j 
lim e j
 res e Ds    
s s j 
D s 
 j 0



(B
B.10)
Assim, a função de fluência poode então ser obtida:
 s t N s 
s  s j 
J t    lim e j
s s j
Ds 
j 0


n
(B
B.11)
De outraa forma, os
o coeficienntes da fun
nção de flu
uência posssuem o seg
guinte
aspeccto:
183  j  s j
 N s 
s   j 
J j  lim 
s  j Ds 


0 jmn
(B.12)
Logo, o problema de se obter a função de fluência J se restringe ao cálculo das
raízes reais negativas do polinômio D(s). Neste caso, é utilizado o Método de NewtonRaphson que, para funções polinomiais, produz resultados precisos para uma
determinada quantidade de casas decimais estipuladas como tolerância, além de possuir
rápida convergência. Métodos mais elaborados e otimizados para polinômios como o
Método de Horner poderiam ser utilizados de maneira a garantir mais estabilidade e
eficiência computacional. Porém, a metodologia que será apresentada a seguir produziu
resultados satisfatórios para esta pesquisa, apesar da dispensa de maiores cuidados.
Para cada raiz sj obtida numericamente por Newton-Raphson, foi realizada a
deflação do polinômio, reduzindo o grau do mesmo através da divisão polinomial por
(s-sj), com o objetivo de evitar a obtenção de uma raiz já calculada anteriormente. Como
os coeficientes do polinômio D(s) sem a raiz nula são estritamente positivos, a derivada
para s=0 é positiva inclusive para os polinômios deflacionados, ou seja, a aproximação
inicial s0=0 é razoável para a obtenção das diversas raízes negativas. Outras técnicas
mais sofisticadas como a cota de Cauchy e o próprio estudo de sinais de D(s) e suas
derivadas de primeira e segunda ordem poderiam melhorar a aproximação inicial,
entretanto, como já foi explicitado, a metodologia simplificada adotada foi suficiente
para as pretensões deste trabalho. A garantia de multiplicidade 1 para as raízes evita o
aparecimento de problemas de convergência do método, uma vez que não existem
raízes coincidentes com pontos estacionários.
Uma conclusão útil pode ser extraída desta solução. É possível escrever os
coeficientes Jj da segunde forma:
  
n
Jj 
j
 i 
i 1
Y   
n
n
i 0
i
j
 i 
, 0 jn
i 0
i j
184 (B.13)
Considerando que cada grupo de coeficientes  i e i está em ordem crescente e
que   i  (i ,i 1 ), 1  i  n , e  0  0 , é possível tirar conclusões acerca do sinal
dos coeficientes Jj. Para um determinado índice j não nulo, o numerador de (B.13)
possui j-1 fatores negativos e o denominador possui j fatores negativos e,
consequentemente, os demais fatores tanto no numerador quanto no denominador são
positivos. Desta forma, J j  0, 1  j  n , e J 0  0 , o que já era esperado tendo em vista
o comportamento do fenômeno viscoelástico da fluência.
A obtenção da função de relaxação Y a partir da função de fluência J pode ser
realizada pelo mesmo processo descrito neste texto, restando apenas analisar as raízes
do polinômio do denominador da expressão equivalente a (B.6), uma vez que os
coeficientes Jj são em sua maioria negativos.
Procedendo como em (B.4) e (B.5), tem-se:
LY s   Y ( s) 
1

s LJ s 
2
1
n
J
J 
s  0   i 
 s i 1 s   i 
2

N s 
1

s J ( s) Ds 
2
(B.14)
A função s 2 J ( s) de (B.14) é então trabalhada da seguinte forma:
n
n

  

   n
s 2 J ( s)  s  J 0   J i 1  i   s  J i   J i   i   sf s 
i 1
i 1
 s   i 
 s   i    i 0

(B.15)
Como os coeficientes  i são positivos e J j  0, 1  j  n , o segundo somatório
de (B.15) possui apenas parcelas positivas. Além disso, o primeiro somatório de (B.15)
equivale a J(t=0), ou seja, espera-se um valor positivo para o mesmo, apesar da
existência de parcelas negativas. Deste modo, o polinômio D(s) da expressão (B.14)
equivalente possuirá coeficientes positivos para todos os graus exceto o zero, o que
garante raízes estritamente negativas além do zero. Também não seriam aceitáveis
raízes com parte imaginária não nula pelos mesmos motivos citados anteriormente.
Para definir a multiplicidade das raízes, verifica-se que a derivada da função f(s)
é estritamente negativa, exceto nos pontos singulares. Esta função possui ainda n
185 assínntotas verticcais, uma paara cada ponnto singularr   i com 1  i  n . O comportam
mento
de caada assíntota pode ser descrito
d
da sseguinte forrma:
lim f ( s)  
s  i
(B
B.16)
lim f ( s)  
s  i
Deste modo,
m
a fun
nção f(s) é contínua e decrescente ao longoo dos interrvalos
aberttos ( i 1 , i ), 1  i  n  1 , entrre as assínttotas e o comportam
mento assinttótico
descrrito em (B.16) garante a existênciia de uma raiz
r real em
m cada um ddestes interv
valos.
A funnção f(s) poossui ainda assíntota hhorizontal dee ordenada igual a J(t=
=0) em amb
bos os
sentiidos da retaa real, o quee comprovaa a existênciia de uma raiz
r no interrvalo (, n ) ,
uma vez que J(t=0)>0. Deste modo, f(s) possu
ui n raízes reais negattivas distinttas e,
conseequentemennte, o polin
nômio D(s)) equivalen
nte possui n raízes reaais negativas de
multiiplicidade 1,
1 além da raaiz nula.
A funçãoo de relaxaçção é então oobtida pelo mesmo pro
ocesso:
n

 s t N s 

Y t    lim e j
s  s j 
s s j
D s 
j 0


(B
B.17)
 j  s j
 N s 


m 
s   j 
Y j  lim
s    j D s 


0 jmn
(B
B.18)
Figura B..3 – Disposiição dos parâmetros  i e i na retta real
A análisee dos sinaiss dos parâm
metros Jj reallizada em (B
B.13) pode ser repetidaa para
Yj:
186   
n
Yj 
i 1
j
 i 
 J   
n
n
i 0
i
j
 
, 0 jn
(B.19)
i
i 0
i j
Considerando que cada grupo de coeficientes  i e i está em ordem crescente e
que   i  (i ,i 1 ), 1  i  n , e  0  0 , é possível verificar que, para um determinado
índice j não nulo, tanto o numerador quanto o denominador de (B.19) possui j fatores
negativos e, consequentemente, os demais fatores tanto no numerador quanto no
denominador são positivos. Desta forma, Y j  0, 0  j  n , o que já era esperado tendo
em vista o comportamento do fenômeno viscoelástico da relaxação, estando de acordo
com a configuração sugerida no inicio deste apêndice.
Portanto, o procedimento utilizado para a obtenção de J a partir de Y pode ser
adotado para a operação inversa, ou seja, obter Y em função de J. Esta metodologia é
igualmente aplicável para a execução das demais inversas de Stieltjes presentes nas
soluções fundamentais viscoelásticas segundo Sternberg e Al-Khozaie (item 4.2.2), tais
como as funções Q1 e P1.
B.1 – Casos Especiais
Para a adoção dos processos descritos neste apêndice, foi admitido que os
parâmetros Yi da função de relaxação Y(t) seriam sempre positivos. Tal característica
está em conformidade com o que costuma ocorrer na prática e, além disso, é compatível
com as propriedades do fenômeno de relaxação descritas no inicio deste apêndice. Para
a metodologia proposta, esta condição propicia a obtenção de uma função de fluência
também compatível com o fenômeno viscoelástico correspondente.
No entanto, para alguns casos específicos, seria possível formular funções de
relaxação com alguns parâmetros Yi negativos sem violar as propriedades do fenômeno
de relaxação, ou seja, a função de relaxação continuaria sendo, a partir do tempo t=0,
sempre positiva, limitada, decrescente e com convergência assintótica para uma
configuração elástica final.
187 A existência de parâmetros Yi negativos poderia gerar um polinômio D(s)
(equação (B.6)) com coeficientes não estritamente positivos, o que não significa que as
raízes deste polinômio deixariam de ser negativas com multiplicidade 1 (com a adição
da raiz nula). A preocupação com a multiplicidade das raízes do polinômio D(s) se
justifica pelos problemas de convergência no Método de Newton-Raphson ocasionados
pela coincidência entre raízes e pontos estacionários do polinômio.
Partindo da função de relaxação e aplicando a metodologia deste apêndice, não
são aceitáveis valores negativos para os parâmetros  i . Além disso, raízes de
multiplicidade superior a 1 para D(s) produziriam parcelas da função de fluência do tipo
t n e  it para n natural não nulo, o que não caracteriza uma função limitada. Raízes
complexas de D(s) gerariam funções periódicas na função de fluência, o que
descaracteriza o fenômeno viscoelástico. Deste modo, são admissíveis alguns
parâmetros Yi negativos, desde que as raízes de D(s) sejam negativas com
multiplicidade 1 e que a função de fluência resultante atenda às condições discutidas.
Neste caso, eventualmente, a análise de sinais dos parâmetros Ji em (B.13) e a
disposição dos parâmetros  i e i , mostrada na figura B.3, sofreriam alterações.
Casos especiais de modelos viscoelásticos que não permitem deformação inicial,
tais como o modelo de Kelvin (item 3.1), não estão cobertos por esta metodologia.
Neste caso, funções de impulso (delta de Dirac) aparecem na função de relaxação. Para
casos práticos de Engenharia Civil, espera-se alguma deformação inicial para os
materiais.
B.2 – Exemplos Numéricos
Serão tomadas inicialmente as funções de relaxação K e G das parcelas esférica
e desviadora, respectivamente.
K t   K
(B.20)
n
Gt   G0   Gi e it
(B.21)
i 1
Deste modo, a parcela esférica será considerada elástica e a parcela desviadora
terá comportamento viscoelástico linear. Nada impede, porém, que a parcela esférica
188 tenha comportamento viscoelástico, uma vez que as funções de relaxação presentes nas
formulações deste trabalho são combinações lineares de K e G.
O primeiro caso a ser estudado consiste no modelo de Boltzmann (aplicado na
função G(t)) que foi adotado no item 5.5 deste trabalho. Desta forma, tem-se:
K  11,67GPa
Tabela B.1 – Modelo de Boltzmann para a parcela desviadora
i
Gi (GPa)
 i s 1 
0
4,375
-
1
4,375
0.5
Função de Relaxação ‐ Modelo de Boltzmann
10
G(t) (Gpa)
8
6
4
G(t)
2
0
0
10
20
30
40
t (s)
Figura B.4 – Função de Relaxação para o modelo de Boltzmann
189 Os resultados para as diversas funções são:
Tabela B.2 – Funções de Fluência para o modelo de Boltzmann
J (t )  Y 1 (t )  G 1 (t )
i
Ji (GPa-1)
 i s 1 
0
0.228571429
-
1
-0.114285714
0.25
J (t )  J1 (t )  2G  (t )
1
i
Ji (GPa-1)
 i s 1 
0
0.114285714
-
1
-0.057142857
0.25
J (t )  Q1 (t )  3K  4G  (t )
1
i
Ji (GPa-1)
 i s 1 
0
0.019043992
-
1
-0.004760318
0.375017855
J (t )  P1 (t )  6 K  2G  (t )
1
i
Ji (GPa-1)
 i s 1 
0
0.012695189
-
1
-0.001269229
0.450011426
190 Funções de Fluência ‐ Modelo de Boltzmann
J(t) (GPa‐1)
0.12
0.08
J1(t)
Q1(t)
0.04
P1(t)
0
0
10
20
30
40
t (s)
Figura B.5 – Funções de Fluência para o modelo de Boltzmann
O segundo exemplo consiste em um modelo extraído do livro do
CHRISTENSEN [6] e aplicado no trabalho de CEZARIO [3]. Escrevendo os
coeficientes i  1 / ti , tem-se:
K  1280kN / cm2
191 Tabela B.3 – Modelo de CHRISTENSEN [6] para a parcela desviadora
i
Gi (kN/cm2)
ti (s)
0
500
-
1
997
1,5x10-5
2
538
1,5x10-4
3
494
1,5x10-3
4
392
1,5x10-2
5
306
1,5x10-1
6
154
1,5
7
119
1,5x10
8
20
1,5x102
G(t) (kN/cm2)
Função de Relaxação ‐ Modelo de Christensen
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
G(t)
0
50
100
150
200
t (s)
Figura B.6 – Função de Relaxação para o modelo de CHRISTENSEN [6]
192 Os resultados para as diversas funções são:
Tabela B.4 – Função de Fluência J para o modelo de CHRISTENSEN [6]
J (t )  Y 1 (t )  G 1 (t )
i
Ji (kN/cm2) -1
 i s 1 
0
0.002
-
1
-8.13794E-05
0.006402915
2
-0.000372839
0.053981227
3
-0.00031039
0.535021052
4
-0.000348796
4.797042382
5
-0.000231176
49.21093165
6
-0.000160982
501.8381964
7
-0.000106094
5240.782404
8
-0.000104253
48273.73835
193 Tabela B.5 – Função de Fluência J1 para o modelo de CHRISTENSEN [6]
J (t )  J1 (t )  2G  (t )
1
i
Ji (kN/cm2) -1
 i s 1 
0
0.001
-
1
-4.06897E-05
0.006402915
2
-0.00018642
0.053981227
3
-0.000155195
0.535021052
4
-0.000174398
4.797042382
5
-0.000115588
49.21093165
6
-8.04911E-05
501.8381964
7
-5.30471E-05
5240.782404
8
-5.21263E-05
48273.73835
194 Tabela B.6 – Função de Fluência Q1 para o modelo de CHRISTENSEN [6]
J (t )  Q1 (t )  3K  4G  (t )
1
i
Ji (kN/cm2) -1
 i s 1 
0
0.000171233
-
1
-2.36123E-06
0.00657566
2
-1.28308E-05
0.061653378
3
-1.40247E-05
0.607428043
4
-2.15023E-05
5.666559854
5
-1.93888E-05
55.97252252
6
-1.69596E-05
554.8479999
7
-1.31566E-05
5630.789755
8
-1.52053E-05
52109.39076
195 Tabela B.7 – Função de Fluência P1 para o modelo de CHRISTENSEN [6]
J (t )  P1 (t )  6 K  2G  (t )
1
i
Ji (kN/cm2) -1
 i s 1 
0
0.000115207
-
1
-5.32141E-07
0.00663598
2
-3.07102E-06
0.064888387
3
-3.74709E-06
0.644395432
4
-6.75354E-06
6.251429147
5
-7.48343E-06
61.7483466
6
-7.97165E-06
610.0146377
7
-7.32244E-06
6099.86361
8
-1.03913E-05
57728.77413
Funções de Fluência ‐ Modelo de Christensen
J(t) ((kN/cm2)‐1)
0.001
0.00075
J1(t)
0.0005
Q1(t)
0.00025
P1(t)
0
0
50
100
150
200
t (s)
Figura B.7 – Funções de Fluência para o modelo de CHRISTENSEN [6]
196 Apêndice C – Parcela Complementar da
Solução Fundamental Viscoelástica para
Cálculo de Tensões em Pontos Internos
de Problemas Semiplanos
Em complemento ao item 4.10, serão apresentadas a seguir as expressões da
parcela complementar da solução fundamental viscoelástica, necessária para o cálculo
das tensões em pontos internos do domínio em problemas semiplanos modelados via
MEC. As expressões serão listadas com seus coeficientes elásticos. Posteriormente,
estes coeficientes serão substituídos por funções temporais através do Princípio da
Correspondência.
Conforme o apresentado no item 4.10, as parcelas complementares das soluções
elásticas para o cálculo de tensões em pontos internos possuem o seguinte aspecto:
 ijkc (ξ, x)  G uikc , j  u cjk ,i  



2G c

ulk ,l ij  (ξ, x)
1  2

c
c
c
 'ijk
(ξ, x)  G kmi
, j   kmj ,i  

2G c
 
 kml ,l ij  nm (ξ, x)
1  2
 
(C.1)
(C.2)
As derivadas espaciais presentes em (C.1) e (C.2) são relativas às coordenadas
dos pontos fonte ξ e são multiplicadas por duas constantes elásticas diferentes, razão
pela qual cada derivada será apresentada com duas constantes referenciando cada
função espacial. Estas derivadas são extraídas de TELLES [9] e serão trabalhadas neste
texto para a obtenção da solução fundamental viscoelástica complementar.
197 u11ci,1 

Ku 
R13 


C
R
C
R
2
2

1iu 1
2iu 
1

R2 
R2 


4 x R1  12cx  R  16cx R13  
 C3iu  2 x 
1

R2
R4 

u12ci ,1 
K u r2 
Rr 

4C4iu  C2iu 1  2 121  
2 
R 
R 

 4 x 2c  x  16cx R12  
 C3iu 


R2
R4 

ci
u21
,1 
K u r2 
Rr 

 4C4iu  C2iu 1  2 121  
2 
R 
R 

 4 x 2c  x  16cx R12  
 C3iu 


R2
R4 

ci
u22
,1 
 R1r22 
Ku 


C
R
C

1iu 1
2 iu  2
2 
R2 
 R 



4 x r22  4cx R1 16cx R1r22  
 C3iu 2 x 


R2
R4 

u11ci, 2 
K u r2
R2

 R12 



C
C
 1iu
2iu  2
2
R



u

Ku 
R12 r1 
 2 4C4iu R1  C2iu r1  2 2  
R 
R 

12cx R1 16cx R13  
 C3iu 


2
R4 
 R
ci
u21
,2 

Ku 
r1r22 




C
R
C
r
4
2

4iu 1
2 iu 
1

R2 
R2 

 4cx R 16cx R1r22  
 C3iu  2 1 

R 4 
 R
198 (C.3b)
(C.3c)
(C.3d)
(C.4a)
 4cx 16cx R12  
 C3iu  2 

R 4 
 R
ci
12 , 2
(C.3a)
(C.4b)
(C.4c)
ci
u22
,2 

K u r2 
r22 




C
C
2
2

1iu
2 iu 

R2 
R2 

(C.4d)
12cx 16cx r22  
 C3iu  2 

R4 
 R
ci
 111
,1  
K p  2 R1 3x  c 
32 x R1r22
C
C



1

2 ip
 1ip
R 2 
R2
R4



 22cx  R1 3R1  2 x  8 2cx r22  R12 R12  2cx
96cx R12 r22  
 C3ip 



R2
R4
R6


ci
 121
,1  
K p r2  16 x R12 
 
C1ip  C2ip 4R1  2 x  
R 4 
R2 

(C.5b)


8R 2 x R1  6cx  x 2  c 2 96cx R13  
 C3ip 2r1  1


R2
R4 

ci
 221
,1  
K p  2 R1  x  3c  16 x R1r22 

3 
C1ip 
R 2 
R2
R4 

  

(C.5c)

 2 2c 2  r22  4cR1 8 r22 2cx  R12  2c 2 R12 96cx R12 r22  
 C3ip 



R2
R4
R6



ci
112,1
K p r2 
16 x R12 
  4 22 x  R1  
C1ip 
R 
R2 


(C.5d)


8 2 x r22  R1 6cx  c 2  x 2
96cx R1r22  
 C3ip  4c  3x  


R2
R4 

ci
 122
,1  
K p  2 R1 7 x  c  16 x R13 

1 
C1ip 
R 2 
R2
R4 

 

(C.5a)

 2 2cx  r22  2 x R1 8 2cx r22  R1 2 x r22  R1 2cx  r22
 C3ip 

R2
R4

  96cxR r
2 2
1 2
R
6



(C.5e)
199 ci
 222
,1  
K p r2  32 x R12 

C4ip  C2ip 43R1  2 x  
R 4  R 2 

(C.5f)


8R 8cx  r22  2c 2 96cx R13  
 C3ip  27 R1  2 x   1


R2
R4 

ci
 111
,2  
K p r2 
16 x r22 




2
7
x
c

C1ip 
R 4 
R2 
 
(C.6a)

 4 2 R1 R12  6cx
96cx R1r22  
 C3ip 


R2
R4 

ci
 121
,2  


K p  2 r22  2 x R1 16 x R1r22 

1 
C1ip 
R 2 
R2
R4 

  


 2 x 2  2cx  c 2 8 r22 x 2  2cx  c 2  2cx R12 96cx R12 r22  
 C3ip 



R2
R4
R6


(C.6b)
ci
 221
,2  
K p r2 
16 x r22 


6
r
 1
C1ip 
R 4 
R2 
 



8 R1 r22  2c 2  4cx  2cr22 96cx R1r22  
 C3ip  4r1 


R2
R 4 

ci
 112
,2  


K p 
2 r22  2 x R1 16 x R1r22 



1


C1ip 
R 2 
R2
R4 




 2 c 2  x 2  6cx 8r22 12cx  c 2  x 2 96cx r24  
 C3ip 



R2
R4
R6 

ci
 122
,2  
K p r2 
16 x R12 




2
3
x
c

C1ip 
R 4 
R2 



8R 6cx  r 2 96cx R1r22  
 C3ip  4 R1  1 2 2 

R
R4 

200 (C.6c)
(C.6d)
(C.6e)
ci
 222
,2  


K p 
2 2 x R1  3r22 16 x R1r22 



3


C1ip 
R 2 
R2
R4 

  


 2 3r22  4cx  2c 2 8 r22 r22  4cx  2c 2  2cx R12 96cx R12 r22  
 C3ip 



R2
R4
R6


(C.6f)
A constante Ku é mostrada a seguir e Kp=2Ku.
Ku 
1
8
(C.7)
Além disso, observa-se a simetria do tensor σ :
 cijkl ,m   kjlci ,m
(C.8)
A composição final dos tensores segue o padrão:
 ijkc (ξ, x)  uikc1, j  u cjk1,i   ulkc 2,l ij (ξ, x)
c
c1
c1
c2
 'ijk
(ξ, x)   kmi
, j   kmj ,i    kml ,l ij nm (ξ , x)
(C.9)
(C.10)
As constantes elásticas das parcelas complementares anteriores estão
apresentadas na tabela a seguir.
201 Tabela C.1 – Coeficientes elásticos das soluções fundamentais complementares para
cálculo das tensões em pontos internos em problemas semiplanos
Coeficientes
Elásticos
C11u
EPD
EPT
6G
24G

3K  4G 6 K  2G
6G
2
3K  4G
6G
2
3K  4G
6G
6 K  2G
2
12G
24G
2K
 


3 3K  4G 6 K  2G G
2
12G
2K


3 3K  4G G
10
12G
2K
 

3 3K  4G G
6G
1
6 K  2G
6G 2
3K  4G
17
3G
16G


6 6 K  2G 9 K
5
3G

2 6 K  2G
3
3G

2 6 K  2G
1 4G

3 9K
17
24G
6G
16G
 


3 3K  4G 6 K  2G 9 K
24G
6G
5

3K  4G 6 K  2G
24G
6G
3

3K  4G 6 K  2G
2 4G

3 9K
G
3G 2

2 2(3K  G )
C21 p
6G 2
G
3K  4G
G
3G 2

2 2(3K  G )
C31 p
6G 2
2G 
3K  4G
G
3G
3G 2

2 2(3K  G )
C21u
C31u
C41u
C12u
C22u
C32u
C42u
C11 p
C41 p
2
G
2
C12 p
12G
2G 
3K  4G
C22 p
1
12G 2
3K  4G   4G 
3
3K  4G
C32 p
2
12G 2
3K  4G   6G 
3
3K  4G
3K  4G
 2G
3
C 42 p

G
G
6G 2
2(3K  G )
12G 2
6G 2

3K  4G 2(3K  G )
3G 
24G 2
6G 2

3K  4G 2(3K  G )
2G 
12G 2
3K  4G
Para a obtenção dos fatores temporais das soluções apresentadas, as constantes
elásticas são substituídas pelo processo de Syngellakis, uma vez que os resultados das
202 duas metodologias para a obtenção das soluções fundamentais viscoelásticas são
similares. Para as constantes K e G, o resultado é imediato. Algumas constantes já têm
suas funções temporais equivalentes definidas na tabela 4.7 do item 4.10. Para as
demais constantes, é apresentada a correspondência na tabela a seguir.
Tabela C.2 – Correspondência entre os coeficientes elásticos e funções temporais para
as soluções fundamentais dos deslocamentos em problemas semiplanos (complemento
da tabela 4.7)
Coeficientes Elásticos
2G
3K  4G
4G 2
3K  4G
2G
6 K  2G
4G 2
6 K  2G
2G
3K
3K
2G
Funções Temporais
Q2 t   Q1 t * d 2G t   3K  4G  t * d 2G t 
1
Q3 t   Q2 t * d 2G t 
P2 t   P1 t * d 2G t   6 K  2G  t * d 2G t 
1
P3 t   P2 t * d 2G t 
L2 t   L1 t * d 2G t   3K  t * d 2G t 
1
L21 t   3K t * dJ1 t   3K t * d 2G  t 
1
203