CE-003: Estatı́stica II, turma H 1a Prova (2a chamada) - 2o semestre 2005 (06 de outubro de 2005) 1. (2,0 pontos) O tempo de vida de um componente eletrônico tem distribuição exponencial com tempo médio de vida de 2 anos. X ∼ Exp(λ = 2) f (x) = λ exp{−λx} (a) qual a probabilidade de que o dure menos que 18 meses? Z 18 P [X < 1.5] = f (x)dx 0 > pexp(1.5, rate = 1/2) [1] 0.5276334 (b) em um lote de 3,000 componentes quantos devem durar mais que 3 anos? Z 18 3.000 . P [X > 3] = 3.000 f (x)dx 0 > 3000 * pexp(3, rate = 1/2, low = F) [1] 669.3905 (c) qual o tempo até o qual se espera que 90% dos componentes falhem? Z P [X < t] = 0.90 t f (x)dx = 0.90 0 > qexp(0.9, rate = 1/2) [1] 4.60517 (d) Você compra um equipamento que tem 30 meses, com o componente em funcionamento, e planeja mantê-lo por mais 1 ano. Qual a probabilidade de que o componente falhe durante o perı́odo que você pretende manter o equipamento? P [2, 5 < X < 3, 5|X > 2.5] > (pexp(3.5, rate = 1/2) - pexp(2.5, rate = 1/2))/(1 - pexp(2.5, rate = 1/2)) [1] 0.3934693 ou, usando a propriedade da ”falta de memória”da exponencial, simplesmente: > pexp(1, rate = 1/2) [1] 0.3934693 2. (3,0 pontos) Os dados a seguir são medidas da intensidade de insolação (watts/m2 ) tomadas em diferentes dias em um certo local. 562 918 957 869 558 693 708 768 835 775 870 905 775 918 939 704 940 955 809 946 960 856 661 498 655 820 563 806 898 730 878 935 753 909 952 0 500 2 600 700 Frequency 4 800 6 900 8 > par(mfrow = c(1, 2), mar = c(3, 3, 0, 0), mgp = c(2, 1, 0)) > hist(insola) > boxplot(insola) Histogram of insola 500 600 700 800 insola 900 1000 Figura 1: Histograma (esquerda) e boxplot (direita) dos dados de insolação da Questão 2. > insola <- c(562, 869, 708, 775, 775, 704, 809, 856, 655, 806, 878, 909, 918, + 558, 768, 870, 918, 940, 946, 661, 820, 898, 935, 952, 957, 693, 835, 905, + 939, 955, 960, 498, 563, 730, 753) (a) construa um histograma dos dados (b) construa um box-plot (c) comente sobre os principais aspectos da distribuição destes dados baseando-se nos gráficos do problema anterior Resp: comentar sobre medida(s) de posição, dispersão, assimetria e presença de dados discrepantes (d) calcule a média e mediana dos dados > mean(insola) [1] 807.9429 > median(insola) [1] 835 (e) calcule o desvio padrão e amplitude interquartı́lica > sd(insola) [1] 132.4044 > unname(diff(quantile(insola, prob = c(0.25, 0.75)))) [1] 199 (f) calcule o coeficiente de variação e a amplitude total > 100 * sd(insola)/mean(insola) [1] 16.38785 > diff(range(insola)) [1] 462 3. (3,0 pontos) Um lote de 100 chips semicondutores contém 20 defeituosos. Seleciona-se dois ao acaso do lote, sem reposição. (a) qual a probabilidade de que o segundo seja defeituoso, sabendo que o primeiro não era defeituoso? P [X1 = D̄, X2 = D] = 80 20 . = 0.162 100 99 (b) qual a probabilidade de ambos sejam defeituosos? P [X1 = D, X2 = D] = 20 19 . = 0.038 100 99 (c) qual a probabilidade do ı́tem anterior caso o primeiro chip com defeito seja retornado ao lote antes da retirada do segundo? P [X1 = D, X2 = D] = 20 20 . = 0.04 100 100 (d) retirando-se 8 chips, qual a probabilidade de que no máximo 1 seja defeituoso? X ∼ HG(N = 100, n = 8, k = 20) P [X ≤ 1] = P [X = 0] + P [X = 1] > phyper(1, 20, 80, 8) [1] 0.4971944 (e) suponha agora que os chips são retirados um a um até que se encontre o primeiro defeituoso. Qual a probabilidade de que sejam necessárias mais que 3 retiradas para que se encontre o primeiro defeituoso? X ∼ G(p = 20/100) P [X > 3] = 1 − P [X = 1] − P [X = 2] − P [X = 3] > 1 - pgeom(2, p = 20/100) [1] 0.512 (f) suponha que 12 chips são retirados de uma só vez. Qual a probabilidade de que se encontre no máximo 2 defeituosos? X ∼ HG(N = 100, n = 12, k = 20) P [X ≤ 2] = P [X = 0] + P [X = 1] + P [X = 2] > phyper(2, 20, 80, 12) [1] 0.5546668 4. (2,0 pontos) O peso de um tênis de corrida sofisticado é normalmente distribuı́do com média de 12 onças (onça é uma unidade de peso) e desvio padrão de 0,5 onças. X ∼ N (12, 0.52 ) (a) qual a probabilidade de um tênis pesar mais que 13,2 onças? P [X > 13.2] > 1 - pnorm(13.2, mean = 12, sd = 0.5) [1] 0.008197536 (b) qual a probabilidade de um tênis pesar entre 11,6 e 12,7 onças? P [11.6 < X < 12.7] > pnorm(12.7, mean = 12, sd = 0.5) - pnorm(11.6, mean = 12, sd = 0.5) [1] 0.707388 (c) quanto deveria ser o desvio padrão para que 99,9% dos tênis tenham menos que 13 onças? P [X < 13] = 0.999 ; σ =? > (13 - 12)/qnorm(0.999) [1] 0.3236003 (d) se o desvio padrão se mantiver em 0,5, quanto deveria ser a média para que 99,9% dos tênis tenham menos que 13 onças? P [X < 13] = 0.999 ; µ =? > 13 - 0.5 * qnorm(0.999) [1] 11.45488