Círculo de Estudos
Desenvolvimento do programa do 10.º ano de Matemática B para o Ensino Secundário
Fevereiro a Junho de 2002
Um em dois
Introdução
Entre as propostas de trabalho desenvolvidas na sessão realizada no dia 28 de Fevereiro, duas delas foram objecto de
afirmações e relações algo interessantes, que na altura não foram provadas.
Essas duas propostas de trabalho são:
•
•
Desafio 4
Desafio 7
OS MUROS EM RUÍNA
O NÓ DA AUTO-ESTRADA
Na altura tive a oportunidade de fazer algumas afirmações, que passarei agora a provar de forma muito sintética.
As afirmações
1.
É possível resolver o Desafio 4 de uma forma elementar, inclusivamente sem recurso a um sistema de
equações.
2.
A altura do chão a que as barras se cruzam é “um equivalente paralelo” das alturas dos muros, não
dependendo da distância entre eles.
3.
A localização do nó da auto-estrada a que corresponde o menor custo da obra é nem mais o problema dos
muros disfarçado.
Condições da figura
•
•
[ABQP] é um trapézio rectângulo, sendo S o ponto de intersecção das suas diagonais
S ∈ UV
•
T ∈ PQ
•
UV // PQ
•
ST ⊥ PQ
•
h1 = AP ; h2 = BQ ; d1 = US e d 2 = SV
B
A
U
h2
d1
S
d2
V
h1
h
P
T
Q
1
A prova
Considerando que o trapézio [ABPQ] está decomposto em dois triângulos equivalentes (amarelos) e outros dois
h
semelhantes (azuis) de razão de semelhança 2 , temos:
h1
VQ =
h2
× UA
h1
ou seja
h=
h2
× (h1 − h)
h1
donde se pode obter
h=
Já agora, sendo d = d1 + d 2 e dado que é
h1 × h2
h1 + h2
ou seja
1
1
1
=
+
h h1 h2
h
d
= 2 (semelhança entre os triângulos [BQP] e [STP]), temos:
d1
h
d1 = h ×
d1 =
1
×d
h2
h1 × h2
1
×
×d
h1 + h2 h2
d1 =
h1
×d
h1 + h2
Consideremos agora o trapézio isósceles [ABB’A’], de eixo de simetria PQ:
B
A
U
h2
d1
S
d2
V
h1
h
P
T
Q
A'
B'
Seja T’, pertencente à recta PQ, o ponto de intersecção das diagonais [AB’] e [A’B] deste trapézio.
2
Como os triângulos [ATA’] e [BTB’] são semelhantes, com razão de semelhança
h2
, terá de ser
h1
d2 T 'Q
=
d1 PT '
Logo, T ' ≡ T .
As respostas
4 × 7 28
=
≈ 2,55 metros do chão.
4 + 7 11
20
× 40 ≈ 16,327 km do pé da perpendicular da localidade A.
O nó da auto-estrada deve localizar-se a d 1 =
20 + 29
As traves cruzam-se a h =
Animações
Sketch – Geometer´s Sketchpad
Animação em JavaSketchpad
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António Amaral
Lamego, Fevereiro de 2002
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