Universidade Comunitária da Região de Chapecó
Área de Ciências Exatas e Ambientais
PRÉ-CÁLCULO
Andréia B. Schmid
Grazielli Vassoler
Lucia Menoncini
Rosangela Ramon
Chapecó, 2011.
1
Introdução
Este curso tem como objetivo principal proporcionar a todos aqueles que estão em
contato com a matemática, uma revisão e quem sabe, um aprofundamento de conceitos
vistos no ensino fundamental e médio.
Os conceitos apresentados no curso de pré-cálculo são base para as disciplinas de
cálculo e outras que envolvam conceitos matemáticos.
Este material engloba os seguintes conceitos: Conjuntos Numéricos, Equações,
Polinômios, Exponencial e Logaritmos. A carga horária é de 30 horas.
2
UNIDADE I – CONJUNTOS NUMÉRICOS
1.1 NÚMERO NATURAIS
Definição 1.1: Chamamos de conjunto dos números naturais – símbolo  - o seguinte conjunto:
  {0,1, 2, 3, 4,...}
O conjunto dos números naturais excluindo o zero é denotado por N * : {1, 2, 3, 4,...}
1.2 NÚMEROS INTEIROS
Definição 1.2:
Chamamos de conjunto dos números inteiros – símbolo  - o seguinte
conjunto:
  {...,  3,  2,  1, 0,1, 2, 3,...}
Importante:
Conjunto dos números inteiros excluindo o zero Z * : {...,3,2,1,1, 2, 3, ...}
Conjunto dos números inteiros não negativos Z  : {0,1, 2, 3,...}:
Conjunto dos números inteiros não positivos Z  {...,4,  3,2,1,0} :
Conjunto dos números inteiros positivos Z  : {1, 2, 3,4,...} :
Conjunto dos números inteiros negativos Z  {...,4,  3,2,1} :
1.2.1. Valor Absoluto
Chamamos de módulo ou valor absoluto de um número inteiro, a distância desse número
até o zero, na reta numérica inteira. Formalmente definimos:
3
Definição 1.3: Para todo a   , o valor absoluto ou módulo de a (notação a ) é definido pelas
seguintes condições:
a se a  0
a 
 a se a  0
Algumas propriedades são importantes quando falamos em valor absoluto para quaisquer
a, b   :
(i ) a   a
(ii )  a  a  a
(iii ) ab  a b
(iv) a  b  a  b
Atenção: Como podemos ver na proposição (iv) acima a  b  a  b e nem sempre vale
ab  a  b .
Tomamos como exemplo a  6, b  3 . Então 6  ( 3)  6   3
1.2.2. Números primos em 
Definição 1.4: Um número inteiro p é primo quando ele atende às seguintes condições:
1. p  0
2. p  1
3. p  1
4. D( p )  {1,1, p, p} , ou seja, p é divisível apenas por 1, -1, p e  p .
Um resultado importante que envolve os números primos é o seguinte:
4
Teorema 1.1: (Teorema Fundamental da Aritmética em Z ) Seja a   , a  0 e a  1 . Então
existem números primos p1 , p2 ,..., pr   (r  1) todos maiores que 1, de maneira que:
a  p1 . p 2 ... p r ou a   p1 . p 2 ... p r
Conforme a  0 ou a  0 . Esta decomposição, a menos da ordem dos fatores, é única.
Este teorema nos diz que todo número inteiro pode ser decomposto de forma única como
produto de números primos.
Exemplos:
a) 1260
b) 180
1.2.3. Máximo Divisor Comum (MDC) e Mínimo Múltiplo Comum (MMC) em Z
O MDC entre dois números a, b   é o maior número inteiro positivo que divide, ao
mesmo tempo, os números a e b .
Por exemplo, para determinarmos o máximo divisor comum entre 8 e 12, MDC (8,12) ,
primeiramente determinamos todos os divisores de 8 e de 12:
D(8)  {1,  2,  4 ,8}
D(12)  {1,  2,  3,  4 ,  6,12}
Note que o número 4 é o maior divisor comum entre 8 e 12, isto é, MDC (8,12)  4
O MMC entre dois números a, b   é o menor número inteiro positivo que é múltiplo, ao
mesmo tempo, dos números a e b .
5
Por exemplo, para determinarmos o mínimo múltiplo comum entre 6 e -8, MMC (6,8) ,
primeiramente determinamos todos os múltiplos de 6, -8:
M (6)  {0,  6,  12 ,  18,  24,  30, ...}
M (8)  {0,  8,  16,  24,  32, ...}
Note que o 24 é o menor múltiplo comum entre 6 e -8, isto é, MMC (6,8)  24 .
Importante:
- MDC (0, b)  b para todo b  
Ex: MDC (0,2)  2
- MMC (0, b )  0 para todo b  
Ex: MMC (0,2)  0
1.3 NÚMEROS RACIONAIS
Chamamos de conjunto dos números racionais – símbolo Q - o conjunto:
a

Q   | a   e b *  .
b

Neste conjunto Q , adotamos as seguintes definições:
(1) igualdade:
(2) adição:
a c
  ad  bc
b d
a c ad  bc
 
b d
bd
(3) multiplicação:
a c ac
 
b d bd
Importante:
Conjunto dos racionais não negativos Q
Conjunto dos racionais não positivos Q
Ex:
1 2

 1  10  2  5
5 10
Ex:
1 2 1 3  5  2
 
5 3
53
Ex:
2 3 23
 
7 5 75
6
Conjunto dos racionais não nulos Q
*
1.3.1. Propriedade do inverso multiplicativo
Esta propriedade definida em Q nos diz que todo elemento não nulo possui inverso pela
operação multiplicação e pode ser enunciada como:
Propriedade 1.3.2: Para todo
Exemplo:
a
a
b
a b
 Q , onde  0 , existe  Q tal que   1 .
b
b
a
b a
2 3
 1
3 2
1.4. NÚMEROS IRRACIONAIS
Existem números cuja representação decimal não é nem finita nem periódica. São
chamados números irracionais e temos como exemplo o número   3,14159265... e o número
2.
Em geral,
p , p primo, p  1 , representa um número irracional.
1.5 NÚMEROS REAIS
Estudamos os conjuntos dos números naturais, dos inteiros, dos racionais e dos irracionais.
A união dos conjuntos dos números racionais com o conjunto dos números irracionais é chamada
de conjunto dos números reais.
7
15.1. Reta real
A reta real pode ser visualizada abaixo:
A seguir estão enunciadas mais algumas propriedades para valor absoluto:
(v ) a  b  a  b
( vi) a  b  a  b
8
EXERCÍCIOS SOBRE NÚMEROS REAIS
1. Calcule o MMC entre os seguintes números:
a) 2, 5, 11
Resp: 110
d) 12,15,20
Resp: 60
b) 2,5,3
Resp: 30
e) 36, 40
Resp: 360
c) 18 e 60
Resp: 180
f) 16,20,48,60
Resp: 240
2. Marcos, Lorena e Márcia trabalham no mesmo hospital. Marcos dá plantão a cada 5 dias;
Lorena a cada 8 dias; e Marcia, a cada 10 dias. Hoje, os três juntos deram plantão. Daqui a quantos
dias os três vão se reencontrar no plantão do hospital? Resp: 40 dias
3. Efetue
a)
5 4
 
3 3
 2 5
j)  6        
 3 2
b)
1 7
 =
5 5
5 2  3 1
k)        
 7 21  4 7 
c)
2 5
 
3 8
d)
3 5
 
2 4
e)
5 8 2

 
3 27 5
f)
3 5
 
2 2
g)
3 5
 
2 2
1
 2 
l)   2     1 
3
 5 
m) 1 
4 2  4 1
n)     
 
3 5  5 7
8 2  3 4 6
o)     
  
9 5  4 7 5
6  2  7
p)          
5  5  2
l
 5   10 
h)        
 2  7 
i)
3 2 1
  
4 3 2
ll
1 
 2 
  5    
2 
 3 
Resp.: a) 3
b) -6/5 c) 31/24 d) 11/4 e) 319/135
l) -7/3 m) 13/8 n) -490/495 o) -247/60
p) -13/5
f) 15/4 g) 3/5 h) 25/7 i) 3/20 j) 10 k) 52/51
9
2x  3 y x  2 y
4. Efetue a subtração

.
3
2
x
R.:
6
 1  1   1  1
5. Qual o valor da expressão:         
16  8   64  128
R.: 0
Vamos estudar agora o que acontece com a potenciação e a radiciação no conjunto dos
números reais.
1.6 POTENCIAÇÃO
A potenciação é uma expressão matemática que contém uma base a  * e uma potência
ou expoente n . Ela pode ser definida da forma
a n  a.a
.
a .a .a
.....
a
n vezes
onde o expoente n indica o número de vezes em que a base deve ser multiplicada por si mesma.
Exemplos: Identifique a base a e o expoente n e em seguida calcule o valor de:
a) 2 5 
b) 4 4 
c) 5 3 
d)  5 3 
e) ( 5 )3
f) 2 2 
g) ( 2 ) 2 
h)  2 2 
10
Vejamos a definição formal da potenciação:

 1
se n  0
 n 1
n
Definição1.6: Seja a   , a  0 e n   . Então a   a .a se n  0 .
 1
  n se n  0
 a
Importante:
- Se a  0 , então a n  0 para todo n   , n  0 .
Exemplo: 0 3  0 .
- Se a  0 e n  0 , temos uma indeterminação.
Exemplos: Calcular o valor de:
a) 2 3 
b) ( 2 )3 
c) 5 2 
d) ( 6 )1 
e)
f)
3 2

4
5
3 3
6 
g)  
7 

2
 2
h)   
 3

2

11
*
Propriedades 1.6.2: Para a , b   e m, n   temos:
i ) a m  a n  a mn
Exemplo: 2 6.2 4 
am
 a m n
an
ii )
Exemplo:
iii ) ( a  b ) n  a n  b n
53

57
Exemplo: (8  2) 3 
n
5
an
a
iv )    n
b
b
6
Exemplo:   
7
1.7 RADICIAÇÃO
Definição 1.7: Dados a   , a  0 e n  N , diz-se que o número b    é raiz n-ésima de a se
a  b n . Ou seja,
n
a  b  a  bn .
Exemplos:
9  3 , pois 9  3 2 .
a)
b)
3
64  4 , pois 64  4 3 .
Importante:
a)
x 2  x - Verdadeiro.
Exemplo:
b)
5 2  5  5. Verdadeiro.
x 2  x - Falso.
Exemplo:
( 5 ) 2  5 - Falso, pois
( 5 )2   5  5 - Verdadeiro
12
Propriedades 1.7.2: Dados os números a ,b    , m  Z e n , p  N * , temos que:
n
i)
ii)
a .b  n a .n b .
n
a

b
n
n
a
b
, com b  0 .
iii) ( n a )m  n a m .
iv)
pn
a 
pn
Exemplo:
9.16 
Exemplo:
4

49
Exemplo: ( 9 ) 3 
a.
Exemplo:
3
64 
Importante:
9  16  9  16 . Verifique que o resultado não é o mesmo. Em seguida, identifique a
diferença entre esta expressão e a propriedade i) descrita acima.
Definição 1.8: Dado o número real a  0 e a fração
p
 Q ( p  Z , q  N * ) , temos:
q
q
ap/q  ap .
De acordo com esta definição, o expoente fracionário pode ser convertido em raiz. Vejamos os
exemplos:
a) 8 1 / 2  8
b) 9 2 / 3  3 9 2
c) 4 1 / 3 
13
d) 15 3 / 4 
e) 5 6 / 4 
1.8 DECOMPOSIÇÃO DE RAÍZES
O Teorema Fundamental da Aritmética auxilia na simplificação de radicais.
Exemplos:
a)
c)
e)
4
27 
b)
240 
d)
3150 
96 
3
864 
14
EXERCÍCIOS SOBRE POTÊNCIAS E RADICAIS
1. Se a e b são números reais, então, em que condições vale a igualdade ( a  b ) 2  a 2  b 2 ?
2. Usando as regras de potenciação resolva:
a) 4 3  5 2  5 1 
R:
7941
320
b) ( 2 ) 2  2 1  3 2  ( 5 2 )1 / 2 =
R:
 19
2
c) 5 0  3 2 .3 3  4 3 .4 5 .4 2 / 3 
R:  2  2 16 / 3
d) ( 4.3 2 ) 2 .( 5 1 .2 )3 
R:
e) ( 3 8 )2  ( 2 20 )2 
R:  8
f) ( 2 . 6 ) 2  ( 4 7 ) 2 
R:  100
10368
125
3. Efetue as expressões algébricas:
a) ( x  1 ) 2 
R: x 2  2 x  1
b) ( x  4 ) 2 
R: x 2  8 x  16
c) ( 2 x  3 ) 2 
R: 4 x 2  12 x  9
d) ( 4  3 x ) 2 
R: 16  24 x  9 x 2
e) ( x 2  5 ) 2 
R: x 4  10 x 2  25
f) ( 2 x  3 y 2 ) 2 
R: 4 x 2  12 xy 2  9 y 4
g) ( 2 5  1 ) 2 
R: 21  4 5
h) ( 3  7 ) 2 
R: 16  6 7
4. Utilizando as regras da radiciação, encontre o valor das expressões numéricas:
75  2 12  3 48 
R:  3 3
b) 6  3 24  54  150 =
R:  3 6
a)
c)
1
( 24  12 . 32 ) =
2
R: 5 6
15
2
4
d) ( 8 2 )  18 . 2  2 3 =
e)
f)
2 2 3 2 3
3
3 5 7 5  2 5
4 5
g) 4 8  2 18 

=
R: 140
R:
6
R:  1 / 2
R: 2 2
5. Resolva:
a)
2

3 2
2
b)  
3
R: 18
2

R: 9 / 4
2
 4 
c) 
 
 0 ,25 
d)
( 2 ) 3

( 2 ) 2
R: 256
R:  2
16
UNIDADE II – EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
2.1 INTERVALOS REAIS
Sejam a , b   com a  b. Um intervalo real é um subconjunto com infinitos elementos de
 . Ele pode ser representado através das seguintes formas:
[ a ,b ]  { x  R ; a  x  b }
_____________________________
[ a ,b )  { x  R; a  x  b }
_____________________________
( a ,b ]  { x  R; a  x  b }
_____________________________
( a ,b )  { x  R ; a  x  b }
_____________________________
( a , )  { x  R ; a  x }
_____________________________
[ a , )  { x  R; a  x }
_____________________________
( ,b )  { x  R ; x  b }
_____________________________
( ,b ]  { x  R; x  b }
_____________________________
2.2 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
Uma equação é uma expressão matemática que envolve o símbolo de igualdade (=). Uma
inequação utiliza o símbolo de desigualdade, como por exemplo, o símbolo  .
17
Lembrete:
x  a  x  a ou x  a
a  b  a  b ou a  b
x  a  a  x  a
x  a  x  a ou x  a
Exemplo: Resolver as equações:
a) 5 x  4   x  5
b)  6 x  1  2 x  3
c) 5 x  3  7
d) 7 x  1  2 x  5
e) x 2  4 x  3
f)  x  3  9
2
18
Exemplo: Resolver as inequações.
a) 2  5 x  3 x  7
c)
2
4
3 x
e) ( x  5 )( x  3 )  0
b) 2  x  3 x  4  8
d)
3x
4
3 x
f) 7 x  2  4
19
g) x  3  2 x  1
h)
7  2x
4x
 2 , com x  4
20
EXERCÍCIOS SOBRE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
1. Um certo número foi somado com 8 e o resultado foi multiplicado por 6. No final, obteve-se 30.
Qual é esse número? Resp: x  3
2. José tem x reais e seu irmão João tem R$ 320,00 a mais. Se os dois juntos têm R$ 1.610,00,
quanto é que José tem?
Resp: R$ 645,00
3. A famosa perua Burra custa R$ 7.000,00 a mais que o carro popular da mesma marca. Se os
dois juntos custam R$ 31.000,00, descubra o preço de cada um.
Resp: Perua: R$ 19.000,00 e
Popular: R$12.000,00
4. Resolva as seguintes equações:
a) 3  2( x  3)  x  18
Resp: x  5
b) 3( x  4)  1  (3 x  1)
Resp: x  2
c) 50  (3 x  2)  2(3 x  4)  26
Resp: x  10
d) 2( x  3)  4( x  1)
Resp: x  1 / 3
5. Encontrar a solução das inequações abaixo:
a) 3 x  4  5 x  8
4 x ( 2 x  5)
b) 4 x  1 

3
2
R: (,6]
 21 

  ,

22 
R: 
c) 5  x  3 x  x  2
5

  1, 
4
R: 
2
d) x  9
R: [ 3 ,3 ]
2
e) x  25
R: (  ,5 )  ( 5 , )
2
f) x  3 x  2  0
R: ( ,1 )  ( 2 , )
2
g) 1  x  2 x  0
1

 1, 2 

R: 
21
2
h) x  4 x  5
R: (5,1)
2
i) 6  5 x  x  0
R: (,3)  (2,)
j)
x  12  7
R: ( 19 ,5 )
k) 3 x  4  2
2 
R:  ,2 
3 
l) 5  6 x  9
R: ( ,2 / 3 ]  [ 7 / 3 , )
22
UNIDADE III – POLINÔMIOS
3.1 CONCEITOS GERAIS
Definição 3.1: Um polinômio de grau n é uma função da forma p(x) = anxn + an-1 xn-1 +...+ a2x2 +
a1x + a0, onde os coeficientes a0, a1,..., an são números reais conhecidos e an ≠ 0 e n é um número
natural.
Exemplo: A letra a apresentado a seguir representa um polinômio. Já os itens b e c não são
polinômios. Você conseguiria identificar por quê?
6
a) f ( x )  6  x
5
2
b) f ( x )  3x  4 x  9 x
2
3
2
c) f ( x )   x  4 x  x
Definição 3.2: O valor numérico de um polinômio é o valor que este assume quando atribuímos a
x um valor numérico.
Exemplo: Se f ( x )  3x 2  4 x  6 determine:
f (3)  f ( 2)
f ( 1)
Exemplo: Determine o valor de g (4)  [h(3)]2 considerando g ( x )  x 3  4 x e h( x )  6 x  7
23
Definição 3.3: Dizemos que um polinomio p é nulo quando p ( x)  0,  x. Ou seja, quando
todos os coeficientes do polinômio são nulos.
Exemplo: Determine o valor das constantes para que f ( x )  ax 2  bx  cx 2  c  2 seja um
polinômio nulo.
Definição 3.4: Os polinômios p e q definidos por p(x) = anxn + an-1xn-1 +...+ a2x2 + a1x + a0, e q(x)
= b nxn + bn-1xn-1 +...+ b2x2 + b1x + b0, são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:
tivermos que a k = b k .
Ou seja, dois polinômios são iguais quando têm o mesmo grau e seus termos correspondetes são
iguais.
Exemplo: Determine o valor dos coeficientes para que os polinômios f ( x )  3x 3  ax 2  4 x  b
e g ( x )  (c  3) x 4  dx 3  4 x 2  4 x  e sejam idênticos.
Denominamos raiz de um polinômio de uma variável a todos os números reais que anulam o
polinômio, isto é, todos os números reais que tornam o valor numérico do polinômio igual a zero.
Definição 3.5 : Dizemos que k é raiz de um polinômio p( x )  a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n quando
p( k )  0 .
Exemplo: O polinômio
A( x )  x 2  x  2
tem como raiz o número real “1”, pois
A(1)  12  1  2  0 .
Exemplo: O polinômio P ( x )  5 x  1 tem uma só raiz real, que é o número 1/5
24
Um polinômio de grau n tem exatamente n raízes complexas. Eventualmente essas raízes podem
ser reais, uma vez que   C .
Exemplo: Seja p( x )  x 3  3x 2  2 x , verifique se x  0, x  1, x  2 São raízes do polinômio.
O teorema apresentado a seguir é de grande valia para encontrar as raízes racionais de um
polinômio.
Teorema 3.1: Se um polinômio possui uma raiz racional
Exemplo: O polinômio
c
, então c / a0 e d / an
d
p( x )  x 5  3 x 2  3 admite raiz racional?
Exemplo: O polinômio P ( x )  x 3  7 x 2  11x  2 admite raiz racional?
Exemplo: O polinômio P( x )  x 5  2 x 4  5 x 2  7 x  6 tem cinco raízes. Uma das raízes é o
número (-2) . Verifique.
3.2 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
Definição 3.6: Considere os polinômios f ( x )  a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n e
g ( x )  b0  b1 x  b2 x 2  ...  bn x n então,
f ( x )  g ( x )  a0b0  a1  b1 x  a2  b2 x 2  ...  (an  bn ) x n
Ou seja, se junta os coeficientes dos termos correspondentes.
25
3
2
3
2
Exemplo: Considere f ( x)  3 x  3 x  4 e g ( x)  7 x  4 x  4 x  9 . Determine:
a) f ( x )  g ( x )
b) 3 f ( x )  4 g ( x )
Definição
3.7:
Dados
g ( x )  b0  b1 x  b2 x 2  ...  bm x m
dois
polinômios
chama-se
f ( x )  a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n
produto
de
f ( x)  g ( x)
o
e
polinômio
fg ( x )  a0b0  a 0b1  a1b0 x  a 2 b0  a1b1  a0 b2 x 2  ...  a n bm x nm
De modo prático para realizarmos a multiplicação de polinômios aplicamos a propriedade
da distributividade, ou seja, cada termo de um deles por todos os termos do outro e reduzimos os
termos semelhantes.
Exemplos: Seja f ( x )  3x 2  4 x  6 e g ( x )  4 x  6 . Determine:
a) f ( x)  g ( x)
b) 5 f ( x )  x g ( x )
c) f ( x )  ( x  4) g ( x )
26
Definição 3.8: Dados dois polinômios, p (dividendo) e g  0 (divisor), dividir p por g é
determinar dois outros polinômios q (quociente) e r (resto), de modo que se verificam as duas
condições seguintes:
(i) p ( x)  q ( x)  g ( x )  r ( x)
(ii) grau r < grau g
Observação: r ( x )  0 dizemos que a divisão é exata.
Exemplo: Determinar o quociente e o reto da divisão de:
a) p( x)  x 2  6 x  5 por g ( x)  x  1
b) p ( x)  x 3  6 x 2  5 x  3 por g ( x)  2 x 2  3 x  1
Exemplo: Determinar o que pede em cada caso
a) O quociente da divisão de P(x) = 4x4 – 4x3 + x – 1 por g(x) = 4x3 +1
b) O resto da divisão do polinômio x3 – 2x2 + x + 1 por x2 – x + 2
27
c) O quociente da divisão de P(x) = x3 – 7x2 +16x – 12 por Q(x) = x – 3
d) O resto da divisão do polinômio P(x) = x3 – 2x2 + 4 pelo polinômio Q(x) = x2 – 4
e) A divisão de p(x) por x2 + 1 tem quociente x – 2 e resto 1. O polinômio P(x) é:
28
EXERCÍCIOS SOBRE POLINÔMIOS
1- Quais das expressões representam um polinômio na variável x?
a) f ( x)  x 3  2 x 
3
x
b) f ( x)  4
3
4
c) f ( x)  x  x
d) f ( x ) 
 x
4
5
4
3
e) f ( x)  x  3 x  55 x  6 x 
f) f ( x)  7 x  x 2  6
Resp. são polinômios as letras b) d) e)
2) Dado o polinômio p ( x)  2 x 3  5 x 2  x  2 . Calcule:
a) P(0)
Resp: -2
b) P(-1/2) Resp: -4
3- Dada a função polinomial f ( x)  x 3  x 2  x  1 , calcule:
a) f (3) Resp: -20
b) f (0) Resp: 1
c) f (1) Resp: 4
d) f (t  1) Resp: t 3  4t 2  6t  4
e) f (2t ) Resp: 8t 3  4t 2  2t  1
4- As raízes do polinômio p ( x)  x 3  6 x 2  8 x pertencem ao conjunto {0,1,2,3,4}. Determine o
conjunto solução. Resp: ( 0, 2 e 4)
5- Determine o valor de a sabendo que 2 é raiz de p( x)  2 x 3  ax  4 . Resp: 10
29
A
B
4x  3
6- Calcular A e B de que
+
= 2
. Resp: A=5/4 e B=11/4
x2 x2 x 4


7- Calcule m e n sabendo que 3x 2  x  2 mx  n   6 x 3  5 x 2  5 x  2 . Resp: m =2 e n = 1
8- Determine o resto da divisão de :
a) 2x3-5x2+4x-4 por 2x-3 Resp: -5/2
b) 5x3-11x2+3x-2 por x-2 Resp: 0
c) x3-3x2+3x-1 por x-1. Resp: 0
d) 5x4-3x2+x-1 por x-2. Resp: 69
d) 3 x3-4x2+5x-2 por 2x-1. Resp. -1/8
9- Resolva as equações
a) 6x4-11x3-6x2+9x-2 = 0 Resp: S = {-1; 2; 1/3; ½}
b) x3-6x2+11x - 6 = 0 Resp: S = {1; 2; 3 }
c) 2x3+9x2+13x + 6 = 0
Resp: S = {-2;-1;-3/2}
d) 4x4-4x3-7x2+4x+3 = 0 Resp: S = {-1;-1/2;1;3/2}


10- Dado o polinomial p( x)  m 2  36 x 3  (m  6) x 2  (m  6) x  9 . Determine m de modo que
P(x) seja:
a) Do 3º grau Resp: m6
b) Do 2º grau Resp: m=6
c) do 1 º grau Resp: m=-6
11- Dividindo o polinômio por g (x) por x 2  1 , obtemos o quociente por x 3  2 x  3
e o resto por 3 x  1 . Determine g (x) .
12- Efetue a divisão do polinômio g ( x)  x 3  ax  b por h( x )  2 x 2  2 x  6 . Qual é a condição
para que a divisão seja exata?
R : a  4, b  3
30
UNIDADE IV– EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
4.1 CONCEITOS GERAIS
Neste momento iremos trabalhar com equações em que a incógnita encontra-se no expoente. De
maneira geral, existem algumas técnicas para resolver tais equações que serão apresentadas a
seguir.
Definição 4.1: Equações exponenciais são equações com incógnita no expoente.
Por exemplo,
a) 2 x  32
b) 3 x  2 
1
27
c) 25 x 3  5 x
Para resolver equações exponenciais devemos reduzir ambos os membros da equação a
potências de mesma base e então igualar os expoentes.
Teorema 4.1: Seja a   tal que a  0 e a  1 . Então se a x  a y então x  y .
Exemplos:
a) 2 x  32
c) 25 x 3 
b) 3 x  2 
 5
x
1
27
d) 4 x  0,25
31
e) ( 2)

x x 1
4
f) 8
x2 x
4
x 1
x
1
g)    3 4
2
h) 25 2 x 3  3 5 x
i) 3 2 x 1.9 3 x  4  3 3( x 1)
j) 3.4 x 1  96
k) 2 x  2  2 x 1  18
l) 2 2 x  9.2 x  8  0
m) 2 x 1  2 x  2 x 1  2 x  2  2 x 3  120
n) 4 x  2 x  56
32
EXERCÍCIOS SOBRE EXPONENCIAL:
1. Resolva as seguintes equações exponenciais:
25 x  5
a) 2 x  2  8
h)
b) 64 x  256
i) 2 x 1 
c) 9 2 x 1  27 5 x 1
x2
j) 2 
3
1
4
8
2 x 3
x
27
3
d)   
2
8
 
k) 10 x
e) ( 2 x ) x  16
x
l) 3
f) 32 x  3 243
m)
 
g) 2
x x4
2x2
10 x  7
2. Resolva as seguintes equações exponenciais:
a) 3 x  4  3 x 5  3 x 7  25
b) 25 x  125  20.5 x
c) 2 x 3  2 x 1  2 x  7
d) 3 2 x  2  9  18.3 x
9
2
f) 4 x 1  4 x  2  4 x 3  4 x  4  4 x 5  341
g) 5 2 x 1  10.5 x 1  75  0
h) 9 x  3  4.3 x
i) 21 2 x  5.2 x  2  0
 10

1
9
2 4 x2 1

2 3x5 2
1
n)  
4
 32
e) 2 x 1  2 x 2 
2
2
x 1
 16 x  2
33
j) 5
4 x 1
5
4x
5
4 x 1
5
4x 2
 480
k) 4 x 1  4 3 x  257
l) 9 x  3 x  90
Respostas:
1. a) 5
b) 4/3
c) -5/11
d) 3
e) {-2,2}
j) 4
k) {-1,3}
l) {1,9}
m) 6
n) -1
2. a) -4 b)1
c) 3 d) 0
e) 1
f) 5 g) 2
f) 5/6 g) {-5,1}
h) {0,1} i) {-1,1}
j) ½
h) ¾
i) -3
k) {-1,3} l) 2
34
UNIDADE V– LOGARITMO
No estudo de equações exponenciais, feito anteriormente, só tratamos dos casos em que
podíamos reduzir as potências à mesma base.
Se quisermos resolver a equação 3 x  4 , não conseguimos reduzir a mesma base, e para
resolver este tipo de equação iniciamos o estudo de logaritmos.
5.1 CONCEITOS GERAIS
Definição 5.1: Sejam a e b números reais positivos, com a  1 , chama-se logaritmo de b na base a
o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b, isto é,
log a b  x  a x  b
Em log a b  x dizemos:

a é a base do logaritmo

b é o logaritmando

x é o logaritmo
Obs.:
1. Quando a base do logaritmo for 10, chamamos de logaritmos decimais e podemos omitir a
base. Assim: log 10 x  log x .
2. Quando a base for e (e = 2,718281828459) , chamamos de logaritmo neperiano e usamos a
seguinte notação: log e x  ln x .
Exemplos:
a) log 3 27
b) log 5 25
35
1
32
d) log 2 3 64
e) log 8 16
f) log 4 0,25
g) log 1 256
h) log 3 3 3
c) log 4
2
Conseqüências da definição de logaritmo
Sendo a  0 , a  1 e b  0 segue da definição de logaritmo:
1) log a 1  0
2) log a a  1
3) a loga b  b
4) log a b  log a c  b  c
36
5.2 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
Seja a  0 , a  1 , b  0 e c  0 , tem-se:
i) Logaritmo do produto: log a (b.c)  log a b  log a c
b
ii) Logaritmo do quociente log a    log a b  log a c
c
iii) Logaritmo da potência: log a b n  n. log a b
Mudança de base
Se a, b e c são números positivos e a e c diferentes de 1, então: log a b 
log c b
log c a
Exemplos:
1. Seja x 
a
, determine log x .
bc
2. Se log 2  0,301 , calcule o valor da expressão log 20  log 40  log 400
3. Determine a razão entre os logaritmos de 16 e 4 numa base qualquer.
4. Se log 2 (a  b)  m e a  b  8 , determine log 2 (a 2  b 2 ) .
37
5. Sabendo que log 20 2  a e log 20 3  b , determine log 6 5 .
6. Calcule o valor de log 0,04 125 .
5.3 EQUAÇÃO LOGARÍTMICA
Existem três tipos de equações logarítmicas. Para resolvê-las devemos:

Aplicar a definição de logaritmo e suas propriedades

 a, b  0
Verificar se as soluções satisfazem as condições de existência: 
a  1
1º) log a f ( x)  log a g ( x)
Exemplos:
a) log 5 (2 x  3)  log 5 7
2º) log a f ( x)  
,  
Exemplos:
2
a) log 6 ( x  x)  1
38
b) log 5 (log 3 x)  1
c) log 2 ( x  3)  log 2 x  2
3º) Variável auxiliar
Exemplo:
a) log 22 x  log 2 x  2
39
EXERCÍCIOS SOBRE LOGARITMOS
1 – Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos:
a) log
8
4
b) log 25 0,2
c) log 2 3 64
d) log16 32
e) log 5 0,000064
f) log 49 3 7
g) log 3 81
h) log 2 8 64
i) log 4 2 2
j) log 2 0,25
l) log 2 2 128
m) log 625 5
n) log 3 3
5
25
9
2 – Calcule o logaritmo de 625 na base 53 5 .
3 – Calcule o valor da expressão: log 1 32  log 10 0,001  log 0,1 10 10
2
4 – Calcule o valor da soma S:
a) S  log 10 0,001  log 3 3 3  log 8 16
b) S  log 1 8  log 4
2
3
27
 log 2 1024
64
c) S  log 4 (log 3 9)  log 2 (log 81 3)  log 0,8 (log16 32)
5 - O logaritmo de um número em certa base é 3. O logaritmo desse mesmo número numa
base igual à metade da anterior é 6. Determine o número procurado.
40
6- Determine o valor da expressão: log 7 7 3  log 9 16  log 25 5 .
7- Sabendo que log 2  0,301 e log 3  0,477 , calcule:
a) log 6
b) log 5
c) log 2,5
 ac 
8- Sendo log a  4 , log c  6 e log d  1, calcule o valor de log  .
d 
9- Dados log 2  0,301 , log 3  0,477 , log 5  0,699 e log 7  0,845 calcule:
a) log 15
b) log 42
c) log 210
10- Ache o valor das expressões:
a) log 5  log 200
b) log 100  log 50  log 10  log 2
c) log 2 24  log 2 3
d) log 5 8  log 5 12,5  log 5 4
11- Sendo log 2  0,3 , log 3  0,4 e log 5  0,7 , calcule:
a) log 2 50
b) log 3 45
12- Dados log 2  a e log 3  b , calcule log 9 20 .
13- Se ab  1 , calcule log b a .
14- Determine o valor de:
log 3 2  log 4 3  log 5 4  log 6 5  log 7 6  log 8 7  log 9 8  log10 9
15- Calcule log 4 a 3 , se log 2 a  1,6 .
41
16- Sendo log 2  0,3 e log 3  0,4 , calcule log 8 600 .
Respostas:
1 a)4/3
b)-1/2
2) 3
3)-13/2
7) a) 0,778
9) a) 1,176
11) a)
16) 3
c)2
d)5/4
f)1/6
4) a)-17/6 b)10
b) 0,699
b) 1,623
17
15
b)
3
4
e)-6
c)0,398
c) 2,322
12)
a 1
2b
g)4
c) -5/2
8) log
10) a) 3
13) 
1
2
h)3/4 i)3/4 j)-2
5) x  64
6)
l)14/3
7
2
ac
 11
d
b)5
14) log 2
c) 3
d)2
15) 2,4
m)1/8
n) -2/3
42
EXERCÍCIOS EQUAÇÕES LOGARITMICAS
1 – Resolva as equações:
a) log 3 x  4
b) log x 243  5
c) log x
1
2
9
d) log 3
x3
1
x 1
e) log 1 x  1  2
3
f) log x 16  2


2
2 – Determine o conjunto solução da equação log 12 x  x  1
2
3 – Resolva a equação log 4  x  5 x   log 4 6


4 – Resolva a equação log 1 x 2  4 x  5  4
2
5 – Resolva a equação log x  4  4 x  13  2
6 – Resolva as seguintes equações:
a) log 5 log 4 log 3 x   0
b) log1  2 log x  1  0
c) log 2 log 3 log 4  x  2  0
d) log 16 4 log 5 5  log 2 1  4 log 2 x  
1
2
7 – Dê o conjunto solução da equação:
3  log x
4
2  log x
8 – Determine o conjunto solução das equações:
a) log 2 ( x  3)  log 2 ( x  4)  3
43
b) log 2 ( x)  log 2 (2 x)  log 2 (4 x)  log 2 (8 x)  10
9 – Resolva a equação log 2 ( x)  log 2 (10 x  1)  1
10 – Resolva as equações:
a) log 2  x  7  log 2  x  11  2


2
b) log 2 x  2 x  7  log 2  x  1  2
11 – Ache o conjunto verdade da equação log 3  x  1  log 3 2 x  1  log 3  x  3  3
12 – Determine o conjunto verdade da equação 2log x = log 4 + log 3x
13 – Resolva a equação log (x + 4) + log (x – 4) = 2 log 3
14 – Resolva a equação log (2x+3) + 1 = log 40
15 – Resolva no conjunto dos números reais, as equações:
a)
log (x + 1) = log x + 1
b)
log (x + 1) + 2 = log (4x2 – 500)
16 – Determine o conjunto solução das equações:
2
a) log 3 x  6 log 3 x  9  0
2
b) log  x  3  log x  3  0
Respostas: 1 – a)81 b)3 c)1/3 d)3 e)10 f)1/4
2 – {-3,4}
3 – {2,3}
4 – {-7,3}
8 – a)5 b)2
9–½
10 – a)17 b)3
15 – a)1/9 b)30 16 – a)27 b){4,13}
5 – 0
6 – a)81 b)0 c) 62 d) 1
11 – {4,10}
12 – 12
13 – 5
7 – 10
14 – ½
44
Bibliografia Consultada
ÀVILA, Geraldo. Calculo I-Funções de uma variável. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1994.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo, Ática, 2003.
FLEMMING, Diva M.: GONSALVES, Mirian B. Cálculo A: funções, limite, derivação e
integração. 6. ed. São Paulo: Makron, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JR, José Ruy. A conquista da
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IEZZI, Gelson. Fundamentos da matemática elementar: complexos, polinômios,
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