J. A. M. Felippe de Souza
10 – Estabilidade
10 – Estabilidade
3
10.1 – Introdução à Estabilidade
Definição 10.1 – Estabilidade
3
Definição 10.2 - BIBO-estável
3
Teorema 10.1 – Localização dos polos
4
Exemplo 10.1
5
Exemplo 10.2
7
Exemplo 10.3
10
Exemplo 10.4
9
10.2 – Critério de Routh para estabilidade
11
Tabela de Routh
11
Observação 10.1 (sobre tabela de Routh
> 0)
13
Observação 10.2 (sobre tabela de Routh multiplicação linhas)
14
Teorema 10.2 (número trocas sinal coluna pivô tabela de Routh)
14
Teorema 10.3 (Critério de Routh para estabilidade)
14
Exemplo 10.5
14
Exemplo 10.6
15
Exemplo 10.7
15
Teorema 10.4 (sobre coeficientes do polinómio característico)
18
Teorema 10.5 (sobre coeficientes do polinómio característico)
18
Exemplo 10.8
18
Exemplo 10.9
19
Exemplo 10.10
20
Exemplo 10.11
21
Exemplo 10.12
22
Exemplo 10.13
23
1
J. A. M. Felippe de Souza
10 – Estabilidade
Exemplo 10.14
24
Exemplo 10.15
25
Exemplo 10.16
27
Exemplo 10.17
28
10.3 – Casos especiais no critério de Routh
Zero na coluna pivô da tabela de Routh
29
29
Exemplo 10.18
29
Exemplo 10.19
30
Exemplo 10.20
31
Exemplo 10.21
34
Exemplo 10.22
35
Teorema 10.6 (zeros na coluna pivô)
36
Exemplo 10.23
37
Exemplo 10.24
39
Exemplo 10.25
40
Exemplo 10.26
42
10.4 – Estabilidade Relativa
43
Teorema 10.7 (trocas sinal coluna pivô na estabilidade relativa)
45
Exemplo 10.27
45
Exemplo 10.28
47
2
J. A. M. Felippe de Souza
10 – Estabilidade
Estabilidade
10.1 – Introdução
Neste capítulo vamos analisar o problema da estabilidade de sistemas lineares e invariantes no tempo.
Fig. 10.1 – Diagrama esquemático de um sistema.
Definição 10.1:
O sistema é estável se a resposta ao impulso → 0 quando → ∞. Ou seja, se a saída ( )
do sistema satisfaz
lim ( ) = 0
→
quando a entrada ( ) = impulso.
Equivalentemente, pode ser dada uma outra definição:
Definição 10.2:
O sistema é estável se toda a entrada limitada tem uma resposta limitada.
Sistemas que são estáveis segundo esta definição 10.2 são comummente chamados de
BIBO-estável (BIBO = bounded input-bounded output).
A entrada (input) de um sistema linear e invariante no tempo pode ser decomposta na
soma de parcelas correspondentes, cada uma delas, a cada um de seus polos reais ou a
cada par de polos complexos conjugados.
3
J. A. M. Felippe de Souza
10 – Estabilidade
A saída (output) destes sistemas será também composta de parcelas, chamadas de
‘modos’, que são correspondentes às parcelas com que foi decomposta a entrada (input).
Isso se deve ao facto de o sistema ser linear e ao conhecido Teorema da Superposição da
matemática.
A estabilidade de sistemas pode ser determinada pela localização dos polos do sistema
no plano complexo.
Fig. 10.2 – Plano complexo.
Cada polo no semiplano da direita (SPD) implica em um ‘modo’ crescente na saída (i.e.,
a resposta transitória aumenta indefinidamente ou oscila com amplitude crescente para
entrada impulso).
Logo, sistemas que têm um ou mais destes modos serão sistemas instáveis.
Cada polo no eixo imaginário implica em um ‘modo’ em que a resposta transitória permanece constante ou oscila com amplitude constante (i.e., para entrada impulso, a
resposta transitória não aumenta indefinidamente nem oscila com amplitude crescente,
mas entretanto não decresce).
Logo, sistemas que têm um ou mais destes modos poderão não ser sistemas instáveis mas
também não serão sistemas estáveis.
Finalmente, cada polo no semiplano da esquerda (SPE) implica em um ‘modo’ dominante
decrescente.
Portanto, é necessário que TODOS os polos do sistema estejam no SPE para que ele seja
um sistema estável. Um polo que não esteja no SPE causará um ‘modo’ crescente ou
constante e isso arruína a estabilidade tornando-o um sistema instável.
Teorema 10.1: Um sistema é estável se, e somente se, ele tem todos os seus polos com
parte real negativa, isto é, localizados no semiplano da esquerda (SPE).
4
J. A. M. Felippe de Souza
10 – Estabilidade
Exemplo 10.1: Considere o sistema de 1ªordem
= a +
=
cuja função de transferência é dada por:
( )
1
=
.
( ) ( − a)
O único polo deste sistema está localizado em
= a,
que pode estar no SPE, no eixo imaginário ou no SPD, dependendo do valor de a (a < 0,
a = 0 ou a > 0, respetivamente).
Se a < 0 ⇒ polo
SPE ⇒ Sistema é estável.
Fig. 10.3 – Caso a < 0, sistema é estável. Resposta ao impulso unitário (à esquerda) e
resposta ao degrau unitário (à direita).
A figura 10.3 ilustra que neste caso (a < 0) a resposta ao impulso unitário → 0 quando
→ ∞ e resposta ao degrau unitário é limitada.
Se entretanto a = 0 ⇒ polo
instável.
#$ % $& '$(á $% ⇒ Sistema não é nem estável nem
5
J. A. M. Felippe de Souza
10 – Estabilidade
Fig. 10.4 – Caso a = 0, sistema não é instável mas também não é estável. Resposta ao
impulso unitário (à esquerda) e resposta ao degrau unitário (à direita).
A figura 10.4 ilustra que neste caso (a = 0) a resposta ao impulso unitário é constante
(não tende para zero quando → ∞) e resposta ao degrau unitário é não é limitada.
Por outro lado, se a > 0 ⇒ polo
SPD ⇒ Sistema é instável.
Fig. 10.5 – Caso a > 0, sistema é instável. Resposta ao impulso unitário (à esquerda) e
resposta ao degrau unitário (à direita).
A figura 10.5 ilustra que neste caso (a > 0) a resposta ao impulso unitário → ∞ quando
→ ∞ e resposta ao degrau unitário não é limitada.
6
J. A. M. Felippe de Souza
10 – Estabilidade
Exemplo 10.2: Considere o sistema de 2ªordem dado abaixo pela sua função de transferência:
( )
=
+( )
-
4
−2 +4
Claramente este sistema possui um par de polos complexos com parte real positiva,
= 1 ± 0√3
e portanto os polos SPD, como ilustra a figura 10.6. Logo, este sistema é instável. A
figura 10.7 mostra que a resposta ao degrau unitário é oscilatória com amplitudes cada
vez maiores, conforme → ∞.
Fig. 10.6 – Plano complexo. Localização dos polos do sistema no SPD.
Fig. 10.7 – Sistema de segunda ordem com polos complexos no SPD. Resposta ao degrau
unitário. Sistema instável.
7
J. A. M. Felippe de Souza
10 – Estabilidade
Exemplo 10.3: Considere agora o sistema de 2ªordem dado abaixo pela sua função de
transferência:
( )
=
+( )
-
4
+2 +4
Claramente este sistema também possui um par de polos complexos com parte real
negativa, dados por
= −1 ± 0√3
e portanto os polos SPE, como ilustra a figura 10.8. Logo, este sistema é instável. A
figura 10.9 mostra que a resposta ao degrau unitário é oscilatória que converge (ou
estabiliza), conforme → ∞.
Fig. 10.8 – Localização no plano complexo dos polos do sistema (ambos no SPE).
Fig. 10.9 – Sistema de segunda ordem com polos complexos no SPE. Resposta ao degrau
unitário. Sistema estável.
8
J. A. M. Felippe de Souza
10 – Estabilidade
O sistema de segunda ordem do exemplo 10.3 tem os seguintes parâmetros:
3 = 0,5 e 67 = 2
e portanto 0 < 3 < 1 . É possível se calcular o ‘overshoot’ (Mp = 65,8%) assim como o
instante de pico 8 = 5,5787s, o tempo de acomodação, etc.
Já o sistema de segunda ordem do exemplo 10.2 tem os seguintes parâmetros:
3 = −0,5 e 67 = 2
e portanto 3 < 0, o sistema nunca estabiliza, não tem ‘overshoot’, instante de pico,
tempo de acomodação, etc.
Exemplo 10.4:
Considere os 4 polinómios característicos <= ( ), <- ( ), <> ( ) e <? ( ) abaixo:
<= ( ) =
-
<- ( ) =
-
−5 +6
<> ( ) =
-
+5 −6
<? ( ) =
-
−5 −6
+5 +6
cujas raízes (polos do sistema) são:
= −2
= −3
cujas raízes (polos do sistema) são:
=2
=3
cujas raízes (polos do sistema) são:
=1
= −6
cujas raízes (polos do sistema) são:
= −1
=6
As figuras 10.10, 10.11, 10.12 e 10.13 mostram a localização dos polos destes quatro
polinómios.
9
J. A. M. Felippe de Souza
x
x
-3
-2
10 – Estabilidade
0
Fig. 10.10 – Localização dos polos de
<= ( ): ambos no SPE.
Fig. 10.11 – Localização dos polos de
<- ( ): ambos no SPD.
Fig. 10.12 – Localização dos polos de
<> ( ): um polo no SPD e
um polo no SPD.
Fig. 10.13 – Localização dos polos de
<? ( ): um polo no SPD e
um polo no SPD.
Nitidamente <= ( ) é o único dos quatro polinómios que representa um sistema estável
pois é o único dos quatro polinómios que possui os seus polos no SPE.
Resumindo, vimos nesta secção que a estabilidade de sistemas lineares e invariantes no
tempo depende apenas da localização dos seus polos, que devem estar todos no SPE para
que o sistema seja estável.
Logo, a estabilidade não depende da função de transferência toda, mas apenas do
polinómio característico <( ) do sistema.
Se pensarmos na equação de estado
= A + A , = B + C , a estabilidade não
depende de B, C ou D, mas apenas da matriz A que nos dá o polinómio característico <( )
e os polos do sistema.
10
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
10.2 – Critério de Routh para estabilidade
O canadiano Edward John Routh (1831-1907) criou, ainda no século XIX, numa época que
ainda não havia luz eléctrica, máquina de calcular ou computador, um método
matemático para determinar o número de polos no SPD sem ter que calcular os polos.
Dessa forma facilitou a determinação da estabilidade do sistema.
O método é construído a partir do polinómio característico do sistema, a qual supomos
que tem a seguinte expressão:
<( ) =
7
+
=
7D=
+
-
7D-
+ ⋯+
7D=
+
7
,
(
> 0)
A partir de <( ) começa-se a montar a tabela de Routh conforme ilustra a figura 10.14.
A tabela terá n+1 linhas, às quais marcamos, pelo exterior da tabela, com 7 , 7D= , 7D- ,
… -, = e .
A tabela terá as suas duas primeiras linhas formadas pelos coeficientes de <( ),
- … 7D= ,
7.
H,
=,
Se <( ) é um polinómio ímpar, então o último elemento 7 cairá na segunda linha da
tabela (linha 7D= ). Se entretanto <( ) é um polinómio par, então o último elemento 7
cairá na primeira linha da tabela (linha 7 ), e devemos preencher o local vago logo
abaixo, na segunda linha, com um zero (ou simplesmente deixamos em branco).
7
7D=
7D-
=
-
?
I
>
J
K
7D>
⋮
⋮
-
=
Fig. 10.14 – Tabela de Routh (início da formação da tabela).
A figura 10.15 ilustra o preenchimento inicial da tabela de Routh para o caso do polinómio
ímpar de 5º grau
<( ) =
J
+
=
?
+
11
-
>
+
>
-
+
?
+
J
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Esta tabela terá 6 linhas, marcadas exteriormente por J , ? , > , - , = e
, e os
coeficientes H , = , - , > , ? e J do polinómio <( ) são distribuídos nas duas primeiras linhas terminando com na segunda linha.
A figura 10.16 ilustra o preenchimento inicial da tabela de Routh para o caso do polinómio
par de 4º grau
<( ) =
?
+
=
>
+
-
-
+
>
+
?.
Esta tabela terá 5 linhas, marcadas exteriormente por ? , > , - , = e , e os coeficientes H , = , - , > e ? do polinómio <( ) são distribuídos nas duas primeiras linhas
terminando com na primeira linha.
J
?
>
=
-
?
>
J
?
-
>
=
-
-
>
?
0
=
=
Fig. 10.15 – Tabela de Routh: início da for- Fig. 10.16 – Tabela de Routh: início da formação da tabela para um
mação da tabela para um
polinómio ímpar (do 5º grau).
polinómio par (do 4º grau).
A primeira coluna (onde estão os elementos H e = ) é chamada de coluna pivô. Os
elementos desta coluna são chamados de pivôs. A figura 10.17 ilustra a tabela de Routh
como ficará depois de completa. Os elementos seguintes da coluna pivô serão M= , N= , … ,
O= , #= e P= . As linhas vão ficando cada vez mais curtas até que as duas últimas linhas
terão apenas um elemento. Os elementos não preenchidos no final de cada linha têm o
valor de zero, mas normalmente são deixados em branco mesmo.
7
7D=
7D7D>
⋮
⋮
-
=
=
-
?
I
>
J
K
M=
M-
M>
M?
⋮
⋮
⋮
⋮
N=
⋮
O=
#=
N-
N>
⋮
⋮
O-
N?
⋮
P=
Fig. 10.17 – Tabela de Routh, depois de completa.
12
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
O cálculo dos elementos M= , M- , M> … da terceira linha está descrito abaixo. Observe
que há uma divisão por = , o pivô da linha anterior em todos os elementos desta linha.
M= =
M- =
M> =
−1
=
−1
=
−1
=
∙ O# R
∙ O# R
∙ O# R
-
=
>
?
=
J
I
=
K
S=
= -
S=
= ?
S=
= I
−
>
=
−
J
=
−
K
=
O cálculo dos elementos N= , N- , N> … da linha seguinte está também descrito abaixo.
Observe que há uma divisão por M= , o pivô da linha anterior em todos elementos desta
linha.
N= =
−1
=
∙ O# RM
=
M=
N- =
−1
=
∙ O# RM
=
M=
N> =
−1
=
∙ O# RM
=
M=
>
M=
>
J
M=
J
K
M=
K
M- S =
M> S =
M? S =
−
M=
= M-
−
M=
= M>
−
M=
= M?
Desta forma calcula-se também os elementos das demais linhas e colunas e a tabela de
Routh fica completa. Note que, como já foi dito, as linhas vão ficando mais curtas a
medida que não há mais elementos a serem calculados.
Observação 10.1:
Note que a tabela de Routh foi construída supondo que
polinómio característico <( )
<( ) =
7
+
=
7D=
+ ⋯+
7D-
-
> 0. Se o coeficiente
+
7D=
+
do
7
não for positivo (i.e., se
< 0), então pode-se redefinir <( ) com todos os coeficientes
do polinómio com os sinais trocados. Desta forma obtém-se
> 0.
Isto ocorre devido ao facto, como é bem conhecido, que as raízes de um polinómio não
se alteram quando todos os seus coeficientes são multiplicados por –1 (ou por qualquer
outro valor constante ≠ 0).
13
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Observação 10.2:
Para simplificar os cálculos, se desejar, pode-se multiplicar (ou dividir) todos os elementos de uma linha qualquer da tabela de Routh por um número positivo. Isso não irá
alterar os resultados a serem obtidos da tabela de Routh.
A tabela de Routh permite descobrir quantos polos estão localizados no SPD.
Teorema 10.2:
O número de trocas de sinal na coluna pivô da tabela de Routh é igual ao número de
polos no SPD.
A determinação do número de polos no SPD pode ser útil mas entretanto não nos dá um
resultado para a estabilidade do sistema de imediato. Isso porque um sistema para ser
estável tem que possuir todos os seus polos no SPE e, mesmo que o número de troca de
sinais seja zero, o que significa que terão zeros polos no SPD, isso não garante estabilidade pois poderá haver algum polo no eixo imaginário.
No entanto, polos no eixo imaginário vão reflectir em zeros na coluna pivô, como será
visto um pouco mais adiante. Isso permite escrever o seguinte resultado:
Teorema 10.3: (Critério de Routh para estabilidade)
O sistema possui todos os polos no SPE se, e somente se, todos os elementos da coluna
pivô da tabela de Routh são positivos.
Exemplo 10.5:
Polinómio característico de sistemas de 2ª ordem
<( ) =
-
+M +N
N
=
M
N
Fig. 10.18 – Tabela de Routh de <( ) =
-
+ M + N.
Portanto, a estabilidade de um sistema de 2ªordem é equivalente a
> 0,
M>0
14
e
N>0
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Logo, no caso de sistemas de 2ª ordem é possível determinar a estabilidade apenas
olhando para os coeficientes do polinómio característico.
Ou seja, quando o sistema é de 2ª ordem, os elementos da coluna pivô da tabela de Routh
são os próprios coeficientes do polinómio característico.
Exemplo 10.6:
Polinómio característico de sistemas de 3ªordem
<( ) =
+
>
=
-
+
+
-
>
-
=
>
=
= -
>
−
>
=
>
Fig. 10.19 – Tabela de Routh de <( ) =
>
+
=
-
+
-
+
>.
É fácil de se verificar que os elementos da coluna pivô terão o mesmo sinal (positivo)
quando
e
> 0,
=
> 0,
= -
-
>
> 0,
>
>0
>
Portanto, um sistema com polinómio característico
<( ) =
>
+5
-
+2 +1
é estável, mas entretanto um sistema que tenha polinómio característico
<( ) =
>
+2
-
+3 +8
não é estável.
Exemplo 10.7:
Retornando aos quatro polinómios característicos <= ( ), <- ( ), <> ( ) e <? ( ) do exemplo 10.4:
<= ( ) =
-
+5 +6
<- ( ) =
-
−5 +6
<> ( ) =
-
+5 −6
<? ( ) =
-
−5 −6
15
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Já vimos no exemplo 10.4 que <= ( ) é o único dos quatro polinómios que representa um
sistema estável pois é o único dos quatro polinómios que possui os seus dois polos no SPE.
Vamos agora verificar este resultado usando a tabela e o critério de Routh (i.e., usando
os teoremas 10.2 e 10.3).
No caso do polinómio <= ( ) a figura 10.20 ilustra a tabela de Routh, assim como a localização dos polos do polinómio. A conclusão que se chega ao analisar a tabela é que: como
não há troca de sinais nos elementos da coluna pivô, então não há polos do sistema no
SPD (pelo teorema 10.2) e além disso, o sistema é estável pois todos os elementos da
coluna pivô são positivos (pelo teorema 10.3).
-
zero trocas de sinal
<= ( )
(de elementos
da
coluna
pivô)
1
6
=
5
Plano
Complexo
6
zero raízes no SPD
x
x
-3
-2
0
Fig. 10.20 – Tabela de Routh (à esquerda) e localização dos polos (à direita)
do polinómio <= ( ) = - + 5 + 6.
No caso do polinómio <- ( ) a figura 10.21 ilustra a tabela de Routh, assim como a localização dos polos do polinómio. A conclusão que se chega ao analisar a tabela é que: como
há duas trocas de sinais nos elementos da coluna pivô, então há dois polos no SPD
(teorema 10.2). Neste caso, claramente, o sistema não é estável.
=
Plano
Complexo
2 trocas
( )sinal
<-de
(de elementos da
1
coluna
pivô) 6
0
–5
x
2
x
3
6
2 raízes no SPD
Fig. 10.21 – Tabela de Routh (à esquerda) e localização dos polos (à direita)
do polinómio <- ( ) = - − 5 + 6.
16
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
No caso do polinómio <> ( ) a figura 10.22 ilustra a tabela de Routh, assim como a localização dos polos do polinómio. A conclusão que se chega ao analisar a tabela é que: como
há apenas uma troca de sinal nos elementos da coluna pivô, então há apenas um polo no
SPD (teorema 10.2). Neste caso, novamente, o sistema não é estável.
-
1 troca
) sinal
<> ( de
(de elementos da
1coluna pivô)
–6
=
5
Plano
Complexo
x
-6
–6
0
x
1
1 raiz no SPD
Fig. 10.22 – Tabela de Routh (à esquerda) e localização dos polos (à direita)
do polinómio <> ( ) = - + 5 − 6.
Finalmente, no caso do polinómio <? ( ) a figura 10.23 ilustra a tabela de Routh, assim
como a localização dos polos do polinómio. A conclusão que se chega ao analisar a tabela
é que: aqui novamente há apenas uma troca de sinal nos elementos da coluna pivô, e
portanto, há apenas um polo no SPD (teorema 10.2). Neste caso, mais uma vez, o sistema
não é estável.
Plano
Complexo
=
<? ( )de sinal
1 troca
(de elementos da
1
-6
coluna pivô)
-5
x
-1
0
x
6
-6
1 raiz no SPD
Fig. 10.23 – Tabela de Routh (à esquerda) e localização dos polos (à direita)
do polinómio <> ( ) = - − 5 − 6.
Antes de apresentar outros exemplos do uso da tabela de Routh vamos apresentar mais
um resultado.
Já vimos nos exemplos 10.5 e 10.7 que se o polinómio característico p(s) de um determinado sistema é do 2º grau, então a coluna pivô da tabela de Routh é constituída pelos
próprios coeficientes de p(s). Logo pode-se concluir se o sistema é estável ou não apenas
olhando para os coeficientes de p(s).
17
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
O sistema será estável se os coeficientes foram todos positivos. O mesmo ocorrerá se p(s)
for um polinómio do 1º grau.
Entretanto, se o grau do polinómio p(s) for superior a dois, não é possível tirar conclusões
sobre a estabilidade apenas olhando para os coeficientes. Torna-se necessário montar a
tabela de Routh e analisar a coluna pivô. O exemplo 10.6 ilustra isso no caso de p(s) do
3º grau.
O resultado a seguir permite descobrir alguns casos de sistema instáveis, apenas olhando
para os coeficientes de p(s). Estes casos são quando algum coeficiente de p(s) for nulo
ou negativo.
Considerando novamente o polinómio característico p(s) do sistema com a expressão
<( ) =
7
+
=
7D=
+
-
7D-
+ ⋯+
7D=
+
7
,
(
> 0)
Teorema 10.4:
Se algum dos coeficientes = , - , … , 7D= , 7 do polinómio p(s) é nulo ou negativo,
então p(s) terá raízes (pelo menos uma) no eixo imaginário e/ou no SPD.
Este teorema permite de imediato concluir outro resultado
Teorema 10.5:
Se algum dos coeficientes
=,
-, … ,
7D= ,
7
Sistema é instável.
do polinómio característico p(s) é
nulo ou negativo.
Portanto, para o sistema ser estável é necessário que todos os coeficientes
= , - , … , 7D= ,
7 sejam positivos. Mas isso não é suficiente pois, mesmo que isso
ocorra, o sistema pode ser estável ou instável. O critério de Routh é que permitirá descobrir.
Exemplo 10.8:
Considerando agora o polinómio característico do 4º grau
<( ) =
?
+2
>
+3
Construindo-se a tabela de Routh obtém-se
18
-
+4 +5
J. A. M. Felippe de Souza
?
>
=
8 – Estabilidade
1
3
1
5
2
5
4
−6
2 trocas de sinal
(de elementos da
coluna pivô)
0
5
2 polos no SPD
Fig. 10.24 – Tabela de Routh do polinómio <( ) =
?
+2
>
+3
-
+ 4 + 5.
Logo, o sistema não é estável. Este é um exemplo de um sistema em que todos os coeficientes de p(s) são positivos mas, mesmo assim, o sistema é instável.
Aqui poderia, por exemplo, para simplificar os cálculos, dividir a 2ªlinha (i.e., a linha
por 2 (fazendo o pivô da linha se tornar igual a 1). Isto não altera os resultados.
?
>
=
1
1
1
−3
3
2
5
5
0
2ª linha
÷2
5
>
)
Novamente tem-se
2 trocas de sinal
(de elementos da
coluna pivô)
2 polos no SPD
Fig. 10.25 – Tabela de Routh do polinómio <( ) = ? + 2 > + 3 - + 4 + 5
com a 2ªlinha (i.e., a linha > ) dividida por 2 para simplificar os
cálculos (fazendo o pivô da linha se tornar igual a 1).
Exemplo 10.9:
Analisar a estabilidade de malha fechada do sistema da figura 10.26. Ou seja, encontrar
os valores de K para os quais que o de malha fechada do sistema da figura 10.26 é estável.
1
s + 2s + 2s + 2
3
2
1
s
Fig. 10.26 – Diagrama de blocos do sistema de malha fechada do exemplo
10.9.
Construindo-se a função de transferência de malha fechada (FTMF), obtemos
19
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
( )
=
+( )
?
+2
>
U
+2
-
+2 +U
Logo o polinómio característico do sistema de malha fechada é dado por
<( ) =
?
+2
+2
>
-
+2 +U
e portanto, a tabela de Routh para este polinómio p(s) é montada conforme se vê na
figura 10.27.
?
2
1
U
2
>
=
1
(2
U
2
0
− 2U)
U
Fig. 10.27 – Tabela de Routh do polinómio <( ) =
?
+2
>
+2
-
+ 2 + U.
Agora, para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da
coluna pivô sejam todos positivos (pelo teorema 10.3). Logo, fazendo-se
(2 − 2U) > 0
e
U>0
garante-se que os elementos da coluna pivô de ambas as linha = e
portanto toda a coluna pivô será positiva. Portanto,
⇒
(2 − 2U) > 0
U>0
⇒
2U < 2
U>0
sejam positivos e
U<1
U>0
e o sistema de malha fechada será estável para
0<U<1
Exemplo 10.10:
Encontrar os valores de K para os quais que o sistema de malha fechada da figura 10.28
é estável.
K
s
1
s + 2s + 6s + 4
3
2
Fig. 10.28 – Diagrama de blocos do sistema de malha fechada do exemplo 10.10.
20
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Aqui o polinómio característico do sistema de malha fechada é dado por
<( ) =
?
+2
>
+6
-
+4 +U
e portanto, monta-se a tabela de Routh para este polinómio p(s) conforme vemos na
figura 10.29.
?
>
=
1
6
4
U
2
U
4
U
V4 − W
2
U>0
Fig. 10.29 – Tabela de Routh do polinómio <( ) =
?
+2
>
+6
-
+ 4 + U.
Agora, para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da
coluna pivô sejam todos positivos (pelo teorema 10.3). Logo, fazendo-se
U
V4 − W > 0
2
e
U>0
garante-se que os elementos da coluna pivô de ambas as linha = e
portanto toda a coluna pivô será positiva. Portanto,
U
2
⇒
X4 − Y > 0
U>0
sejam positivos e
U<8
U>0
e o sistema de malha fechada será estável para
0<U<8
Exemplo 10.11:
Encontrar os valores de K para os quais que o sistema de malha fechada da figura 10.30
é estável.
3
s − 6 s + 10
Ks+1
2
Fig. 10.30 – Diagrama de blocos do sistema de malha fechada do exemplo 10.11.
21
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Agora o polinómio característico do sistema de malha fechada é dado por
<( ) =
-
+ (3U − 6) + 13
e portanto, montando-se a tabela de Routh para este polinómio p(s) obtemos o que é
mostrado na figura 10.31.
1
=
13
(3U − 6)
13
Fig. 10.31 – Tabela de Routh do polinómio <( ) =
-
+ (3U − 6) + 13.
Agora, para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da
coluna pivô sejam todos positivos. Logo, fazendo-se
⇒
(3U − 6) > 0
U>2
o que garante-se que toda a coluna pivô será positiva. Portanto, o sistema de malha
fechada será estável para
U > 2.
Exemplo 10.12:
Encontrar os valores de K para os quais que o sistema de malha fechada da figura 10.32
é estável.
2s + K
s
2
4
+ 5 s − 16
Fig. 10.32 – Diagrama de blocos do sistema de malha fechada do exemplo 10.12.
Neste caso o polinómio característico do sistema de malha fechada é dado por
<( ) =
-
+ 13 + (4U − 16)
e portanto, a tabela de Routh para este polinómio p(s) pode ser montada e isso é mostrado na figura 10.33.
22
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
-
1
=
13
(4U − 16)
(4U − 16)
Fig. 10.33 – Tabela de Routh do polinómio <( ) =
-
+ 13 + (4U − 16).
Agora, para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da
coluna pivô sejam todos positivos. Logo, fazendo-se
⇒
(4U − 16) > 0
U>4
e isso garante-se que toda a coluna pivô será positiva. Portanto, o sistema de malha
fechada será estável para
U>4
Exemplo 10.13:
Encontrar os valores de K1 e K2 para os quais que o sistema de malha fechada da figura
10.34 é estável.
2
s − 12 s − 22
K1s + K 2
2
Fig. 10.34 – Diagrama de blocos do sistema de malha fechada do exemplo 10.13.
O polinómio característico do sistema de malha fechada é dado por
<( ) =
-
+ (2U= − 12) + (2U- − 22)
e portanto, monta-se a tabela de Routh para este polinómio p(s) conforme se vê na figura
10.35.
-
1
=
(2U= − 12)
(2U − 22)
(2U- − 22)
Fig. 10.35 – Tabela de Routh do polinómio <( ) =
23
-
+ (2U= − 12) + (2U- − 22).
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da coluna pivô
sejam todos positivos. Logo, é necessário fazer
(2U= − 12) > 0
(2U- − 22) > 0
⇒
U= > 6
U- > 11
e com isso toda a coluna pivô será positiva. Portanto, o sistema de malha fechada será
estável para
U= > 6
e
U- > 11
o que corresponde aos pares (K1, K2) localizados na região do plano K1 x K2 ilustrado na
figura 10.36.
Fig. 10.36 – Região do plano K1 x K2 onde existe estabilidade de malha
fechada do para o sistema do exemplo 10.13.
Exemplo 10.14:
Encontrar os valores de K1 e K2 para os quais que o sistema de malha fechada da figura
10.37 é estável.
K1 +
K2
s
s2
2
+ s − 4
Fig. 10.37 – Diagrama de blocos do sistema de malha fechada do exemplo 10.14.
O polinómio característico deste sistema de malha fechada é dado por
<( ) =
>
+
-
+ (2U= − 4) + 2U-
e portanto, pode-se montar a tabela de Routh para este polinómio p(s) e isso é visto na
figura 10.38.
24
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
>
1
(2U= − 4)
-
1
2U-
=
(2U= − 2U− 4)
2UFig. 10.38 – Tabela de Routh do polinómio <( ) =
>
+
-
+ (2U= − 4) + 2U- .
Para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da coluna pivô
sejam todos positivos. Logo, é necessário fazer
(2U= − 2U- − 4) > 0
2U- > 0
⇒
U= − U- > 2
U- > 0
e com isso toda a coluna pivô será positiva. Portanto, o sistema de malha fechada será
estável para
U- < U= − 2
e
U- > 0
o que corresponde aos pares (K1, K2) localizados na região do plano K1 x K2 ilustrado na
figura 10.39.
Fig. 10.39 – Região do plano K1 x K2 onde existe estabilidade de malha fechada
do para o sistema do exemplo 10.14.
Exemplo 10.15:
Encontrar os valores de K1 e K2 para os quais que o sistema de malha fechada da figura
10.40 é estável.
25
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
K
1
+
1
s2 − 2s − 3
K 2
s
s
s+3
Fig. 10.40 – Diagrama de blocos do sistema de malha fechada do exemplo 10.15.
O polinómio característico deste sistema de malha fechada é dado por
<( ) =
>
+
-
+ (U= − 9) + (U- − 9)
e portanto, pode-se montar a tabela de Routh para este polinómio p(s), o que pode ser
visto na figura 10.41.
>
1
-
1
=
(U= − U- )
(U= − 9)
(U- − 9)
(U- − 9)
Fig. 10.41 – Tabela de Routh do polinómio <( ) =
>
+
-
+ (U= − 9) + (U- − 9).
Para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da coluna pivô
sejam todos positivos. Logo, é necessário fazer
(U= − U- ) > 0
(U- − 9) > 0
⇒
U- < U=
U- > 9
e com isso toda a coluna pivô será positiva. Portanto, o sistema de malha fechada será
estável para
U- < U=
e
U- > 9
o que corresponde aos pares (K1, K2) localizados na região assinalada do plano K1 x K2
ilustrado na figura 10.42.
26
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
K
K =K
K =9
9
K
Fig. 10.42 – Região do plano K1 x K2 onde existe estabilidade de malha fechada
do para o sistema do exemplo 10.15.
Exemplo 10.16:
Encontrar os valores de K para os quais que o sistema de malha fechada da figura 10.43
é estável.
1
s 4 + 3s 3 + 5s 2 + 7 s − 9
K
Fig. 10.43 – Diagrama de blocos do sistema de malha fechada do exemplo 10.16.
O polinómio característico deste sistema de malha fechada é dado por
<( ) =
?
+3
>
+5
-
+ 7 + (U − 9)
e portanto, montamos a tabela de Routh para este polinómio p(s) (figura 10.44).
?
1
5
>
3
7
-
8[
3
(U − 9)
=
(U − 9)
137 − 9U
8
(U − 9)
(U − 9)
Fig. 10.44 – Tabela de Routh do polinómio <( ) =
27
?
+3
>
+5
-
+ 7 + (U − 9).
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da coluna pivô
sejam todos positivos. Logo, é necessário fazer
137−9U
8
>0
⇒
(U − 9) > 0
U < 15,22
U<9
e com isso toda a coluna pivô será positiva. Portanto, o sistema de malha fechada será
estável para
9 < U < 15,22
Exemplo 10.17:
Encontrar os valores de K para os quais que o sistema de malha fechada da figura 10.45
é estável.
K
s
s
2
( s + 1)
+ 4 s + 16
1
(s − 1)
Fig. 10.45 – Diagrama de blocos do sistema de malha fechada do exemplo 10.17.
O polinómio característico deste sistema de malha fechada é dado por
<( ) =
?
+3
>
+ 12
-
+ (U − 16) + U
e portanto, pode-se montar a tabela de Routh para este polinómio p(s) (figura 10.46)
?
1
12
>
3
(U − 16)
-
52 − U
3
U
=
−U - + 59U − 832
(52 − U)
U
U
Fig. 10.46 – Tabela de Routh do polinómio <( ) =
28
?
+3
>
+ 12
-
+ (U − 16) + U .
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Para ter-se estabilidade de malha fechada é necessário que os elementos da coluna pivô
sejam todos positivos. Logo, é necessário fazer
52−U
>0
3
−U2 +59U−832
>
\52−U]
U>0
U < 52
⇒
0
23,3 < U < 35,7 e U < 52
U>0
e com isso toda a coluna pivô será positiva. Portanto, o sistema de malha fechada será
estável para
23,3 < U < 35,7
10.3 – Casos especiais no critério de Routh
Os casos especiais do critério de Routh se resumem ao aparecimento do valor ‘zero’ em
um ou mais elementos da coluna pivô pois, nestes casos, não é possível calcular os
elementos da próxima linha. Isso porque, claro, no cálculo de cada elemento da tabela
de Routh, a partir da terceira linha, tem que se dividir pelo pivô da linha anterior.
Na verdade o aparecimento de um valor ‘zero’ em algum elemento da coluna pivô da
tabela de Routh para um polinómio característico p(s) de um sistema já implica que o
mesmo não é estável (como já foi visto no Teorema 10.5). Entretanto, para que seja
possível terminar de montar a tabela de Routh, contornando o problema da divisão pelo
pivô com valor ‘zero’, é preciso seguir algumas regras que apresentamos a seguir.
Desta forma pode-se descobrir-se quantos polos estão no SPD, no eixo imaginário, assim
como no SPE.
Na grande parte dos casos o problema de um zero na coluna pivô resolve-se com a substituição do ‘zero’ por um ^ > 0.
Exemplo 10.18:
Construir a tabela de Routh para o polinómio característico p(s) dado abaixo e descobrir
o número de polos do sistema no SPD.
<( ) =
>
+3
-
+ +3
A figura 10.47 mostra a tabela de Routh para este polinómio p(s).
29
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
1
>
3
-
3
0≅^>0
=
Fig. 10.47 – Tabela de
1
3
<( ) =
>
+3
-
+ + 3.
‘zero’ na
coluna pivô
Routh do polinómio
Observe que para que seja possível terminar a construção da tabela de Routh foi necessário substituir o ‘zero’ na penúltima linha por um ^ > 0 e desta forma calcularmos o
elemento da última linha.
Como o ^ > 0, observamos que todos os elementos da coluna pivô são positivos, ou seja:
zero trocas de sinal
(de elementos da
coluna pivô)
zero raízes no SPD
Na verdade este polinómio <( ) tem 2 raízes no eixo imaginário e 1 no SPE (e nenhuma
no SPD).
As raízes de <( ) são:
= ±0
= −2
Fig. 10.48 – Localização das raízes do polinómio <( ) = > + 3 - +
+ 3.
No exemplo anterior, um ‘zero’ na coluna pivô resultou em um par de polos simétricos
no eixo imaginário ( = ±0). Mas estes 2 polos poderiam ter sido no eixo real, em vez de
no eixo imaginário.
Exemplo 10.19:
Construir a tabela de Routh para o polinómio característico p(s) dado abaixo e descobrir
o número de polos do sistema no SPD.
<( ) =
>
+2
-
− −2
A tabela de Routh para este polinómio p(s) está ilustrada na figura 10.49.
30
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
1
>
−1
2
-
−2
0≅^>0
=
−2
‘zero’ na
coluna pivô
Fig. 10.49 – Tabela de Routh do polinómio <( ) = > + 2 - −
− 2.
Novamente, para que seja possível terminar a construção da tabela de Routh foi necessário substituir o ‘zero’ na penúltima linha (linha = ) por um ^ > 0 e desta forma calcularmos o elemento da última linha (a linha ).
Como o ^ > 0, observamos que há apenas uma troca de sinal na coluna pivô, ou seja:
uma troca de sinal
(de elementos da
coluna pivô)
uma raiz no SPD
Na verdade este polinómio <( ) tem 2 raízes simétricas no eixo real como pode ser
observado na figura 10.50.
x
-2
x
-1
As raízes de <( ) são:
= ±1
= −2
x
1
0
Fig. 10.50 – Localização das raízes de polinómio <( ) = > + 3 - +
+ 3.
O ‘zero’ na coluna pivô resultou em um par de polos simétricos no eixo real ( = ±1).
Exemplo 10.20:
Construir a tabela de Routh para o polinómio característico p(s) dado abaixo e descobrir
o número de polos do sistema no SPD.
<( ) =
>
+2
-
+ a + 2a
Novamente aqui a tabela de Routh é facilmente construída (na figura 10.51), mesmo com
o aparecimento de um zero na penúltima linha (linha = ) da coluna pivô, pois este é
facilmente contornável substituindo-se o ‘zero’ ≅ ^ > 0.
31
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
?
1
a
-
2
2a
=
0≅^
>0
‘zero’ na
coluna pivô
2a
Fig. 10.51 – Tabela de Routh do polinómio <( ) = > + 2 - + a + 2a.
=
Portanto, há um ‘zero’ na coluna pivô na 2ªposição de baixo para cima (linha
indica simetria de 2 polos em relação à origem.
)o
1º caso: a > 0
Se a > 0, não há trocas de sinal na coluna pivô, logo, não há polos no SPD.
A figura 10.52 mostra os polos do sistema (raízes de <( )) e como se dá a simetria de 2
polos em relação à origem. Também pode-se ver que, de facto não há polos no SPD.
As raízes de <( ) são:
j a
= ±0√
= −2
−j a
Fig. 10.52 – Localização das raízes de polinómio <( ), caso
> 0.
2º caso: a < 0
Se a < 0, há 1 troca de sinal na coluna pivô, e portanto, há 1 polo no SPD.
A figura 10.53 mostra os polos do sistema (raízes de <( )) e como se dá a simetria de 2
polos em relação à origem. Também pode-se ver que, de facto há apenas 1 polo no SPD.
As raízes de <( ) são:
= ±a
= −2
− a
Fig. 10.53 – Localização das raízes de polinómio <( ), caso
32
a
< 0.
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
3º caso: a = 0
Se a = 0, não há trocas de sinal na coluna pivô, logo, não há polos no SPD. Note que aqui
surge mais um ‘zero’ na coluna pivô, na última linha (linha ). Isso quer dizer que além
de simetria de 2 polos em relação à origem, também há a simetria de 1 polo em relação
à origem.
A figura 10.54 mostra os polos do sistema (raízes de <( )) e pode-se ver que neste caso
temos 2 polos na origem (polo duplo em = 0). Também pode-se ver que, de facto não
há polos no SPD.
As raízes de <( ) são:
= 0 (duplo)
= −2
Fig. 10.54 – Localização das raízes de polinómio <( ), caso
= 0.
Nos exemplos 10.18, 10.19 e 10.20 acima, como o ‘zero’ na coluna pivô surgiu (em ambos
os casos) na penúltima linha (2ª linha de baixo para cima), isso significa que tem-se 2
polos simétricos em relação a origem.
Ora, simetria de 2 polos em relação a origem só pode ocorrer de 2 formas:
a) um par de polos simétricos no eixo imaginário (conforme foi o caso do
exemplo 10.18 e exemplo 10.20 caso a > 0), ou
b) um par de polos simétricos no eixo real (conforme foi o caso do exemplo
10.19 e exemplo 10.20 caso a < 0).
Um polo duplo na origem (i.e., em = 0) pode ser considerado como um caso particular
tanto de (a) como de (b). Estes casos estão ilustrados na figura 10.55.
x
x
0
0
x
xx
0
pólo duplo
em s = 0
x
Fig. 10.55
– Simetria de 2 polos em relação a origem.
33
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Quando o ‘zero’ na coluna pivô aparece na última linha (1ª linha de baixo para cima, ou
linha ), isso significa que tem-se apenas 1 polo simétrico em relação a origem, isto é,
um polo em = 0, conforme ilustrado na figura 10.56.
x
0
Fig. 10.56 – Simetria de apenas 1 polo em relação a origem. Polo em
= 0.
Exemplo 10.21:
Construir a tabela de Routh para o polinómio característico p(s) dado abaixo e descobrir
o número de polos do sistema no SPD, no eixo imaginário e no SPE.
<( ) =
J
+6
?
+ 13
>
+ 14
-
+6
A tabela de Routh para este polinómio p(s) pode ser construída conforme ilustra a figura
10.57.
J
1
13
6
?
6
14
0
>
32[
3
6
=
340[
32
0
6
‘zero’ na
coluna pivô
0
Fig. 10.57 – Tabela de Routh do polinómio <( ) = J + 6 ? + 13 > + 14 - + 6 .
Não há trocas de sinais na coluna pivô, logo, não há polos no SPD. Mas, conforme podese observar existe um ‘zero’ na última linha da coluna pivô (1ª linha de baixo para cima),
logo, temos um polo na origem.
Portanto pode-se concluir que: <( ) não tem polos no SPD, tem apenas um polo no eixo
imaginário e os 4 polos restantes no SPE. Isso pode ser verificado na figura 10.58.
34
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
zero trocas de sinal
(de elementos da
coluna pivô).
zero polos no SPD.
1 ‘zero’ na última
linha da coluna pivô.
1 polo no eixo imaginário,
em = 0.
<( ) é do 5º grau, logo,
4 polo no SPE.
o sistema tem 5 polos.
As raízes de <( ) são:
= −1 ± 0
= −1
= −3
=0
raízes de polinómio <( ) = J + 6 ? + 13 > + 14 - +
Fig. 10.58 – Localização das
6 .
Exemplo 10.22:
Construir a tabela de Routh para o polinómio característico p(s) dado abaixo e descobrir
o número de polos do sistema no SPD, no eixo imaginário e no SPE.
<( ) =
>
−3 +2
A figura 10.59 ilustra a tabela de Routh para este polinómio p(s).
>
1
−3
-
0≅^>0
2
=
2
V−3 − W < 0
3
‘zero’ na
coluna pivô
2
Routh do polinómio <( ) =
>
− 3 + 2.
Fig. 10.59 – Tabela de
Aqui há 2 trocas de sinais na coluna pivô, logo, há 2 polos no SPD.
Conforme pode-se observar existe um ‘zero’ na antepenúltima linha da coluna pivô (3ª
linha de baixo para cima), logo, temos 3 polos simétricos em relação à origem. O terceiro
tem que estar no SPE pois há uma simetria de 3 polos em relação à origem.
35
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
2 trocas de sinal
(de elementos da
coluna pivô).
2 polos no SPD.
O terceiro polo não está
no eixo imaginário pela
simetria de 3 polos.
‘zero’ polos no
eixo imaginário.
O terceiro polo está no SPE
pela simetria de 3 polos.
1 polo no SPE.
Simetria de 3 polos em relação à origem pode ocorrer de diversas formas. Este caso
encontra-se ilustrado na figura 10.60.
As raízes de <( ) são:
= 1 (O <a%)
= −2
Fig. 10.60 – Localização das raízes de polinómio <( ) = > − 3 + 2.
A figura 10.61 mostra alguns casos possíveis de simetria de 3 polos em relação a origem.
xx
0
x
xx
x
pólo
duplo
Fig. 10.61 – Simetria de 3 polos em relação a origem.
Os resultados dos exemplos 10.18, 10.19, 10.20, 10.21 e 10.22 acima servem para
introduzir o resultado seguinte.
36
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Teorema 10.6:
Zeros na coluna pivô correspondem a algum tipo de simetria das raízes em relação à
origem.
O número de raízes envolvidas na simetria é a posição do ‘zero’ na coluna pivô (a contar
de baixo para cima).
‘zero’ na última linha da coluna pivô.
(1ª linha de baixo para cima, ou linha
1 polo simétrico em
relação à origem
(polo em = 0).
)
‘zero’ na penúltima linha da coluna pivô.
(2ª linha de baixo para cima, ou linha = )
2 polos simétricos em
relação à origem
‘zero’ na antepenúltima linha da coluna pivô.
(3ª linha de baixo para cima, ou linha - )
3 polos simétricos em
relação à origem
‘zero’ na 4ª linha de baixo para cima
(ou linha > ) da coluna pivô
4 polos simétricos em
relação à origem
e assim por diante …
A técnica de substituir o ‘zero’ na coluna pivô por um ε positivo (^ > 0) não funciona no
caso de termos uma linha inteira de zeros na tabela de Routh e não apenas o elemento
da coluna pivô. No exemplo 10.23 mostraremos como lidar com esta situação.
Exemplo 10.23:
Construir a tabela de Routh para o polinómio característico p(s) dado abaixo e descobrir
o número de polos do sistema no SPD.
<( ) =
J
+3
?
+ 12
>
+ 36
-
− 29 − 87
Ao tentar formar tabela de Routh para este polinómio p(s) obtém-se uma linha de zeros
(linha > ), o que impede de prosseguir, mesmo substituindo por o ‘zero’ ≅ ^ > 0, como
pode-se ver na figura 10.62.
J
?
>
-
1
12
−29
0
0
0
3
36
−87
b( ) = 3
?
+ 36
-
− 87
linha de zeros
Fig. 10.62 – Tabela de Routh do polinómio <( ) = J + 3 ? + 12 > + 36 - − 29 − 87.
37
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Nesta situação, de uma linha de zeros na tabela de Routh construímos o polinómio
auxiliar q(s) obtido da linha imediatamente acima da linha de zeros (linha ? ). Neste
exemplo q(s) é dado por
b( ) = 3
Agora calcula-se a derivada b′( )
bd ( ) =
?
+ 36
Ob
= 12
O
-
>
− 87
+ 72
que é então usado para substituir a linha de zeros, conforme ilustra a figura 10.63. Desta
forma é possível concluir a tabela de Routh.
J
1
12
−29
?
3
36
−87
>
0
0
0
12
72
0
-
18
−87
=
130
sai linha de zeros
entra linha bd ( )
−87
Fig. 10.63 – Tabela de Routh do polinómio <( ) = J + 3 ? + 12 > + 36 - − 29 − 87.
Aqui há apenas 1 troca de sinal na coluna pivô, logo, há apenas 1 polo no SPD.
O ‘zero’ na coluna pivô está na 4ªposição de baixo para cima, o que indica simetria de 4
polos em relação à origem. A figura 10.64 ilustra como se dá esta simetria e pode-se ver
que, de facto só há 1 polo no SPD.
As raízes de <( ) são:
= ±1,44
= ±3,750
= −3
Fig. 10.64 – Localização das raízes de polinómio <( ).
Simetria de 4 polos em relação à origem pode ocorrer de diversas formas. Alguns casos
são mostrados na figura 10.65.
38
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
xxxx
0
pólo quádruplo
em s = 0
Fig. 10.65 – Simetria de 4 polos em relação a origem.
Exemplo 10.24:
Construir a tabela de Routh para o polinómio característico p(s) dado abaixo e descobrir
o número de polos do sistema no SPD.
<( ) =
J
+2
?
+ 15
>
+ 30
-
+ 27 + 54
Ao tentar formar tabela de Routh para este polinómio p(s) (figura 10.66) obtém-se de
novo uma linha de zeros (linha > ), o que impede de prosseguir, mesmo se substituirmos
o ‘zero’ por ≅ ^ > 0.
J
1
15
27
?
2
30
54
>
0
0
0
b( ) = 2
?
+ 30
-
+ 54
linha de zeros
-
Fig. 10.66 – Tabela de Routh do polinómio <( ) = J + 2 ? + 15 > + 30 - + 27 + 54.
Novamente construímos o polinómio auxiliar q(s) obtido da linha imediatamente acima
da linha de zeros (linha ? ), que neste exemplo é dado por
b( ) = 2
Agora calcula-se a derivada b′( )
bd ( ) =
?
+ 30
Ob
=8
O
-
>
+ 54
+ 60
que é então usado para substituir a linha de zeros, conforme ilustra a figura 10.67. Desta
forma é possível concluir a tabela de Routh.
39
J. A. M. Felippe de Souza
J
?
>
8 – Estabilidade
1
15
27
2
30
54
0
0
0
60
0
8
-
15
=
32,33
sai linha de zeros
entra linha bd ( )
54
54
Fig. 10.67 – Tabela de Routh do polinómio <( ) =
J
+2
?
+ 15
>
+ 30
-
+ 27 + 54.
Aqui não há trocas de sinal na coluna pivô, logo, não há polos no SPD.
O ‘zero’ na coluna pivô está na 4ªposição de baixo para cima, o que indica simetria de 4
polos em relação à origem. A figura 10.68 ilustra como se dá esta simetria e pode-se ver
que, de facto não há polos no SPD.
As raízes de <( ) são:
= ±1,45
= ±3,60
= −2
Fig. 10.68 – Localização das raízes de polinómio <( ).
Exemplo 10.25:
Construir a tabela de Routh para o polinómio característico p(s) dado abaixo e descobrir
o número de polos do sistema no SPD.
<( ) =
4
+2
2
+1
Ao tentar formar tabela de Routh para este polinómio p(s) (figura 10.69) obtém-se
novamente uma linha de zeros (linha > ), o que impede de prosseguir, mesmo fazendo o
‘zero’ ≅ ^ > 0.
?
1
2
>
0
0
1
b( ) =
?
+2
linha de zeros
-
Fig. 10.69 – Tabela de Routh do polinómio <( ) =
40
?
+2
-
+ 1.
-
+1
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Mais uma vez construímos o polinómio auxiliar q(s) obtido da linha acima da linha de
zeros (linha ? ). Aqui, neste exemplo, q(s) é dado por
b ( ) = <( ) =
?
+2
-
+1
Agora calcula-se a derivada b′( )
bd ( ) =
Ob
=4
O
>
+4
que é então usado para substituir a linha de zeros, conforme ilustra a figura 10.70. Desta
forma é possível continuar a elaboração da tabela de Routh. Neste caso entretanto, um
outro ‘zero’ surge na coluna pivô, na segunda linha de baixo para cima (linha - ). Mas
este novo ‘zero’ se resolve substituindo por ^ > 0 e facilmente a tabela fica concluída.
1
?
0
>
4
-
1
=
0≅^>0
2
1
0
0
sai linha de zeros
entra linha bd ( )
0
4
1
outro ‘zero’ na
coluna pivô
1
Fig. 10.70 – Tabela de Routh do polinómio <( ) =
?
+2
-
+ 1.
Aqui também não há trocas de sinal na coluna pivô, logo, não há polos no SPD.
Há ‘zeros’ na coluna pivô na 2ªposição de baixo para cima, assim como na 4ªposição de
baixo para cima. Isso indica simetria de 2 e de 4 polos em relação à origem ao mesmo
tempo. A figura 10.71 ilustra como se dá esta simetria e pode-se ver que, de facto não
há polos no SPD.
As raízes de <( ) são:
= ±0
(O <a% )
Fig. 10.71 – Localização das raízes de polinómio <( ).
41
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Exemplo 10.26:
Construir a tabela de Routh para o polinómio característico p(s) dado abaixo e descobrir
o número de polos do sistema no SPD.
<( ) =
>
+
Aqui a tabela de Routh é facilmente construída (na figura 10.72) embora tenha uma linha
de zeros. Isso porque a linha de zeros só ocorre na penúltima linha (linha = ) da coluna
pivô e é contornável apenas substituindo-se o ‘zero’ ≅ ^ > 0.
?
1
1
-
0≅^
0
>0
=
‘zero’ na
coluna pivô
1
outro ‘zero’ na
coluna pivô
0
Fig. 10.72 – Tabela de Routh do polinómio <( ) =
>
+ .
Portanto, há dois ‘zeros’ na coluna pivô na 1ª e na 3ª posição de baixo para cima (linhas
e - ), o indica simetria de 1 e de 3 polos em relação à origem.
A figura 10.73 mostra os polos do sistema (raízes de <( )) e como se dá a simetria dos
polos em relação à origem. Também pode-se ver que, de facto não há polos no SPD.
As raízes de <( ) são:
= ±0
=0
Fig. 10.73 – Localização das raízes de polinómio <( ).
42
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
10.4 – Estabilidade Relativa
Às vezes é desejável que os polos não estejam perto do eixo 06 (para não termos respostas lentas ou com excessivas oscilações).
Para exemplificar vamos considerar dois sistemas de segunda ordem com um par de polos
complexos no SPE (Sistemas A e B). A resposta ao degrau, assim como a localização dos
polos destes dois sistemas encontram-se ilustradas na figura 10.74.
Sistema A
Sistema B
Fig. 10.74
–
pólos próximos do
eixo imaginário
Resposta ao degrau e a localização dos polos de dois sistemas de segunda ordem
com um par de polos complexos no SPE (Sistemas A e B).
Observe que as escalas do tempo não são as mesmas. Enquanto no Sistema A a resposta
ao degrau leva apenas cerca de 25 segundos para estabilizar, no Sistema B leva 250 segundos. O sistema A estabiliza mais rápido que o sistema B pois tem os seus polos mais
afastados do eixo imaginário.
O que causa a estabilização ser mais rápida ou mais lenta é a localização dos polos ser
mais afastada ou mais perto do eixo imaginário, para esquerda.
43
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Quanto mais afastado para a esquerda estão os polos do sistema, mais rápido ele estabiliza.
Na secção 10.1 viu-se que um sistema é estável ou não se possui todos os polos no SPE ou
não. Este é o conceito de “estabilidade absoluta”.
Aqui estamos vendo que um sistema estável pode ser mais estável que outro. Isso
depende de quanto mais afastado do eixo imaginário, para esquerda, estão localizados
os seus polos. Este é o conceito de “estabilidade relativa”.
Desta forma, é possível que desejamos verificar se um sistema tenha seus polos à
esquerda de uma reta = −e no SPE, e não apenas no SPE.
−σ
s = −σ
Fig. 10.75
– Região do plano à esquerda da reta = −e no SPE.
Para isto faz-se uma translação
↦ ( − e)
do polinómio característico <( ) obtendo-se
<̅ ( ) = <( − e)
que é <( ) deslocado de e para a direita.
Fig. 10.76
– Translação do polinómio <( ) para direita, obtendo-se <̅( ).
44
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Uma translação do polinómio para direita equivale a deslocar a reta = −e para a
direita ou, equivalentemente, deslocar o eixo imaginário para esquerda.
Teorema 10.7:
Aplicando-se o Critério de Routh para estabilidade ao polinómio <̅ ( ) temos que o número
de trocas de sinal na coluna pivô é igual ao número de raízes de <( ) localizadas à direita
da reta = −e.
Ou seja, através de <̅ ( ) extraímos conclusões para <( ). Se a tabela de Routh para <̅ ( )
não tiver trocas de sinal na coluna pivô (zero trocas), então <( ) não terá polos (zero
polos) à direita de = −e. Isto é, os polos estarão localizados na região assinalada na
figura 10.75: à esquerda da reta = −e, ou na própria reta.
Como <̅ ( ) é uma translação de <( ) em e unidades para direita, todas as conclusões
que forem extraídas para <̅ ( ) em relação ao eixo imaginário são válidas para <( ) em
relação à reta = −e.
Exemplo 10.27:
Verificar se o polinómio característico p(s) dado abaixo tem os seus polos à esquerda de
= −2.
<( ) =
>
+8
-
+ 21 + 20
Primeiramente vamos verificar se <( ) possui todas as suas raízes localizadas no SPE.
Construindo-se a tabela de Routh para <( ).
>
1
21
-
8
20
=
18,5
20
Fig. 10.77
– Tabela de Routh do polinómio <̅ ( ) =
>
+8
-
+ 21 + 20.
Conforme podemos ver na figura 10.77, a coluna pivô da tabela de Routh é toda positiva
e portanto este polinómio <( ) tem todos os seus polos localizados no SPE. Mas será que
os tem à esquerda da reta = −2? Para isso precisamos calcular o polinómio <̅( ),
fazendo e = 2.
<̅( ) = <( − 2) = ( − 2)> + 8( − 2)- + 21( − 2) + 20
=
>
+2
-
45
+ +2
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Aplicando-se o Critério de Routh para <̅ ( ) temos que não há trocas de sinal na coluna
pivô da tabela de Routh (figura 10.78). Isso quer dizer que não há raízes de <̅ ( ) no SPD
e logo, não há raízes de <( ) à direita da reta = −2.
>
1
1
-
2
2
=
0≅^>0
‘zero’ na
coluna pivô
2
Fig. 10.78
– Tabela de Routh do polinómio <̅ ( ) =
>
+2
-
+ + 2.
Mas aquele ‘zero’ na segunda linha de baixo para cima (linha = ) na coluna pivô indica
que há 2 raízes de <̅ ( ) no eixo imaginário e portanto, há raízes de <( ) em cima da reta
= −2.
Na figura 10.79 vemos a localização dos polos deste sistema, ou seja, das raízes de as de
<( ). Pode-se constatar que de facto não há polos à direita da reta = −2, mas há 2
polos em cima da reta = −2.
As raízes de <( ) são:
= −4
= −2 ± 0
Fig. 10.79
– Localização das raízes de polinómio <( ).
A figura 10.79 mostra que as 2 raízes de <̅( ) no eixo imaginário correspondem às 2 raízes
de <( ) na reta = −2.
raízes de <( ) na
reta = −e
Fig. 10.80
raízes de <̅ ( ) no
eixo imaginário
– Localização de 2 raízes dos polinómios <̅ ( ) e <( ).
46
J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Exemplo 10.28:
Verificar se o polinómio característico p(s) dado abaixo tem os seus polos à esquerda de
= −1.
<( ) = 2
?
+ 13
>
+ 28
-
+ 23 + 6
Primeiramente vamos verificar se <( ) possui todas as suas raízes localizadas no SPE.
Construindo-se a tabela de Routh para <( ).
?
2
28
-
13
23
-
24,46
6
=
19,81
6
Fig. 10.81
6
– Tabela de Routh do polinómio <( ) = 2
?
+ 13
>
+ 28
-
+ 23 + 6.
Conforme podemos ver na figura 10.81 a coluna pivô da tabela de Routh é toda positiva
e portanto este polinómio <( ) tem todos os polos no SPE.
Entretanto, queremos saber se estão à esquerda da reta
calcular o polinómio <̅( ) fazendo e = 1.
= −1. Para isso precisamos
<̅ ( ) = <( − 1) = 2( − 1)? + 13( − 1)> + 28( − 1)- + 23( − 1) + 6
=2
?
+5
>
+
-
−2
Aplicando-se o Critério de Routh para <̅ ( ) temos que há 1 troca de sinal na coluna pivô
da tabela de Routh (figura 10.82). Isso quer dizer que há uma raiz de <̅ ( ) no SPD e logo,
há 1 raiz de <( ) à direita da reta = −1.
?
2
1
-
5
−2
-
9/5
0
=
-2
0
‘zero’ na
coluna pivô
0
Fig. 10.82
– Tabela de Routh do polinómio <̅ ( ) =
>
+2
-
+ + 2.
Mas aquele ‘zero’ na última linha (linha ) da coluna pivô indica que há 1 raiz de <̅ ( )
no eixo imaginário (na origem) e portanto, há 1 raiz de <( ) em = −1.
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J. A. M. Felippe de Souza
8 – Estabilidade
Na figura 10.83 vemos a localização dos polos deste sistema, ou seja, das raízes de <( ).
Pode-se constatar que de facto há 1 polo na reta = −1 e que há também 1 polo à
direita da reta = −1 (em = −0,5), que obviamente está no intervalo {-1 < s < 0} pois
já vimos que <( ) não tem raízes no SPD.
As raízes de <( ) são:
= −3
= −2
= −1
= −0,5
Fig. 10.83
– Localização das raízes de polinómio <( ).
Na figura 10.84 vemos novamente a localização das raízes de <( ) assim como das raízes
de <̅ ( ).
As raízes de <( ):
= −3,
= −2,
= −1 e
= −0,5 ,
após serem transladadas para direita de 1 unidade, se tornam respetivamente nas raízes
de <̅ ( ):
= −2,
= −1,
=0e
= 0,5.
Fig. 10.84
– Localização das raízes do polinómio <( ), à esquerda, e do polinómio <̅( ),
à direita.
48