Unidade 8 - Polinômios
Situação problema
Grau de um polinômio
Valor numérico de um polinômio
Igualdade de polinômio
Polinômio nulo
Operações com polinômios
Situação problema
Em determinadas épocas do ano, algumas cidades
brasileiras apresentam temperaturas abaixo de zero
grau Celsius.
Esse é o caso, por exemplo, de São Joaquim – SC.
Suponha que, em uma cidade, a variação da
temperatura T, no decorrer do dia, esteja
relacionada ao correspondente instante (ou horário)
de medição x, por meio do polinômio:
T(x) = x² - 6x + 5, em que 0 ≤ x ≤ 7
Situação problema
A relação mostra a
temperatura T, em um
horário x, de 0 hora às
7 horas.
O gráfico a seguir nos
dá uma ideia da
variação da
temperatura no
intervalo considerado:
Situação problema
Se não pudéssemos fazer
uso do gráfico, também
poderíamos responder às
questões anteriores.
T(x) = x² - 6x + 5
Horários em que a
temperatura foi igual a 0ºC:
T(x) = 0 → x² - 6x + 5 = 0 →
x = 1 hora ou x = 5 horas.
Temperatura mais baixa e
horário em que ela ocorreu:
média entre os horários em
que a temperatura for igual
a 0ºC:
x=
1+ 5
→ x = 3horas
2
T(3) = 3² - 6.3 + 5 = - 4ºC (mais
baixa)
Temperatura às 7 horas:
T(7) = 7² - 6.7 + 5 = 12ºC
Situação problema
Acabamos de observar uma situação relacionada ao
estudo dos polinômios.
Uma das muitas utilidades em se estudarem
polinômios é a possibilidade de se compreenderem
fenômenos que são descritos por relações
existentes entre duas variáveis.
No exemplo anterior, as variáveis eram a
temperatura (T) e o tempo (x).
Conhecendo a relação existente entre elas,
podemos encontrar o valor da temperatura em
qualquer horário.
Conceito
Um polinômio na variável complexa x é toda expressão P(x)
que puder ser reduzida à forma:
P ( x) = an .x n + an −1.x n −1 + an − 2 .x n − 2 + ... + a1.x1 + a0 ; em que :
⇒ an , an −1 , an − 2 ,..., a1 , a0 → são números reais denominados
coeficientes do polinômio;
⇒ as parcelas → an .x n , an −1.x n −1 , an − 2 .x n − 2 ,..., a1.x1 , a0 → são os
termos do polinômio;
⇒ os expoentes → n, n - 1, n - 2,...,1 → são números naturais
P( x) = an .x n + an −1.x n −1 + a1.x1 + a0
↓↓ ↓ ↓
↓ ↓ ↓
P ( x ) = 5 . x ³ − 4 .x ² + 7 .x + 1
Grau de um polinômio
O grau do polinômio não nulo é o maior expoente da variável,
tal que o coeficiente do respectivo termos seja diferente de
zero.
Assim, retomando os exemplos, temos:
Valor numérico
Estudando as funções, verificamos que, quando atribuímos um
valor à variável independente x, para obter o valor da variável
dependente y em correspondência, substituímos o valor de x
na lei de formação da função.
Por exemplo, dada a função y = f(x) = 3x² - 4x + 1,
o valor da função para x = 5 é dado por :
x = 5 → y = f (5)
y = 3.5² − 4.5 + 1
y = 3.25 − 20 + 1
y = 56
O resultado nos permite dizer que 56 é o valor numérico que a
função f assume para x = 5.
No caso de polinômios, o raciocínio é o mesmo, pois, como já
dissemos, polinômio também é uma função.
Valor numérico
Conceito – O valor numérico que um polinômio P(x) assume
para x = α é o número que se obtém substituindo x por α e
efetuando os cálculos necessários.
Para exemplificar, vamos calcular o valor numérico de
P(x) = x² - 6x + 5 :
Valor numérico
Preste atenção – Se o valor numérico de um polinômio
para x = α é igual a zero, dizemos que a é a raiz (ou
zero) do polinômio, ou seja:
P(α) = 0 ↔ é raiz (ou zero) de P(x)
Para você fazer – Determine o valor do parâmetro k, sabendose que 2 é raiz (ou zero) de
P(x) = 5x³ - 6x² - kx + 4
Se x = 2 é raiz de P(x), então P(2) = 0:
0 = 5.2³ - 6.2² - k.2 + 4 → 0 = 40 – 24 – 2k + 4 → 0 = - 2k +20 →
→ 2k = 20 → k = 10
Igualdade de polinômios
Dizemos que dois polinômios são iguais ou
idênticos quando seus valores numéricos
são iguais para todo a pertencente R:
P(x) = Q(x) → P(α) = Q(α)
Em outras palavras, dois polinômios são
iguais se possuírem o mesmo grau, e os
coeficientes numéricos de mesmo grau
também iguais.
Igualdade de polinômios
Para você fazer p. 4
Determine os valores de a, b, c e d para que os polinômios
P(x) = (a + 1)x³ + 3x² + (c + 2)x + 3
Q(x) = 6x³ + (b – 4)x² + d – 5 ; sejam idênticos;
P ( x) = Q ( x)
(a + 1) x ³ + 3x ² + (c + 2) x + 3 = 6 x ³ + (b − 4) x ² + d − 5
(a + 1) = 6 → a = 5
3 = (b − 4) → b = 7
(c + 2) = 0 → c = −2
3 = d −5 → d = 8
Por tan to
P( x) = 6 x ³ + 3x ² + 3
Q( x) = 6 x ³ + 3x ² + 3
Polinômio nulo
O polinômio nulo é uma função constante e igual a
zero. Tal polinômio é dito nulo, e o seu grau, como á
foi observado, não é definido.
Assim, temos um polinômio é nulo (ou identicamente
nulo) quando assume o valor numérico zero para
todo α real.
P(x) é nulo → P(α) = 0, ∀α ∈ ℜ
Assim como ocorreu com a igualdade de polinômio,
podemos afirmar que um polinômio é nulo (ou
identicamente nulo) quando todos os seus
coeficientes são iguais a zero.
Polinômio nulo
Para você fazer p. 5
Calcule os valores de a, b e c para que o
polinômio P(x) = (a - 2)x³ + (b + 3)x² + c - 7
seja identicamente nulo.
Se P(x) é nulo, então todos os coeficientes
são nulos:
a–2=0→a=2
b + 3 = 0 → b = -3
Portanto:
c–7=0→c=7
P(x) = 0
Resolução de atividades
Página 5
Operações com polinômios
Estudaremos quatro operações importantes
e que podem ser realizadas entre
polinômios: adição, subtração, multiplicação
e divisão.
Com exceção da divisão polinomial, as
demais operações são realizadas
analogamente às expressões algébricas já
estudas no Ensino Fundamental.
Adição e subtração de polinômios
Ao adicionar (ou subtrair) dois polinômios é obter um terceiro
polinômio, cujos termos são resultantes da adição (ou
subtração) dos termos de mesmo grau (semelhantes) dos
polinômios dados.
Conceito
Assim, dados dois polinômios :
P(x) = a n .x n + a n -1.x n −1 + a n -2 .x n − 2 + ... + a1.x1 + a 0
Q(x) = b n .x n + b n -1.x n −1 + b n -2 .x n − 2 + ... + b1.x1 + b 0
denomina - se diferença de P com Q o polinômio :
P(x) − Q(x) = (a n − b n )x n + (a n -1 + b n -1 )x n −1 + (a n -2 − b n -2 )x n − 2 + ... + (a 1 − b1 )x1 + (a 0 − b 0 )
denomina - se soma de P com Q o polinômio :
P(x) + Q(x) = (a n + b n )x n + (a n -1 + b n -1 )x n −1 + (a n -2 + b n -2 )x n − 2 + ... + (a1 + b1 )x1 + (a 0 + b 0 )
Adição e subtração de polinômios
Exemplos
Conceito
Assim, dados dois polinômios :
P(x) = 7 x 4 + 6.x 3 + x 2 − 4 x + 9
Q(x) = - x 3 + 5 x 2 − 1, então
denomina - se soma de P com Q o polinômio :
(
)
P(x) + Q(x) = 7 x 4 + 6.x 3 + x 2 − 4 x + 9 + (- x 3 + 5 x 2 − 1)
P(x) + Q(x) = 7 x 4 + (6 + ( −1) )x 3 + (1 + 5)x 2 + (− 4 x ) + (9 + (− 1))
P(x) + Q(x) = 7 x 4 + 5 x 3 + 6 x 2 − 4 x + 8
denomina - se diferença de P com Q o polinômio :
(
)
P(x) − Q(x) = 7 x 4 + 6.x 3 + x 2 − 4 x + 9 − (- x 3 + 5 x 2 − 1)
P(x) − Q(x) = 7 x 4 + 6.x 3 + x 2 − 4 x + 9 + x 3 − 5 x 2 + 1
P(x) − Q(x) = 7 x 4 + 7 x 3 − 4 x 2 − 4 x + 10
Adição e subtração de polinômios
Para você fazer p. 6
Assim, dados três polinômios :
A(x) + B(x) = C(x)
A(x) = x 3 + 4 x 2 + 3 x + 1
x 3 + 9 x 2 + 2 x + 8 = x 3 + (m − 1)x 2 + (n + 6 )x + 8
B(x) = 5 x 2 − x + 7
C(x) = x 3 + (m − 1)x 2 + (n + 6 )x + 8, então
denomina - se soma de A com B o polinômio :
(
) (
A(x) + B(x) = x 3 + 4 x 2 + 3x + 1 + 5 x 2 − x + 7
A(x) + B(x) = x 3 + 4 x 2 + 3x + 1 + 5 x 2 − x + 7
A(x) + B(x) = x 3 + 9 x 2 + 2 x + 8
m = 10
)
Da igualdade entre polinômios, temos :
9 = m − 1 → m = 10
2 = n + 6 → n = −4
n = −4
Adição e subtração de polinômios
A adição de um polinômio de grau 3 com
outro de grau 3 pode não ser um polinômio
de grau 3.
Observe um exemplo:
Sendo :
P(x) = 7 x 3 + 2 x 2 + 3 (3º grau )
Q(x) = - 7 x 3 − x (3º grau ), então
(
) (
P(x) + Q(x) = 7 x 3 + 2 x 2 + 3 + - 7 x 3 − x
P(x) + Q(x) = 7 x 3 + 2 x 2 + 3 − 7 x 3 − x
P(x) + Q(x) = 2 x 2 − x + 3 (2º grau )
)
Adição e subtração de polinômios
No caso de os graus P(x) e Q(x) serem diferentes, a soma P(x)
+ Q(x) terá como o maior dos graus entre P e Q.
Assim, por exemplo, se,
P(X) = 3x5 + x + 1 (5ª grau) e Q(x) = x² +6x (2ª grau), então:
(
) (
P(x) + Q(x) = 3x 5 + x + 1 + x 2 + 6 x
)
P(x) + Q(x) = 3 x 5 + x + 1 + x 2 + 6 x
P(x) + Q(x) = 3 x 5 + x 2 + 7 x + 1 (5º grau )
Multiplicação de polinômios
A multiplicação entre polinômios é efetuada de acordo com a
propriedade de distributiva da multiplicação em relação a
adição.
Observe como podemos efetuar um produto entre dois
polinômios:
Sendo :
P(x) . Q(x) = 2 x 3 + 4 x 2 + 1 . x 2 + 5
(
P(x) = 2 x 3 + 4 x 2 + 1
Q(x) = x 2 + 5, então
(
)
(
)(
) (
)
P(x) . Q(x) = 2 x 3 . x 2 + 5 + 4 x 2 . x 2 + 5 + 1. x 2 + 5
P(x) . Q(x) = 2 x 5 + 10 x 3 + 4 x 4 + 20 x 2 + x 2 + 5
P(x) . Q(x) = 2 x 5 + 4 x 4 + 10 x 3 + 21x 2 + 5
)
Multiplicação de polinômios
Preste atenção – O produto de dois polinômios se
obtém pela adição dos resultados do produto de
cada termos de um polinômio pelo outro polinômio.
Utilizando-se propriedades da potenciação, não é
difícil perceber que o produto de u polinômio de grau
4 por outro de grau 6 é sempre um polinômio de
grau 10, pois x4 . X6 = x10
Assim, se P(x) e Q(x) são dois polinômios não nulos,
então o grau do polinômio P(x) . Q(x) é igual à soma
dos graus de P(x) e Q(x).
Multiplicação de polinômios
Para você fazer p. 7
Sendo :
Mas, T(x) = R(x) . S(x), então
R(x) = 4x + 1
ax 4 + (b + 3)x 3 + (c − 5)x + 2 = 4 x 4 + x 3 + 8 x + 2
S(x) = x 3 + 2
T ( x) = ax 4 + (b + 3)x 3 + (c − 5)x + 2, então
a=4
R(x) . S(x) = (4x + 1 ). x 3 + 2
b + 3 = 1 → b = −2
c − 5 = 8 → c = 13
(
(
) (
)
R(x) . S(x) = 4 x. x 3 + 2 + 1. x 3 + 2
)
a=4
R(x) . S(x) = 4 x 4 + 8 x + x 3 + 2
R(x) . S(x) = 4 x 4 + x 3 + 8 x + 2
Portanto
b = −2
c = 13
Divisão de polinômios
Dados dois polinômios P(x) e Q(x), com D(x)
não nulo, dividir P(x) por D(x) significa
encontrar dois polinômios Q(x) e R(x), tais
que:
Divisão de polinômios
A divisão entre polinômios pode ser efetuada
pelo método da chaves, que consiste no
mesmo processo utilizado na divisão de
números inteiros.
Tal divisão pode ser escrita na seguinte
forma:
Divisão de polinômios
Compare a divisão entre inteiros com a divisão entre
polinômios e observe que o procedimento é análogo.
Vamos dividir o polinômio P(x) = 7x³ - 6x² + 5x – 2 por D(x) = x²
+ 1, utilizando o método da chaves:
Q(x ) = 7 x − 6
R( x ) = −2 x + 4
Divisão de polinômios
Logo, de acordo com a relação existente
entre o dividendo, divisor, quociente e resto,
podemos escrever
P ( x ) = D( x ).Q( x ) + R( x )
7 x 3 − 6 x 2 + 5 x − 2 = x 2 + 1 .(7 x − 6 ) + (− 2 x + 4 )
(
)
Preste atenção: Quando o resto da divisão é o polinômio nulo, dizemos que o
polinômio dividendo é divisível pelo polinômio divisor.
Divisão de polinômios
Para você fazer p. 8
x 3 − 6 x 2 + 11x − 6
− x 3 + 3x 2
x−3
x 2 − 3x + 2
− 3 x + 11x
+ 3x 2 − 9 x
2
+2 x − 6
−2 x + 6
0x + 0
Logo, temos Q( x ) = x 2 − 3 x + 2 e R(x) = 0
Divisão de polinômios
Para você fazer p. 8
Como R(x) = 0, pode-se afirmar que P(x) é
divisível por D(x).
Divisão de polinômios
divisão por binômios do tipo x - a
A divisão entre polinômios sempre pode ser
efetuada pelo método das chaves, estudado
anteriormente.
Entretanto, quando o divisor for um polinômio do
primeiro grau da forma: x – a, existe um outro
processo mais rápido, conhecido como dispositivo
prático de Briot – Ruffini.
Tal mecanismo utiliza apenas os coeficientes do
polinômio do polinômio dividendo e a raiz do
polinômio divisor x – a.
Divisão de polinômios
divisão por binômios do tipo x - a
No próximo exemplo, vamos dividir o
polinômio P(x) = 2x³ + x² + 4x + 1 por D(x) =
x – 3 pelo método das chaves e pelo
dispositivo prático.
Método das chaves:
Divisão de polinômios
divisão por binômios do tipo x - a
Dispositivo prático:
Raiz do divisor x - 3
3
2
1
-4
Coeficiente de P(x)
1
Repetimos o primeiro coeficiente
3
2
1
-4
1
2
Multiplicamos 2 por 3 e adicionamos o resultado a 1
3
2
1
2
7
-4
1
Divisão de polinômios
divisão por binômios do tipo x - a
Multiplicamos 7 por 3 e adicionamos o resultado por -4
3
2
1
-4
2
7
17
1
Multiplicamos 17 por 3 e adicionamos o resultado por 1
3
2
1
-4
2
7
17 52
1
Coeficientes do quociente
Resto
2x² + 7x + 17
Logo, Q(x) = 2x² + 7x + 17 e R(x) = 52
Divisão de polinômios
Para você fazer p. 10
Portanto, Q(x) = 5x + 3 e R(x) = 14
4
5
-17
2
5
3
14
Resto
Coeficiente do quociente
É importante destacar que o dispositivo prático de Briot-Ruffini somente deve
ser utilizado quando o divisor for um polinômio do primeiro grau.
Resolução de Atividades
Página 10
Divisão de polinômios
Teorema do Resto
Em muitas aplicações relacionadas à divisão
de polinômios, deseja-se apenas obter o
resto da divisão de um polinômio por outro
do primeiro grau.
Como o resto da divisão, neste caso, é um
polinômio de grau zero, ou seja, é uma
constante, podemos obter o valor do resto
diretamente por meio do Teorema do Resto.
Divisão de polinômios
Teorema do Resto
Preste atenção: O resto da
divisão de um polinômio
P(x) pelo polinômio ax + b
(a ≠ 0) é o valor numérico de
P(x) para x = - b/a ( raiz do
divisor ax + b), ou seja:
 b
P −  = R
 a
A prova da validade desse
teorema pode ser
desenvolvida da seguinte
maneira:
P(x)
ax + b
R
Q(x)
P ( x) = (ax + b ).Q( x) + R
b
Substituindo x = - , temos :
a
 b   b   b
P -  =  a -  + b .Q -  + R
 a   a   a
 b
 b
P -  = 0.Q -  + R
 a
 a
 b
P -  = R
 a
Divisão de polinômios
Teorema do Resto
Observe, a seguir, como podemos relacionar
o método das chaves, o dispositivo de BriotRuffini e o Teorema do Resto, quando
desejamos obter o resto de uma divisão
polinomial em que o divisor é um polinômio
do primeiro grau.
Divisão de polinômios
Teorema do Resto
Obtenha o resto da divisão de P(x) = 4x³ - 7x² + 6x -1 por x + 2
Em todos os procedimentos, o resto
sempre é igual a -73
Divisão de polinômios
Para você fazer
a) x – 1
Onde a raiz é x = 1
O resto da divisão por x – 1 é
P(1) = 1100 – 1 = 1 – 1 = 0
b) x + 1
Onde a raiz é x = -1
O resto da divisão por x + 1 é
P(-1) = (-1)100 – 1 = (-1) – 1 = 0
Divisão de polinômios
Teorema de D’Alembert
Existe uma consequência imediata do Teorema do
Resto, conhecida como Teorema de D’Alembert.
Essa consequência trata da divisibilidade nos casos
em que o divisor é um polinômio do primeiro grau.
Preste atenção: Um polinômio P(x) é divisível por ax
+ b (a ≠ 0) se, somente se,
 b
P −  = R
 a
Divisão de polinômios
Para você fazer p. 12
Sendo P(x) = x² + kx -10, para que P(x) seja
divisível por x – 2, é necessário e suficiente
que P(2) = 0, ou seja, 2² + k2 – 10 = 0 →
→K=2
Divisão de polinômios
Método de Descartes
É utilizado na divisão de polinômios.
Para utilizá-los, devemos considerar que o
grau do quociente é igual à diferente entre
os graus do dividendo e do divisor, e que o
grau do resto é menor do que o grau do
divisor.
P( x ) = D( x ).Q(x ) + R(x )
sendo
gr (Q ) = gr (P ) − gr (D )
e
gr (R ) < gr (D )
Divisão de polinômios
Método de Descartes
Para exemplificar a utilização do Método de Descartes, considere a
divisão do polinômio P(x) = x³ + 3x² - x + 2 por D(x) = x² +1
Se gr (P ) = 3 e gr (D ) = 2, então
gr (Q ) = gr (P ) − gr (D ) = 3 − 2 = 1, ou seja,
o quociente é um polinômio do 1º grau e, portanto :
Pela identidade de polinômios, temos :
a = 1, b = 3, a + c = - 1, b + d = 2
Q(x) = ax + b
Se gr (R ) < gr (D ) = 2, então gr(R) = 0 ou gr(R) = 1,
ou seja, R(x) = cx + d
Assim, podemos escrever :
P(x ) = D(x ).Q(x ) + R( x )
x 3 + 3 x 2 − x + 2 = (x ² + 1)(
. ax + b ) + cx + d
x 3 + 3 x 2 − x + 2 = ax 3 + bx 2 + ax + b + cx + d
x 3 + 3 x 2 − x + 2 = ax 3 + bx 2 + x(a + c) + b + d
Logo, Q(x) = ax + b → Q(x) = x + 3
R( x ) = cx + d → R( x ) = −2 x − 1
Q(x) = x + 3
R (x ) = −2 x − 1
Divisão de polinômios
Para você fazer p. 12
Se gr (P ) = 3 e gr (D ) = 2, então
gr (Q ) = gr (P ) − gr (D ) = 3 − 2 = 1, ou seja,
Assim, podemos escrever :
P ( x ) = D(x ).Q( x ) + R (x )
3
2
. ax + b ) + cx + d
o quociente é um polinômio do 1º grau e, portanto : 4 x + 5 x − x + 2 = ( x ² − 3)(
4 x 3 + 5 x 2 − x + 2 = ax 3 + bx 2 − 3ax − 3b + cx + d
Q(x) = ax + b
Se gr (R ) < gr (D ) = 2, então gr(R) = 0 ou gr(R) = 1, 4 x 3 + 5 x 2 − x + 2 = ax 3 + bx 2 + x(c − 3a ) + d − 3b
ou seja, R(x) = cx + d
Pela identidade de polinômios, temos :
a = 4, b = 5, c - 3a = - 1, d - 3b = 2
a = 4, b = 5, c = 11, d = 17
Q(x) = 11x + 17
Logo, Q(x) = ax + b → Q(x) = 11x + 17
R( x ) = cx + d → R( x ) = 11x + 17
R(x ) = 11x + 17
Divisão de polinômios
A divisibilidade pelo produto
Estudamos anteriormente que, quando um polinômio é divisível
por outro, o resto da divisão é igual a zero.
Divisão de polinômios
A divisibilidade pelo produto
Seja P(x) um polinômio de grau maior do
que ou igual a 2.
Se P(x) é divisível por (x – a) e por (x – b),
com a ≠ b, então P(x) é divisível
(x – a) . (x – b)
Divisão de polinômios
Para você fazer p. 14
Observe que x 2 − x − 2 = (x + 1)(
. x − 2 ), assim,
ser divisível por ( x + 1)(
. x − 2) é o mesmo que ser
divisível separadamente por (x + 1) e por (x − 2) :
Divisibilidade por (x − 2)
x−2=0→ x = 2
Divisibilidade por (x + 1)
x + 1 = 0 → x = −1
P( x) = x 4 + x 3 − px 2 − qx, P(-1) = 0
0 = (− 1) + (− 1) − p(− 1) − q(− 1) + 2
4
3
1−1− p − q + 2 → p − q = 2 (I )
P ( x) = x 4 + x 3 − px 2 − qx, P(2) = 0
0 = (2) + (2 ) − p(2) − q(2 ) + 2
4
3
2
16 − 8 − 4 p − 2q + 2 → 4 p − 2q = 26
2 p − q = 13 ( II )
p −q = 2
→ Resolvendo o sistema, temos

2 p − q = 13
2
p=5
q=3
Divisão de polinômios
Pode-se provar que recíproca da divisibilidade pelo produto
também é válida, ou seja, se um polinômio é divisível pelo
produto (x – a) . (x – b), então também é divisível
separadamente por (x – a) e por (x – b).
Além disso, esse resultado pode ainda ser generalizado para
qualquer número de fatores.
Podemos portanto, generalizar a divisão pelo produto para n
fatores do primeiro grau.
Se um polinômio P(x) é divisível por (x – a1), por (x – a2), por (x
– a3), ... , (x – an), sendo a1, a2, a3, ..., an distintos dois a dois,
então P(x) é divisível por (x – a1) . (x – a2) . (x – a3) . ... . (x – an)
Resolução de atividades
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