RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES Vamos mostrar, através de um exemplo, a regra prática para efetuar a divisão
de polinômios.
15
29
33
28 Termo de maior grau 3
4
Os polinômios devem estar ordenados segundo as potências decrescentes da variável.
Termo de maior grau O primeiro passo é dividir o primeiro termo do dividendo (de maior grau)
15 pelo primeiro termo (de maior grau) do divisor 3 . Obtemos 5 .
15
3
15
29
33
5
28 3
4
5
O próximo passo é multiplicar 5
pelos termos do divisor, colocando o
resultado com o sinal trocadoabaixo do dividendo. Adicionamos os termos
semelhantes e baixamos os termos seguintes.
5
· 3
4
15
20
15
29
33
15
20
.
28 3
5
9
4
33
28
Repetimos todo o processo com o resto parcial. Dividimos 9
por 3 e
obtemos 3 . Multiplicamos 3 pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos o
resultado abaixo do resto parcial.
15
15
29
20
9
9
33
28 3
4
5
3
33
28
12 21
28
Dividimos o primeiro termo 21 pelo primeiro termo do divisor 3 . Obtemos
7, em seguida multiplicamos 7 pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos o
resultado abaixo do resto parcial.
Prof. Guilherme Neveswww.pontodosconcursos.com.br1
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 15
15
29
20
9
9
33
28 3
4
5
33
28
12 21
21
3
7
Quociente 28
28
0
Resto
Quando o resto é zero (como o nosso exemplo), dizemos que a divisão é
exata. Desta forma, o polinômio 15
29
33
28 é divisível pelo
polinômio 3
4.
Observe a seguinte relação importantíssima:
·
No nosso caso,
15
29
33
28
5
3
7 · 3
Exemplo 1.
Obtenha o polinômio que, dividido por
1 e resto 4.
4
0
2 , dá o quociente
Ora, sabemos que
·
·
1 ·
2
2
2
4
4
2
Portanto, o dividendo é
2.
Observação: O grau do resto é sempre menor que o grau do divisor.
Desta forma, se o divisor é do 2º grau, então o divisor é, no máximo,
do 1º grau. Se o divisor é do 6º grau, então o resto é, no máximo, do
5º grau.
Prof. Guilherme Neveswww.pontodosconcursos.com.br2
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES Divisão de polinômios por binômios do 1º grau
Vou dar algumas dicas em casos onde ocorre a divisão de polinômios por
binômios do primeiro grau.
Considere um polinômio qualquer
. Por exemplo
4
2
4
Queremos obter o resto da divisão deste polinômio pelo binômio 2
4.
3
Há uma maneira muito fácil de calcular o resto da divisão de qualquer
polinômio
por um binômio do 1º grau. Devemos seguir os seguintes
passos:
i) Igualar o binômio do primeiro grau a 0 e resolver a equação.
2
4
2
0
4
2
ii) Calcular o valor numérico em
do valor obtido.
4
2
4·
2
2·
2
2
4·
4
2
Isto significa que o resto da divisão de 4
3
3
2
32
4
8
8
3 por 2
3
51
4é
51.
Muito fácil, não?
Esta dica que acabamos de aprender tem um nome: Teorema do Resto.
Exemplo 2.
2
Determine o valor de
de modo que
2
1
4 seja divisível por
3.
Resolução
Para que
2
2
1
4 seja divisível por
divisão deve ser zero, ou seja, a divisão deve ser exata.
E como se calcula o resto da divisão?
Primeiro, devemos igualar o divisor
3 a zero.
3
0
Prof. Guilherme Neveswww.pontodosconcursos.com.br3
3o resto da
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 3
Para calcular o resto da divisão, devemos calcular
substituir por 3.
3
2·3
2 ·3
1 ·3
65
6
65
0
4
54
3 , ou seja, devemos
9
18
3
3
4
Como o resto da divisão deve ser zero:
6
6
65
65
6
(AFRFB 2009/ESAF) Se um polinômio f for divisível separadamente por
(x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x – a) e
(x – b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por
(x - 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio
pelo produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a:
a)
13
7
x+
4
4
b)
7
13
x−
4
4
c)
7
13
x+
4
4
d) −
13
13
x−
4
4
e) −
13
7
x−
4
4
Resolução
5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3).
Para calcular o resto da divisão de um polinômio f por
seguinte:
Prof. Guilherme Neveswww.pontodosconcursos.com.br4
1 , devemos fazer o
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES i)
Resolver a equação
Portanto,
1.
ii)
Calcular o valor numérico de
Portanto, o resto é
1
0
para
1.
1 . Como este resto é igual a 5, então
Para calcular o resto da divisão de um polinômio f por
seguinte:
i)
Resolver a equação
Portanto,
3.
ii)
Calcular o valor numérico de
Portanto, o resto é
3
1
3 , devemos fazer o
0
para
3.
3 . Como este resto é igual a 2, então
Conclusão: f (1) = 5 e
5.
3
2.
f (−3) = −2 .
Queremos calcular o resto da divisão do polinômio
pelo produto
1 ·
3 . Observe que o polinômio
1 ·
3 é do segundo grau, porque
1 ·
3
2
3. Vimos anteriormente que se o divisor é do segundo
grau, então o resto é, no máximo, do primeiro grau. Portanto, o resto é do tipo
.
Sejam q e r = a ⋅ x + b , respectivamente, o quociente e o resto da divisão de
f por ( x − 1)( x + 3) . Lembre-se que:
·
·
1 ·
3
Tomemos os valores numéricos desses polinômios em 1 e – 3.
1
Observe que 1
Assim,
1
0,
1 · 1
. Como
1
3
Observe que
3
. Como
1 · 1
3
3
3
1
3 ·
1 · 1
3
1 · 1
·1
3
0.
5, temos que
3
1 ·
3
0,
3 · 3
2, temos que 3
5.
3
·
1 ·
3
2.
Temos um sistema linear:
Prof. Guilherme Neveswww.pontodosconcursos.com.br5
3
3
0. Assim,
3
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 5
3
Da primeira equação temos que
5
.
Da segunda equação temos que
3
2.
Portanto, 3
2
5
2
.
3
5
4
2
7
7
4
Como
5
5
a=
7
4
20
7
4
13
4
7
13
e b=
.
4
4
Sabemos que o resto é
Resposta: r =
, portanto:
7
13
x+ .
4
4
Letra C
Prof. Guilherme Neveswww.pontodosconcursos.com.br6