2° LISTA DE MATEMÁTICA
SÉRIE: 2º ANO
DATA:
/
TURMA:
2º BIMESTRE
NOTA:
/ 2011
PROFESSOR:
ALUNO(A):
P
PO
OLLIIN
NÔ
ÔM
MIIO
OS
S II
Nº:
01. (ITA-1995) A divisão de um polinômio P(x) por x2 - x
resulta no quociente 6x2 + 5x + 3 e resto -7x. O resto da
divisão de P(x) por 2x + 1 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Alternativa: E
05. (FGV-2005) Dividindo o polinômio P(x) por x2 + x 1obtém-se quociente igual a x - 5 e resto igual a 13x + 5.
O valor de P(1) é:
a) 12
b) 13
c) 15
d) 16
e) 14
Alternativa: E
02. (FEI-1996) A soma de dois polinômios P(x) + Q(x) é
um polinômio de grau 6, e a diferença P(x) - Q(x) é um
polinômio de grau 4. É válido afirmar-se que:
a) a diferença Q(x) - P(x) tem grau 6.
b) P(x) e Q(x) têm o mesmo grau.
c) P(x) tem grau 5.
d) Q(x) tem grau 4.
e) P(x) tem grau 4.
Alternativa: B
06. (Fuvest-1999) Dividindo-se o polinômio p(x) por 2x2 3x + 1, obtêm-se quociente 3x2 + 1 e resto -x + 2. Nessas
condições, o resto da divisão de p(x) por x - 1 é:
a) 2
b) 1
c) 0
d) -1
e) -2
Alternativa: B
03. (Vunesp-2000) Ao dividirmos um polinômio p(x) por
(x - c), obtemos quociente q(x) = 3x3 - 2x2 + x - 1 e resto
3. Sabendo-se que p(1) = 2, determine:
a) o valor de c;
b) o polinômio p(x).
Respostas:
a) c = 2
b) p(x) = 3x4 -8x3 + 5x2 + 3x + 5
04. (Vunesp-2002) Considere a função polinomial de 3º
grau, p(x) = x3 – 3x + 1. Calcule p(–2), p(0), p(1), p(2) e
esboce o gráfico.
Respostas:
p(x) = x3 – 3x + 1
p(–2) = – 8 + 6 + 1 à p(–2) = – 1
p(0) = 0 – 0 + 1 à p(0) = 1
p(1) = 1 – 3 + 1 à p(1) = – 1
p(2) = 8 – 6 + 1 à p(2) = 3
07. (UFSCar-2009) Em relação a P(x), um polinômio de
terceiro grau, sabe-se que P(-1) = 2, P(0) = 1, P(1) = 2 e
P(2) = 7.
a) Determine a equação reduzida da reta que passa pelo
ponto em que o gráfico da função polinomial P(x) cruza o
eixo y, sabendo que essa reta tem coeficiente angular
numericamente igual à soma dos coeficientes de P(x).
b) Determine P(x).
Respostas:
a) y = 2x + 1
1 3
1
b) P(x) =
x + x2 – x + 1
3
3
08. (UFC-2003) O coeficiente de x3 no polinômio p(x) = (x
- 1)·(x + 3)5 é:
a) 30
b) 50
c) 100
d) 120
e) 180
Alternativa: E
09. (UEL-1996) O polinômio p tem grau 4n + 2 e o
polinômio q tem grau 3n - 1, sendo n inteiro e positivo. O
grau do polinômio p.q é sempre:
a) igual ao máximo divisor comum entre 4n + 2 e 3n - 1.
b) igual a 7n + 1.
c) inferior a 7n + 1.
d) igual a 12n2 + 2n + 2.
e) inferior a 12n2 + 2n + 2.
Alternativa: B
10. (UFPA-1984) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d é
idêntico a Q(x) = 5x2 - 3x + 4. Então, temos que a + b + c
d) 3.
e) 7.
Alternativa: E
17. (Fatec-1996) Se f é uma função de IR em IR definida
+ d é igual a:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 0
e) -3
Alternativa: A
por f(x)=
x¹1, é equivalente a:
11. (CPCAR-2002) O resto da divisão do polinômio
p( x ) = x − 2 x + 2 x − x + 1 por x + 1 é um número
a) ímpar menor que 5
b) par menor que 6
c) primo maior que 5
d) primo menor que 7
Alternativa: C
12. (Cesgranrio-1994) O resto da divisão do polinômio
P(x) = (x2 + 1)2 pelo polinômio D(x) = (x - 1)2 é igual a:
a) 2
b) 4
c) 2x-1
d) 4x-2
e) 8x-4
Alternativa: E
4
3
2
13. (UECE-2005) O resultado da divisão do polinômio x5
+1 por x + 1 é:
a) x4 + x3 + x2 + x + 1
b) x4 - x3 + x2 - x + 1
c) x4 + 1
d) x4 - 1
Alternativa: B
14. (UFC-2007) Os números reais a, b, c e d são tais
que, para todo x real, tem-se:
ax3 + bx2 + cx + d = (x2 + x – 2)(x – 4) – (x + 1)(x2 – 5x +
3).
Desse modo, o valor de b + d é:
a) –2
b) 0
c) 4
d) 6
e) 10
Alternativa: D
15.
f(x) − f(1)
x −3
, então a expressão
, para
2
x −1
x +3
(UFC-2004)
Se
a
expressão
2x + 5
a
b
, onde a e b são constantes,
=
+
2
4x − 1 2x + 1 2x − 1
1
, então o
é verdadeira para todo número real x ¹ ±
2
valor de a + b é:
a) -2
b) -1
c) 1
d) 2
e) 3
Alternativa: C
16. (Vunesp-2006) Se a, b, c são números reais tais que
ax2 + b(x + 1)2 + c(x + 2)2 = (x + 3)2 para todo x real,
então o valor de a - b + c é
a) -5.
b) -1.
c) 1.
a)
b)
c)
d)
e)
x+3
2(x 2 + 3)
x −3
2(x 2 + 3)
x +1
2(x 2 + 3)
x −1
2(x 2 + 3)
1
−
x
Alternativa: A
18. (PUC-MG-1992) Se o polinômio P(x) = (2m + 3n p)x2 + (m + 2n - 5p)x + (p - 2) é identicamente nulo, a
soma m +n + p é igual a:
a) -3
b) -6
c) 8
d) 5
e) 0
Alternativa: B
19. (Cesgranrio-1998) Se o polinômio P(x) = 2x3 - 4x + a
é divisível por D(x) = x - 2, o valor de a é:
a) -8
b) -6
c) -4
d) -2
e) +2
Alternativa: A
20. (PUCCamp-1998) Se os graus dos polinômios f, g, h
são, respectivamente, 4, 3 e 2, então o grau do
polinômio:
a) g2 é 9
b) f.g é 7
c) f + h é 6
d) g - h é 1
e) 3. f é 12
Alternativa: B
21. (UNIFESP-2007) Se
x
a
b
=
+
é
x − 3x + 2 x − 1 x − 2
2
verdadeira para todo x real, x ≠ 1, x ≠ 2, então o valor de
a.b é
a) – 4.
b) – 3.
c) – 2.
d) 2.
e) 6.
Alternativa: C
22. (UEL-1984) Sejam os polinômios f = 2x3 - 3x2 + 3, g =
x2 + 3 e h = x3 - 2x2. Os números reais a e b, tais que f =
ag + bh, são, respectivamente:
a) -2 e -1
b) -2 e 1
c) -1 e -2
d) 1 e -2
e) 1 e 2
Alternativa: E
23. (UFJF/MG) O resto da divisão do polinômio
p( x ) = 3x − 17 x + 27 por q( x ) = x − 4 é:
2
a) 4.
b) 7.
c) 2x.
d) 5.
e) 5x – 20.
24.
(UFV/MG)
O
inteiro
2
é
raiz
do
polinômio
p( x ) = 4 x 3 − 4 x 2 − 11x + k , onde k é uma constante
real.
a) Determine o valor de k .
b) Determine as outras raízes de p (x) .
5x − 2
a
b
=
+
é uma
2
x −4 x−2 x+2
identidade, a expressão b − 2a vale:
a) −3
b) −2
c) −1
d) 0
e) 1
29. Sendo a e b tais que
30. O resto da divisão de um polinômio P(x) = x3 − x + 1
pelo polinômio D(x) = x2 + x + 1 é igual a:
a) 0
b) x + 2
c) x − 2
d) −x + 2
e) −x − 2
31. (UEL/PR-2005) Sobre um polinômio p x de grau 1,
sabe-se que:
• sua raiz é igual a 2.
• p − 2 é igual ao dobro de sua raiz.
nestas condições, é correto afirmar:
a) p x = − x + 2
()
( )
b)
c) Determine os intervalos onde p (x ) > 0 .
c)
25. (UFPB/PB) Determine os valores de A, B e C para
d)
que
e)
()
p( x ) = 2 x − 4
p( x ) = x − 2
p(x ) = x 2 − x − 2
p(x ) = − x 2 + x + 2
P( x ) = Ax 3 + (2 A − 5)x 2 + C e
Q( x ) = (4 − B )x 3 + Bx 2 + 1 sejam idênticos.
26. (UFPB/PB) Se P ( x ) e Q ( x ) são polinômios de grau
4(quatro) e S ( x ) = P ( x ) + Q ( x ) , então S ( x ) :
forma P( x ) = x + ax + bx + c , cujas raízes sejam
2, 0 e 1.
A) pode ter grau 2.
B) pode ter grau 5.
C) pode ter grau 6.
D) tem grau 4.
E) tem grau 8.
33.
(UFBA/BA-2000)
Sobre
expressões
algébricas e polinômios, pode-se afirmar:
(01) ( x + 2) 3 = x 3 + 8, ∀x ∈ R .
os
polinômios
2x − 3
p
q
, podemos afirmar
27. Sendo 2
=
+
x − 5x + 6 x − 2 x − 3
que 3p + q é:
a) 1
b) 0
c) − 2
d) 3
e) − 4
28. Na divisão de um polinómio pelo binômio ax + b,
usou-se o dispositivo prático de Briot-Ruffini e encontrouse:
1
p
4
−3
−5
q
5
R
7
−2
−4
Os valores de a, b, p, q e r são, respectivamente:
a) 1, -2, 1, -6 e 6
b) 1, -2, 1, 1 e 4
c) 1, 2, -2, -2 e -6
d) 1, 2, 1, -4 e 4
e) 1, 2, -2, 1 e -6
32. (UFPB/PB-1995) Escreva um polinômio de grau 3 na
3
2
-
x +1
x2 +1
2
− 2
= 3
, ∀x ∈ R − {− 1,0,1} .
x( x − 1) x − 1 x − x
(mx 2 − nx + 1)(x − 1) = x 3 − 2 x 2 + 2 x − 1 ,
(04) Se
então m ⋅ n = 1 .
(08) O resto da divisão x 3 − 2 x 2 − 6 x + 1 por
x + 1 é − 6.
(16) Se
2
é
raiz
do
polinômio
1
P( x ) = x 3 − 2 x 2 + mx + 1 , então m = − .
2
(02)
34. (UFMT/MT-2002) Considere os polinômios
A(x) , de
grau m , e B (x) , de grau n , com m ≥ n , ambos de
coeficientes reais, e, julgue os itens.
(0) O grau do polinômio S ( x) = A( x) + B( x) é m + n .
m⋅n.
(2) Se Q (x ) é o quociente da divisão A( x ) ÷ B ( x ) , com
B ( x ) ≠ 0 , então Q (x ) é um polinômio de grau
m−n.
(1) O polinômio P ( x ) = A( x ) ⋅ B ( x ) é de grau
G
GE
EO
OM
M.. A
AN
NA
ALLÍÍTTIIC
CA
A –– R
RE
ETTA
AS
S IIII
01. (FMTM/MG) Os pontos (2 – k, k – 5) e (-2, -4)
pertencem à reta r. Os pontos (k, k – 3) e (1, -4)
pertencem à reta s. Sendo r e s paralelas, um valor
possível de k é:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
02. (UNIFEI/MG) A área do polígono formado pela
interseção das retas y – x + 3 = 0, y – x = 0, y – 1 e y =
7 mede, em unidades de área:
A) 16.
B) 18.
C) 20.
D) 22.
03. (MACK/SP) Na figura, se a equação da reta r é 3x + y
– 4 = 0, a área do triângulo ABC é:
06. (UFPE/PE) Planeja-se construir duas estradas em
uma região plana. Colocando coordenadas cartesianas
na região, as estradas ficam representadas pelas partes
dos gráficos da parábola y = - x2 + 10x e da reta y = 4x +
5, com 2 ≤ x ≤ 8. Qual a soma das coordenadas do ponto
que representa a intersecção das estradas?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
07. (UFPE/PE) Considere o triângulo com lados sobre as
retas y = 2 x, y =
x
e y = − x + 6 . Estude a veracidade
3
das seguintes afirmações:
A) O ponto (2,1) está no interior do triângulo.
B) O ponto (5,5) está no exterior do triângulo.
C) O maior lado do triângulo mede 2 5 .
D) O triângulo tem área 15/2.
E) O circuncentro do triângulo é o ponto (2,3/2).
08. (UFPA/PA) Escreva a equação da reta, que passa
⎛1 ⎞
,−1⎟ e é perpendicular a uma reta que
⎝2 ⎠
pelo ponto P ⎜
forma com o sentido positivo do eixo dos x, um ângulo
cuja tangente é
5
.
2
09. (UFPA/PA) Em um triângulo
ABC , os pontos
médios dos lados AB e BC são, respectivamente,
M (− 4, 5) e P (0, 3 ) . Sabendo-se que C (1, - 2) ,
a) 240
b) 220
c) 200
d) 260
e) 280
04. (PUC/RS) As representações das funções definidas
escreva a equação da reta AC .
por
10. (UFMT/MT) Num determinado instante t (em
f ( x ) = x 2 − 4 x + 3, g ( x ) = 2 x + 3 e h ( x ) = −1 ,
estão na figura abaixo. A área do triângulo ABC é:
minutos), as posições de duas partículas P e Q são
dadas, respectivamente, pelas equações paramétricas
⎧⎪ x = 4 + t
⎧ x = 1 + 2t
e ⎨
.
⎪⎩ y = −3 + 6t
⎩y = 1 + t
das retas ⎨
A partir das informações dadas, julgue os itens.
m As trajetórias se interceptam no ponto (5, 3).
n As partículas se chocam no ponto (5, 3).
o A partícula Q passa, em (5, 3), 1 minuto depois que a
partícula P.
A) 3
B) 4
C) 8
D) 12
E) 16
05. (UFV/MG) Considere os pontos A = (2, − 2) e
B = (0, 4) do plano euclidiano.
a) Determine o valor da constante k para que a reta
y = kx + k passe pelo ponto médio do segmento AB .
b) Calcule a distância da origem (0, 0) à reta obtida no
item anterior.
11. (UFPA/PA) Um agricultor recebe uma herança e
decide investir em terras para aumentar sua produção.
Resolve comprar um terreno ao lado do seu, e o corretor
cobra R$ 2.000,00 a unidade de área (u). O terreno tem a
forma de um quadrilátero de vértices A, B, C e D. Em sua
representação no plano cartesiano, em que a unidade em
cada um dos eixos representa a unidade de comprimento
sobre o terreno, tem-se A=(0,0), B=(0,1) e D=(3,0). Sabese que a equação da reta que contém os pontos D e C é
3x+2y=9, enquanto que a reta que contém os pontos B e
C também passa pelo ponto (4,2). Faça os cálculos
necessários e determine o valor que o agricultor irá pagar
pelo terreno.
12. (PUC/RS) A reta r de equação y = a x + b passa pelo
ponto (0, –1), e para cada unidade de variação de x há
uma variação em y, no mesmo sentido, de 7 unidades.
Sua equação é:
A) y = 7x – 1
B) y = 7x + 1
C) y = x – 7
D) y = x + 7
E) y = –7x – 1
13. (UFPB/PB) Sabendo-se que a equação (m + n - 1)x2
+ (m - n + 1)y2 + x + y - 1 = 0 representa uma reta no
plano xy, determine m e n.
14. (UFMA/MA) A reta r: x – 7y +13 = 0 forma um ângulo
de 45º com a reta s, que passa pela intersecção das
retas
3x + 2y – 9 = 0 e 10x + y – 13 = 0. Ache a reta s.
⎛ 3 ⎞
15. (UFMA/MA) A reta r passa pelos pontos ⎜ − , 5 ⎟ e
⎝ 4 ⎠
(3, 0) . A reta s é perpendicular à reta r e passa pela
origem. Determine o ponto de interseção entre as retas r
e s.
De acordo com gráfico abaixo, assinale (as) proposições
verdadeiras
18. (UFMA/MA) As equações paramétricas de uma reta r
são:
⎧ x = 3 − 2t
. Então o coeficiente angular da reta r
⎨
⎩ y = 1 + 4t
é:
a) –3
b) 1
c) –2
d) 4
e) 2
19. (UFMA/MA) A soma dos coeficientes linear e angular
da reta que passa pelos pontos A (0, K) e B(K, 0), sendo
K ≠ 0 , vale:
a) K – 1
b) – K – 1
c) K + 1
d) K
e)
1
+1
K
20. (UFMA/MA) Consideremos os pontos
A(− 1; 5) ,
B ( 3; − 1) e C (5; − 4 ) e as seguintes afirmações:
I. Os pontos A, B e C são colineares.
II A distância entre os pontos B e C é d =
8.
III A razão em que B divide AC é r = 2.
Então:
y
a) I, II estão corretas.
b) I, II e III estão corretas.
c) I está correta.
d) I e III estão corretas.
e) II e III estão corretas.
3•
21. (UFMA/MA) Calcule a área do triângulo formado pela
1•
•
−2
•
0
reta
•
1
x
x y
− =1
6 8
e os eixos coordenados.
22. (UFMS/MS) Sejam r, s e t as retas definidas no
plano cartesiano da figura nº 2. Se P = (a,b) é o ponto
de interseção das retas s e t, calcular 10a + 2b.
y
s
r
r
cartesianas à reta r é de
2
s
.
01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0.
02. A reta s e a reta r são perpendiculares.
04. As retas r e s se interceptam no ponto de abscissa
4
.
5
08. A distância da origem do sistema de coordenadas
6
.
4
t
unidades.
2
área da região do plano limitada pelas retas r, s e
3
pelo eixo das abscissas é igual a
unidades de área.
10
17. (UFSC/SC) Dados os pontos A(1, –1), B(–1, 3) e
C(2, 7), determine a medida da altura do triângulo ABC
relativa ao lado BC..
-2
2
-3
Figura nº 2
x
23. (UFMA/MA) Seja a reta r que passa pelos pontos
(0,5) e (10,0). Uma reta s perpendicular a r passa pelos
pontos A(a,1) e B(1,b). A relação entre a e b é:
a) b=3 – 2a
b) b=2 – 3a
c) b=5 - 2a
d) b= – (a + 2
e) b =
4−a
2
27. O período de incubação do cólera pode ser de
algumas horas e até 5 dias, porém sua disseminação
ocorre com mais facilidade onde as condições de higiene
são precárias. Analisando uma colônia de vírus do cólera,
um pesquisador registrou a disseminação do número
desses vírus durante algumas horas e verificou um
crescimento linear conforme o gráfico abaixo, o qual
apresenta duas dessas observações.
Quantos vírus havia nessa colônia no inicio da
observação?
24. (UFOP/2003) Sejam as retas r: x + 2y + 3 = 0 e t ⊥ r.
Se t passa pelo ponto P(2, 3), então sua equação é dada
por:
a) 2x + y - 3 = 0
b) 2x + y + 1 = 0
c) 2x - y - 1 = 0
d) 2x - y + 3 = 0
25. (UFOP/2005) A curva C, a seguir, é gráfico da
x
função f(x) = 2 . A equação da reta r que passa pelos
pontos P e Q é:
28. Dois mísseis, em treinamento de interceptação,
deslocam-se em movimento retilíneo e uniforme numa
mesma direção e sentido. O gráfico mostra a posição, em
metros, desses mísseis no decorrer do tempo, em
segundo.
a) Qual o instante em que o míssil B intercepta o míssil
A?
b) Em que posição eles se encontram?
2
x - 1
3
3
d) y =
x+ 1
2
a) y =
b) y =
3
x- 1
2
c) y =
2
x+ 1
3
26. (UFJF/2008) Considere o triângulo limitado pelas
y = x, y = − x + 2 e y = ax, com a > 1 . O
retas
valor de a , de forma que a área desse triângulo seja
2
, é:
2
a) 2 2 + 3
b) 3 2 + 2
c)
2 +1
d)
2-1
e)
2
APLICAÇÕES
Com base no texto abaixo, responda as
questões 29 e 30.
O radar é um aparelho que, por meio de pulsos de onda
radioelétricas, é capaz de detectar objetos que estejam
no interior de seu círculo de alcance. Esse círculo tem
centro no radar e seu raio, que depende da potência do
aparelho, é denominado raio de alcance do radar.
Suponha que um radar esteja localizado em um porto
marítimo, no centro de um sistema de coordenadas xOy,
como ilustra a figura a seguir, em que as distâncias são
medidas em quilômetros.
Suponha, ainda, que um navio percorreu a trajetória
retilínea entre os pontos A(-100,-500) e B(500,100), com
velocidade constante de 75km/h.
Considerando que os pulsos do radar prolongam-se em
linha reta, resolva os itens a seguir.
29. Seja um pulso que partiu do radar interceptou a
trajetória do navio perpendicularmente, então as
coordenadas (x,y) do percurso desse pulso satisfazem à
equação:
a) –x + y = 0.
b) –x – y = 0.
c) x – y = 0.
d) x + y = 0.
e) x + 2y = 0
30. Se as trajetórias do navio e de um pulso do radar
cruzaram-se perpendicularmente, então essas trajetórias
interceptam-se no ponto das coordenadas:
a) (200,-200).
b) (-200,200).
c) (-200,-200).
d) (200,200).
e) (220,-220).