Resolução das atividades complementares Matemática M23 — Polinômios p. 68 1 Considere o polinômio P(x) 5 x 2 2 3x 21 x 11 x . Determine os valores de P(1) e P(22). P(1) 5 0; P(22) 5 221 Resolução: P(x) 5 (x2 2 3x) ? x 1 (x 1 1) 5 x3 2 3x2 1 x 1 1 P(1) 5 13 2 3 ? 12 1 1 1 1 5 0 P(22) 5 (22)3 2 3 ? (22)2 1 (22) 1 1 5 28 2 12 2 2 1 1 5 221 2 Seja o polinômio P(a 1 2) 5 2a2 2 3a 1 1. a) Calcule P(21) e P(4). P(21) 5 28 e P(4) 5 3 b) Determine P(a). P(a) 5 2a2 2 11a 1 15 Resolução: a) a 1 2 5 21 ⇒ a 5 23 Substituindo a 5 23 no polinômio dado, temos: P(23 1 2) 5 P(21) 5 2 ? (23)2 2 3(23) 1 1 5 2 ? 9 1 9 1 1 5 28 a1254⇒a52 Substituindo a 5 2 no polinômio dado, temos: P(2 1 2) 5 P(4) 5 2 ? 22 2 3 ? 2 1 1 5 3 b) a 1 2 5 x ⇒ a 5 x 2 2 P(x) 5 2 ? (x 2 2)2 2 3(x 2 2) 1 1 5 2x2 2 11x 1 15 Fazendo x 5 a, temos: P(a) 5 2a2 2 11a 1 15. 3 (UnB-DF) Considere um polinômio P(x) do 3o grau com coeficientes reais. Dado que 2 é raiz de P(x) e que o seu gráfico contém os pontos (0, 2), (1, 1) e (3, 5), calcule P(5). 57 Resolução: P(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d P(2) 5 8a 1 4b 1 2c 1 d 5 0 (I) P(0) 5 d 5 2 P(1) 5 a 1 b 1 c 5 21 (II) P(3) 5 27a 1 9b 1 3c 5 3 (III) Daí: a 5 1, b 5 23 e c 5 1. P(x) 5 x3 2 3x2 1 x 1 2 P(5) 5 53 2 3 ? 52 1 5 1 2 5 57 De I, II e III, vem: 8a 1 4b 1 2c 5 2 2 a 1 b 1 c 5 21 27a 1 9b 1 3c 5 3 4 (Uniube-MG) O grau do polinômio q(x) 5 (x 2 1)(x 2 2)2 (x 2 3)3 ... (x 2 100)100 é igual a: a) 100 b) 100! c) 5 050 d) 10 100 Resolução: O grau do polinômio é dado pela sooma dos termos da PA (1, 2, 3, ..., 100). (a 1 a n)n (1 1 100) ? 100 Sn 5 1 S100 5 5 5 050 gr(q) 5 5 050 2 2 5 Qual é o polinômio que, subtraído de A(x) 5 2x3 2 x2 2 4x 1 5, resulta no polinômio B(x) 5 x2 1 3x 2 1? 2x3 2 x 1 4 Resolução: C(x) 2 A(x) 5 B(x) C(x) 5 A(x) 1 B(x) C(x) 5 2x3 2 x2 2 4x 1 5 1 x2 1 3x 2 1 C(x) 5 2x3 2 x 1 4 6 (UERN) Se A(x) 5 x2 2 x 1 1, B(x) 5 (x 2 2)2 e C(x) 5 23x, então A(x) 1 B(x) ? C(x) vale: a) 23x3 1 13x2 2 13x 1 1 b) 23x3 1 13x2 1 13x 1 1 c) 23x3 1 15x2 2 15x d) 23x3 2 15x2 2 15x e) 3x3 2 15x2 1 15x Resolução: A(x) 1 B(x) ? C(x) 5 (x2 2 x 1 1) 1 (x 2 2)2 ? (23x) 5 x2 2 x 1 1 1 (x2 2 4x 1 4)(23x) 5 5 x2 2 x 1 1 2 3x3 1 12x2 2 12x 5 23x3 1 13x2 2 13x 1 1 7 Sabendo que P(x) 5 x3 1 (a 2 2)x2 1 (b 2 4)x 2 3 admite as raízes 1 e 21, calcule os valores de a e b. a55eb53 Resolução: P(1) 5 13 1 (a 2 2)12 1 (b 2 4)1 2 3 5 0 a 1 b 2 8 5 0 (I) P(21) 5 (21)3 1 (a 2 2)(21)2 1 (b 2 4)(21) 2 3 5 0 a 2 b 2 2 5 0 (II) a 1 b 5 8 a 2 b 5 2 2a 5 10 ⇒ a 5 5 e b 5 3 8 Dados A(x) 5 (a 1 1)x2 1 (b 2 1)x 1 c e B(x) 5 ax2 1 bx 2 3c, calcule a, b e c, para que A(x) 1 B(x) 0. a 5 21;b 5 1;c 5 0 2 2 Resolução: a 1 1 1 a 5 0 ⇒ 2a 1 1 5 0 ⇒ a 5 2 1 2 b 2 1 1 b 5 0 ⇒ 2b 5 1 ⇒ b 5 1 2 c 2 3c 5 0 ⇒ 2 2c 5 0 ⇒ c 5 0 9 Ache a, b e c de modo que o polinômio P(x) 5 (a 1 1)x2 1 (3a 2 2b)x 1 c seja identicamente nulo. a 5 21; b 5 2 3 e c 5 0 2 Resolução: a 1 1 5 0 ⇒ a 5 21 3a 2 2b 5 0 ⇒ 3a 5 2b ⇒ b 5 2 3 2 c 50 10 (UFPA) O polinômio P(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d é idêntico a Q(x) 5 5x2 2 3x 1 4. Então, podemos dizer que a 1 b 1 c 1 d é igual a: a) 6 b) 5 c) 4 d) 0 e) 23 Resolução: P(x) Q(x) ax 3 1 bx 2 1 cx 1 d 5x 2 2 3x 1 4 Logo, a 1 b 1 c 1 d 5 6. a 5 0; b 5 5; c 5 23 e d 5 4 11 (UFJF-MG) Determine as constantes reais A, B e C que satisfazem à igualdade 2x 2 2 25x 2 29 Bx 1 C A 5 1 2 , para x IR e x 5. A 5 24; B 5 6 e C 5 5 2 x 2 5 (x 2 5)(x 1 1) x 11 Resolução: Reduzindo ao mesmo denominador, teemos: 2x 2 2 25x 2 29 A(x 2 1 1) 1 (Bx 1 C)(x 2 5) 5 (x 2 5)(x 2 1 1) (x 2 5)(x 2 1 1) 2x 2 2 25x 2 29 Ax 2 1 A 1 Bx 2 2 5Bx 1 Cx 2 5C 5 2 (x 2 5)(x 1 1) (x 2 5)(x 2 1 1) 2x 2 2 25x 2 29 (A 1 B)x 2 1 (25B 1 C)x 1 A 2 5C 5 (x 2 5)(x 2 1 1) (x 2 5)(x 2 1 1) Igualando os coeficientes, temos: A 5 24 A 1 B 5 2 25B 1 C 5 2 25 ⇒ B 5 6 A 2 5C 5 2 29 C 55 12 (Fuvest-SP) Considere o polinômio não-nulo P(x) tal que [P(x)]3 5 x2[P(x)] 5 x[P(x2)], para todo x real. a) Qual é o grau de P(x)? 1 b) Determine P(x). P(x) 5 x ou P(x) 5 2x Resolução: a) grau [P(x)]3 5 3 ? grau ? [P(x)] grau x 2 ? [P(x)] 5 2 1 grau [P(x)] grau x ? [P(x 2)] 5 1 1 2 grau [P(x)] 3 grau [P(x)] 5 2 1 grau [P(x)] 3 grau [P(x)] 2 grau [P(x)] 5 2 Então, grau [P(x)] 5 1. b) Como grau [P(x)] 5 1, então: P(x) 5 ax 1 b. (ax 1 b)3 5 x 2(ax 1 b) 2 2 x (ax 1 b) 5 x(ax 1 b) (ax)3 1 3(ax)2 ? b 1 3axb2 1 b3 5 ax 3 1 bx 2 3 3 ax 1 bx 2 5 ax 1 xb a 3x 3 1 3a 2x 2b 1 3axb2 1 b3 5 ax 3 1 bx 2 2 bx 2 bx 5 0 ⇒ b 5 0 Substituindo em (I), temos: a 3x 3 5 ax 3 a 3x 3 2 ax 3 5 0 ax 3(a 2 2 1) 5 0 a 2 2 1 5 0 ou ax 3 5 0 e a 5 0 a 5 1 Como é grau 1, então: a 5 1 e b 5 0. P(x) 5 x ou P(x) 5 21x (I) p. 69 13 (Faap-SP) Calcule a, b, c e d para que o polinômio P1(x) 5 a(x 1 c)3 1 b(x 1 d) seja idêntico a P2(x) 5 x3 1 6x2 1 15x 1 14. a 5 1; b 5 3; c 5 2 e d 5 2 Resolução: P1(x) P2(x) ⇒ a(x 1 c)3 1 b(x 1 d) x3 1 6x2 1 15x 1 14 ax3 1 3acx2 1 (3ac2 1 b)x 1 (bd 1 ac3) x3 1 6x2 1 15x 1 14 a 5 1 3ac 5 6 Igualando os coeficientes correspondentes, temos: 2 3ac 1 b 5 15 bd 1 ac 3 5 14 Resolvendo o sistema, obtemos: a 5 1, b 5 3, c 5 2 e d 5 2. 14 (UFPE) Determine p e q reais tais que x(x 1 1)(x 1 2)(x 1 3) 1 1 5 (x2 1 px 1 q)2. Indique p2 1 q2. 10 Resolução: x(x 1 1)(x 1 2)(x 1 3) 1 1 5 (x2 1 px 1 q)2 x4 1 6x3 1 11x2 1 6x 1 1 5 x4 1 2px3 1 (p2 1 2q)x2 1 2pqx 1 q2 2p 5 6 2 p 53 p 1 2q 5 11 Igualando os coeficientes, temos: ⇒ q 51 2pq 5 6 q2 5 1 Portanto: p2 1 q2 5 9 1 1 5 10. 1 . x(x 1 1) a) Determine os números A e B de modo que f(x) 5 A 1 B . A 5 1 e B 5 21 x x 11 b) Considerando o resultado anterior, mostre que: f(1) 1 f(2) 1 ... 1 f(100) 5 100 . 101 15 (UFG) Seja f uma função definida por f(x) 5 Resolução: (A 1 B)x 1 a 1 B , ou seja, 1 5 A 1 5 (A 1 B)x 1 A 1 x x(x 1 1) x 11 x(x 1 1) x(x 1 1) A 1 B 5 0 Temos, então, o sistema linear: ⇒ A 5 1 e B 5 21 A 5 1 b) Do resultado anterior, temos que: f(1) 5 1 2 1 ; f(2) 5 1 2 1 ; f(3) 5 1 2 1 ; ...; f(99) 5 1 2 1 ; f(100) 5 1 2 1 2 2 3 3 4 99 100 100 101 Logo: f(1) 1 f(2) 1 ... 1 f(100) 5 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ... 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 3 3 4 99 100 100 101 A segunda parcela de cada parên ntese, exceto a do último, cancela com a prrimeira parcela do parêntese subseqüente: f((1) 1 f(2) 1 ... 1 f(100) 5 1 2 1 5 100 . 101 101 a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p. 76 16 (UFU-MG) Dividindo-se o polinômio p(x) por x2 1 4x 1 7, obtêm-se x2 1 1 como quociente e x 2 8 como resto. É correto afirmar que o coeficiente do termo de grau 2 é: c) 8 a) 21 b) 4 d) 5 e) 1 Resolução: p(x) 5 (x2 1 4x 1 7)(x2 1 1) 1 x 2 8 ⇒ p(x) 5 x4 1 x2 1 4x3 1 4x 1 7x2 1 7 1 x 2 8 p(x) 5 x4 1 4x3 1 8x2 1 5x 2 1 O coeficiente de x2 é igual a 8. 17 (UFPel-RS) Para que o polinômio x3 1 2x2 2 3x 1 m dê resto 3 quando dividido por (x 1 1), m deve valer: a) 1 b) 21 c) 3 d) 27 e) 7 Resolução: p(x) 5 x3 1 22 2 3x 1 m Pelo teorema do resto, P(21) 5 3; então: (21)3 1 2(21)2 2 3(21) 1 m 5 3 ⇒ m 5 21. 18 (UFSM-RS) Dividindo-se o polinômio p(x) 5 x3 1 x2 1 x 1 1 pelo polinômio q(x) obtém-se o quocien te s(x) 5 1 1 x e o resto r(x) 5 x 1 1. Pode-se afirmar que: c) q(0) 0 a) q(2) 5 0 d) q(3) 5 0 b) q(1) 0 e) q(1) 1 Resolução: p(x) 5 x3 1 x2 1 x 1 1; s(x) 5 1 1 x; r(x) 5 x 1 1 p(x) 5 q(x) ? s(x) 1 r(x) e q(x) 5 ax2 1 bx 1 c x3 1 x2 1 x 1 1 5 (ax2 1 bx 1 c)(1 1 x) 1 (x 1 1) x3 1 x2 1 x 1 1 5 ax2 1 ax3 1 bx 1 bx2 1 c 1 cx 1 x 1 1 x3 1 x2 1 x 1 1 5 ax3 1 (a 1 b)x2 1 (b 1 c 1 1)x 1 c 1 1 a51 a1b51⇒b50 b1c1151⇒c50 Logo, q(x) 5 x2 ⇒ q(1) 5 1. 19 (ITA-SP) A divisão de um polinômio P(x) por x2 2 x resulta no quociente 6x2 1 5x 1 3 e resto 27x. Qual o resto da divisão de P(x) por 2x 1 1? 5 Resolução: P(x) 5 (6x 2 1 5x 1 3)(x 2 2 x) 2 7x P(x) 5 6x 4 2 x 3 2 2x 2 2 10x 2x 1 1 5 0 ⇒ x 5 2 1 2 4 3 r 5 p 21 ⇒ r 5 6 21 2 21 2 2 21 2 2 2 2 1 1 1 r 56 ? 1 2 15 55 16 8 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 10 2 1 2 p. 77 20 (UFOP-MG) Sejam os polinômios P(x) 5 x 2 3 e Q(x) 5 4(A 1 B)x2 1 2(B 1 C 2 A)x 1 (A 1 C). () a) Determine A, B, C IR, de modo que P(x 2 3) 5 Q x . A 5 2 7 ; B 5 7 e C 5 2 11 2 3 3 3 b) Determine o quociente e o resto da divisão de Q(x) por P(x). 2 e 0 Resolução: a) P(x 2 3) 5 x 2 6 2 Q x 5 4(A 1 B) x 1 2(B 1 C 2 A) x 1 (A 1 C) 2 2 2 Q x 5 (A 1 B)x 2 1 (B 1 C 2 A)x 1 A 1 C 2 A 1 B 5 0 ⇒ A 5 2 B B 1 C 2 A 5 1 ⇒ 2B 1 C 5 1 (I) A 1 C 5 26 ⇒ B 2 C 5 6 (II) De (I) e (II), vem: B 5 7 e C 5 2 11 . 3 3 Então: A 5 2 7 . 3 () () () () b) A 1 B 5 7 2 7 5 0 B 1 C 2 A 5 7 2 11 1 7 5 3 5 1 3 3 3 3 3 3 A 1 C 5 2 7 2 11 5 2 18 5 2 6 3 3 3 2 Q(x) 5 4(A 1 B)x 1 2(B 1 C 2 A)x 1 (A 1 C) ⇒ Q(x) 5 2 ? 1x 1 (26) ⇒ ⇒ Q(x) 5 2x 2 6 5 2(x 2 3) 2(x 2 3) Q(x) 5 52 P(x) x 23 Q(x) é divisível por P(x); portanto, o resto é zero. 21 (UFPE) Considere o polinômio p(x) 5 3x3 2 mx2 1 nx 1 1, em que m e n são constantes reais. Sabe- se que p(x) é divisível por g(x) 5 x 2 2 e que deixa resto igual a (212) quando dividido por h(x) 5 x 1 2. Nessas condições, tem-se: a) m 5 2 9 e n 5 7 c) m 5 9 e n 5 5 e) m 5 n 5 6 4 b) m 5 7 e n 5 2 9 d) m 5 2 7 e n 5 7 4 4 4 Resolução: p(2) 5 0 ⇒ 24 2 4m 1 2n 1 1 5 0 p(2 2) 5 212 ⇒ 2 24 2 4m 2 2n 1 1 5 212 m 5 7 24m 1 2n 5 2 25 4 Daí: ⇒ 24m 2 2n 5 11 n 5 2 9 22 (Unimep-SP) O resto da divisão do polinômio (x2 1 x 2 1)60 1 (x 2 2)30 por x 2 1 é: c) 1 e) nenhuma das alternativas d) 2 anteriores a) 21 b) 0 Resolução: x 5 1: (1 1 1 2 1)60 1 (1 2 2)30 5 1 1 1 5 2 23 (UFPI) Seja R(x) o resto da divisão do polinômio P(x) 5 x5 2 10x3 1 6x2 1 x 2 7 por D(x) 5 x(x 2 1)(x 1 1). Então, pode-se afirmar que: c) R(21) 5 8 a) R(1) 5 29 d) R(2) 5 2 b) R(0) 5 7 e) R(x) 5 x2 2 8x 1 7 Resolução: D(x) 5 x(x 2 1)(x 1 1) 5 x 3 2 x x 5 1 0x 4 2 10x 3 1 6x 2 1 x 2 7 x3 2 x 2x 5 x2 2 9 1 x3 29x 3 1 6x 2 1 x 2 7 19x 3 2 9x R(x) 5 6x 2 2 8x 2 7 R(1) 5 6 ? 12 2 8 ? 1 2 7 5 2 9 24 (Uneb-BA) Se o polinômio ax3 1 3x2 2 8x 1 b é divisível por x2 2 4, então ab é igual a: a) 224 b) 26 c) 2 d) 6 e) 24 Resolução: Se p(x) 5 ax3 1 3x2 2 8x 1 b é divisível por x2 2 4, então é divisível por (x 1 2)(x 2 2). Logo: p(22) 5 0 ⇒ 28a 1 12 1 16 1 b 5 0 p(2) 5 0 ⇒ 8a 1 12 2 16 1 b 5 0 28a 1 b 5 2 28 a 5 2 Daí: ⇒ 8a 1 b 5 4 b 5 212 Logo: ab 5 2(212) 5 224. 25 (UFPA) O polinômio P(x) 5 x4 2 ax2 1 bx é divisível por x 1 3 e o resto de sua divisão por x 2 1 é a abscissa do ponto médio do segmento MN, em que M(29, 3) e N(215, 24). Encontre os valores de a e b. a 5 10 e b 5 23 Resolução: 29 2 15 xm 5 5 212 2 x 2150 ⇒ x 51 P(1) 5 212 14 2 a ? 12 1 b ? 1 5 212 2a 1 b 5 213 (I) x 1 3 5 0 ⇒ x 5 23 P(23) 5 0 ⇒ (23)4 2 a ? (23)2 1 b ? (23) 5 0 23a 2 b 5 2 27 (II) De (I) e (II), vem: 2a 1 b 5 213 23a 2 b 5 2 27 24a 5 240 ⇒ a 5 10 e b 5 23 26 (Vunesp-SP) Considere o polinômio p(x) 5 x3 2 mx2 1 m2x 2 m3, em que m IR. Sabendo-se que 2i é raiz de p(x), determine: a) os valores que m pode assumir; 2 ou 22 b) dentre os valores de m encontrados em a, o valor de m tal que o resto da divisão de p(x) por (x 2 1) seja 25. 2 Resolução: a) Se 2i é raiz, temos: p(2i) 5 0 ⇒ (2i)3 2 m(2i)2 1 m2(2i) 2 m3 5 0 28i 1 4m 1 2m2i 2 m3 5 0 24(2i 2 m) 1 m2(2i 2 m) 5 0 ⇒ (2i 2 m) ? (m2 2 4) 5 0 Daí: 2i 2 m 5 0 ⇒ m 5 2i (não satisfaz, pois não é real) m2 2 4 5 0 ⇒ m2 5 4 ⇒ m 5 2 ou m 5 22 b) m 5 2: p(x) 5 x3 2 2x2 1 4x 2 8 p(1) 5 1 2 2 1 4 2 8 ⇒ p(1) 5 25 m 5 22: p(x) 5 x3 1 2x2 1 4x 1 8 p(1) 5 1 1 2 1 4 1 8 ⇒ p(1) 5 15 Logo, o resto da divisão de p(x) por (x 2 1) é 25, se m 5 2. 27 (UnB-DF) O polinômio p(z) 5 z3 1 mz 1 n 1 p é divisível por z 1 i e deixa resto p na divisão por z 2 i, em que i é a unidade imaginária. Para m, n, p reais, determine o valor de m 1 n 1 p. 1 Resolução: p(z) 5 z3 1 mz 1 n 1 p p(i) 5 i3 1 mi 1 n 1 p p(i) 5 p p(2i) 5 2i3 1 m(2i) 1 n 1 p p(2i) 5 0 2i 1 mi 1 n 1 p 2 p 5 0 i 2 mi 1 n 1 p 5 0 i(m 2 1) 1 n 5 0i 1 0 n 5 0 e p 5 0 i(1 2 m) 1 n 1 p 5 0i 1 0 m 1 n 1 p 5 1 1 0 1 0 5 1 i2m50⇒m51 n 1 p 5 0 ⇒ n 5 2p 28 (Fuvest-SP) Determinar um polinômio P(x) de grau 4, divisível por (x 2 1)(x 1 1)(x 2 2), sabendo-se que P(0) 5 0 e que o resto da divisão de P(x) por x 1 2 é 48. P(x) 5 2x4 2 4x3 2 2x2 1 4x Resolução: P(x) 5 ax4 1 bx3 1 cx2 1 dx 1 e P(0) 5 0 ⇒ e 5 0 P(1) 5 0 ⇒ a 1 b 1 c 1 d 5 0 (I) P(21) 5 0 ⇒ a 2 b 1 c 2 d 5 0 (II) P(2) 5 0 ⇒ 16a 1 8b 1 4c 1 2d 5 0 (III) P(22) 5 0 ⇒ 16a 2 8b 1 4c 2 2d 5 48 (IV) De (I) e (II), vem: a 5 2c. De (III) e (IV), vem: 32a 1 8c 5 48. Daí: a 5 2, c 5 22, b 5 24 e d 5 4. Então: P(x) 5 2x4 2 4x3 2 2x2 1 4x. 29 (FURRN) Um polinômio P, dividido por x 2 1 e x 1 3, dá restos 22 e 1, respectivamente. Então, o resto da divisão de P por (x 2 1)(x 1 3) é: a) 3 x 1 5 c) 3 x 2 5 e) 3 x 2 5 4 4 4 4 4 2 3 5 3 5 b) 2 x 1 d) 2 x 2 4 4 4 4 Resolução: Resolvendo o sistema: a 5 2 3 ; b 5 2 5 4 4 P(x) 5 Q(x) ? (x 2 1)(x 1 3) 1 ax 1 b P(1) 5 2 2 ⇒ a 1 b 5 2 2 P(2 3) 5 1 ⇒ 23a 1 b 5 1 Portanto: R(x) 5 ax 1 b 5 2 3 x 2 5 4 4 30 (Furg-RS) Na divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x 2 a), ao usar o dispositivo prático BriotRuffini, encontrou-se: 22 1 q p 24 23 5 4 r 25 7 Os valores de a, q, p e r são, respectivamente: c) 2, 22, 22 e 26 a) 22, 1, 26 e 6 d) 2, 22, 1 e 6 b) 22, 1, 22 e 26 Resolução: Observando o dispositivo de Briot-Ruffini dado: 22 1 p 23 4 25 q 24 5 r 7 e) 2, 1, 24 e 4 Temos: a 5 22; q 5 1 q ? (22) 1 p 5 24 ⇒ p 5 22 5 ? (22) 1 4 5 r ⇒ r 5 26 31 (EEM-SP) O teorema da decomposição para polinômios afirma que: Todo polinômio p(x) 5 a0xn 1 a1xn 2 1 1 ... 1 an 2 1x 1 a0 pode ser decomposto em n fatores de 1o grau multiplicados pelo coeficiente a0, isto é, a0xn 1 a1xn 2 1 1 ... 1 an 2 1x 1 a0 5 a0(x 2 x1)(x 2 x2) ... (x 2 xn), em que x1, x2, ..., xn são as raízes de p(x) 5 0. Com base nesse teorema, escreva: a) a expressão geral dos polinômios de grau 5 que admitem 1, 2, 3, 4 e 5 como raízes; b) a expressão, na forma fatorada, do polinômio cuja expressão geral foi obtida no item anterior e que satisfaça p(0) 5 4!. Resolução: a) P(x) 5 a0(x 2 1)(x 2 2)(x 2 3)(x 2 4)(x 2 5) P(x) 5 a0(x5 2 15x4 1 85x3 2 225x2 1 274x 2 120) b) Se P(0) 5 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24, temos: P(0) 5 a0(0 2 1)(0 2 2)(0 2 3)(0 2 4)(0 2 5) 5 24 a 0(2120) 5 24 ⇒ a 0 5 2 1 5 Portanto: P(x) 5 2 1 (x 2 1)(x 2 2)(x 2 3)(x 2 4)(x 2 5). 5 32 (UERJ) A figura representa o gráfico de um polinômio e de uma reta r que lhe é secante nos pontos A(2, 23) e B(4, 15). a) Determine o resto da divisão de P(x) por x 2 4. 15 b) Mostre que a reta r representa graficamente o resto da divisão de P(x) por (x 2 2)(x 2 4). Resolução: Analisando o gráfico: a) P(4) 5 15; logo, o resto da divisão de P(x) por (x 2 4) é 15. b) P(x) 5 Q(x) ? D(x) 1 R(x); D(x) 5 (x 2 2)(x 2 4) gr(P) 5 3, pois o gráfico de P corta o eixo Ox em 3 pontos. gr(D) 5 2 e gr(R) < 1 ou R(x) 5 0 R(x) 5 ax 1 b P(x) 5 (x 2 2)(x 2 4) ? Q(x) 1 ax 1 b Pelo gráfico: P(2) 5 23 ⇒ (2 2 2)(2 2 4) ? Q(2) 1 2a 1 b 5 23 P(4) 5 15 ⇒ (4 2 2)(4 2 4) ? Q(4) 1 4a 1 b 5 15 2a 1 b 5 2 3 (21) 4a 1 b 5 15 2a 5 18 ⇒ a 5 9 e b 5 2 21; logo, R(x) 5 9x 2 21 y r 15 B 2 4 �3 A (I) Vamos encontrar a equação da reta que passa por (4, 15) e (2, 23): x y 1 4 15 1 5 0 ⇒ y 5 9x 2 21 (II) 2 23 1 Comparando (I) e (II), verificamos que r representa o resto da divisão de P(x) por (x 2 2)(x 2 4). 33 (UEL-PR) Considere os polinômios p(x) 5 2x 1 1 e q(x) 5 x3 2 x. É correto afirmar: a) Os polinômios p(x) e q(x) não possuem raiz em comum. b) O gráfico de p(x) intercepta o gráfico de q(x). c) O polinômio p(x) possui uma raiz dupla. d) O resto da divisão de q(x) por p(x) é diferente de zero. e) O polinômio q(x) possui uma raiz dupla. Resolução: p(x) 5 2x 1 1 q(x) 5 x3 2 x raiz: p(x) 5 0 raízes: x3 2 x 5 0 2x 1 1 5 0 x(x 1 1)(x 2 1) 5 0 x 5 0 ou x 5 21 ou x 5 1 x 5 1 a) Não, pois p(x) e q(x) possuem a raiz 1 em comum. b) Sim, pois os gráficos de p(x) e q(x) se interceptam no ponto (1, 0). c) Não, pois p(x) possui uma única raiz. d) Não, pois q(x) 5 (2x2 2 x) ? p(x). e) Não, pois as três raízes de q(x) são simples. 10 x 34 (Vunesp-SP) Considere um polinômio da forma f(x) 5 x3 1 (cos u)x. Sendo i a unidade imaginária, demonstre que f(x) é divisível por x 2 i (sobre o corpo dos complexos) se, e somente se, u 5 2kp (k Z ⁄ ). Resolução: f(x) 5 x3 1 (cos u)x f(i) 5 i3 1 i cos u ⇒ f(i) 5 2i 1 i cos u ⇒ f(i) 5 2i(1 2 cos u) (I) Se f(x) é divisível por (x 2 i), temos: f(i) 5 0, ou 2i(1 2 cos u) 5 0; como 2i 0, então: 1 2 cos u 5 0. ⁄ ). Logo, cos u 5 1, ou seja, u 5 2kp (k Z ⁄ ), então: cos u 5 1, ou seja, cos u 2 1 5 0. Logo, f(i) 5 0, isto é, f(x) é (II) Se u 5 2kp (k Z divisível por (x 2 i). 35 (Fuvest-SP) P(x) é um polinômio de grau > 2 e tal que P(1) 5 2 e P(2) 5 1. Sejam D(x) 5 (x 2 2)(x 2 1) e Q(x) o quociente da divisão de P(x) por D(x). a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x). 2x 1 3 b) Sabendo que o termo independente de P(x) é igual a 8, determine o termo independente de Q(x). Resolução: a) Seja R(x) o resto da divisão de P(x) por D(x). Como D(x) é um polinômio de grau 2, podemos concluir que R(x) é da forma ax 1 b, em que a e b são constantes. Então, temos: P(x) (x 2 2)� ? �� (x 2� 1) ? Q(x) 1 ax 1�b ��� ��� D(x) P(1) 5 2 ⇒ a 1 b 5 2 P(2) 5 1 ⇒ 2a 1 b 5 1 R(x) 2a 1 b 5 1 , obtemos: Resolvendo o sistema a 1 b 5 2 a 5 21 e b 5 3. Portanto, o resto da divisão de P(x) por D(x)) é 2x 1 3. 5 2 b) O termo independente de P(x) é 8, isto é, P(0) 5 8. Do item a, temos que: P(x) (x 2 2)(x 2 1) ? Q(x) 2 x 1 3; então, P(0) 5 (0 2 2)(2 2 1) ? Q(0) 2 0 1 3, ou seja, P(0) 5 2 ? Q(0) 1 3. Logo, 2 ? Q(0) 1 3 5 8 Q(0) 5 5 . 2 Portanto, o termo independente de Q(x) é 5 . 2 p. 78 36 (Unifor-CE) Sejam os polinômios f(x) 5 (3a 1 2)x 1 2 e g(x) 5 2ax 2 3a 1 1 nos quais a é uma constante. O polinômio f ? g terá grau 2 se, e somente se: a) a 0 e a 1 c) a 0 3 b) a 1 e a 2 2 d) a 2 2 3 3 3 Resolução: O polinômio f ? g terá grau 2 se: (3a 1 2) ? 2a 0. 6a 2 1 4a 0 ⇒ 2a(3a 1 2) 0 2a 0 3a 1 2 0 a 0 a 22 3 11 e) a 0 e a 2 2 3 37 (Unicamp-SP) O polinômio P(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 2 satisfaz as seguintes condições: P(21) 5 0 , qualquer que seja x real. Então: e P(x) 2 P(2 x) 5 x 3 a) P(1) 5 21 b) P(1) 5 0 c) P(2) 5 0 d) P(2) 5 28 e) P(2) 5 12 Resolução: P(21) 5 0 ⇒ P(21) 5 a ? (21)3 1 b ? (21)2 1 c ? (21) 1 2 5 0 ⇒ 2a 1 b 2 c 5 2 2 P(x) 2 P(2x) 5 x 3 ⇒ (ax 3 1 bx 2 1 cx 1 2) 2 [a ? (2x)3 1 b ? (2x)2 1 c ? (2x) 1 2] 5 x 3 ⇒ ⇒ ax 3 1 bx 2 1 cx 1 2 1 ax 3 2 bx 2 1 cx 2 2 5 x 3 ⇒ 2a 5 1 ⇒ a 5 1 2 ⇒ 2ax 3 1 2cx 5 x 3 ⇒ 2c 5 0 ⇒ c 5 0 2 1 1 b 2 0 5 22 ⇒ b 5 22 1 1 5 2 3 2 2 2 1 3 3 2 Logo, P(x) 5 x 2 x 1 2. Então: 2 2 1 3 P(1) 5 2 1251 2 2 P(2) 5 1 ? 8 2 3 ? 4 1 2 5 4 2 6 1 2 5 0 ⇒ P(2) 5 0 2 2 () 38 (FGV-SP) Sendo P(x) 5 4x6 1 2x5 2 2x4 1 x3 1 ax2 1 bx 1 e G(x) 5 2x3 1 x2 2 2x 1 1, determine os valores de a, b e que tornam P(x) divisível por G(x) e também o polinômio Q(x), quociente da divisão de P(x) por G(x). a 5 23; b 5 3; 5 21 e Q(x) 5 2x3 1 x 2 1 Resolução: 4x 6 1 2x 5 2 2x 4 1 x 3 1 ax 2 1 bx 1 2x 3 1 x 2 2 2x 1 1 24x 6 2 2x 5 1 4x 4 2 2x 3 2x 3 1 x 2 1 5 Q(x) 2x 4 2 x 3 1 ax 2 1 bx 1 22x 4 2 x 3 1 2x 2 2 x 22x 3 1 (a 1 2)x 2 1 (b 2 1)x 1 2x 3 1 x2 2 2x 1 1 (a 1 3)x 2 1 (b 2 3)x 1 1 1 Se P(x) é divisível por G(x), o resto é zero; logo: a 13 50 b23 50 1150 a 5 23 b53 5 21 39 (MACK-SP) Se P(x) = 2x2 1 kx 1 2 é divisível por x 1 2, então 2k vale: a) 32 b) 16 c) 8 d) 64 e) 4 Resolução: Se P(x) é divisível por x 1 2, então P(22) 5 0: 2 ? (22)2 1 k ? (22) 1 2 5 0 ⇒ 8 2 2k 1 2 5 0 ⇒ k 5 5, daí: 2k 5 25 5 32. 12 40 (UFU-MG) Considere o polinômio P(x) 5 3x3 2 x2 1 ax 1 9, em que a é uma constante real. Se P(x) é divisível por x 1 3, então ele também é divisível por: c) 3x2 1 10x 2 3 a) x2 1 9 d) 3x2 1 10x 1 3 b) x2 2 9 e) 3x2 2 9 Resolução: Se P(x) é divisível por x 1 3, P(23) 5 0: P(23) 5 3 ? (23)3 2 (23)2 1 a ? (23) 1 9 5 0 ⇒ 2 81 2 9 2 3a 1 9 5 0 ⇒ a 5 2 27 P(x) 5 3x 3 2 x 2 2 27x 1 9 3x 2 2 10x 1 3 5 0 3x 3 2 x 2 2 27x 1 9 x 1 3 D 5 100 2 36 23x 3 2 9x 2 3x 2 2 10x 1 3 D 5 64 210x 2 2 27x 1 9 x 53 10x 2 1 30x 10 8 x 5 5 3x 1 9 6 23x 2 9 x 5 1 3 0 10 2 3 x 2 x 1 1 5 3(x 2 3) x 2 1 3 3 Portanto, P(x) é diviisível por 3(x 1 3)(x 2� 3) x 2 1 . ��� ��� 3 (x2 2 9) P(x) é divisível por x 2 2 9. ( ) ) ( ( ) 41 (MACK-SP) Se o polinômio P(x) 5 x3 1 3x2 1 a 2 2b é divisível por (x 2 a)2 ? (x 2 b), então o produto dos números reais a e b é: a) 22 b) 4 c) 23 d) 2 e) 3 Resolução: Se P(x) é divisível por (x 2 a)2 ? (x 2 b), suas raízes são a, a e b. Aplicando as relações de Girard, temos: a 1 a 1 b 5 2 3 2a 1 b 5 23 ⇒ b 5 2 3 2 2a 2 a ? a 1 a ? b 1 a ? b 5 0 ⇒ a 1 2ab 5 0 a 2b 5 2a 1 2b a 2b 5 2a 1 2b Substituindo na segunda equação, teremos: a 2 1 2a(23 2 2a) 5 0 ⇒ a 2 2 6a 2 4a 2 5 0 ⇒ ⇒ 23a 2 2 6a 5 0 ⇒ 23a(a 1 2) 5 0 ⇒ a 5 0 ou a 5 2 2 a 5 22 Como b 5 23 2 2a, teremos: b 5 2 3 2 2 ? (22) ⇒ b 5 1. O produto a ? b será (22) ? 1, ou seja, 22. 13 42 (UA-AM) Se o polinômio P(x) 5 x3 1 2x2 1 mx 1 n é divisível por H(x) 5 x2 1 x 1 1, então o valor de m 1 m é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 8 Resolução: Se P(x) é divisível por H(x), o reesto da divisão é igual a zero, logo: x 3 1 2x 2 1 mx 1 n x2 1 x 1 1 2x 3 2 x 2 2 x x 11 2 x 1 (m 2 1)x 1 n 2x 2 2 x 2 1 (m 2 2)x 1 n 2 1 Então: m 2 2 5 0 m52 e n 2150 n 51 Portanto, m 1 n 5 2 1 1 5 3. 43 (FGV-SP) O gráfico representa a função polinomial P(x) 5 x 2 2x 2 49x 1 98. Sendo r, s, t e 2 as únicas intersecções do gráfico com os eixos, o valor de r é: st a) 25 c) 23 e) 21 d)22 b) 24 3 y 2 r s 0 2 t Resolução: Do gráfico, s, 2 e t são raízes de P(x). P(0) 5 03 2 2 ? 02 2 49 ? 0 1 98 5 98 5 r Por uma das relações de Girard: s ? 2 ? t 5 2 r ⇒ r 5 22. 1 s ? t 44 (Unifesp-SP) Dividindo-se os polinômios p1(x) e p2(x) por x 2 2, obtêm-se, respectivamente, r1 e r2 como restos. y y � ax2 � bx � c 0 3 5 x Sabendo-se que r1 e r2 são os zeros da função quadrática y 5 ax2 1 bx 1 c, conforme o gráfico, o resto da divisão do polinômio produto p1(x) ? p2(x) por x 2 2 é: a) 3 c) 8 e) 21 b) 5 d) 15 Resolução: Sendo r1 e r2 os zeros da função, e sabendo que a abscissa do vértice da parábola é 5, temos: r1 1 r2 5 5 ⇒ r2 5 7 2 Desse modo, podemos afirmar que r1 5 p1(2) 5 3 e r2 5 p2(2) 5 7, e também que o resto da divisão de p1(x) ? p2(x) por x 2 2 será p1(2) ? p2(2) 5 3 ? 7 5 21. 14 x 45 (MACK-SP) ax 4 1 5x 2 2 ax 1 4 x 2 2 4 Q(x) r(x) Considerando o resto r(x) e o quociente Q(x) da divisão acima, se r(4) 5 0, Q(1) vale: e) 2 a) 1 c) 25 d) 24 b) 23 Resolução: Efetuando a divisão, encontraremoss: ax 4 1 5x 2 2 ax 1 4 x2 2 4 2ax 4 1 4ax 2 ax 2 1 (5 1 4a) (5 1 4a)x 2 2 ax 1 4 2(5 1 4a)x 2 1 4(5 1 4a) 2ax 1 24 1 16a Se r(4) 5 0, temos: 2a ? 4 1 24 1 16a 5 0 ⇒ 12a 5 224 ⇒ a 5 2 2 Assim: Q(x) 5 2 2x 2 2 3, então Q(1) 5 22 ? 13 2 3 5 2 5. 46 (IBMEC) Um polinômio de 7o grau p(x), com coeficientes reais, é divisível pelos polinômios q(x) 5 2x2 2 9 e r(x) 5 x2 1 3x 1 4. Se n é o número de raízes reais do polinômio p(x), então: c) 2 < n < 4 e) n > 5 a) n 5 3 ou n 5 5 d) n < 3 b) n 5 4 ou n 5 6 Resolução: p(x) é divisível por q(x) (de grau 2), r(x) (de grau 2) e por s(x) de grau 3; q(x) tem duas raízes reais; r(x) não tem raízes reais (D , 0), apenas complexas e s(x) pode ter uma ou três raízes reais, pois o número de raízes complexas é sempre par (Teorema das Raízes Complexas). Assim, p(x) pode ter 3 raízes reais (se s(x) tiver apenas uma) ou 5 raízes reais (se s(x) tiver três raízes). 15 47 (MACK-SP) Se as três raízes reais, não necessariamente distintas, do polinômio p(x) 5 x3 2 a3x2 1 ax 2 1, a IR, formam uma progressão geométrica, então o valor de a 2 a3 é: c) 0 e) 2 a) 22 d) 1 b) 21 Resolução: Se as três raízes do polinômio esttão em PG, podem ser escritas na forma x , x, x ? q, onde q é a q razão da PG. 22 ( 1) Por uma das relações de Girard, temos x ? x ? x ? q 5 ; logo, x 3 5 1 ou x 5 1. q 1 Como 1 é uma das raízes do polinômio p(x), então p(1) 5 0, desse modo: 13 2 a 3 ? 12 1 a ? 1 2 1 5 0 ⇒ 2a 3 1 a 5 0 ⇒ a 2 a 3 5 0 48 (ITA-SP) Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 2 i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e 240. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são: a) 3 2 193 , 3, 3 1 193 2 6 2 6 b) 2 2 4 3 , 2, 2 1 4 3 c) 24, 2, 8 e) 21, 2, 5 d) 22, 3, 8 Resolução: Se p admite 1 2 i como raiz dupla, também admitirá (como raiz dupla) o número 1 1 i (Teorema das Raízes Complexas). Se as três raízes reais restantes formam uma PA, podem ser escritas na forma x 2 r, x, x 1 r, em que r é a razão da PA. Sabendo que a soma de todas as raízes é 10, temos: (1 1 i) 1 (1 1 i) 1 (1 2 i) 1 (1 2 i) 1 (x 2 r) 1 x 1 (x 1 r) 5 10 ⇒ 4 1 3x 5 10 ⇒ x 5 2 Sabendo também que o produto de todas as raízes é 240, temos: (1 1 i)2 ? (1 2 i)2 ? (2 2 r) ? 2 ? (2 1 r) 5 240 ⇒ (2i) ? (22i) ? (4 2 r2) ? 2 5 240 ⇒ ⇒ 4 2 r2 5 25 ⇒ 2r2 5 29 ⇒ r 5 3 As raízes do polinômio são: 21, 2 e 5. 16